Tiểu luận: phép biến hình pptx

Tr ờng CĐSP Hà Tây Tiểu luận phép biến hình Lun vn tt nghip ti: Phộp bin hỡnh Mục lục Tên Mục Trang Chơng I : Cơ sở lý luận 2 Mở đầu phép biến hình 2 Các phép biến hìnha 3 Nhìn chung phép dời hình 3 Phép biến hình đồng nhất 3 Phép tịnh tiến 3 Nhóm 3 - Lớp Toán 30 B - 1 - Tr ờng CĐSP Hà Tây Tiểu luận phép biến hình Phép đối xứng qua tâm 5 Phép đối xứng trục 10 Phép quay 13 Các phép biến hình đồng dạng 14 Phép đồng dạng 14 Phép vị tự 17 Kết hợp các phép biến đổi 19 Sơ đồ mối liên hệ giữa các phép biến hình 21 Chơng II : Thực hành - Vận dụng 22 Phép tịnh tiến 22 Phép đối xứng qua tâm 24 Phép đối xứng trục 27 Phép quay 29 Phép vị tự 32 Phép đồng dạng 33 Một số câu hỏi trắc nghiệm 34 Tài liệu tham khảo. - Sách giáo khoa hình học nâng cao + cơ bản lớp 11. - Sách bài tập hình học nâng cao + cơ bản lớp 11. - Phơng pháp giải toán hình học 11. - Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi Toán THPT - Phép biến hình trong mặt phẳng của Đỗ Thanh Sơn. - Sách giáo trình môn Hình học cao cấp hệ đào tạo GVTHCS của Văn Nh Cơng (chủ biên). - Một số tài liệu su tầm trên Internet. Chơng I : cơ sở lý luận A.Mở đầu về phép biến hình . I. Phép biến hình. 1.1. Định nghĩa . Trong đại số ta biết một khái niệm quan trọng : khái niệm Hàm số đợc phát biểu : Nếu có một quy tắc để với mỗi số x R thì quy tắc đó gọi là một hàm số xác định trên tập số thực R. Nếu trong mệnh đề trên tathay số thực bằng điểm thuộc mặt phẳng thì ta đợc khái niệm về phép biến hình trong mặt phẳng . Cụ thể là : Nếu có một quy tắc để với mỗi điểm M thuộc mặt phẳng, xác định đợc một điểm duy nhất M thuộc mặt phẳng ấy thì quy tắc đó gọi là một phép biến hình ( trong mặt phẳng). Vậy ta có thể suy ra định nghĩa phép biến hình : Định nghĩa : Phép biến hình (trong mặt phẳng ) là một quy tắc để với mỗi điểm M thuộc mặt phẳng, xác định một điểm duy nhất M thuộc mặt phẳng ấy. Điểm M gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình đó. 1.2 Các ví dụ. Nhóm 3 - Lớp Toán 30 B - 2 - Tr ờng CĐSP Hà Tây Tiểu luận phép biến hình Ví dụ 1 : Cho đờng thẳng d. Với mỗi điểm M, ta xác định M là hình chiếu (vuông góc) của M trên d (hình 1) thì ta đợc một phép biến hình. Phép biến hình gọi là phép chiếu (vuông góc) lên đờng thẳng d Hinh 1 M M' Ví dụ 2 : Cho véc tơ u , với mỗi điểm M ta xác định điểm M theo quy tắc = (hình 2) M u M Nh vậy, ta cũng có một phép biến hình. Phép biến hình đó gọi là phép tịnh tiến theo véctơ u . Ví dụ 3 : Với mỗi điểm M, ta xác định điểm M trùng với M thì ta cũng đợc một phép biến hình. Phép biến hình đó gọi là phép đồng nhất. 1.3 Kí hiệu và thuật ngữ. Nếu ta kí hiệu một phép biến hình nào đó là F và điểm M là ảnh của điểm M qua phép biến hình F thì ta viết M = F(M), hoặc F(M) =M. Khi đó, ta còn nói phép biến hình F biến điểm M thành điểm M. Với mỗi hình H, ta gọi hình H gồm các điểm M = F(M), trong đó M H, là ảnh của H qua phép biến hình F, và biết H = F(M). B.Các phép biến hình . I. Phép dời hình 1.1 Định nghĩa : Phép dời hình là phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kì. 1.2 Định lý - tính chất. a. Định lý : Phép dời hình biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó, biến đờng thẳng thành đờng thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đờng tròn thành đờng tròn có cùng bán kính, biến góc thành góc bằng nó. b. Tính chất: Nếu phép dời hình f có ba điểm bất động không thẳng hàng, thì f là một phép đồng nhất. Chứng minh : Ta kí hiệu 1.3 Nhóm các phép biến hình dời hình. 1.3.1 Phép đồng nhất. 1.3.1.1 Định nghĩa. Nhóm 3 - Lớp Toán 30 B - 3 - Tr ờng CĐSP Hà Tây Tiểu luận phép biến hình Phép đồng nhất là một phép biến hình đặc biệt, nó biến mọi điểm M thành chính điểm M. Phép đồng nhất thờng đợc kí hiệu là Id với mọi điểm M thuộc mặt phẳng P, Id(M) = M. F : P P M M Thì f = Id 1.3.2 Phép tịnh tiến. 1.3.2.1 Định nghĩa . Phép tịnh tiến theo vectơ là một phép biến hình biến điểm M thành điểm M sao cho = Phép tịnh tiến theo vectơ u thờng đợc kí hiệu là T hoặc T u . Vectơ đợc gọi là vectơ tịnh tiến. Phép tịnh tiến đợc xác định khi biết vec tơ tịnh tiến. T u : M M = Chú ý khi = thì phép tịnh tiến thành phép đồng nhất. 1.3.2.2 Định lý, tính chất. a. Định lý 1 : Nếu phép tinh tiến biến hai điểm M và N lần lợt thành hai điểm M và N thì MN = MN. Chứng minh : Giả sử phép tịnh tiến theo u biến 2 điểm M, N lần lợt thành hai điểm M, N ta có: T u (M) = M T u (N) = N Vì = , = nên = MNNM là hình bình hành MN = MN Ngời ta diễn tả tính chất trên của phép tịnh tiến là : Phép tịnh tiến không làm thay dổi khoảng cách giữa hai điểm bất kì. b. Định lý 2 : Phép tịnh tiến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó. Chứng minh : Giả sử phép tịnh tiến ba điểm A, B, C thành ba điểm A, B, C . Theo định lý 1, ta có: AB = AB ; BC = BC và AC = AC. Nếu A, B, C thẳng hàng, B nằm giữa A và C thì : AB + BC = AC. Do đó ta cũng có : AB + BC = AC ; tức là A, B, C thẳng hàng, trong đó B nằm giữa A và C. Từ định lý trên ta có hệ quả sau đây. c. Hệ quả : Phép tịnh tiến biến đờng thẳng thành đờng thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thằng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đờng tròn thành đờng tròn thành đờng trong có cùng bán kính, biến góc thành góc bằng nó. d. Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho phép tịnh tiến theo vectơ u. y Biết tọa độ của (a,b ) Giả sử điểm M(x,y) biến thành điểm M (x,y) Khi đó ta có x = x + a y = y + b Công thức trên gọi là biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến theo vectơ (a ;b) . 1.3.3 Phép đối xứng qua tâm. Nhóm 3 - Lớp Toán 30 B - 4 - Tr ờng CĐSP Hà Tây Tiểu luận phép biến hình 1.3.3.1 Định nghĩa : Cho trớc đểm O. Phép biến đổi Z O biến O thành O và biến một điểm M khác O thành điểm M sao cho + = đợc gọi là phép đối xứng qua tâm. Điểm O đợc gọi là tâm của phép đối xứng hoặc là tâm đối xứng. Cho hình F. Tập hợp ảnh của mọi điểm thuộc F trong phép biến đổi Z O lập thành một hình F đợc gọi là ảnh của hình F trong phép đối xứng qua tâm O. Nếu F trùng với F, thì ta nói F là hình có tâm đối xứng. 1.3.3.2 Định lý - Tính chất : a. Tính chất 1 : Phép biến đổi Z O có một điểm bất động duy nhất. Chứng minh : Nếu O là một điểm bất động thứ 2 của Z O , nghĩa là : Z O : O O = - = O O. b. Tính chất 2 : Nếu A và B là ảnh của hai điểm A và B trong phép biến đổi Z O , thì = - . O B B' A A' Chứng minh : Theo định nghĩa ta có : = - và = - Suy ra : = - = - + = - ( - ) = - . => ĐPCM. c. Tính chất 3 : Phép biến đổi Z O là phép biến đổi 1 - 1. Chứng minh: Thật vậy, nếu điểm A là ảnh của các điểm A và B trong phép biến đổi Z O , thì ta có = - và = - suy ra = A B . Tính chất 3 cho ta thấy phép biến đổi Z O có phép biến đổi ngợc và phép biến đổi ngợc chính là Z O . d. Tính chất 4: Phép biến đổi Z O biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng. Chứng minh : Giả sử A, B, C là ảnh của các điểm A, B, C trong phép biến đổi Z. Theo tính chất 2 ta có = - , = - . Vì A, B, C thẳng hàng nên cùng phơng k sao cho = = cùng phơng . Điều đó chứng tỏ A, B, C thẳng hàng. e . hệ quả : Phép biến đổi Z O biến : i) Đờng thẳng d thành đờng thẳng d và d// d hoặc d d. ii) Tia Sx thành tia Sx ngợc chiều nhau. iii) Đoạn EF thành đoạn EF và EF = EF. iv) Góc thành góc và và = . v) Đờng tròn ( I , R) thành đờng tròn (I, R). Chứng minh ; ii) Lấy trên d hai điểm A và B phân biệt. Gọi A và B là ảnh của A và B trong phép biến đổi Z O . Nhóm 3 - Lớp Toán 30 B - 5 - Tr ờng CĐSP Hà Tây Tiểu luận phép biến hình d d' A A' B' B C C' Nếu C là điểm bất kì thuộc d và C là ảnh của C trong phép biến đổi Z O , thì A, B , C thẳng hàng. Điều đó chứng tỏ C thuộc đờng thẳng AB hay thuộc d. Đảo lại, nếu C thuộc đờng thẳng AB, thì ta chọn điểm C là ảnh của C trong phép biến đổi Z O . Vì A,B là ảnh của A , B trong phép biến đổi đó, nên C thuộc đờng thẳng AB hay C thuộc d. Nh vậy, tồn tại điểm C trên d sao cho C là ảnh của C. Nếu A không thuộc d, thì d//d. Nếu A thuộc d, thì d d. ii) S S' A' A B B' Lấy trên tia Sx điểm A và ta xác định . Phép biến đổi Z O biến S S , A A và = - . Nếu B là điểm bất kì thuộc Sx, tì tồn tại số m > 0 sao cho = . Gọi B là ảnh của B, khi đó = - = - = Điều đó chứng tỏ B, A cùng phía với S. Điểm B thuộc tia SA. Đảo lại, nếu B thuộc tia SA, thì phép đối xứng Z O biến S S , A A. B B. Lập luận tơng tự ta suy ra B thuộc tia Sx. Nh vậy tồn tại trên tia Sx điểm B nhận B là ảnh. iii)Chứng minh tơng tự nh trờng hợp tia. iv) Lấy trên hai cạnh góc xSy các điểm A và B (khác S). gọi A, B , S là ảnh của A, B, S trong phép biến đổi Z O . x x' y O y' S S' B A A' B' Khi đó ta có = - , = - , = - . Vậy SAB = SAB suy ra = . Theo hệ quả trên là ảnh của SA và SB. Đó là điều cần chứng minh. v) Nhóm 3 - Lớp Toán 30 B - 6 - Tr ờng CĐSP Hà Tây Tiểu luận phép biến hình O R R' I I' M M' Nếu M là điểm bất kì thuộc (I ; R) và M là ảnh của M trong phép biến đổi Z O , thì = - = = R không đổi. Chứng tỏ M thuộc ( I ; R). Đảo lại nếu M là điểm thuộc (I;R) thì ảnh M và I thuộc M và I trong phép biến đổi Z O thỏa mãn điều kiện IM = IM = R. Điều đó chứng tỏ tồn tại điểm M thuộc (I;R) nhận M là ảnh. f. Tính chất 5: Tích của ba phép đối xứng tâm với ba tâm đối xứng phân biệt là một phép đối xứng tâm. Chứng minh: O 1 O O 2 A B C Gọi A, B, C là tâm đối xứng của các phép biến đổi Z A , Z B , Z C và đặt Z = Z A . Z B . Z C . Trớc hết ta cần chứng minh rằng Z có một điểm bất động duy nhất. Thật vậy, gọi O là điểm bất động của Z. Theo định nghĩa ta có. Z A : O O 1 và = - ; Z B : O 1 O 2 và = - ; Z C : O 2 O và = - ; Từ các kết quả trên ta suy ra = + . Hệ thức chứng tỏ O là điểm bất động duy nhất của Z. Ta cần chứng minh rằng Z là một phép đối xứng tâm O. Giả sử M là một điểm bất kì và M là ảnh của M trong phép biến đổi Z. Ta cần chỉ ra rằng OM = OM. Thật vậy, ta có . Z A : M M 1 , O O 1 và = - (1) Z B : M 1 M 2 , O 1 O 2 và = - (2) Z c : M 2 M, O 2 O và = - (3) Từ các kết quả (1),(2),(3) ta suy ra = - Tóm lại phép biến đổi Z là phép đối xứng tâm O, trong đó O đợc xác định bởi hệ thức (*) 1.3.3.3 Phép đối xứng qua tâm trong hệ tọa độ Đề - Các. y y M(x 0 ; y 0 ) M(x, y) M(x 0 ; y 0 ) x Nhóm 3 - Lớp Toán 30 B - 7 - Tr ờng CĐSP Hà Tây Tiểu luận phép biến hình O x M(x, y) Giả sử Z o là phép đối xứng tâm O. Ta chọn hệ toạn độ Oxy sao cho O là gốc tọa độ. Nh vậy, với điểm M(x 0 ; y 0 ) bất kì trong hệ tọa độ đó, ảnh của M của M trong phép biến đổi Z o có tọa độ là ( - x 0 ;- y 0 ). Nếu tâm đối xứng P là điểm khác gốc và có tọa độ là (a,b), thì với điểm M (x 0 ; y 0 ) tọa độ ảnh của điểm đó trong phép biến đổi Z o đợc xác định bởi hệ phơng trình sau : x = 2a - x 0 y = 2b - y 0 trong đó (x, y) là tọa độ ảnh. 1.3.3.4 Những hình ảnh thể hiện phép đối xứng tâm . a) Cỏc ch cỏi H, N, O, I l hỡnh cú tõm i xng. b) Cỏc hỡnh t giỏc cú trc i xng nh: hỡnh ch nht, hỡnh vuụng, hỡnh thoi, hỡnh bỡnh hnh, 1.3.3.5 Tâm đối xứng của một hình Định nghĩa : Điểm I đợc gọi là tâm đối xứng của hình H nếu qua phép đối xứng tâm I biến H thành chính nó. Khi đó ta gọi H là hình có tâm đối xứng. 1.3.4 Phép đối xứng trục 1.3.4.1 Định nghĩa : Cho đờng thẳng d. Phép biến hình biến mỗi điểm M không thuộc d thành chính nó, biến mỗi điểm M thuộc d thành M sao cho d là đờng trung trực của đoạn thẳng MM đợc gọi là phép đối xứng qua đờng thẳng d hay phép đối xứng trục d. M O M M' Đờng thẳng d đợc gọi là trục của phép đối xứng hoặc đơn giản lad trục đối xứng. Phép đối xứng trục d thờng đợc kí hiệu Đ d . Nhóm 3 - Lớp Toán 30 B - 8 - A B I Tr ờng CĐSP Hà Tây Tiểu luận phép biến hình Đờng thẳng d đợc gọi là trục đối xứng của hình H nếu Đ d biến H thành chính nó. Khi đó H đợc gọi là hình có trục đối xứng. 1.3.4.2 Tính chất : a. Tính chất 1 : Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì. Chứng minh : Trọng hệ trục Oxy; chọn õ làm trục đối xứng. Các điểm A(x 1 , y 1 ); B(x 2 , y 2 ) . Gọi A(x 1 , y 1 );B(x 2 , y 2 ) lần lợt là ảnh qua phép đối xứng trục Ox. y B A O A B Ta có : x 1 = x 1 y 1 = y 1 A(x 1 , - y 1 ). x 2 = - x 2 y 2 = - y 2 B(x 2 ,- y 2 ) = (x 2 - x 1 ; y 2 - y 1 ) = (x 2 - x 1 ; y 2 - y 1 ) = (x 2 - x 1 ; - y 2 + y 1 ) = đpcm b. Tính chất 2 : Phép đối xứng trục biến đờng thẳng thành đờng thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thánh tam giác bằng nó, biến đờng tròn thành đờng tròn có cùng bán kính hình 1 hình 2 Nhóm 3 - Lớp Toán 30 B - 9 - Tr ờng CĐSP Hà Tây Tiểu luận phép biến hình d r r' O' O hình 3 1.3.4.3 Biểu thức tọa độ. - Chọn hệ tọa đọ Oxy sao cho trục Oy trùng với đờng thẳng d. Với mỗi điểm M = (x , y). Gọi M = Đ d và M = (x,y) Thì biểu thức trên đợc gọi là biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục Oy. x = - x y y = - y d M M X O - Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho trục Ox trùng với đờng thẳng d. Với mỗi điểm M(x,y). Thì biểu thức trên đợc gọi là biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục Ox. y M O x M 1.3.4.4 Trục đối xứng của một hình Định nghĩa : Đờng thẳng d đợc gọi là trục đối xứng của hình H nếu Đ biến H thành chính nó. Khi đó H đợc gọi là hình có trục đối xứng. Ví dụ : mỗi hình sau có trục đối xứng. H W 1.3.5 Phép quay 1.3.5.1 Định nghĩa : Nhóm 3 - Lớp Toán 30 B - 10 - [...]... liến hệ giữa các phép biến hình Phép biến hình k=1 Phép dời hình Phép tịnh tiến Phép đối xứng trục Phép quay Q(0, (2k+1) ) Phép đồng dạng Phép đối xứng tâm Phép vị tự k = -1 Q(0,2k ) Nhóm 3 - T o Toán 30 B Lớp phép 17 - đồng nhất k=1 Tiểu luận phép biến hình Trờng CĐSP Hà Tây Chơng II thực hành -Vận dụng I Phép tịnh tiến Bài toán 1: Chứng minh các tính chất toán học Ví dụ 1 : Cho hình bình hành ABCD... trên ta có : Phép đồng dạng thuận là tích của một phép vị tự và một phép dời hình (hoặc tích của một phép dời hình và một phép vị tự) Phép đồng dạng nghịch là tích của một phép vị tự và một phép phản chiếu (hoặc tích của một phép phản chiếu hoặc một phép vị tự) 2.1.5 Phân tích một phép đồng dạng a Định lý 1 : Mọi phép đồng dạng thuận f với tỷ số k > 0, k = 1(tức f không phải là một phép dời hình) đều... bất biến của nhóm đồng dạng hay bất biến đồng dạng 2.1.6.2 Hình học của nhóm đồng dạng Định nghĩa : Môn học nghiên cứu các bất biến đồng dạng gọi là hình học của nhóm đồng dạng (hay hình học đồng dạng) Ta cũng gọi tập hợp tất cả các bất biến đồng dạng là hình học đồng dạng 2.2 Phép vị tự 2.2.1 Định nghĩa : Cho điểm O và tỉ số k 0 Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M sao cho = k đợc gọi là phép. .. = k Vậy phép vị tự tâm O tỷ số k là một phép đồng dạng của P với tỷ số k 2.1.1 Phân tích một phép đồng dạng Định lý : Mọi phép đồng phép dạng đều đều đợc phân tích thành tích của một phép vị tự và một phép đẳng cự ( hoặc tích của một phép đẳng cự với một phép vị tự) Chứng minh : Giả sử f : P P là phép đồng dạng tỷ số k > 0 Ta lấy một điểm O nào đó và gọi V là phép vị tự tâm O với tỷ số k Phép đảo... động của phép phàn chiếu Đ Suy ra Đ là phép đối xứng trục đi qua O Hiển nhiên Đ.V = V.Đ 2.1.6 Nhóm đồng dạng và hình học của nhóm đồng dạng 2.1.6.1 Hai hình đồng dạng Định nghĩa : Hình H đợc gọi là tơng đơng đồng dạng hay đồng dạng với hình H nếu tồn tại một phép đồng dạng f biến H thành H Vì Đ (P) là một nhóm nên: i) Mọi hình H đều đồng dạng với chinh nó ii) Nếu hình H đồng dạng với hình H thì hình H... H đồng dạng với hình H Nhóm 3 - Lớp Toán 30 B - 13 - Tiểu luận phép biến hình Trờng CĐSP Hà Tây iii) Hai hình cùng đồng dạng với hình thứ ba thì đồng dạng với nhau a Bất biến đồng dạng Định nghĩa : + Một tính chất của hình H đợc gọi là tính chất đồng dạng nếu mọi hình đồng dạng với H đều có tính chất đó + Một khái niệm đợc gọi là khái niệm đồng dạng nếu nó không thay đổi qua bất kì phép đồng dạng nào... đồng dạng với tỷ số k và k là phép đồng dạng với tỷ số k.k - Đảo ngợc của phép đồng dạng tỷ số k là phép đồng dạng tỷ số - Tập hợp các phép của P là thành một nhóm, gọi là nhóm đồng dạng của P, kí hiệu là Đ d (P) Ví dụ : Chứng tỏ rằng phép vị tự tâm O tỷ số k của P là một phép đồng dạng của P với tỷ số k Trả lời Trong P phép vị tự tâm O tỷ số k là một phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc thành điểm... của phép vị tự ta có : = và = k Do đó : = - = k - k = k( - ) = k MN = k MN 2.2.3 Tính chất 2 : Phép vị tự tỉ số k : - Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy Nhóm 3 - Lớp Toán 30 B - 14 - Tiểu luận phép biến hình Trờng CĐSP Hà Tây - Biến đờng thẳng thành đờng thẳng song song hoặc trùng với nó, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng - Biến. .. 11 - Tiểu luận phép biến hình Trờng CĐSP Hà Tây 2.1.1 Định nghĩa : Cho số k > 0 ánh xạ f : P P đợc gọi là phép đồng dạng tỉ số k nếu nó biến hai điểm M và N tùy ý thành hai điểm M= f(M) và N = f(N) sao cho khoảng cách của chúng thỏa mãn hệ thức MN = kMN Theo định nghĩa phép đẳng cự là phép đồng dạng tỷ số k = 1, còn phép vị tự tâm O tỉ số k là phép đồng dạng tỷ số k Nh vậy ta có: - Tích hai phép. .. tâm O với tỷ số k Phép đảo ngợc V của V là một phép vị tự tâm O tỷ số khi đó tích Đ = f V là phép đồng dạng tỷ số 1 nên là phép đẳng cự Vậy f V = D hay f = V.D Vậy f là tích của phép vị tự V và phép đẳng cự Đ Tơng tự tích Đ = f V là một phép đẳng cự nên f = Đ.V 2.1.2 Tính chất của một phép đồng dạng a Định lý 1: Phép đồng dạng là một phép afin Qua một phép đồng dạng ảnh của đờng thẳng là đờng thẳng, . giữa các phép biến hình Nhóm 3 - Lớp Toán 30 B - 17 - Phép biến hình Phép dời hình Phép đồng dạng Phép tịnh tiến Phép đối xứng trục Phép quay Phép vị tự Phép đối xứng tâm phép đồng. đợc một phép biến hình. Phép biến hình đó gọi là phép đồng nhất. 1.3 Kí hiệu và thuật ngữ. Nếu ta kí hiệu một phép biến hình nào đó là F và điểm M là ảnh của điểm M qua phép biến hình F thì. Tây Tiểu luận phép biến hình Lun vn tt nghip ti: Phộp bin hỡnh Mục lục Tên Mục Trang Chơng I : Cơ sở lý luận 2 Mở đầu phép biến hình 2 Các phép biến hìnha 3 Nhìn chung phép dời hình 3 Phép