các phép biến đổi một tham số

Mục lục Mục lục 1 Lời cảm ơn 3 Lời mở đầu 4 1 Kiến thức chuẩn bị 6 1.1 Nhóm 6 1.2 Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số . . . . . . . . . . 9 1.2.1 Nhóm các phép biến đổi . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.2 Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số . . . . . . 10 1.2.3 Biến đổi vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.4 Định lý Lie cơ bản thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.5 Toán tử sinh vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.2.6 Hàmbấtbiến 23 1.3 Nhóm Lie các phép biến đổi hai tham số . . . . . . . . . . . 24 1.3.1 Địnhnghĩa 24 1.3.2 Toán tử sinh vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.3.3 ĐạisốLie 32 1.3.4 Đại số Lie giải đ-ợc . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1 www.VNMATH.com Mục lục 2 2 ứng dụng tính đối xứng vào việc giải ph-ơng trình vi phân 37 2.1 ứng dụng nhóm Lie một tham số vào giải ph-ơng trình vi phâncấpI 37 2.1.1 Hệ toạ độ chính tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.1.2 ứng dụng nhóm Lie các phép biến đổi một tham số vào giải ph-ơng trình vi phân cấp I . . . . . . . . . . 40 2.2 ứng dụng Đại số Lie để giải ph-ơng trình vi phân cấp cao . 43 2.2.1 Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số độc lập, một tham số phụ thuộc . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.2.2 Ví dụ ứng dụng Đại số Lie vào giải ph-ơng trình vi phânbậccao 49 Kết luận 53 Tài liệu tham khảo 54 2 www.VNMATH.com Lời cảm ơn 3 Lời cảm ơn Trong suốt thời gian làm khóa luận, tôi đã nhận đ-ợc sự h-ớng dẫn rất tận tình, chu đáo của TS Đặng Anh Tuấn. Mặc dù ở xa nh-ng Thầy vẫn th-ờng xuyên h-ớng dẫn, động viên tôi cố gắng hoàn thiện đ-ợc khoá luận này. Tôi xin đ-ợc bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc nhất tới Thầy. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới PGS.TS Đặng Đình Châu, Thầy đã cho tôi những lời khuyên quý báu không chỉ về các vấn đề xoay quanh khóa luận mà còn về ph-ơng pháp học tập và nghiên cứu, tôi rất trân trọng những góp ý của Thầy, đó cũng là động lực để tôi hoàn thành khóa luận này. Tôi cũng xin cảm ơn ThS Ninh Văn Thu đã giải đáp thắc mắc, đóng góp những ý kiến giúp tôi hoàn thành khoá luận này; đồng thời tôi xin đ-ợc gửi lời cảm ơn tới các Thầy, Cô trong Bộ môn Giải tích; các Thầy, Cô trong Khoa Toán - Cơ - Tin học - tr-ờng ĐH Khoa Học Tự Nhiên - ĐHQGHN đã giảng dạy, dìu dắt tôi trong suốt 4 năm qua. Khóa luận cũng đ-ợc hoàn thành với sự động viên tinh thần của gia đình và bạn bè. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất về tất cả sự giúp đỡ quý báu đó! Hà Nội, ngày 21 tháng 5 năm 2009 Sinh viên: Nguyễn Thị Hồng Xuân 3 www.VNMATH.com Lời mở đầu 4 Lời mở đầu Trong toán học, một nhóm Lie, đ-ợc đặt tên theo nhà toán học ng-ời Na Uy là Sophus Lie, là một nhóm cũng là một đa tạp trơn (differentiable manifold), với tính chất là các toán tử nhóm t-ơng thích với cấu trúc trơn. Nhóm Lie đại diện cho lý thuyết phát triển của các đối xứng liên tục của các cấu trúc toán học. Điều này đã làm nhóm Lie là công cụ cho gần nh- tất cả các ngành toán hiện đại, và vật lý lý thuyết hiện đại, đặc biệt là trong vật lý hạt. Bởi vì các nhóm Lie là các đa tạp, chúng có thể đ-ợc nghiên cứu sử dụng giải tích vi phân (differential calculus), t-ơng phản với tr-ờng hợp các nhóm tôpô tổng quát hơn. Một trong những ý t-ởng chính trong lý thuyết về nhóm Lie, đề ra bởi Sophus Lie là thay thế cấu trúc toàn cục, nhóm, với phiên bản mang tính địa ph-ơng của nó hay còn gọi là phiên bản đã đ-ợc làm tuyến tính hoá, mà Lie gọi là một nhóm cực nhỏ mà bây giờ đ-ợc biết đến nh- là đại số Lie. Nhóm Lie đã cung cấp một ph-ơng tiện tự nhiên để phân tích các đối xứng liên tục của các ph-ơng trình vi phân (lý thuyết Picard-Vessiot), trong một cách thức nh- các nhóm hoán vị (permutation group) đ-ợc sử dụng trong lý thuyết Galois để phân tích các đối xứng rời rạc của các ph-ơng trình đại số. Trong bài khoá luận này, tác giả xin trình bày một số nghiên cứu cơ bản về nhóm Lie một tham số, nhóm Lie 2 tham số và các ứng dụng của chúng trong việc giải ph-ơng trình vi phân. Các bài toán và ví dụ đ-ợc trình bày trong khóa luận đ-ợc trích dẫn từ cuốn Symmetry anh Integration 4 www.VNMATH.com Lời mở đầu 5 Methods for Differential Equations của George W.Bluman and Stephen C. Anco. Đây là tài liệu chính đ-ợc sử dụng trong khoá luận này. Tác giả xin đ-ợc trình bày chi tiết các chứng minh và các ví dụ cụ thể để đ-a ra những nguyên lý nền tảng nh-: cấu tạo và tính chất cơ bản của nhóm Lie, cách áp dụng lý thuyết nhóm Lie trong giải PTVP. Cấu trúc của khóa luận gồm 2 ch-ơng: Ch-ơng1: Kiến thức chuẩn bị 1.1 Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số. Trong phần này, trình bày Định nghĩa nhóm, nhóm các phép biến đổi, nhóm Lie các phép biến đổi một tham số; Biến đổi vi phân, Toán tử sinh vi phân, Định lý cơ bản Lie thứ nhất.Ví dụ. 1.2 Nhóm Lie các phép biến đổi hai tham số. Trong phần này, trình bày Định nghĩa nhóm Lie hai tham số, Đại số Lie, tính giải đ-ợc. Ví dụ minh họa. Ch-ơng2: ứng dụng của tính đối xứng vào việc giải ph-ơng trình vi phân 1.1 ứng dụng nhóm Lie các phép biến đổi một tham số để giải ph-ơng trình vi phân cấp 1. 1.2 ứng dụng Đại số Lie để giải ph-ơng trình vi phân cấp cao. Mặc dù đã rất cố gắng nh-ng do thời gian và trình độ còn hạn chế nên khóa luận chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận đ-ợc những ý kiến đóng góp quý báu của quý Thầy, Cô và các bạn. 5 www.VNMATH.com Ch-ơng 1 Kiến thức chuẩn bị Chúng ta bắt đầu với việc định nghĩa nhóm, xét đến nhóm các phép biến đổi và đặc biệt là nhóm Lie các phép biến đổi một tham số. Trong tr-ờng hợp này các phép biến đổi đều thực hiện trên R 2 . 1.1 Nhóm Định nghĩa 1.1.1. Cho tập hợp G cùng với phép toán : G ì G G. (G, ) đ-ợc gọi là một nhóm nếu thoả mãn các tiên đề 1) Tính đóng: Nếu a, b G thì (a, b) G. 2) Tính kết hợp: Với mọi phần tử a, b, c G bất kỳ thì (a, (b, c)) = ((a, b),c). 3) Phần tử đơn vị: Tồn tại duy nhất phần tử đơn vị e G sao cho với mọi phần tử a G: (a, e)=(e, a)=a. 4) Phần tử nghịch đảo: Với phần tử a bất kỳ thuộc G, tồn tại duy nhất phần tử nghịch đảo a 1 G sao cho (a, a 1 )=(a 1 ,a)=e. 6 www.VNMATH.com 1.1. Nhóm 7 Định nghĩa 1.1.2. Nhóm (G, ) đ-ợc gọi là nhóm Abel nếu (a, b)=(b, a), với mọi phần tử a, b G. Định nghĩa 1.1.3. Cho (G, ) là một nhóm với phần tử đơn vị e, A G, khi đó tập A cùng với phép toán đ-ợc gọi là nhóm con của nhóm (G, .) nếu thoả mãn các điều kiện 1) Với mọi phần tử a, b A thì (a, b) A. 2) Phần tử đơn vị e A. 3) Với phần tử a bất kỳ thuộc A, tồn tại phần tử nghịch đảo a 1 A sao cho (a, a 1 )=(a 1 ,a)=e. Ví dụ 1.1.4. Cho G = Z - là tập các số nguyên với phép toán cộng (a, b)=a + b. i) ánh xạ : Z ìZ Z vì tổng a + b là các số nguyên khi a, b là các số nguyên. ii) Lấy phần tử a, b, c Z ta có a +(b + c)=(a + b)+c. iii) Phần tử đơn vị e =0 Z thoả mãn a +0=0+a = a, a Z. iv) Với mọi a Z, tồn tại phần tử nghịch đảo a 1 = a thỏa mãn a +(a)=(a)+a =0. Vậy (Z, +) là một nhóm. Vì a + b = b + a với mọi a, b Z nên (Z, +) là nhóm Abel. Ví dụ 1.1.5. Cho G = R + là tập các số thực d-ơng với phép toán nhân (a, b)=a.b i) ánh xạ : R + ì R + R + vì tích a.b là số thực d-ơng khi a, b là các số thực d-ơng. 7 www.VNMATH.com 1.1. Nhóm 8 ii) Với các phần tử a, b, c R + bất kỳ, ta có ((a, b),c)=(a.b).c = a.(b.c)=(a, (b, c)). iii) Tồn tại phần tử đơn vị e =1thoả mãn a.1=1.a = a, với mọi phần tử a R + . iv) Với mọi phần tử a R + bất kỳ, tồn tại phần tử nghịch đảo a 1 = 1 a thoả mãn a. 1 a = 1 a .a =1. Vậy (R + ,.) là một nhóm. Vì a.b = b.a với mọi a, b R + nên nhóm (R + ,.) là nhóm Abel. Ví dụ 1.1.6. Cho S = { : 1 <<+} với phép toán giữa các tham số đ-ợc cho bởi (, )= + + . i) Ta sẽ chứng minh ánh xạ đi từ S ì S vào S, nghĩa là (, ) S, khi , S. Lấy , S =(1, +). Vì (1, +) nên +1> 0. T-ơng tự +1> 0 Suy ra ( + 1)( +1)> 0. Vậy + + (1, +). ii) Tính kết hợp: Với ,, (1, +) bất kỳ, (, (, )) = +( + + )+( + + ) = + + + + + + =(( + + )+)+( + + ) = ((, ),). iii) Phần tử đơn vị e =0 (1, +) thỏa mãn (, 0) = (0,)=0+ +0. = . iv) Phần tử nghịch đảo: Với phần tử (1, +) bất kỳ tồn tại 1 sao cho: (, 1 )=( 1 ,)= + 1 + 1 =0. 8 www.VNMATH.com 1.2. Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số 9 Suy ra 1 = 1+ (1, +). Vậy (S, ) là một nhóm. Vì (, )= + + = + + = (, ) nên (S, ) là nhóm Abel. Ví dụ 1.1.7. Cho G = R 2 với phép toán =(, )=( 1 + 1 ,e 1 2 + 2 ), =( 1 , 2 ) R 2 ; =( 1 , 2 ) R 2 . i) ánh xạ : R 2 ì R 2 R 2 vì ( 1 + 1 ,e 1 2 + 2 ) R 2 vì , R 2 . ii) Với các phần tử ,, bất kỳ, ta có ((, ),)=(( 1 + 1 ,e 1 2 + 2 ),) =( 1 + 1 + 1 ,e 1 (e 1 2 + 2 )+ 2 ) =( 1 +( 1 + 1 ),e ( 1 + 1 ) 2 + e 1 2 + 2 ) = (, (, )). iii) Phần tử đơn vị e =(0, 0) thoả mãn (, e)=( 1 +0,e 0 2 +0)=( 1 , 2 )=. iv) Với mọi phần tử R 2 , ta xác định phần tử nghịch đảo 1 Ta có: (, 1 )=e nên suy ra ( 1 + 1 1 ,e 1 1 2 + 1 2 )=(0, 0). Suy ra 1 =( 1 , 2 e 1 ) R 2 . Vậy (R 2 ,) là một nhóm. Vì (, )=( 1 + 1 ,e 1 2 + 2 ) =( 1 + 1 ,e 1 2 + 2 )=(, ) nên (R 2 ,) không là nhóm Abel. 1.2 Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số 1.2.1 Nhóm các phép biến đổi Định nghĩa 1.2.1. Cho D R 2 ,S R, (S, ) là một nhóm có phần tử đơn vị e S. 9 www.VNMATH.com 1.2. Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số 10 Xét ánh xạ X : D ì S D. Tập hợp X(., ) S là một nhóm các phép biến đổi một tham số nếu thoả mãn các điều kiện 1) Với mọi phần tử S thì ánh xạ X : D ì S D là một song ánh. 2) Với = e, x D: X(x,e)=x. 3) X(X(x,),)=X(x,(, )), với mọi , S. 1.2.2 Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số Nh- phần trên đã xét nhóm các phép biến đổi có cấu trúc đại số. Nếu ta thêm cấu trúc giải tích vào nhóm này thì nó trở thành nhóm Lie các phép biến đổi một tham số. Bây giờ ta xét đến nhóm Lie các phép biến đổi một tham số. Tr-ớc hết, ta định nghĩa Định nghĩa 1.2.2. Cho D R 2 là một miền mở và x =(x 1 ,x 2 ) D. S là một khoảng trên R, (S, ) là nhóm có phần tử đơn vị 0. Phép toán : S ì S S là hàm giải tích. ánh xạ X : D ì S D cho ta tập hợp các phép biến đổi ký hiệu là X(., ) S . Tập các phép biến đổi trên đ-ợc gọi là nhóm Lie các phép biến đổi một tham số nếu thoả mãn các điều kiện 1) Với mọi S, ánh xạ X(., ): D ì S D là một song ánh và khả vi vô hạn. Với x cố định D, ánh xạ X(x,.):S D là hàm giải tích theo . 2) X(., 0) = Id D . 3) X(X(x,),)=X(x,(, )), với mọi , S. 10 www.VNMATH.com [...]... mới của các số hạng sẽ t-ơng ứng với một phép tham số hoá khác, ví dụ () sẽ thay đổi Nhóm Lie các phép biến đổi 2 tham số t-ơng ứng với x = X(x, ) nếu nó có thể đ-ợc biểu diễn d-ới dạng hệ (1.42) - (1.43) với cùng một (x) Ta cũng chỉ ra đ-ợc rằng nhóm Lie các phép biến đổi một tham số của phép biến đổi x = eX x = e(1 X1 +2 X2 x 27 (1.48) www.VNMATH.com 1.3 Nhóm Lie các phép biến đổi hai tham số thu... nhóm Lie các phép biến đổi một tham số 14 www.VNMATH.com 1.2 Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số 15 1.2.3 Biến đổi vi phân Cho nhóm Lie các phép biến đổi một tham số (1.1) X = X(x, ) với phần tử đơn vị = 0 và phép toán Khai triển Taylor (1.1) tại = 0 trong lân cận của = 0, ta có X(x, ) 1 2 2 X(x, ) + x =x+ =0 2 2 X(x, + O(2 ) =x+ =0 + =0 (1.2) Đặt X(x; ) (1.3) =0 Phép biến đổi x + (x)... Lie các phép biến đổi một tham số 11 Ví dụ 1.2.3 (Nhóm các phép tịnh tiến trên mặt phẳng) Cho nhóm các phép biến đổi x = x + , y = y, R với phép toán (, ) = + Nh- vậy, nhóm các phép tịnh tiến trên mặt phẳng đ-ợc cho bởi D = R2 , (S, ) là nhóm cộng và ánh xạ X : R2 ì R R 2 ((x, y), ) (x, y ) = (x + , y) Ta chứng minh nhóm {X(., )}R các phép biến đổi này là nhóm Lie các phép biến đổi một tham số. .. các phép biến đổi một tham số Ví dụ 1.2.4 (Nhóm Scalings) Xét nhóm x = x, y = 2 y, 0 < < + 12 www.VNMATH.com 1.2 Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số 13 Và phép toán giữa các tham số (, ) = Vì phần tử đơn vị là = 1 nên nhóm các phép biến đổi này đ-ợc tham số hoá lại với số hạng = 1 nên = 1 + Khi đó, x = (1 + )x, y = (1 + )2 y; 1 < < + Nhóm Scaling đ-ợc cho bởi D = R2 , S = (1, +) với phép. .. (1.50) Số hạng của hằng số thực cố định bất kỳ 1 , 2 xác định một nhóm Lie các phép biến đổi một tham số là nhóm con của nhóm Lie các phép biến đổi 2 tham số Ví dụ 1.3.4 Cho và nhóm Lie các phép biến đổi 2 tham số [ = (1 , 2 )] trong R2 với [(x1 , x2 ) = (x, y)] đ-ợc cho bởi x = e1 x + 2 , 21 y =e (1.51) y Khi đó, x = e1 x + 2 = e1 (,) x + 2 (, ), y = e21 y = e21 (,) y với phép toán giữa các tham số. .. Lie các phép biến đổi hai tham số 1.3.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.3.1 Cho D R2 , x = (x1 , x2 ) D, S = (S1, S2 ), và phần tử = (1 , 2 ) S (S, ) là nhóm có phần tử đơn vị e = (0, 0) Phép toán i : Si ì Si Si là hàm giải tích X = (X1, X2 ) : D ì S D cho ta tập các phép biến đổi 2 tham số ký hiệu là X(., ) S Tập các phép biến đổi trên đ-ợc gọi là nhóm Lie các phép biến đổi 2 tham số nếu thoả mãn các. .. bởi (a, b) = a + b với 1 = và () 1 Do đó, với hàm vi phân là (x) nhóm Lie các phép biến đổi một tham số sẽ trở thành dx = (x), d 19 (1.22) www.VNMATH.com 1.2 Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số 20 với điều kiện ban đầu (1.23) x = x khi = 0 Định nghĩa 1.2.9 Toán tử sinh vi phân của nhóm Lie các phép biến đổi một tham số là toán tử X = X(x) = (x) với = 1 (x) + 2(x) x1 x2 (1.24) là toán tử gradient:... tích Ta sẽ kiểm tra họ 2 tham số của phép biến đổi (1.51) với phép toán (1.52) xác định một nhóm Lie các phép biến đổi 2 tham số ở đây, S = (R2 , R2 ); (S, ) là nhóm có đơn vị 0, và ánh xạ X : R 2 ì R2 R 2 (x, y) ì (1 , 2 ) (e1 x + 2 , e21 y) 28 www.VNMATH.com 1.3 Nhóm Lie các phép biến đổi hai tham số 29 Tr-ớc tiên ta chứng minh rằng với mọi S thì ánh xạ X(., ) : R2 R2 là một song ánh Thật vậy,... 1.2.5 Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số (1.1) thỏa mãn hệ thức X(x; + ) = X(X(x; ); (1 + )) 15 (1.4) www.VNMATH.com 1.2 Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số 16 Chứng minh: X(X(x; ); (1, + )) = X(x; (, (1 , + ))) = X(x; ((, 1 ), + )) = X(x; (0, + )) = X(x; + ) Định lý 1.2.6 (Định lý Lie cơ bản thứ nhất) Tồn tại một phép tham số hóa () sao cho Nhóm Lie các phép biến đổi X = X(x; ) t-ơng ứng... hệ (1.20) ta thu đ-ợc hệ (1.19) Thực hiện phép tham số hoá ( )d = = 0 0 1 d = ln |1 + | 1+ Nhóm (1.19) trở thành x = e x, y = e2 y, < < + (1.21) với phép toán giữa các tham số mới là (1 , 2 ) = 1 + 2 1.2.5 Toán tử sinh vi phân Từ định lý Lie thứ nhất, không mất tính tổng quát ta giả sử rằng nhóm Lie các phép biến đổi một tham số đ-ợc tham số hoá lại bằng phép toán cho bởi (a, b) = a + b với 1 =