TIỀU LUẬN PHÉP BIẾN ĐỔI WAVELET pdf

Trong phần nghiên cứu này, ta giả thuyết tínhiệu miền thời gian là tín hiệu thô, còn tín hiệu đã được biến đổi qua các công cụ toánhọc là tín hiệu được xử lý.. Hầu hết các tín hiệu mà ch

HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG

KHOA QUỐC TẾ VÀ ĐÀO TẠO SAU ĐẠI HỌC

  

Báo cáo chuyên đề môn học

XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ NÂNG CAO

Nội dung báo cáo

PHÉP BIẾN ĐỔI WAVELET

GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN: TS Nguyễn Ngọc Minh.

Nguyễn Kim Dung, Nguyễn Hữu Trường,

Hà Thị Lan Anh.

LỚP: CH10 ĐT3

Hà nội, tháng 05- 2011

PHẦN 1

CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ TỔNG QUAN VỀ LÝ THUYẾT WAVELET

Mặc dù khái niệm Wavelet đã ra đời cách đây 10 năm, nhưng có rất ít bài báo hay cuốnsách nào viết về nó, và chủ yếu chỉ là các nhà toán học viết ra, với rất ít sự tham khảohay trợ giúp, vì nó là hoàn toàn mới

Trước hết chúng ta cần biết tại sao phải biến đổi và biến đổi thực chất là gì? Trong toánhọc, phép biến đổi lên một tín hiệu là để có được các thông tin khác, mà tín hiệu banđầu (hay còn gọi là tín hiệu thô) không có Trong phần nghiên cứu này, ta giả thuyết tínhiệu miền thời gian là tín hiệu thô, còn tín hiệu đã được biến đổi qua các công cụ toánhọc là tín hiệu được xử lý Có rất nhiều phép biến đổi được áp dụng, song phép biến đổiFourier là phép biến đổi được ứng dụng rộng rãi nhất

Hầu hết các tín hiệu mà chúng ta đo được đều là tín hiệu trong miền thời gian,và khichúng ta biểu diễn lên đồ thị, thì luôn có một trục là thời gian, còn trục kia là độ lớn.Tuynhiên trong xử lý tín hiệu thì cách biểu diễn đó không phải là tối ưu Và trong nhiềutrường hợp, thì thành phần tần số lại là quan trọng để phân biệt các tín hiệu với nhau,người ta dùng phổ tần số để biểu diễn các thành phần tần số có trong tín hiệu

Ta hãy xem xét hình vẽ dưới đây biểu diễn 3 tín hiệu tương ứng 3 tần số khác nhau

Vậy làm thế nào để đo được tần số và làm thế nào để tìm ra các thành phần tần số trongtín hiệu? Câu trả lời chính là phép biến đổi Fourier Phép biến đổi FOURIER cho ta biết

độ lớn tín hiệu trong mỗi thành phần tần số

Xác định thành phần tần số có ý nghĩa quan trọng trong kỹ thuật, ví dụ trong y học, dựavào thành phần tần số đo được trong nhịp tim, mà ta biết được người đó có khỏe haykhông?

Tuy nhiên có rất nhiều phép biến đổi được áp dụng trong kỹ thuật và toán học, như biếnđổi Hilbert, biến đổi Fourier thời gian ngắn, phân bố Wigner , biến đổi Radon, … Mọiphép biến đổi đều có những vùng ứng dụng riêng với những ưu nhược điểm khác nhau.Phép biến đổi Wavelet mà ta đang nghiên cứu cũng không là ngoại lệ

Để biết sự cần thiết của phép biến đổi Wavelet, chúng ta hãy xem qua phép biến đổiFourier FT là phép biến đổi 2 chiều giữa tín hiệu thô và tín hiệu xử lý Ta sẽ không thểbiết được thời gian trong tín hiệu xử lí, và cũng không thể biết được tần số trong miềntín hiệu thô Vậy một câu hỏi đặt ra là ta có cần biết đến cả tần số và cả thời gian cùngmột lúc không? Nếu đối với các quá trình dừng thì việc này là không cần thiết, vì ở quá

trình dừng, thành phần tần số là không thay đổi theo thời gian Ta hãy xem ví dụ dướiđây:

Đây là biến đổi Fourier của nó:

Khác với tín hiệu ở hình 1.5, ta xét tín hiệu khác không dừng được minh họa dưới đây:

Lại xét tiếp một ví dụ khác có 4 thành phần tần số ở 4 khoảng thời gian khác nhau, do

đó đây cũng không phải là tín hiệu dừng

Và biến đổi FT của nó có dạng:

Ở đây có những đoạn gợn sóng là do sự thay đổi tần số đột ngột Ta thấy tín hiệu ởthành phần phổ cao thì có biên độ lớn, còn thành phần phổ thấp thì có biên độ nhỏ

So sánh qua hình ta thấy rằng cả hai tín hiệu khác nhau ở miền thời gian lại tương tựnhau ở miền tần số Do đó, FT không phù hợp đối với các tín hiệu không dừng

Biến đổi Wavelet khắc phục nhược điểm này, nó cho ta mối liên hệ giữa miền tần số vàmiền thời gian đồng thời

Giả sử ta cho tín hiệu qua một hệ thống các bộ lọc thông cao và bộ lọc thông thấp như

mô tả ở sơ đồ H1.1 dưới đây:

Giả sử ta có tín hiệu có tần số lên tới 1000Hz, sau khi đi qua hệ thống như sơ đồ trên, ta

sẽ thu được 4 vùng tần số là 0-125 Hz, 125-250 Hz, 250-500 Hz, và 500-1000 Hz Nhưvậy, ta thu được một tập các tín hiệu con có băng tần khác nhau từ một tín hiệu ban đầu.Nếu ta biểu diễn chúng trên đồ thị 3D thì sẽ có thêm một trục thời gian cho từng tín hiệucon Chú ý rằng ta sẽ không biết được thời gian tức thời, nhưng ta biết được khoảng thờigian của từng tín hiệu con đó

Biến đổi Wavelet đưa ra giải pháp linh hoạt như sau: thành phần tín hiệu tần số cao sẽphân giải tốt hơn trong miền thời gian, còn thành phần tín hiệu tần số thấp, sẽ phân giảitốt hơn ở miền tần số

Chúng ta hãy xét sơ đồ lưới dưới đây:

f ^

|******************************************* continuous

|* * * * * * * * * * * * * * * wavelet transform |* * * * * * *

phân giải tốt hơn ở miền thời gian Còn ở dưới đáy trục tần số, ta có rất ít điểm tín hiệu,

do đó sẽ khó phân giải tốt trong miền thời gian

Dưới đây là ví dụ về biến đổi Wavelet liên tục của tín hiệu hình sin có 2 thành phần tần

số ở hai thời điểm khác nhau:

Biến đổi Wavelet liên tục của tín hiệu trên có dạng như sau:

Chú ý là trục tần số được biểu diễn bởi nhãn scale Định nghĩa scale sẽ được nói rõ hơn

ở phần sau, và trong trường hợp này thì scale là nghịch đảo của tần số Mức scale caotương ứng tần số thấp, mức scale thấp tương ứng tần số cao

PHẦN 2

Trước hết ta hãy nói tới các hàm cơ bản trong chuyển đổi tín hiệu

Trong biến đổi Fourier, chuỗi Fourier lượng giác là một công cụ cực mạnh được sửdụng trong cả hai trường hợp rời rạc và liên tục nhưng cũng có nhược điểm đáng kể, đó

( )

ikt k

và chuỗi Fourier tương ứng

làm mất hoàn toàn tính chất địa phương chỉ tập trung giá trị tại x= 0 của hàm Dirac

Vì vậy cần xây dựng một hệ các hàm trực giao có đủ các tính chất tốt như hệ cáchàm lượng giác Fourier, đồng thời chuyển tải được tính chất địa phương hóa của các tínhiệu Hệ các hàm cần tìm là các hàm wavelet

Giống như các hàm lượng giác, các hàm Wavelet có bản sao rời rạc nhận đượcbằng cách lấy mẫu Phép biến đổi wavelet rời rạc có thể tính toán một cách nhanhchóng, do dó rất thuận lợi khi xử lý các tín hiệu phức tạp và các dữ liệu ảnh nhiều chiều.Chúng ta bắt đầu với 4 hàm wavelet cơ bản được Alphré Haar (nhà toán họcHungary) giới thiệu năm 1910

Hàm Haar wavelet thứ nhất gọi là hàm scaling (scaling function), xác định như sau

Hình 2.1: Bốn hàm Haar wavelet

Hàm Haar wavelet thứ ba và hàm Haar wavelet thứ tư là dạng nén của hàm wavelet

mẹ, được gọi là các hàm wavelet con (daughter wavelet), xác định như sau

Từ các hàm cơ bản, ta đi tới phép biến đổi Wavelet, được định nghĩa như sau:

Đây là hàm số của 2 biến: s và τ, trong đó,

x(t) là tín hiệu cần phân tích

s là viết tắt của scale, tạm dịch là biến phân bậc hay biến tỉ lệ Để dễ hiểu ý nghĩa của

biến này, ta có thể so sánh với bản đồ, nếu tỉ lệ càng lớn thì sẽ cho ta cái nhìn tổng quan,nhưng không chi tiết, còn nếu tỉ lệ nhỏ sẽ tương ứng với cái nhìn chi tiết Biến s trongtoán học đặc trưng cho độ nén và giãn s càng lớn, tức là giãn tín hiệu, s nhỏ tức là néntín hiệu Tuy nhiên trong công thức biến đổi Wavelet, s nằm dưới phần mẫu số, vì thếnếu s<1 tức là giãn tín hiệu, s>1 tương ứng nén tín hiệu Tần số f là nghịch đảo của s,mức tần số thấp tương ứng với toàn bộ tín hiệu, còn mức tần số cao tương ứng một phầncủa tín hiệu trong một thời gian ngắn

τ (translation) là định vị của cửa sổ khi cửa sổ dịch chuyển suốt tín hiệu, nó mang ýnghĩa thông tin về thời gian trong không gian chuyển đổi

ψ(t) là hàm chuyển đổi, được gọi là Wavelet mẹ, hàm này được coi là hàm cửa sổnguyên bản của mọi cửa sổ khác trong xử lý Các cửa sổ khác có thể là nén, giãn hoặcdịch pha của wavelet mẹ Ngoài ra có thể dùng các hàm khác như hàm wavelet Morlet,hàm mũ Mexican

Giá trị 1/sqrt(s) là để đảm bảo tín hiệu sau khi biến đổi có cùng năng lượng với tín hiệu

ban đầu

Thông thường, các tín hiệu đều có băng tần giới hạn, nên chỉ cần tính toán CWT trongmột dải xác định

Ta hãy xem ví dụ về tín hiệu cosin trong từng tỉ lệ s khác nhau dưới đây, tất cả tín hiệu

ở hình trên đều bắt nguồn từ một tín hiệu cosin, s=0,05 là tỉ lệ nhỏ nhất, và s=1 là tỉ lệlớn nhất:

Hầu hết các ứng dụng thực tế đều có tính chất trên tức là thành phần tần số cao khôngkéo dài trong suốt dải tín hiệu, và tần số thấp thường kéo dài đến hết tín hiệu

Quá trình tính toán có thể minh họa qua hình vẽ như sau:

Từ các giá trị thời gian τ và s ta sẽ có các điểm đồ thị trên mặt phẳng thời gian-tỉ lệ.Dưới đây ta sẽ xem xét một ví dụ cụ thể: tính CWT của một tín hiệu không dừng gồm 3thành phần tần số: 5Hz, 10Hz, 20Hz và 30Hz.

Biến đổi CWT của tín hiệu trên có dạng:

Lưu ý là trục translation tương ứng với thời gian

Ngoài ra, còn có wavelet mẹ khác được sử dụng trong phân tích wavelet mũ Mexican,được định nghĩa từ hàm Gaussian:

đó là

Và Wavelet Morlet được định nghĩa như sau:

trong đó, a là tham số điều chế, còn σ là biến tỉ lệ, ảnh hưởng đến độ rộng cửa sổ

Để khôi phục lại tín hiệu ban đầu, ta có công thức biến đổi ngược của CWT:

Trong đó C là hằng số, phụ thuộc vào wavelet nào được sử dụng

Phép biến đổi CWT ngược tồn tại khi thỏa mãn điều kiện:

Trong đó, là biến đổi Fourier của ψ.

Biến đổi CWT có một điểm lớn đó là độ phân giải linh hoạt mà ta sẽ trình bày dưới đây

Phân giải miền thời gian-tần số.

Đây là ưu điểm để chúng ta sử dụng biến đổi Wavelet chứ không phải là biến đổi STFT.Hình 2.2 dưới đây minh họa vấn đề này Tất cả khối hộp đều tương ứng với giá trị biếnđổi Wavelet trong miền thời gian-tần số Ta không biết chính xác mỗi điểm cụ thể,nhưng ta biết nó thuộc khối hộp nào Các hộp này có diện tích bằng nhau, song chiềudài và chiều rộng khác nhau Ở trong vùng tần số thấp, chiều cao của khối hộp cũngthấp, do đó mà tín hiệu sẽ được phân giải tốt hơn ở miền tần số Còn ở vùng tần số cao,thì chiều rộng của khối hộp nhỏ hơn, tức là miền thời gian được chia thành nhiềukhoảng nhỏ hơn ở miền tần số, do đó mà tín hiệu được phân giải tốt hơn ở miền thờigian

Hình 2.2

Sau đây ta sẽ đưa ra một ví dụ cụ thể để thấy được tính ứng dụng của CWT trong thực

tế Hình vẽ dưới đây là điện não đồ của một người bình thường và một người mắc bệnhAlzheimer (tâm thần)

Những tín hiệu này có thể nói rất khó phân tích và đánh giá sự khác biệt, tuy nhiên khi

ta cho qua phép biến đổi CWT thì sự phân tích trở nên dễ dàng hơn nhiều Dưới đây là

đồ thị của tín hiệu sau khi qua CWT

Và đây là từ một góc nhìn khác rõ hơn:

Còn của người bệnh thì tín hiệu chuyển đổi có dạng sau:

Hay từ một góc nhìn khác:

PHẦN 3 PHÉP BIẾN ĐỔI WAVELET RỜI RẠC

DWT lấy mẫu tại các thời điểm s0 = 2, τ 0 = 1, hay s=2j và τ =k*2j , tín hiệu lúc này sẽ làmột chuỗi x[n], trong đó, n là số tự nhiên Chuỗi này được đưa qua bộ lọc thông thấp(bằng nửa băng tần của tín hiệu) có đáp ứng xung là h[n] và bộ lọc thông cao có đápứng xung là g[n], khi đó tại đầu ra của bộ lọc thông thấp, tín hiệu thu được là kết quảtích chập của x[n] và h[n] như sau:

Chú ý là tần số f đã được chuẩn hóa và không lấy đơn vị là Hz, có nghĩa thành phần tần

số lớn nhất của tín hiệu là π rad, tương ứng tần số lấy mẫu là 2π rad (theo định lýNyquist) Sau khi qua bộ lọc thông thấp, tín hiệu thu được có tần số lớn nhất là π/2 rad.Lúc này, số điểm lấy mẫu sẽ giảm đi một nửa, tín hiệu được giãn gấp 2 lần, ta gọi đó làsubsample Quá trình subsample sau khi lọc không làm ảnh hưởng đến tổng hợp lại tínhiệu ban đầu Toàn bộ quá trình trên được lặp lại, và tín hiệu thu được ở đầu ra là y[n]được tính như sau:

Mô tả đầu ra của bộ lọc thông thấp và thông cao được viết như sau:

Việc ta giảm nửa số lượng mẫu tín hiệu, cũng tương ứng ta chia nhỏ miền tần số Ở mỗimức, việc lọc và subsample làm giảm đi số lượng mẫu tín hiệu (tức là làm cho việcphân giải miền thời gian không tốt), song làm phân giải trong miền tần số tốt hơn

Hình 3.1 mô tả quá trình trên, băng tần của tín hiệu tại các mức được ký hiệu là f

Giả sử tín hiệu ban đầu có 512 mẫu, với tần số từ 0 đến π rad Tại mức đầu tiên, tín hiệuqua bộ lọc thông cao, do đó, số điểm lấy mẫu chỉ còn lại 256 điểm ứng với băng tầngiảm còn một nửa từ π/2 đến π rad 256 điểm mẫu còn lại đưa tới tiếp bộ lọc thông cao

và thông thấp, do đó số điểm mẫu của tín hiệu còn lại là 128, ứng với băng tần từ π/4đến π/2 rad Quá trình cứ tiếp tục đến khi nào chỉ còn lại 2 mẫu tín hiệu

Như vậy ta đã giảm đi một lượng tính toán đáng kể Tuy nhiên, điều quan trọng cần lưu

ý trong DWT là mối quan hệ giữa đáp ứng xung của bộ lọc thông thấp và thông cao.Chúng có mối quan hệ như sau:

Trong đó, L là chiều dài của bộ lọc (số điểm tín hiệu)

Các bộ lọc thỏa mãn điều kiện trên được dùng phổ biến trong xử lý tín hiệu, và được gọi

là các bộ lọc đối xứng vuông góc (Quadrature Mirror Filters) Hoạt động lọc vàsubsample được mô tả toán học lại như sau:

Hình 3.1

Việc tổng hợp lại tín hiệu ban đầu rất đơn giản vì các bộ lọc nửa băng tần đều có tínhtrực giao, quá trình tổng hợp tương tự như trên nhưng theo thứ tự ngược lại Khi đó,công thức tổng hợp tín hiệu tại mỗi mức được mô tả như sau:

Phép biến đổi Wavelet được ứng dụng rất nhiều trong xử lí hình ảnh, bởi hình ảnh có độphân giải rất cao, và rất tốn không gian bộ nhớ Kết hợp với mã hóa, Wavelet đạt đượchiệu quả cao trong nén dữ liệu, ví dụ như JPEG 2000

Biến đổi Wavelet bắt đầu được áp dụng trong truyền thông tin mà Wavelet OFDM làmột công nghệ mạnh được hãng Panasonic áp dụng trong HD-PLC Wavelet OFDM đãđược IEEE 1901 coi là một chuẩn