Đạo hàm cấp hai (11 cơ bản)

Định nghĩa : Giả sử h.số y= fx cú đạo hàm tại mỗi điểm... Định nghĩaII.ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp 2 1... Định nghĩaII.ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp 2 1.. ý nghĩa cơ học Đạo hàm cấp

Câu 1: Tìm vi phân của hàm số : Câu 2: Tìm d(cosx)d(sinx)

Giải :

Ta có :

=

' osx-cosx+xsinx=xsinx

(xsinx)dx

dy

−

' '

c dx

y = sinx - xcosx

Giải :

Ta có :

Tính y’ và đạo hàm của y’ biết a) y= x3 - 5x2 + 4x

b) y= sin3x Giải: a) y’ = 3x2 - 10x + 4

đạo hàm của y’ là 6x-10

b) y’ = 3cos3x

đạo hàm của y’ là -9sin3x

I Định nghĩa :

Giả sử h.số y= f(x) cú đạo hàm

tại mỗi điểm Khi

đú,hệ thức y’=f’(x) xỏc định một

hàm mới trờn khoảng (a;b).Nếu

h.số y’=f’(x) lại cú đạo hàm tại x

thỡ ta gọi đạo hàm của y’ là đào

hàm cấp hai của h.số y=f(x) và kớ

hiệu là y’’ hoặc f’’(x)

-Đạo cấp 3 k/h là: y’’’ hoặc f’’’(x)

hoặc f(3)(x)

-Đạo cấp n k/h là: y(n) hoặc f(n)(x)

Ν

( n , n 4)

Chú ý:

−

=

( )n ( ) ( ( 1)n ( ))'

( );

x ∈ a b

I §Þnh nghÜa :

Giả sử h.số y= f(x) có đạo hàm

tại mỗi điểm Khi

đó,hệ thức y’=f’(x) xác định một

hàm mới trên khoảng (a;b).Nếu

h.số y’=f’(x) lại có đạo hàm tại x

thì ta gọi đạo hàm của y’ là đào

hàm cấp hai của h.số y=f(x) và kí

hiệu là y’’ hoặc f’’(x)

-§¹o cÊp 3 k/h lµ: y’’’ hoÆc f’’’(x)

hoÆc f(3)(x)

-§¹o cÊp n k/h lµ: y(n) hoÆc f(n)(x)

Ν

( n , n 4)

Chó ý:

−

=

( )n ( ) ( ( 1)n ( ))'

( );

x ∈ a b

VD: Cho y= x5

a) H·y ®iÒn vµo b¶ng sau

y’ y’’ y(3) y(4) y(5) y(6) y(7)

4

5x 20x3 60x2 120x 120 0 0

b) TÝnh y(100)

c) B¾t ®Çu tõ n b»ng bao nhiªu th× y(n) b»ng 0

Gi¶i:

b) y(100) = 0 c) n=6

Câu hỏi trắc nghiệm :

Hãy điền đúng sai vào ô trống

a) y=sinx có y’’ =sinx b) y=sinx có y’’ = -sinx c) y=sinx có y(3) =cosx d) y=sinx có y(3) = -cosx

S

Đ S

Đ

I Định nghĩa

II.ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp 2

1 ý nghĩa cơ học

Xét chuyển động có pt s=f(t)

Đã biết:

v(t)=f’(t) là vận tốc tức thời của cđ tại thời điểm t

Tỉ số gọi là gia tốc trung bình của cđ trong thời gian

∆

∆

v t

∆t

∆

∆

→

= =

0

t

v

t Ta gọi v t, ( ) = γ ( )t

là gia tốc tức thời của cđ tại thời

điểm t

Đạo hàm cấp hai f’’(t) là gia tốc

tức thời của chuyển động s=f(t) tại

thời điểm t

Nên γ ( )t = f t''( )

2 Ví dụ

Xét chuyển động có pt:

ω ϕ

ω ϕ

( ) sin( )

A, ,

là những hằng số Tìm gia tốc tức thời tại thời điểm t

của chuyển động

I Định nghĩa

II.ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp 2

1 ý nghĩa cơ học

Đạo hàm cấp hai f’’(t) là gia tốc

tức thời của chuyển động s=f(t) tại

thời điểm t

2 Ví dụ

Xét chuyển động có pt:

ω ϕ

ω ϕ

( ) sin( )

A, ,

là những hằng số Tìm gia tốc tức thời tại thời điểm t

của chuyển động

Giải :

Vận tốc tức thời của cđ tại thời

điểm t là

ω ϕ

+

' ,

=A cos( )

t

Gia tốc tức thời của cđ tại thời

đi m t làể

γ

+

,, ,

2

( ) ( ) ( ) = -A sin( )

t

Tóm tắt bài học

1 Đạo hàm cấp 1,2,3,4, ,n

y’ , y’’ , y’’’ , y(4) , , y(n)

2 Pt chuyển động s=f(t)

Vận tốc tức thời của cđ tại

thời điểm t là v t ( ) = s t,( )

Gia tốc tức thời của cđ tại thời

điểm t là γ ( ) t = s t,,( )

−

=

( )n ( ( 1) 'n )

Bài tập1:Tính y’’ biết

) 1 b)y=tanx

Giải:

+

2

2 2

2 2

(1 2 )

4 1

1 ''

1

x y

x

+

+

+

=

4 (1 ) (1 2 )

(1 ) 1

2

x(3+2x )

=

Tóm tắt bài học

1 Đạo hàm cấp 1,2,3,4, ,n

y’ , y’’ , y’’’ , y(4) , , y(n)

2 Pt chuyển động s=f(t)

Vận tốc tức thời của cđ tại

thời điểm t là v t ( ) = s t,( )

Gia tốc tức thời của cđ tại thời

điểm t là γ ( ) t = s t,,( )

−

=

( )n ( ( 1) 'n )

Bài tập 1:Tính y’’ biết

) 1 b)y=tanx

Giải: ' =

2

1 )

cos

b y

x

⇒ '' = − (cos )24 ' = 2cos sin4

y

= 2sin3

cos

x x

Bài tập 2: Cho f(x)=(2x - 3)5 Tính f’’(3), f’’’(3)

Tóm tắt bài học

1 Đạo hàm cấp 1,2,3,4, ,n

y’ , y’’ , y’’’ , y(4) , , y(n)

2 Pt chuyển động s=f(t)

Vận tốc tức thời của cđ tại

thời điểm t là v t ( ) = s t,( )

Gia tốc tức thời của cđ tại thời

điểm t là γ ( ) t = s t,,( )

−

=

( )n ( ( 1) 'n )

Bài tập 2: Cho f(x)=(2x -3)5 Tính f’’(3), f’’’(3)

Giải: Ta có

f’(x)=5.2(2x-3)4=10(2x-3)4

f’’(x)=80(2x-3)3

f’’’(x)=480(2x-3)2

Từ đó f’’(3)=2160

f’’’(3)=4320

Tóm tắt bài học

1 Đạo hàm cấp 1,2,3,4, ,n

y’ , y’’ , y’’’ , y(4) , , y(n)

2 Pt chuyển động s=f(t)

Vận tốc tức thời của cđ tại

thời điểm t là

Gia tốc tức thời của cđ tại thời

điểm t là

−

=

( )n ( ( 1) 'n )

( ) ( )

,, ) ( ( t s t )

Bài tập 3: CMRvới mọi ta có

Nếu f x ( ) = 1

−

=

( )

1

( 1) !

n

n

n

x

1

n ≥

Bài tập 4: Cho hàm số :

(HD: c/m bằng p2 quy nạp)

b) y = x.cosx c/m : 2(y’ – cosx) – xy” – xy = 0

) (x +2x+2) c/m:

2

a y

2y.y” – (y’)2 – 1 = 0

c) y=sinx Tính y(n)