PHÉP BIẾN ĐỔI WAVELET

5 Chương PHÉP BIẾN ĐỔI WAVELET 1.1- MỞ ĐẦU Như trình bày phần mở đầu, giai đoạn phân tích định lượng đóng vai trò quan trọng việc phân tích tài liệu từ nên có nhiều phương pháp đưa Về phương pháp truyền thống, liệt kê số phương pháp tiêu biểu phương pháp nửa độ dốc cực đại tiếp tuyến Peters, L.J., (1949) [60]; phương pháp xác định vị trí độ sâu Werner, S., (1953) [79], phương pháp sử dụng cực đại đường cong Smith, R.A., (1959) [68], phương pháp sử dụng hình dạng đồ thị biên độ Parasnis, D.S., (1986) [59]… Từ thập niên 60 kỷ trước, máy tính phát triển mạnh, người ta thường sử dụng phương pháp thử - sai gồm phương pháp tiến (forward method) phương pháp nghịch đảo (inverse method) để xác định lời giải máy tính; phương pháp sử dụng rộng rãi phát triển Ngày nay, người ta thường sử dụng phương pháp tín hiệu giải tích (Nabighian, N.M., (1972, 1974) [55], [56], Hsu, S.K., Sibuet, J.C Shyu, C.T., (1996) [41]) phương pháp giải chập Euler (Thomson, D.T., (1982) [72]; Reid, A.B nnk., (1990) [63] ); hai phương pháp đặt sở việc tính đạo hàm theo phương ngang phương thẳng đứng tín hiệu; nay, hai phương pháp tiếp tục phát triển Năm 1958, Dean, W.C., [27] đề nghị sử dụng phép biến đổi Fourier toán chuyển trường phép tính đạo hàm phân tích tài liệu từ trọng lực Năm 1964, Cooley, J.W Turkey, J., [23] đưa thuật toán phép biến đổi Fourier nhanh (Fast Forier Transform) Từ đó, phép biến đổi Fourier sử dụng hữu hiệu rộng rãi việc phân tích định tính định lượng tài liệu từ (và trọng lực) [19], [69] chúng phát triển [80] Tuy nhiên, phép biến đổi Fourier có điểm hạn chế (sẽ trình bày mục tiếp theo) nên người ta tìm phép biến đổi khác có nhiều ưu điểm Ngày nay, người ta sử dụng phép biến đổi wavelet khắc phục khuyết điểm phép biến đổi Fourier Có hai phép biến đổi wavelet phép biến đổi wavelet rời rạc phép biến đổi wavelet liên tục; chúng sử dụng việc phân tích định tính [5], [64] phân tích định lượng tài liệu từ [18], [32], [66] Trong luận án này, sử dụng phép biến đổi wavelet liên tục; nhiên, để có nhìn đầy đủ phép biến đổi wavelet, chương trình bày phần phép biến đổi wavelet liên tục phép biến đổi wavelet rời rạc 1.2- PHÉP BIẾN ĐỔI WAVELET LIÊN TỤC 1.2.1- Giới thiệu Trong xử lý tín hiệu, phép biến đổi Fourier (FT, Fourier Transform) công cụ toán học quan trọng cầu nối cho việc biểu diễn tín hiệu miền không gian miền tần số; việc biểu diễn tín hiệu miền tần số có lợi việc biểu diễn miền không gian Hình 1.1a biểu diễn tín hiệu theo thời gian, hình 1.1b biểu diễn phép biến đổi Fourier tín hiệu miền tần số Tuy nhiên, phép biến đổi Fourier cung cấp thông tin có tính toàn cục thích hợp cho tín hiệu tuần hoàn, không chứa đột biến thay đổi không dự báo Trong hình 1.1b, phổ f(t) cho thấy thành phần tần số cấu thành tín hiệu không cho biết tần số xuất đâu Để khắc phục khuyết điểm này, Gabor, D., (1946) [33] áp dụng phép biến đổi Fourier cửa sổ (WFT, Windowed Fourier Transform) cho đoạn nhỏ tín hiệu (cửa sổ); phép biến đổi cho thấy mối liên hệ không gian tần số bị khống chế nguyên lý bất định Heisengber cho thành phần tần số cao tần số thấp tín hiệu (Kaiser, G., 1994) [43] Phép biến đổi wavelet bước để khắc phục hạn chế 7 f(t) (s) F(ω) Hình 1.1a: Tín hiệu f(t) (Hz) Hình 1.1b: Biến đổi Fourier tín hiệu f(t) Năm 1975, Morlet, J., phát triển phương pháp đa phân giải (multiresolution); đó, ông ta sử dụng xung dao động, hiểu “wavelet” (dịch theo từ gốc sóng nhỏ) cho thay đổi kích thước so sánh với tín hiệu đoạn riêng biệt Kỹ thuật bắt đầu với sóng nhỏ (wavelet) chứa dao động tần số thấp, sóng nhỏ so sánh với tín hiệu phân tích để có tranh toàn cục tín hiệu độ phân giải thô Sau sóng nhỏ nén lại để nâng cao dần tần số dao động Quá trình gọi làm thay đổi tỉ lệ (scale) phân tích; thực tiếp bước so sánh, tín hiệu nghiên cứu chi tiết độ phân giải cao hơn, giúp phát thành phần biến thiên nhanh ẩn bên tín hiệu Sau đây, trình bày phép biến đổi wavelet liên tục thuận nghịch đồng thời trình bày số thuộc tính hàm wavelet để vận dụng toán cụ thể Các công trình nghiên cứu phép biến đổi wavelet liên tục áp dụng việc phân tích định lượng tài liệu từ trình bày chương hai 1.2.2- Phép biến đổi wavelet thuận Gọi f(x) tín hiệu 1-D, phép biến đổi wavelet liên tục f(x) sử dụng hàm wavelet ψ biểu diễn bởi: W (s , b ) = s +∞ ∫ f ( x ).ψ * ( −∞ x−b )dx s (1.1) đó: - W(s, b) hệ số biến đổi wavelet liên tục f(x), với s tỉ lệ (nghịch đảo tần số) b dịch chuyển đặt trưng vị trí - ψ *0 ( x ) hàm liên hiệp phức wavelet ψ ( x ) gọi hàm wavelet phân tích Phương trình (1.1) cho thấy, phép biến đổi wavelet ánh xạ chuyển từ hàm biến f(x) thành hàm W(s, b) phụ thuộc hai biến số biến tỉ lệ s biến dịch chuyển b Hệ số chuẩn hóa /( s ) (1.1) đảm bảo cho chuẩn hóa sóng wavelet với tỉ lệ phân tích s khác ψ 0(s, b) = ψ Phép biến đổi wavelet có tính linh động cao so với phép biến đổi Fourier (sử dụng hàm mũ) không thiết phải sử dụng hàm wavelet cố định, mà lựa chọn hàm wavelet khác họ hàm wavelet cho thích hợp với toán (hình dạng hàm wavelet phù hợp với tín hiệu cần phân tích) để kết phân tích tốt Hiện nay, người ta xây dựng khoảng vài chục họ hàm wavelet khác nhằm áp dụng cho nhiều mục đích phân tích đa dạng Hình 1.2 đồ thị ba hàm wavelet hàm wavelet Harr, hàm wavelet Daubechies hàm wavelet Morlet Biểu thức (1.1) viết lại dạng tích (inner product) sau: W (s, b) = f ( x ), ψ (s ,b ) ( x ) đó: (1.2) ψ 0(s , b ) ( x ) = ⎛x−b⎞ ψ0 ⎜ ⎟ s ⎝ s ⎠ a) b) (1.3) c) Hình 1.2: Ba dạng hàm wavelet a) Wavelet Harr, b) Wavelet Daubechies 5, c) Wavelet Morlet 1.2.3- Các tính chất hàm wavelet 1.2.3.1- Tính chất sóng Hàm wavelet phức (tổng quát) ψ định xứ hoàn toàn hai miền: miền không gian miền tỉ lệ (nghịch đảo tần số) đồng thời phải thỏa mãn tính chất sóng, nghĩa dao động với giá trị trung bình hàm wavelet không: +∞ ∫ ψ ( y ) dy = (1.4) −∞ Như vậy, wavelet dạng sóng nhỏ có không gian tồn hữu hạn có giá trị trung bình không Hệ từ tính chất sóng hàm wavelet dẫn đến độc lập phép biến đổi wavelet tất hàm phân tích Lưu ý sử dụng phép biến đổi wavelet liên tục, phải chuẩn hóa phiên hàm wavelet ψ ( x−b ) vùng không gian giới hạn qui s định kích thước cửa sổ; bên vùng giới hạn hàm wavelet triệt tiêu Vậy phép biến đổi wavelet liên tục cung cấp thông tin thay đổi cục vùng khảo sát mà không cần quan tâm đến biến đổi toàn cục hàm wavelet 10 1.2.3.2- Đặc trưng lượng Năng lượng tổng tín hiệu f(x) định nghĩa biểu thức sau: +∞ E= ∫ f (x) dx = f (x) (1.5) −∞ Tín hiệu có lượng xác định biểu thức (1.5) nhận giá trị xác định Hàm sóng wavelet có đặc trưng lượng chuẩn hóa đơn vị cho tỉ lệ s Vậy, tính chất thứ hai hàm wavelet là: +∞ ∫ ψ ( y ) dy = (1.6) −∞ 1.2.4- Biểu diễn hệ số wavelet Có hai cách biểu diễn hệ số wavelet Thứ nhất, biểu diễn hệ số wavelet W(s, b) hệ tọa độ ba trục vuông góc (x, y, z) với trục x biểu diễn tham số dịch chuyển (vị trí) b, trục y biểu diễn tham số tỉ lệ (là nghịch đảo tần số) s trục thẳng đứng z biểu diễn hệ số wavelet W Hình 1.3a mô tả cách biểu diễn hệ số W(s, b) hệ tọa độ ba trục vuông góc, hình này, dễ dàng xác định vị trí diện thành phần tần số (nghịch đảo tỉ lệ) Thứ hai, biểu diễn hệ số W(s, b) mặt phẳng không gian – tỉ lệ (x, s) (gọi tỉ lệ đồ) dạng đường đẳng trị hay dạng ảnh; cách biểu diễn thông dụng xử lý ảnh Hình 1.3b mô tả cách biểu diễn hệ số W(s, b) tỉ lệ đồ dạng đường đẳng trị modun pha Hình 1.3c mô tả cách biểu diễn hệ số W(s, b) tỉ lệ đồ dạng ảnh Hình 1.3a: Biểu diễn hệ số wavelet hệ tọa độ ba trục vuông góc 11 Hình 1.3b: Biểu diễn hệ số wavelet tỉ lệ đồ dạng đường đẳng trị Hình 1.3c: Biểu diễn hệ số wavelet tỉ lệ đồ dạng ảnh 1.2.5- Phép biến đổi wavelet nghịch Tương tự phép biến đổi Fourier, phép biến đổi wavelet liên tục có tính thuận nghịch Nếu phép biến đổi wavelet thuận có dạng (1.1) phép biến đổi wavelet nghịch có dạng: f (x) = cg +∞ +∞ x−b ∫−∞db ∫0 sW(s, b)ψ ( s )ds (1.7) đó: - cg số phụ thuộc vào hàm wavelet sử dụng Công thức (1.7) cho phép khôi phục lại tín hiệu nguyên thủy từ hệ số biến đổi wavelet phép tính tích phân theo toàn tham số tỉ lệ s dịch 12 chuyển b Trong (1.7), hàm wavelet ψ0 sử dụng thay cho hàm liên hiệp phức biểu thức (1.1) Trong thực tế, việc khôi phục xác tín hiệu gốc từ phép biến đổi wavelet gặp khó khăn (không giống việc khôi phục tín hiệu từ phép biến đổi Fourier) Theo Vecsey, L., (2002) [78] việc khôi phục tín hiệu gốc từ phép biến đổi wavelet cho kết xác phương trình sau thỏa: 1/ 2 ⎫⎪ ⎧⎪ +∞ ψ ˆ (ω) c g = ⎨2π ∫ dω⎬ ⎪⎭ ⎪⎩ −∞ ω 2) xây dựng đơn giản cách mở rộng số phần tử véctơ R B đến n giá trị theo cách biểu diễn: R(x1, x2, … xn) B(b1, b2, …bn) (1.12) Để đảm bảo bảo toàn lượng sóng wavelet, phép biến đổi wavelet n-D, cần hiệu chỉnh lại số hạng trước tích phân dạng 1/s(n/2) Do đó, hàm wavelet ψ0(s,B) (R) không gian n-D viết dạng: ψ ( s ,B) (R ) = s ( n / 2) ψ0 ( R −B ) s (1.13) Nên phép biến đổi wavelet n-D viết lại dạng: W(s, B) = s ( n / 2) +∞ ∫ f (R).ψ ( * −∞ R −B )dR s (1.14) phép biến đổi wavelet nghịch n-D có dạng: f (R ) = cg +∞ +∞ ∫ dB ∫ −∞ s W(s, B).ψ ( n +1 R−B )ds s (1.15) 1.2.7 - Tiêu chuẩn chọn hàm wavelet Ưu điểm phép biến đổi wavelet phân tích chi tiết vùng không gian nhỏ vùng biến đổi rộng tín hiệu khảo sát Sự địa phương hóa phân tích giúp phát vị trí điểm đứt gãy, điểm gián đoạn với độ dốc lớn hàm wavelet chọn đồng dạng với tín hiệu Ngoài yếu tố trên, yếu tố khác giữ vai trò quan trọng, cần xem xét kỹ trước chọn hàm wavelet để phân tích (Torrence, C.H., Compo, G.P., (1998) [73]), (Van den Berg, J.C., (1999) [76]), (Hubbart, B.B., (1998) [42]) 14 1.2.7.1- Trực giao hay không trực giao Các hàm wavelet trực giao, gọi sở wavelet trực giao, thường sử dụng cho phép biến đổi wavelet rời rạc (sẽ trình bày sau) tiện dụng cho việc tái tạo lại tín hiệu ban đầu sau trình nén liệu [26] Hình 1.4 biểu diễn hàm wavelet trực giao Coiflets (viết tắt Coif), wavelet trực giao chuẩn hóa, cho phép thực biến đổi wavelet liên tục rời rạc Ngược lại, hàm wavelet không trực giao thường sử dụng cho phép biến đổi wavelet liên tục thích hợp để phát tính chất đặc trưng tín hiệu Wavelet function psi Wavelet function psi Wavelet function psi Wavelet function psi Wavelet function psi 1.2 1.5 1.2 1 0.8 1.5 0.8 0.6 0.6 0.4 0.5 0.4 0.5 0.2 0.5 0.2 0 0 -0.2 -0.2 -0.4 -0.4 -0.5 -0.5 -0.5 -0.6 -0.6 -1 -0.8 -0.8 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 a) Coif-1 5 b) Coif-2 10 11 10 12 c) Coif-3 14 16 10 d) Coif-4 15 20 10 15 20 25 e) Coif-5 Hình 1.4: Năm hàm wavelet sở trực giao họ Coiflets 1.2.7.2- Phức hay thực Hàm wavelet phức cho bốn thông tin phần thực, phần ảo, độ lớn pha tín hiệu Nó thích hợp phân tích tín hiệu dao động mạnh Hàm wavelet thực, cung cấp thông tin độ lớn tín hiệu nên thích hợp cho việc phát điểm gián đoạn hay đỉnh cực đại tín hiệu Hình 1.5a hình 1.5b phần thực phần ảo hàm wavelet phức, tạo từ đạo hàm bậc năm hàm Gauss thực phức viết dạng: d5 d5 ψ(x ) = f (x ) + g(x ) dx dx đó, f(x) g(x) hàm Gauss thực phức cho bởi: (1.16) 15 f (x) = 1 exp(− x ), g(x ) = exp(−ix − x ) π π (1.17) Hình 1.5a: Phần thực wavelet phức đạo hàm bậc năm hàm Gauss Hình 1.5b: Phần ảo wavelet phức đạo hàm bậc năm hàm Gauss 1.2.7.3- Độ rộng Quan hệ độ rộng hàm wavelet miền không gian độ rộng miền tần số cho nguyên lý bất định Heisenberg – Gabor (Vecsey, L., 2002) [78] Nếu hàm wavelet bị hẹp độ rộng miền không gian ngược lại, độ rộng phổ tần số tăng lên Vậy độ phân giải tối ưu miền tần số tương ứng với độ phân giải hạn chế miền không gian ngược lại Hình 1.6a mô tả ba xung wavelet Mexican ứng với ba tỉ lệ s khác hình 1.6b phổ Fourier tương ứng ba xung wavelet nêu So sánh đồ thị có tỉ lệ s ta thấy, xung wavelet có dạng nở rộng (đồ thị thứ hình 1.6a) phổ tần số tương ứng lại có dạng hẹp (đồ thị thứ hình 1.6b) 16 (a) S=1 S=2 S=3 (b) S=1 S=2 S=3 Tần số Tọa độ x Hình 1.6: Hàm wavelet Mexican ba tỉ lệ s khác (a) Các hàm wavelet Mexican với tỉ lệ s 1, (b) Phổ Fourier hàm wavelet Mexican với tỉ lệ s 1, 1.2.7.5- Chẵn hay lẻ Khi sử dụng hàm wavelet thực, cần phân biệt hàm wavelet chẵn hay hàm wavelet lẻ Sử dụng hàm wavelet lẻ, xác định xác nơi xuất kết thúc tín hiệu có dạng giống hàm wavelet Hàm wavelet chẵn sử dụng để xác định đỉnh cực đại tín hiệu Tín hiệu f(x) Tín hiệu f(x) (m) (m) b) a) s s (m) (m) Hình 1.7a: Hình tín hiệu f(x), hình biến đổi wavelet tín hiệu sử dụng hàm wavelet đạo hàm bậc hàm Gauss Hình 1.7b: Hình tín hiệu f(x), hình biến đổi wavelet tín hiệu sử dụng hàm wavelet đạo hàm bậc hai hàm Gauss 17 Hình 1.7a phép biến đổi wavelet tín hiệu có dạng hình hộp sử dụng hàm tạo từ đạo hàm bậc hàm Gauss; lúc này, hàm wavelet lẻ dựa vào đồ thị trực tiếp vị trí bờ biên Hình 1.7b phép biến đổi wavelet tín hiệu sử dụng hàm tạo từ đạo hàm bậc hai hàm Gauss; lúc này, hàm wavelet chẵn nên thích hợp cho việc xác định vị trí đỉnh 1.2.7.6- Các momen triệt tiêu Một hàm f(x) có m momen triệt tiêu khi: +∞ ∫x m f ( x )dx = (1.18) −∞ Phép biến đổi wavelet sử dụng hàm wavelet có hai momen triệt tiêu không bị ảnh hưởng khuynh hướng biến đổi hàm phân tích Sử dụng hàm wavelet có nhiều momen triệt tiêu làm giảm giá trị hệ số wavelet phân tích tín hiệu tần số thấp; ngược lại, với tần số cao, giá trị hệ số wavelet tăng lên lớn nên việc xác định thông tin ẩn tín hiệu thực dễ dàng Tuy nhiên, sử dụng hàm wavelet có nhiều momen triệt tiêu để phân tích tín hiệu, cực đại biến đổi wavelet làm sai lệch kết việc phục hồi thông tin ẩn tín hiệu 1.2.7.7- Đẳng hướng hay không đẳng hướng Sử dụng wavelet đẳng hướng thuận tiện phân tích cấu trúc có kích thước gần theo hai hướng vật thể hình tròn, hình vuông… Hàm wavelet bất đẳng hướng thường sử dụng để phân tích cấu trúc bất đối xứng tham số tỉ lệ s góp phần thiết lập mối tương quan kích thước trung bình độ lớn theo phương x độ lớn theo phương y 1.2.8- Mật độ lượng Sự phân bố lượng phép biến đổi wavelet tỉ lệ s dịch chuyển b cho hàm mật độ lượng wavelet, hàm hai biến có dạng: E(s, b) = W (s, b) (1.19) 18 Đồ thị E(s, b) gọi tỉ lệ đồ (scalogram), tương tự phổ phép biến đổi Fourier không gian (thời gian) ngắn Trong thực hành, người ta vẽ tỉ W (s , b ) lệ đồ W(s, b) cg sử dụng để tái tạo lại lượng tổng theo công thức: E= cg +∞ +∞ ∫ ∫ W (s , b ) −∞ ds db s2 (1.20) Nếu phép biến đổi wavelet thực với hàm wavelet phức, người ta sử dụng bốn thành phần phép biến đổi wavelet để phân tích riêng biệt Khi đó, tỉ lệ đồ, vùng ánh sáng mạnh lớp biên rõ dịch chuyển tỉ lệ lượng tín hiệu mạnh Năng lượng tổng tín hiệu tỉ lệ xác định s gọi mật độ lượng độc lập, tính biểu thức: E (s ) = cg +∞ ∫ W (s, b ) (1.21) db −∞ Kết hợp phương trình (1.20) (1.21), lượng tổng tín hiệu là: +∞ E= ∫ E (s ) ds s2 (1.22) 1.2.9- Rời rạc hóa phép biến đổi wavelet liên tục Để tính hệ số phép biến đổi wavelet liên tục máy tính, hai tham số tỉ lệ tịnh tiến nhận giá trị liên tục mà phải giá trị rời rạc Công thức rời rạc hóa phép biến đổi wavelet liên tục cho tín hiệu f(n) chiều viết [85]: Wf (n ) = W (s, b) = ∑ f (n ) n s ψ* ( n−b ) s (1.23) 19 đó, s b tham số tỉ lệ dịch chuyển lấy giá trị rời rạc, ψ* liên hiệp phức hàm wavelet dùng cho phép biến đổi liên tục lấy giá trị rời rạc Phép tổng hợp tín hiệu từ rời rạc hóa phép biến đổi wavelet liên tục cho biểu thức (1.23) viết là: f (n ) = c g ∑∑ W (s, b) ψ ( s b n−b ) s (1.24) với cg số phụ thuộc vào hàm wavelet sử dụng Vì biểu thức phép biến đổi wavelet (1.1) tích chập nên theo định lý tích chập, sử dụng phép biến đổi Fourier nhanh (FFT, Fast Fourier Transform) để tính phép biến đổi wavelet Tuy nhiên, không sử dụng phương pháp nên không trình bày chi tiết 1.2.10 – Hiệu ứng biên Để tính phép biến đổi wavelet liên tục, người ta thường dựa công thức rời rạc hóa (1.23) (1.24) tín hiệu lấy hữu hạn giá trị rời rạc với bước đo ∆x ; để thuận tiện tính toán, người ta thường sử dụng ∆x thay cho tham số dịch chuyển b sử dụng logarit tham số s thay cho s Khi lấy biến đổi wavelet tín hiệu hữu hạn rời rạc, ảnh hưởng tích hàm wavelet với giá trị lân cận biên tín hiệu nên giá trị hệ số wavelet bị biến đổi mạnh, tượng gọi hiệu ứng biên (boundary effect) [78] Hình 1.8a-d mô tả biến dạng biên phổ wavelet sử dụng hàm mũ Mexican tín hiệu có dạng hình cầu (với tỉ lệ s thay đổi 1, 6, 11, 20) Sự biến dạng hiệu ứng biên lớn thực phép biến đổi wavelet tỉ lệ lớn Trong trường hợp hình 1.8a, tỉ lệ s = 1, hiệu ứng biên hiện; tỉ lệ tăng lên đáng kể (s = 6, ứng với hình 1.8b) hiệu ứng biên gây nên biến đổi đáng kể Khi đó, để hạn chế phần hiệu ứng biên, bao 20 quanh tín hiệu lớp biên có giá trị không kết hợp với việc hiệu chỉnh giá trị trung bình tín hiệu toàn vùng phân tích a) b) c) d) Hình 1.8: Biến đổi wavelet liên tục 2-D dùng hàm mũ Mexican cho tín hiệu có dạng hình cầu thỏa phương trình x2 + y2 + z2 =1 với z >0 a) Phân tích tỉ lệ s = b) Phân tích tỉ lệ s = c) Phân tích tỉ lệ s = 11 d) Phân tích tỉ lệ s = 20 Trong thực hành, để hạn chế hiệu ứng biên, áp dụng phương cách sau đây: 1- Đệm thêm giá trị không vào phần đầu cuối tín hiệu (hình 1.9a) f(x) Tín hiệu cho không Tín hiệu cho không x Bắt đầu đoạn tín hiệu Kết thúc đoạn tín hiệu Hình 1.9a: Đệm thêm giá trị không 21 2- Đệm thêm giá trị với giá trị bắt đầu giá trị kết thúc tín hiệu (hình 1.9b) f(x) Tín hiệu cho giá trị cuối Tín hiệu cho giá trị đầu x Bắt đầu tín hiệu Kết thúc tín hiệu Hình 1.9b: Đệm thêm giá trị với giá trị đầu giá trị cuối 3- Đệm thêm giá trị suy giảm nhanh không vị trí bắt đầu vị trí kết thúc tín hiệu (hình 1.9c) f(x) Tín hiệu cho giảm dần đến không Tín chocho giảm dần đến Tínhiệu hiệu giảm dầnkhông đế x Bắt đầu tín hiệu Kết thúc tín hiệu Hình 1.9c: Đệm thêm giá trị giảm nhanh không đầu cuối tín hiệu 4- Lặp lại chuỗi tín hiệu vị trí bắt đầu kết thúc tín hiệu (hình 1.9d) f(x) Lặp lại tín hiệu Lặp lại tín hiệu Hình 1.9d: Lặp lại tín hiệu đoạn đầu đoạn cuối 22 5- Lặp lại chuỗi tín hiệu hai vị trí bắt đầu kết thúc tín hiệu theo phương pháp ghép đối xứng (hình 1.9e) f(x) Lặp lại tín hiệu đối xứng Lặp lại tín hiệu đối xứng x Bắt đầu tín hiệu Kết thúc tín hiệu Hình 1.9e: Lập lại chuỗi tín hiệu đối xứng hai vị trí đầu cuối 6- Chập hàm cửa sổ (window function) với tín hiệu để giảm tác động hai đầu biên (hình 1.9f) f(x) Cửa sổ làm trơn Cho tín hiệu không Tín hiệu gốc Tín hiệu bổ sung Cho tín hiệu không x Bắt đầu tín hiệu Kết thúc tín hiệu Hình 1.9f: Chập chuỗi tín hiệu với hàm cửa sổ 7- Ngoại suy tín hiệu đa thức để lọc tác động hai biên (hình 1.9g) f(x) Tín hiệu ngoại suy Tín hiệu ngoại suy x Bắt đầu tín hiệu Kết thúc tín hiệu Hình 1.9g: Ngoại suy tín hiệu đa thức 23 1.3- PHÉP BIẾN ĐỔI WAVELET RỜI RẠC 1.3.1- Giới thiệu Cơ sở phép biến đổi wavelet rời rạc (DWT, Discrete Wavelet Transform) có từ năm 1976 Croiser, Esteban Galand đưa kỹ thuật biến đổi tín hiệu thời gian rời rạc; đến cuối năm 1976, Crochiere, Weber Flanagan [25] dùng phép biến đổi wavelet rời rạc để mã hóa tiếng nói, kỹ thuật tương tự kỹ thuật Croiser có tên mã hoá băng (subband coding) Năm 1983, Burt, P J Adelson, E.H., [21] phát triển phương pháp mã hoá băng đặt tên mã hóa hình tháp (pyramidal coding) Năm 1989, Mallat, S., [49] đưa kỹ thuật phân tích đa phân giải (multiresolution analysis) sở mã hóa hình tháp đề xuất họ hàm wavelet trực giao để áp dụng xử lý tín hiệu số Trong phân tích tài liệu từ (và trọng lực), phép biến đổi wavelet rời rạc sử dụng việc lọc nhiễu tài liệu từ hàng không (Ridsdill – Smith, T.A Dentith, M.C., (1999) [64]) tách trường khu vực trường địa phương từ trường quan sát (Fedi, M., Quarta, T., (1998), [30], Ucan, O.N., nnk., (2000) [75]) Ở Việt Nam, Đặng Văn Liệt nnk., (2002) [5], (2005) [1] sử dụng phép biến đổi wavelet rời rạc để lọc nhiễu tách trường khu vực trường địa phương Ngoài ra, có nhiều nhóm nghiên cứu khác sử dụng phép biến đổi wavelet rời rạc lĩnh vực khác viễn thông, điện tử, y học… Do không sử dụng phép biến đổi wavelet rời rạc luận án nên phần tiếp theo, giới thiệu tóm lược phép biến đổi wavelet rời rạc, đặc biệt kỹ thuật đa phân giải, kỹ thuật thường sử dụng việc phân tích tài liệu từ để lọc nhiễu tách trường 1.3.2- Phép biến đổi wavelet rời rạc phân tích đa phân giải Ý tưởng phân tích đa phân giải sử dụng kỹ thuật lọc số trình phân tích Trong đó, tín hiệu phân tích thành hai thành phần: thành phần xấp xỉ A (Approximation) ‘tương ứng với thành phần tần số thấp’ thành phần chi tiết D (Detail) ‘tương ứng với thành phần tần số cao’, thông qua hai lọc thông thấp thông cao mô tả hình 1.10 Trong đó, lọc thông 24 cao sử dụng hàm wavelet ψ(x) lọc thông thấp sử dụng hàm tỉ lệ (scaling function) Φ(x) Mối quan hệ hàm tỉ lệ hàm wavelet đươc cho bởi: N −1 Φ ( x ) = ∑ c K Φ ( 2x − k ) (1.25) k =0 ψ(x) = N −1 ∑ ( − 1) k =0 K c K Φ ( x + k − N + 1) (1.26) Các phép lọc tiến hành với nhiều tầng (level) khác để khối lượng tính toán không tăng, qua lọc, tín hiệu lấy mẫu xuống Ứng với tầng, tín hiệu có độ phân giải khác Do đó, phép biến đổi wavelet rời rạc gọi phân tích đa phân giải (MRA, multiresolution analysis) Phép lấy mẫu xuống Biến đổi wavelet rời rạc tầng Biến đổi wavelet rời rạc tầng hai Hình 1.10: Phân tích đa phân giải sử dụng biến đổi wavelet rời rạc Tại tầng lọc, biểu thức phép lọc cho công thức: 25 y high (n ) = ∑ S(n ).g(2k − n ) (1.27) y low (n ) = ∑ S(n ).h (2k − n ) (1.28) n n Trong đó, S(n) tín hiệu, h(n) đáp ứng xung lọc thông thấp tương ứng với hàm tỉ lệ Φ(n) g(n) đáp ứng xung lọc thông cao tương ứng với hàm wavelet ψ(n) Hai lọc liên hệ theo hệ thức: h ( N − − n ) = (−1) n g(n ) (1.29) đó, N số mẫu tín hiệu Tín hiệu S(n) tái tạo theo bước ngược lại gọi phép biến đổi wavelet rời rạc nghịch (IDWT, inverse discrete wavelet transform) cho bởi: S( n ) = ∑ (y high ( k ).g ( k − n ) ) + (y low ( k ).h ( k − n ) (1.30) k đó, y high (k ) y low ( k ) tín hiệu ngõ sau qua lọc thông cao lọc thông thấp đề cập Để đảm bảo cho việc phục hồi tín hiệu xác ban đầu, qua tầng lọc tái tạo, tín hiệu tiến hành lấy mẫu lên Lưu ý hàm wavelet tồn hàm tỉ lệ tương ứng xác định từ biểu thức (1.25) (1.26); nên thực phép biến đổi wavelet rời rạc, phải chọn lựa hàm wavelet có hàm tỉ lệ tương ứng hệ hàm wavelet Daubechies trực chuẩn – họ hàm có hàm tỉ lệ tương ứng 1.3.3- Phép biến đổi wavelet rời rạc hai chiều Để xử lý liệu hai chiều, cần sử dụng phép biến đổi wavelet hai chiều (Ucan, O.N., (2000) [75]) Trong phép biến đổi wavelet rời rạc hai chiều (2D), tín hiệu hai chiều S(x, y) tách thành nhiều tín hiệu chiều lấy biến đổi wavelet 1-D chúng Kết tổng hợp biến đổi wavelet 2-D tín hiệu Hình 1.11 mô tả trình thực biến đổi wavelet rời rạc hai chiều Gọi x y hai trục tọa độ tín hiệu 2-D, H phép lọc thông thấp, G phép lọc 26 thông cao (tương tự trường hợp 1-D), phép biến đổi wavelet 2-D tính cụ thể sau: Φ (1) ( x , y) = Φ ( x ).Φ ( y) : HH (1.31) ψ ( ) ( x , y) = Φ ( x ).ψ ( y) : HG (1.32) ψ ( 3) ( x , y) = ψ ( x ).Φ ( y) : GH (1.33) ψ ( ) ( x , y) = ψ ( x ).ψ ( y) : GG (1.34) G G ↓2 Tái tạo 2-D Tín hiệu 2-D Tín hiệu hàng 1-D H ↓2 Tái tạo 2-D G G ↓2 H ↓2 G G ↓2 H ↓2 s1 s2 s3 s4 Hình 1.11: Phép biến đổi wavelet rời rạc 2-D 1.3.4- Tách trường lọc nhiễu Biểu thức (1.27) biểu thức (1.28) cho thấy, với tín hiệu 1-D, phép biến đổi wavelet rời rạc thích hợp cho việc tách trường khu vực trường địa phương Thành phần xấp xỉ ứng với trường khu vực thành phần chi tiết ứng với trường địa phương Việc chọn tầng lọc tương ứng với việc chọn trường khu vực nông hay sâu Ngoài ra, phép biến đổi wavelet rời rạc áp dụng rộng rãi việc lọc nhiễu cho liệu đo từ hàng không Như trình bày trên, phép biến đổi wavelet rời rạc khai triển liệu gốc thành hai nhóm hệ số: hệ số xấp xỉ hệ số chi tiết tầng nhiễu nằm hệ số chi tiết tầng Giả sử thực phép biến đổi wavelet rời rạc đến tầng thứ k giả sử hệ 27 số xấp xỉ tầng thứ k loại nhiễu hoàn toàn Tuy nhiên, nhiễu bị loại có thành phần tần số cao ứng với cấu trúc địa phương có ích Do lấy hệ số xấp xỉ thứ k đem phục hồi (sử dụng IDWT) nhận liệu lọc nhiễu “thô” không thành phần tần số cao có ích Vậy phải chọn giữ lại thành phần tần số cao có ích nằm tất hệ số chi tiết từ tầng đến tầng thứ k; trình tạo nên hệ số chi tiết cải tiến sử dụng với hệ số xấp xỉ thứ k để phục hồi liệu Như vậy, liệu phục hồi thành phần tần số cao có ích Trong việc lọc nhiễu phép biến đổi wavelet rời rạc, người ta thường sử dụng phương pháp đặt ngưỡng (threshold) (Donoho, D.L nnk., (1994) [29]) Ứng với tầng miền biến đổi, chọn ngưỡng cắt (cutoff threshod) thích hợp, hệ số chi tiết nhỏ hay giá trị ngưỡng, giá trị nầy cho không có giá trị lớn giá trị ngưỡng giữ lại để có hệ số chi tiết cải tiến cho tầng Sau đặt ngưỡng hết cho tất tầng, dùng hệ số cải tiến nầy để phục hồi lại tín hiệu, lúc có tín hiệu loại nhiễu Tuy nhiên, điều quan trọng phải chọn ngưỡng cắt thích hợp cho tầng để lọc bỏ nhiễu mà không làm thông tin có ích tín hiệu 1.4- KẾT LUẬN Hơn hai mươi năm qua, phép biến đổi wavelet áp dụng phát triển mạnh mẽ góp phần quan trọng việc phân tích tài liệu nhiều lĩnh vực khác có việc phân tích tài liệu từ (và trọng lực) Trong chương này, trình bày tổng quát lý thuyết phép biến đổi wavelet liên tục việc tính toán để hạn chế tác động hiệu ứng biên Ngoài ra, trình bày tóm lược phép biến đổi wavelet rời rạc ứng dụng để tách trường lọc nhiễu phân tích tài liệu từ trọng lực