KHẢO SÁT MÔMEN QUÁN TÍNH MỘT SỐ VẬT HÌNH TRỤ, VÀNH TRÒN, THANH DÀI, KHỐI CHỮ NHẬT, KIỂM TRA ĐỊNH LÍ HUYGHEN VỚI DỤNG CỤ HÃNG PASCO

Vật lí là một ngành khoa học tự nhiên tập trung nghiên cứu vật chất và chuyển động của nó trong không gian và thời gian, giúp ta có một cách nhìn tổng quát hơn về thế giới khách quan. Mặc dù, Vật lí bao hàm rất nhiều hiện tượng trong tự nhiên, nhưng bằng con đường thực nghiệm các nhà khoa học đã kiểm chứng được tính đúng đắn của các định luật Vật lí không những trong phạm vi nhất định, mà còn mang lại nhiều ứng dụng cho xã hội. Chính vì thế, Vật lí là một trong những bộ môn khoa học cơ bản làm nền tảng cung cấp cơ sở lý thuyết cho một số môn khoa học ứng dụng. Đối với bậc trung học phổ thông, chương trình Vật lí chất rắn là chương trình mới được bổ sung vào sách giáo khoa, nên việc tiếp cận với mảng kiến thức này đối với cả giáo viên lẫn học sinh vẫn còn bỡ ngỡ. Bên cạnh đó,vật rắn trong thực tế rất phong phú về hình dạng, kiểu dáng và kích thước nên việc nghiên cứu càng trở nên phức tạp, gây khó khăn cho cả người dạy lẫn người học, điển hình là đại lượng mômen quán tính của Vật rắn. Ở sách giáo khoa Vật Lý lớp 12, đại lượng này chỉ được định nghĩa và thông báo một số công thức đối với các vật có hình dạng rất đơn giản mà không chứng minh cụ thể. Chính vì thế, việc tính toán và tìm hiểu về đại lượng mômen quán tính đôi khi dẫn đến tâm lý chấp nhận kiến thức một cách miễn cưỡng, không sâu sắc, thiếu bản chất.Đối với khoa học kĩ thuật ngày càng tiến bộ như hiện nay thì phương pháp thực nghiệm cũng dần phát triển.Việc tiến hành các thí nghiệm làm sáng tỏ và hiểu sâu hơn về lý thuyết đã học là rất cần thiết, tuy nhiên, đối với sinh viên chúng ta vẫn còn nhiều hạn chế về kỹ năng thực nghiệm. Chính vì những lí do đó, nên em chọn đề tài “KHẢO SÁT MÔMEN QUÁN TÍNH MỘT SỐ VẬT HÌNH TRỤ, VÀNH TRÒN, THANH DÀI, KHỐI CHỮ NHẬT, KIỂM TRA ĐỊNH LÍ HUYGHEN VỚI DỤNG CỤ HÃNG PASCO” nhằm mục đích giúp bổ sung kiến thức và hiểu rõ hơn về mômen quán tính, cũng như tiếp cận chương trình Vật lí Chất rắn.

BỘ MÔN SƯ PHẠM VẬT LÝ

KHẢO SÁT MÔMEN QUÁN TÍNH MỘT SỐ VẬT HÌNH TRỤ, VÀNH TRÒN, THANH DÀI, KHỐI CHỮ NHẬT, KIỂM TRA ĐỊNH LÍ

HUY-GHEN VỚI DỤNG CỤ HÃNG PASCO

Luận văn tốt nghiệp Ngành: SƯ PHẠM VẬT LÝ – TIN HỌC

Giáo viên hướng dẫn: Sinh viên thực hiện:

Mã số SV: 1110239 Lớp: Sư phạm Vật lí – Tin học Khóa: 37

Cần Thơ, năm 2015

BỘ MÔN SƯ PHẠM VẬT LÝ

KHẢO SÁT MÔMEN QUÁN TÍNH MỘT SỐ VẬT HÌNH TRỤ, VÀNH TRÒN, THANH DÀI, KHỐI CHỮ NHẬT, KIỂM TRA ĐỊNH LÍ

HUY-GHEN VỚI DỤNG CỤ HÃNG PASCO

Luận văn tốt nghiệp Ngành: SƯ PHẠM VẬT LÝ – TIN HỌC

Giáo viên hướng dẫn: Sinh viên thực hiện:

Mã số SV: 1110239 Lớp: Sư phạm Vật lí – Tin học Khóa: 37

Cần Thơ, năm 2015

LỜI CẢM ƠN

Trong suốt thời gian làm đề tài luận văn “KHẢO SÁT MÔMEN QUÁN TÍNH MỘT SỐ VẬT HÌNH TRỤ, VÀNH TRÒN, THANH DÀI, KHỐI CHỮ NHẬT, KIỂM TRA ĐỊNH LÍ HUY-GHEN VỚI DỤNG CỤ HÃNG PASCO”, em đã gặp không ít khó khăn Nhưng nhờ sự hướng dẫn tận tâm của Thầy Lê Văn Nhạn, thầy đã cung cấp tài liệu

và hướng dẫn em rất nhiệt tình trong suốt thời gian qua, em xin chân thành cảm ơn thầy

đã giúp em hoàn thành đề tài đúng tiến độ

Em xin chân thành cảm ơn Thầy Trương Hữu Thành đã sắp xếp phòng thí nghiệm cho em thực hành, giúp em có những số liệu thật quý báo, góp phần hoàn chỉnh thêm cho luận văn

Cuối cùng em xin chân thành cảm ơn quý thầy cô và các bạn trong Bộ môn Sư phạm Vật lí đã hết lòng quan tâm và góp ý trong suốt thời gian em thực hiện đề tài này

Do còn hạn chế về chuyên môn cũng như thời gian thực hiện nên đề tài không tránh khỏi thiếu sót Em rất mong nhận được đóng góp của thầy cô và các bạn sinh viên

để đề tài ngày càng hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn

Sinh viên thực hiện

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đề tài luận văn “KHẢO SÁT MÔMEN QUÁN TÍNH MỘT SỐ VẬT HÌNH TRỤ, VÀNH TRÒN, THANH DÀI, KHỐI CHỮ NHẬT, KIỂM TRA ĐỊNH

LÍ HUY-GHEN VỚI DỤNG CỤ HÃNG PASCO” là công trình nghiên cứu do chính tôi thực hiện Các số liệu, kết quả phân tích trong luận văn là hoàn toàn trung thực và chưa từng được công bố trong bất kì công trình nghiên cứu nào trước đây

Mọi tham khảo, trích dẫn đều được ghi rõ trong danh mục tài liệu tham khảo của luận văn

Cần thơ, ngày 23 tháng 05 năm 2015

Tác giả

Võ Ngọc Huỳnh

GVHD: Lê Văn Nhạn i SVTH: Võ Ngọc Huỳnh

MỤC LỤC

HỆ THỐNG ĐO LƯỜNG

PHẦN MỞ ĐẦU 1

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU 1

3 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 1

4 GIỚI HẠN NGHIÊN CỨU 1

PHẦN NỘI DUNG 2

CHƯƠNG 1.ĐỘNG HỌC VẬT RẮN 2

1 KHÁI NIỆM VẬT RẮN 2

2 BẬC TỰ DO 2

3 CHUYỂN ĐỘNG TỊNH TIẾN CỦA VẬT RẮN 2

4 CHUYỂN ĐỘNG QUAY CỦA VẬT RẮN 3

4.1 Chuyển động quay của vật rắn quanh một trục ∆ 3

4.2 Chuyển động quay đều 5

4.3 Vận tốc và gia tốc của một điểm trên vật rắn 6

4.4 Chuyển động quay và trượt 6

5 CHUYỂN ĐỘNG PHẲNG HAY CHUYỂN ĐỘNG SONG PHẲNG 7

5.1 Định nghĩa 7

5.2 Phân tích chuyển động 9

5.3 Quỹ đạo và vận tốc của một điểm trên vật rắn 10

5.4 Định lí về hình chiếu của vận tốc hai điểm 11

5.5 Tâm quay 11

6.CHUYỂN ĐỘNG PHẲNG QUAY CỦA VẬT RẮN QUANH MỘT ĐIỂM CỐ ĐỊNH 13

6.1 Định lí Ơ-le-Đa-lăm-be 13

6.2 Vận tốc của một điểm trên vật rắn 15

7 CHUYỂN ĐỘNG TỔNG QUÁT CỦA VẬT RẮN 15

CHƯƠNG 2 ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN 17

1 KHỐI TÂM, TÂM QUÁN TÍNH HAY TRỌNG TÂM 17

2 MÔMEN QUÁN TÍNH ĐỐI VỚI MỘT TRỤC QUAY CỐ ĐỊNH 18

3 XÁC ĐỊNH KHỐI TÂM CỦA MỘT VÀI VẬT ĐỒNG TÍNH 19

3.1 Khối tâm của một cung tròn 19

3.2 Khối tâm của một hình quạt tròn 20

3.3 Khối tâm của một hình chỏm cầu 21

3.4 Khối tâm của một hình quạt cầu 22

4 ĐỊNH LÍ HUY-GHEN 23

5 ĐỊNH LÍ CHUYỂN ĐỘNG CỦA KHỐI TÂM 24

5.1 Định lí 24

5.2 Hệ quả 25

5.3 Định lí về động lượng của khối tâm 26

6 CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN 26

6.1 Định lí bảo toàn chuyển động khối tâm 26

6.2 Định lí bảo toàn động lượng 27

6.3 Định lí bảo toàn mômen động lượng 28

6.4 Định lí mômen động lượng trong chuyển động tương đối quanh khối tâm.29 7 ĐỊNH LÍ BẢO TOÀN NĂNG LƯỢNG 31

GVHD: Lê Văn Nhạn ii SVTH: Võ Ngọc Huỳnh

7.2 Hệ vật rắn 32

7.3 Định luật bảo toàn cơ năng 33

7.4 Động năng của một vật rắn 34

8 HIỆU ỨNG HỒI CHUYỂN 35

8.1 Chuyển động của một vật rắn quanh một điểm cố định 35

8.2 Chuyển động của một vật nặng, tròn xoay quanh một điểm cố định 35

8.3 Con quay hồi chuyển 36

8.4 Khảo sát chuyển động của con quay bằng thực nghiệm 37

8.4.1.Con quay hồi chuyển tự do 37

8.4.2.Hiệu ứng hồi chuyển 37

8.4.3.Lý thuyết sơ cấp về hiệu ứng hồi chuyển 38

8.4.4.Ứng dụng về hiệu ứng hồi chuyển 39

CHƯƠNG 3 MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA MỘT SỐ VẬT 41

1 MÔMEN QUÁN TÍNH I CỦA MỘT THANH 41

2 MÔMEN QUÁN TÍNH I CỦA VÀNH TRÒN 42

3 MÔMEN QUÁN TÍNH I CỦA ĐĨA TRÒN 42

4 MÔMEN QUÁN TÍNH I CỦA TRỤ RỖNG 43

5 MÔMEN QUÁN TÍNH I CỦA KHỐI CẦU 44

5.1 Mômen quán tính của khối cầu đặc 45

5.1 Mômen quán tính của khối cầu rỗng 46

CHƯƠNG 4 THỰC NGHIỆM ĐO MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA MỘT SỐ VẬT VỚI DỤNG CỤ CỦA HÃNG PASCO 47

1 ĐO MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA HÌNH TRỤ 48

1.1 Khảo sát mômen quán tính của hình trụ bằng lí thuyết 49

1.2 Khảo sát mômen quán tính của hình trụ bằng thực nghiệm 49

2 ĐO MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA VÀNH TRÒN 50

2.1 Khảo sát mômen quán tính của vành tròn bằng lí thuyết 50

2.2 Khảo sát mômen quán tính của vành tròn bằng thực nghiệm 51

3 ĐO MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA THANH DÀI CÓ TRỤC QUAY ĐI QUA TÂM 53

3.1 Khảo sát mômen quán tính của thanh dài bằng lí thuyết 53

3.2 Khảo sát mômen quán tính của thanh dài bằng thực nghiệm 51

4 ĐO MÔMEN QUÁN TÍNH KHỐI HÌNH CHỮ NHẬT CÓ TRỤC QUAY ĐI QUA TÂM 54

4.1 Khảo sát mômen quán tính của khối hình chữ nhật bằng lí thuyết 54

4.2 Khảo sát mômen quán tính của khối hình chữ nhật bằng thực nghiệm 55

5 KIỂM TRA ĐỊNH LÍ HUY-GHEN 56

5.1 Đo mômen quán tính của khối hình chữ nhật cách trục tâm quay 10cm 56

5.1.1 Khảo sát mômen quán tính của khối hình chữ nhật cách trục tâm quay 10cm bằng lí thuyết 56

5.1.2 Khảo sát mômen quán tính của khối hình chữ nhật cách trục tâm quay 10cm bằng thực nghiệm 57

5.2 Đo mômen quán tính của khối hình chữ nhật cách trục tâm quay 20cm 57

5.2.1 Khảo sát mômen quán tính của khối hình chữ nhật cách trục tâm quay 20cm bằng lí thuyết 57

5.2.2.Khảo sát mômen quán tính của khối hình chữ nhật cách trục tâm quay 20cm bằng thực nghiệm 57

GVHD: Lê Văn Nhạn iii SVTH: Võ Ngọc Huỳnh

PHẦN KẾT LUẬN 59

1 KẾT LUẬN 59

2 BÀI HỌC KINH NGHIỆM 59

3 KIẾN NGHỊ 59

TÀI LIỆU THAM KHẢO

GVHD: Lê Văn Nhạn iv SVTH: Võ Ngọc Huỳnh

- Có rất nhiều đại lượng vật lí, tuy nhiên không phải tất cả các đại lượng đó là không phụ thuộc lẫn nhau (ví dụ tốc độ là thương số của độ dài trên thời gian) Do đó, người ta lựa chọn dựa trên các thỏa thuận quốc tế một số đại lượng cơ bản và các đơn vị

cơ bản của chúng Đồng thời, đưa ra các chuẩn quốc tế cho các đơn vị đó nhằm đáp ứng các yêu cầu bất biến và phổ dụng

- Các đại lượng vật lí khác và đơn vị của chúng đều có thể biểu thị qua các đại lượng cơ bản và đơn vị cơ bản Các đơn vị khác được biểu hiện qua các đơn vị cơ bản

được gọi là đơn vị dẫn xuất [8]

1.2 Hệ đơn vị quốc tế SI

- Tập hợp các đơn vị của các đại lượng vật lí khác nhau tạo thành một hệ đơn

vị Năm 1971, Hội nghị quốc tế về đo lường lần thứ 14 đã quy định 7 đơn vị cơ bản của hệ đo lường quốc tế (International System of Unit, viết tắc là SI)

- Đặc biệt, trong cơ học người ta thường sử dụng 3 đơn vị cơ bản: đơn vị độ dài, đơn vị thời gian và đơn vị khối lượng [8]

Bảng 1.2.1: Đơn vị cơ bản của hệ SI [8]

Đại lượng Tên đơn vị Kí hiệu đơn vị

Nhiệt độ nhiệt động lực Độ Kelvin K

GVHD: Lê Văn Nhạn v SVTH: Võ Ngọc Huỳnh

Bảng 1.2.2: Đơn vị dẫn xuất [𝟐𝟐]

Đại lượng Tên đơn vị Kí hiệu đơn vị

Công suất Oát (Watt) W Diện tích Mét vuông m2

GVHD: Lê Văn Nhạn 1 SVTH: Võ Ngọc Huỳnh

PHẦN MỞ ĐẦU

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

- Vật lí là một ngành khoa học tự nhiên tập trung nghiên cứu vật chất và chuyển động của nó trong không gian và thời gian, giúp ta có một cách nhìn tổng quát hơn về thế giới khách quan Mặc dù, Vật lí bao hàm rất nhiều hiện tượng trong tự nhiên, nhưng bằng con đường thực nghiệm các nhà khoa học đã kiểm chứng được tính đúng đắn của các định luật Vật lí không những trong phạm vi nhất định, mà còn mang lại nhiều ứng dụng cho xã hội Chính vì thế, Vật lí là một trong những bộ môn khoa học cơ bản làm nền tảng cung cấp cơ sở lý thuyết cho một số môn khoa học ứng dụng

- Đối với bậc trung học phổ thông, chương trình Vật lí chất rắn là chương trình mới được bổ sung vào sách giáo khoa, nên việc tiếp cận với mảng kiến thức này đối với cả giáo viên lẫn học sinh vẫn còn bỡ ngỡ Bên cạnh đó,vật rắn trong thực tế rất phong phú

về hình dạng, kiểu dáng và kích thước nên việc nghiên cứu càng trở nên phức tạp, gây khó khăn cho cả người dạy lẫn người học, điển hình là đại lượng mômen quán tính của Vật rắn Ở sách giáo khoa Vật Lý lớp 12, đại lượng này chỉ được định nghĩa và thông báo một số công thức đối với các vật có hình dạng rất đơn giản mà không chứng minh cụ thể Chính vì thế, việc tính toán và tìm hiểu về đại lượng mômen quán tính đôi khi dẫn đến tâm lý chấp nhận kiến thức một cách miễn cưỡng, không sâu sắc, thiếu bản chất

- Đối với khoa học kĩ thuật ngày càng tiến bộ như hiện nay thì phương pháp thực nghiệm cũng dần phát triển.Việc tiến hành các thí nghiệm làm sáng tỏ và hiểu sâu hơn về

lý thuyết đã học là rất cần thiết, tuy nhiên, đối với sinh viên chúng ta vẫn còn nhiều hạn chế về kỹ năng thực nghiệm Chính vì những lí do đó, nên em chọn đề tài “KHẢO SÁT MÔMEN QUÁN TÍNH MỘT SỐ VẬT HÌNH TRỤ, VÀNH TRÒN, THANH DÀI, KHỐI CHỮ NHẬT, KIỂM TRA ĐỊNH LÍ HUY-GHEN VỚI DỤNG CỤ HÃNG PASCO” nhằm mục đích giúp bổ sung kiến thức và hiểu rõ hơn về mômen quán tính, cũng như tiếp cận chương trình Vật lí Chất rắn

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI

Dùng dụng cụ của hãng Pasco để khảo sát mômen quán tính của một số vật bằng phương pháp thực nghiệm nhằm mục đích quan sát, nêu giả thiết và kiểm nghiệm lý thuyết về mômen quán tính của các vật bằng thực nghiệm

3 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

- Nghiên cứu về lý thuyết động học vật rắn và động lực học vật rắn

- Chứng minh công thức mômen quán tính của một số vật

- Thực nghiệm đo kiểm chứng mômen quán tính của một số vật

4 GIỚI HẠN ĐỀ TÀI

Do giới hạn về mặt thời gian và kiến thức, cũng như hạn chế về dụng cụ thí nghiệm, nên đề tài chỉ xoay quanh đo mômen quán tính của một số mẫu vật như: hình trụ, vành tròn, thanh dài có trục quay qua tâm, hệ thanh dài và khối hình chữ nhật có trục quay qua tâm,kiểm chứng định lí Huy-ghen bằng cách đo khảo sát mômen quán tính của khối hình chữ nhật có trục quay cách tâm 10cm và 20cm

GVHD: Lê Văn Nhạn 2 SVTH: Võ Ngọc Huỳnh

PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG 1 ĐỘNG HỌC VẬT RẮN

1 KHÁI NIỆM VẬT RẮN

- Hệ chất điểm là một hệ gồm nhiều vật mà mỗi vật đều coi là một chất điểm Các chất điểm trong hệ có thể tương tác lẫn nhau (các lực tương tác đó gọi là nội lực); đồng thời có thể tương tác với các vật bên ngoài hệ (các lực tương tác đó gọi là ngoại lực) [19]

- Vật rắn (hay còn gọi cố thể) là một hệ chất điểm phân bố liên tục (theo góc độ vĩ mô) trong một miền không gian nào đấy mà khoảng cách giữa hai chất điểm bất kì không thay đổi

- Như vậy, vật rắn luôn có hình dạng, kích thước và thể tích nhất định Trên thực tế, không có vật rắn tuyệt đối Bởi lẽ, dưới ảnh hưởng của các điều kiện bên ngoài như: nhiệt

độ, áp suất, lực tác dụng,…thì khoảng cách giữa các phân tử trong vật có thay đổi đôi chút Tuy nhiên, trong phạm vi khảo sát, nếu một vật có sự thay đổi không đáng kể trong quá trình chuyển động, thì khi nghiên cứu chuyển động của nó ta coi vật đó là vật rắn.[1]

2 BẬC TỰ DO

- Khi mô tả chuyển động của một vật rắn, ta phải xác định chuyển động của bất kỳ điểm nào trên vật rắn Để xác định vị trí của một vật rắn, chỉ cần biết vị trí của ba điểm tùy ý, không thẳng hàng trên vật rắn Nghĩa là, chỉ cần biết vị trí của một tam giác bất kỳ, gắn liền với vật rắn

- Để xác định vị trí của một điểm trong không gian, cần ba tọa độ Vị trí của ba điểm bất kỳ được xác định nhờ chín tọa độ Nhưng nếu ba điểm ấy ở ba đỉnh của một tam giác không đổi, thì độ dài không đổi của ba cạnh tam giác được xác định một cách đơn trị nhờ tọa độ của ba đỉnh Vậy chín tọa độ của ba đỉnh tam giác không độc lập đối với nhau,

mà liên hệ với nhau bằng ba phương trình, vì thế chỉ có sáu tọa độ là độc lập Do đó, để xác định vị trí của tam giác, tức là xác định vị trí của vật rắn, chỉ cần sáu đại lượng (hay sáu tham số) độc lập

- Số tham số độc lập cần phải biết để xác định hoàn toàn vị trí của cố thể, gọi là số bậc tự do của cố thể

 Cố thể hoàn toàn tự do có sáu bậc tự do

 Nếu cổ thể không hoàn toàn tự do thì số bậc tự do của nó giảm xuống

Ví dụ:

Nếu vật rắn có một điểm cố định thì ba tọa độ cuả điểm cố định là hoàn toàn xác định

và vật rắn chỉ còn ba bậc tự do Vật rắn có hai điểm cố định thì vật rắn chỉ có thể quay quanh đường thẳng qua 2 điểm ấy Trong sáu tham số độc lập, thì năm tọa độ có khoảng cách không đổi, đã hoàn toàn xác định và chỉ cần một tham số để xác định vị trí của vật rắn, tham số ấy là góc do mặt phẳng gắn với vật rắn và đi qua hai điểm cố định, với mặt phẳng cố định cũng đi qua hai điểm ấy Vậy cổ thể có hai điểm cố định chỉ có một bậc tự

do [2]

3 CHUYỂN ĐỘNG TỊNH TIẾN CỦA VẬT RẮN

Định nghĩa: Chuyển động tịnh tiến của vật rắn là chuyển động mà mỗi đoạn thẳng

thuộc vật rắn luôn luôn song song với vị trí ban đầu của nó

GVHD: Lê Văn Nhạn 3 SVTH: Võ Ngọc Huỳnh

Tính chất: Khi vật rắn chuyển động tịnh tiến, quỹ đạo của mọi điểm của vật rắn là

những đường cong bằng nhau, mọi điểm của vật rắn đều có cùng một vận tốc và gia tốc

Với chuyển động tịnh tiến 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ luôn có hướng không đổi

4 CHUYỂN ĐỘNG QUAY CỦA VẬT RẮN

4.1 Chuyển động quay của vật rắn quanh một trục ∆

GVHD: Lê Văn Nhạn 4 SVTH: Võ Ngọc Huỳnh

- Ta dễ dàng thấy rằng, trong chuyển động quay, mọi điểm của vật rắn ở ngoài trục quay , đều chuyển động theo những quỹ đạo tròn, có tâm trên  và những mặt phẳng vuông góc với  (Hình 1.2)

- Ta chọn quy ước chiều dương quay quanh trục Dựng mặt phẳng P gắn với vật rắn

và đi qua  và mặt phẳng cố định 𝑃1 đi qua 

- Vị trí của vật rắn được xác định bằng một góc  tạo bởi và 𝑃1 gọi là góc quay của vật rắn

- Khi vật quay, góc  thay đổi theo thời gian:

Chú ý: Góc quay 𝜃 có thể âm hay dương tùy thuộc vào chiều quay dương đã chọn

Thông thường, người ta quy ước góc quay 𝜃 được xem là dương nếu vật quay ngược chiều kim đồng hồ, xem là âm nếu vật quay cùng chiều kim đồng hồ Đơn vị góc quay 𝜃

là radian (rad) [1]

 Vận tốc góc của vật:

- Vận tốc góc trong chuyển động quay của một vật rắn là đại lượng đặc trưng sự nhanh, chậm của chuyển động và về trị số, bằng góc quay của vật rắn trong một đơn vị thời gian

- Vận tốc góc 𝜔 trong chuyển động quay của một vật rắn bằng đạo hàm theo thời gian của góc quay 𝜃

GVHD: Lê Văn Nhạn 5 SVTH: Võ Ngọc Huỳnh

- Dấu 𝜃 cho biết chiều quay của vật quanh trục:

 Nếu 𝜔 > 0 thì 𝜃 tăng theo thời gian và vật rắn quay theo chiều dương

 Nếu 𝜔 < 0 vật rắn quay theo chiều âm

 Đơn vị vận tốc góc là radian trên giây (rad/s) [1]

 Gia tốc góc của vật:

- Gia tốc góc trong chuyển động quay của một vật rắn là đại lượng đặc trưng sự thay đổi về độ lớn của vận tốc góc và về trị số, bằng độ biến thiên của vận tốc góc trong đơn vị thời gian

- Gia tốc góc 𝜀 trong chuyển động quay của một vật rắn bằng đạo hàm theo thời gian của vận tốc góc 𝜔, hay đạo hàm bậc hai theo thời gian của góc quay 

 Khi 𝜀 = 0 𝑡ℎì 𝜔 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡:Vật rắn quay đều

 Khi 𝜔 ∙ 𝜀 > 0: Vật rắn quay nhanh dần

 Khi 𝜔 ∙ 𝜀< 0: Vật rắn quay chậm dần

 Gia tốc góc 𝜀 bằng radian trên giây bình phương (rad/s2) [1]

4.2 Chuyển động quay đều

- Chuyển động quay của vật rắn là đều nếu vận tốc góc 𝜔 không đổi theo thời gian Theo công thức (1.4), ta có: 𝑑𝜃 = 𝜔 𝑑𝑡

Tích phân theo t, ta được:

𝜃 = 𝜔𝑡 + 𝜃0 (1.5) Với 0 là góc quay của vật rắn ở thời điểm t = 0

- Công thức (1.5) cho thấy rằng, trong chuyển động quay đều, vận tốc góc 𝜔 có thể tính theo công thức:

𝜔 =𝜃 − 𝜃0

𝑡

- Chuyển động quay đều còn được đặc trưng bằng tần số N (là số vòng quay trong một đơn vị thời gian), hoặc bằng chu kỳ (là thời gian cần thiết để cố thể quay được một vòng)

- Giữa ba số 𝜔, 𝑁, 𝑇 có các hệ thức:

𝜔 =2𝜋𝑇

𝜔 = 2𝜋 𝑁

𝑁 = 1

𝑇 (1.6)

- Tần số  được đo bằng héc (ký hiệu Hz ) Héc là tần số trong chuyển động quay

đều của một cố thể, quay được một vòng trong một giây [1]

GVHD: Lê Văn Nhạn 6 SVTH: Võ Ngọc Huỳnh

M

M

Hình 1.3: Quỹ đạo chuyển động của một điểm trên vật rắn[1]

4.3 Vận tốc và gia tốc của một điểm trên vật rắn

- Ta xét một điểm M trên vật rắn (Hình 1.2) Quỹ đạo của M là đường tròn C, nằm trên mặt phẳng R vuông góc với  và có tâm O trên  Véctơ vận tốc 𝑣 của M ở thời điểm t hướng theo tiếp tuyến tại M với C và có độ dài 𝜔 𝑟, r là khoảng cách OM ở từ M đến trục quay

- Dùng cách biểu diễn véctơ, ta làm như sau: Lấy trên trục  một véctơ có môđun bằng 𝜔 và có chiều tam diện 𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑣 và 𝜔 ⃗⃗⃗⃗ là thuận (đó chính là chiều phù hợp với chiều quay dương trong mặt phẳng R )

- Véctơ 𝑣 có độ dài 𝜔 𝑟, ba véctơ 𝐻𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑣 và 𝜔 ⃗⃗⃗⃗⃗ từng đôi một vuông góc với nhau, vậy ta có thể coi 𝑣 là tích véctơ của hai véctơ 𝑀𝑂 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ và 𝜔 ⃗⃗⃗⃗⃗ , nghĩa là coi 𝑣 là mômen đối với  của 𝜔 ⃗⃗⃗⃗⃗ :

𝑣 = ( 𝑀𝑂 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗  𝜔 ⃗⃗⃗⃗⃗ ) (1.7)

- Quy ước gọi véctơ 𝜔 ⃗⃗⃗⃗⃗ xác định như trên, là véctơ vận tốc góc, ta có thể phát biểu: Trong chuyển động quay của một vật rắn, vận tốc của một điểm bất kỳ trên vật rắn, vận tốc của một điểm bất kỳ trên vật rắn là mômen đối với điểm ấy của véctơ vận tốc góc

- Vì mọi điểm của vật rắn đều có cùng vận tốc góc 𝜔 ⃗⃗⃗⃗⃗ , vận tốc dài của một điểm tăng tỷ lệ với khoảng cách từ điểm ấy đến trục quay, mũi của véctơ vận tốc của những điểm nằm cùng trên một đường thẳng qua ∆ và vuông góc với ∆ đều ở cùng trên một đường thẳng.(Hình 1.3)

- Điểm M chuyển động tròn, gia tốc tiếp tuyến 𝛾⃗⃗⃗ và gia tốc pháp tuyến 𝛾𝑡 ⃗⃗⃗ của 𝑛

4.4 Chuyển động quay và trượt

- Chuyển động quay và trượt theo trục  là chuyển động quay, trong đó những điểm của vật rắn nằm trên ∆ vẫn ở trên đường thẳng ấy, nhưng không cố định mà trượt dọc theo đường ấy

- Gọi là 𝑣⃗⃗⃗⃗ vận tốc trượt và 𝜔 0 ⃗⃗⃗⃗⃗ là vận tốc góc trong chuyển động quay, ở thời điểm

t Độ dịch chuyển 𝑀𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ của điểm ′  trong khoảng thời gian t, t + dt có thể coi là tổng hợp của hai độ dịch chuyển: độ dịch chuyển 𝑀𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ sinh ra do vật rắn đã quay đi một góc 1



GVHD: Lê Văn Nhạn 7 SVTH: Võ Ngọc Huỳnh

ℎ = 𝑣0 𝑇 (1.9)

Độ dài không đổi h gọi là bước đinh ốc [1]

5 CHUYỂN ĐỘNG PHẲNG HAY CHUYỂN ĐỘNG SONG PHẲNG 5.1 Định nghĩa

- Chuyển động phẳng của một vật rắn là chuyển động trong đó quỹ đạo mọi điểm của vật rắn đều nằm trong những mặt phẳng song song với một mặt phẳng cố định  Khi vật rắn S chuyển động phẳng, mọi điểm trên đường 𝑀𝑀′ vuông góc với  đều chuyển động giống nhau (Hình 1.5)

GVHD: Lê Văn Nhạn 8 SVTH: Võ Ngọc Huỳnh

- Vì vậy, khi nghiên cứu chuyển động chỉ cần nghiên cứu chuyển động của một tiết diện S bất kỳ của vật rắn, trên một mặt phẳng bất kỳ song song với P Từ đây trở xuống,

ta lấy mặt phẳng của hình vẽ làm mặt phẳng chứa tiết diện S, và chỉ vẽ tiết diện S

- Vị trí của S trong mặt phẳng được hoàn toàn xác định, nếu ta biết vị trí một điểm

A của S, tức là biết hai tọa độ 𝑥𝐴, 𝑦𝐴 của A, nếu ta biết góc 𝜑 do đường thẳng 𝐴𝐵 của S làm với trục x(Hình 1.6) Khi cố thể chuyển động cả ba số 𝑥𝐴, 𝑦𝐴 và 𝜑 đều biến thiên

- Muốn mô tả chuyển động của cố thể, phải biết quy luật biến thiên theo thời gian của ba đại lại 𝑥𝐴, 𝑦𝐴 và , tức là phải biết ba hàm:

GVHD: Lê Văn Nhạn 9 SVTH: Võ Ngọc Huỳnh

- Ba phương trình xác định hoàn toàn chuyển động song phẳng của vật rắn chính là phương trình chuyển động của vật rắn [1]

5.2 Phân tích chuyển động

- Ta xét hai vị trí S và 𝑆′ của tiết diện S ở hai thời điểm t và 𝑡′ = 𝑡 + ∆𝑡 (Hình 1.7)

- Có thể coi như S và cả cố thể đã liên tiếp thực hiện hai chuyển động sau đây:

 Chuyển động tịnh tiến, trong đó điểm A đi theo quỹ đạo của nó đưa điểm A tới 𝐴′, và đưa đoạn𝐴𝐵 tới 𝐴′𝐵1

 Chuyển động quay quanh điểm 𝐴′với góc quay ∆𝜑1, đưa đoạn 𝐴′𝐵1 tới

𝐴′𝐵′

- Chuyển động tiếp theo của vật rắn, từ vị trí 𝑆′ tới vị trí 𝑆′′ cũng có thể phân tích như vậy thành một chuyển động tịnh tiến theo quỹ đạo của điểm A và một chuyển động quay quanh điểm A Và cứ thế tiếp tục mãi

- Cho ∆𝑡 → 0 ta thấy rằng hai chuyển động tịnh tiến và quay nối tiếp nhau một cách liên tục

- Do đó: Bất kỳ chuyển động phẳng nào cũng có thể phân tích thành hai chuyển động là chuyển động tịnh tiến trong đó mọi điểm của vật rắn đều có chuyển động giống nhau như điểm Avà chuyển động quay quanh điểm A

- Chuyển động tịnh tiến được biểu diễn bằng hai phương trình đầu, còn chuyển động quay bằng phương trình thứ ba, trong nhóm ba phương trình (1.10)

- Điểm A là điểm tùy ý chọn, nếu ta lấy một điểm ' khác trên S, thì vận tốc và gia tốc trong chuyển động tịnh tiến sẽ có trị số khác

- Nhưng vận tốc góc và gia tốc góc trong chuyển động quay không hề thay dổi Ta

có thể đưa vật từ vị trí S sang vị trí 𝑆′ bằng phép tịnh tiến 𝐵𝐵′ và bằng phép quay tiếp theo quanh điểm 𝐵′

- Khi đó, đoạn thẳng 𝐵′𝐴1 sẽ quay một góc ∆𝜑2 , từ 𝐵′𝐴1sang 𝐵′𝐴′

- Ta thấy ngay rằng (do 𝐴1𝐵′ và 𝐴′𝐵1 song song và cùng chiều ) hai góc ∆𝜑1 và

GVHD: Lê Văn Nhạn 10 SVTH: Võ Ngọc Huỳnh

5.3 Quỹ đạo và vận tốc của một điểm trên vật rắn

- Gọi M là một điểm cố định trên tiết diện S và 𝑟′ là khoảng cách AM, 𝛼là góc giữa AB và AM, 𝜑 là góc do AB làm với trục Ox.(Hình 1.8)

- Nếu chuyển động của S được xác định bằng các phương trình (1.10) thì tọa độ x

- Ta có thể viết phương trình vận tốc của điểm M dưới dạng véctơ Gọi 𝑟 , 𝑟⃗⃗⃗ và 𝑟𝐴 ⃗⃗⃗ là ′các véctơ OM, OA và AM

Ta có:

𝑟 (𝑡) = 𝑟⃗⃗⃗ (𝑡) + 𝑟𝐴 ⃗⃗⃗ (𝑡) ′ Lấy đạo hàm theo t, ta được:

𝛼

𝑥𝑀

GVHD: Lê Văn Nhạn 11 SVTH: Võ Ngọc Huỳnh

- Tương tự như khi tổng hợp chuyển động, đôi khi người ta cũng quy ước gọi 𝑣⃗⃗⃗⃗⃗ là 𝑀vận tốc tuyệt đối (kí hiệu𝑣𝑎), 𝑣⃗⃗⃗⃗ là vận tốc theo (kí hiệu 𝑣𝐴 𝑒) và 𝑣⃗⃗⃗ là vận tốc tương đối (kí ′hiệu 𝑣𝑟) [1]

5.4 Định lý về hình chiếu của vận tốc hai điểm

Định lý: Hình chiếu của vận tốc hai điểm cùng ở trên tiết diện S, lên đường thẳng nối

hai điểm ấy là bằng nhau

- A và B là hai điểm bất kỳ trên tiết diện S (Hình 1.9)

Định nghĩa: Tâm quay tức thời I (hay tâm vận tốc tức thời) là điểm của tiết diện S có

vận tốc triệt tiêu ở thời điểm t

- Ta chứng minh: Có thể tìm được một điểm I thỏa mãn định nghĩa trên

- Giả sử 𝑣⃗⃗⃗⃗ và 𝑣𝐴 ⃗⃗⃗⃗ là véctơ vận tốc của hai điểm bất kỳ A và B trong tiết diện S và 𝐵không song song với nhau

- Vẽ hai đường thẳng qua A và B và vuông góc với 𝑣⃗⃗⃗⃗ , 𝑣𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ Vì 𝑣𝐵 ⃗⃗⃗⃗ và 𝑣𝐴 ⃗⃗⃗⃗ không 𝐵song song với nhau nên hai đường thẳng này gặp nhau ở tại I (Hình 1.10)

GVHD: Lê Văn Nhạn 12 SVTH: Võ Ngọc Huỳnh

- Nếu 𝑣⃗⃗⃗ là vận tốc của I, thì theo định lý trên, hình chiếu của 𝑣𝐼 ⃗⃗⃗⃗ và 𝑣𝐴 ⃗⃗⃗ lên AI phải 𝐼bằng nhau

- Vì hình chiếu của 𝑣⃗⃗⃗⃗ lên AI triệt tiêu, nên hình chiếu của 𝑣𝐴 ⃗⃗⃗ lên AI cũng triệt tiêu 𝐼Tương tự, ta thấy hình chiếu của 𝑣⃗⃗⃗ và BI cũng phải tiệt tiêu 𝐼

- Muốn cho hình chiếu của 𝑣⃗⃗⃗ trên hai đường không song song AI và BI đồng thời 𝐼triệt tiêu , thì𝑣⃗⃗⃗ chỉ có thể triệt tiêu 𝐼

- Vậy điểm I đúng là điểm có vận tốc triệt tiêu ở thời điểm t Điểm I là điểm độc nhất của tiết diện S có vận tốc triệt tiêu ở thời điểm t Nếu có một điểm 𝐼′ khác trên S

cũng có vận tốc triệt tiêu thì mọi điểm của đường 𝐼𝐼′ đều đứng yên Do đó, tiết diện S (tức là cố thể) sẽ đứng yên, điều này trái với giả thiết là S đang chuyển động

- Áp dụng đẳng thức véctơ vào điểm M , ta được:

IM và có trị số 𝜔 𝐼𝑀

- Khi biết phương của vận tốc của hai điểm 𝑀1, 𝑀2 trong tiết diện S, ta xác định dễ dàng tâm quay tức thời I (I là giao điểm của hai đường vuông góc tại 𝑀1và 𝑀2 với hai véctơ vận tốc)

- Trường hợp đặc biệt mà hai đường ấy song song với nhau và không vuông góc với

𝑀1𝑀2 thì tâm quay I ở vô cực: hai véctơ vận tốc của 𝑀1 và 𝑀2 song song với nhau và bằng nhau, chuyển động của Sở thời điểm t là chuyển động tịnh tiến

- Nếu hai đường vuông góc ấy trùng đúng với 𝑀1𝑀2, thì I ở trên 𝑀1𝑀2 Khi đó, muốn xác định I phải biết cả độ lớn của vận tốc hai điểm ấy

 Trong quá trình chuyển động của S, vị trí của tâm quay tức thời I thay đổi một cách liên tục Quỹ tích các vị trí liên tiếp của I trong mặt phẳng cố định xOy là một đường cong 𝐶′.(Hình 1.11)

𝑣𝐴

A

B (S)

I

Hình 1.10: Biểu diễn tâm quay tức thời I [2]

𝑣𝐵

GVHD: Lê Văn Nhạn 13 SVTH: Võ Ngọc Huỳnh

 Ở thời điểm t hai đường cong C và C’ có một điểm chung I, ở thời điểm

𝑡′ = 𝑡 + 𝑑𝑡, C đã quay quanh I một góc vô cùng nhỏ 𝜔 𝑑𝑡, điểm J của đường Cbây giờ trùng với điểm 𝐽′ của đường 𝐶′ và 𝐽′ trở thành tâm quay tức thời ở thời điểm 𝑡′

 Góc quay 𝜔 𝑑𝑡 của C cũng chính là góc quay đưa dây cung IJ đến trùng với 𝐼𝐽′

 Góc 𝜔 𝑑𝑡 tiến tới không khi J tiến tới 𝐽′, vậy hai cung IJ và 𝐼𝐽′ tiếp xúc với nhau ở I

 Vận tốc của I ở thời điểm t lại triệt tiêu, nên C không trượt trên 𝐶′

- Vậy, ta có thể mô tả đầy đủ chuyển động của S, bằng cách cho đường cong C, gắn với mặt phẳng P chứa tiết diện S lăn không trượt trên đường cong 𝐶′ nằm trong mặt phẳng cố định 𝑃1(chứa hai trục Ox, Oy)

- Vì vậy, chuyển động của S còn gọi là chuyển động của một mặt phẳng trên một mặt phẳng, hay chuyển động song phẳng, đường C gắn với S gọi là đường lăn, đường 𝐶′nằm trong mặt phẳng cố định gọi là đường căn cứ Tiếp điểm I của hai đường ở thời điểm

t chính là tâm quay tức thời ở thời điểm ấy [1]

6 CHUYỂN ĐỘNG QUAY CỦA VẬT RẮN QUANH MỘT ĐIỂM CỐ ĐỊNH

6.1 Định lý Ơ – le – Đa – lăm – be

- Vật rắn có một điểm cố định chỉ có thể quay quanh điểm ấy và chỉ còn ba bậc tự do: vị trí của vật rắn được hoàn toàn xác định, khi ta biết vị trí của hai điểm bất kỳ khác, không thẳng hàng với điểm cố định

- Giả sử O là điểm cố định, S và 𝑆′ là hai vị trí của vật rắn ở hai thời điểm t và 𝑡′ =

GVHD: Lê Văn Nhạn 14 SVTH: Võ Ngọc Huỳnh

 Như thế nghĩa là khi vật rắn chuyển từ vị trí S sang vị trí 𝑆′ thì điểm A đến

vị trí 𝐴′, do điểm chiếm B ở thời điểm t, còn điểm B đến vị trí 𝐵′

GVHD: Lê Văn Nhạn 15 SVTH: Võ Ngọc Huỳnh

- Quỹ tích các vị trí liên tiếp của 𝑂𝐷 trong vật rắn là một mặt nón 𝑁′ và trong không gian cố định là một mặt nón 𝑁

- Chuyển động quay của cố thể quanh điểm cố định O, như vậy có thể mô tả là chuyển động quay của vật rắn chuyển động lăn không trượt của một mặt nón trên một mặt nón khác [1]

6.2 Vận tốc của một điểm trên vật rắn

- Giả sử M là một điểm trên vật rắn, OD là trục quay tức thời ở thời điểm t, 𝜔⃗⃗ là véctơ vận tốc góc ở thời điểm t

- Gọi H là hình chiếu của M trên OD và 𝑣 là véctơ vận tốc của M.(Hình 1.13)

Kết luận: Véctơ vận tốc của một điểm M trên vật rắn, bằng tích của véctơ vận tốc

góc với bán kính véctơ của điểm ấy [1]

7 CHUYỂN ĐỘNG TỒNG QUÁT CỦA VẬT RẮN

- Gọi A là một điểm cố định trên vật rắn và M là một điểm trên vật rắn, xác định bởi đẳng thức: 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑟⃗⃗⃗ ′

- Gọi O là gốc tọa độ, 𝑟⃗⃗⃗⃗ và 𝑟𝑀 ⃗⃗⃗ là hai bán kính véctơ 𝑂𝑀𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ và 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗

GVHD: Lê Văn Nhạn 16 SVTH: Võ Ngọc Huỳnh

là vận tốc trong chuyển động của điểm M

- Khi A được coi là không chuyển động, tức là vận tốc trong chuyển động quay của

- Trong trường hợp tổng quát, 𝑣⃗⃗⃗⃗ không song song và không vuông góc với 𝜔𝐴 ⃗⃗ Ta

có thể phân 𝑣⃗⃗⃗⃗ thành hai thành phần: một thành phần 𝑣𝐴 ⃗⃗⃗⃗ hướng theo 𝜔0 ⃗⃗ và một thành phần

𝑣⃗⃗⃗ vuông góc với 𝜔1 ⃗⃗ , 𝑣⃗⃗⃗⃗ là vận tốc trượt của vật rắn dọc theo trục quay tức thời, còn 𝑣0 ⃗⃗⃗ là 1vận tốc tịnh tiến của vật rắn trong mặt phẳng P vuông góc với 𝜔⃗⃗ (Hình 1.14) [1]

GVHD: Lê Văn Nhạn 17 SVTH: Võ Ngọc Huỳnh

CHƯƠNG 2 ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN

1 KHỐI TÂM, TÂM QUÁN TÍNH HAY TRỌNG TÂM

- Ta xét một hệ n chất điểm A1, A2, A3,…An, khối lượng m1, m2, m3,…mn, có tọa độ

𝑟1

⃗⃗⃗ , 𝑟⃗⃗⃗ , 𝑟2 ⃗⃗⃗ ,… 𝑟3 ⃗⃗⃗ đối với một điểm gốc O, lấy tùy ý 𝑛

- Lấy đạo hàm đối với thời gian đẳng thức xác định bán kính véctơ của khối tâm G (hay tâm quán tính của hệ) xác định bởi đẳng thức:

r m r

n i i n

i

n i i G

m là khối lượng toàn phần của hệ chất điểm

r m

n i i

i i n

i

n i i G

m g

r m g g m

r g m p

r p r

GVHD: Lê Văn Nhạn 18 SVTH: Võ Ngọc Huỳnh

- So sánh (2.1) và (2.4), ta thấy: 𝑟⃗⃗⃗ = 𝑟𝐺 ⃗⃗⃗⃗⃗ nghĩa là G𝐺1 1 trùng với G Vậy tâm quán tính trùng với trọng tâm của hệ chất điểm

- Bây giờ ta xét một vật rắn, khối lượng M Trong vật rắn khối lượng phân bố một cách liên tục Ta lấy một thể tích nguyên tố dv trong vật rắn Gọi  là khối lượng riêng của nó, thì khối lượng dm của dv là:

dm=.dv=.dx.dy.dz

- Trong trường hợp tổng quát,  là hàm của tọa độ 𝑟 của dv; trong vật rắn, 𝑟 biến thiên một cách liên tục, tổng số  trong (2.1) biến thành tích phân thể tích, và khối tâm vật rắn được định nghĩa là điểm G, xác định bởi đằng thức:

Trong đó: M là khối lượng toàn phần của vật

- Trong đa số các trường hợp thường gặp trong thực tiễn, vật rắn là một khối đồng tính, khi ấy  có trị số không đổi, có thể cho ra ngoài dấu tích phân, và ta được:

- Khối tâm G khi đó được xác định đơn thuần do các tính chất hình học của vật [1]

2 MÔMEN QUÁN TÍNH ĐỐI VỚI MỘT TRỤC QUAY CỐ ĐỊNH

- Vị trí của khối tâm không đủ dặc trưng sự phân bố khối lượng trong cơ hệ một cách đầy đủ Chẳng hạn, có hai quả nặng A1 và A2 cùng khối lượng m đặt hai đầu một thanh độ dài l (Hình 2.1) [1]

Hình 2.1: Chuyển động vật rắn quanh một trục cố định [1]

GVHD: Lê Văn Nhạn 19 SVTH: Võ Ngọc Huỳnh

- Khối tâm của hệ ở tâm điểm thanh, không phụ thuộc vào chiều dài thanh Cho thanh quay quanh một trục vuông góc với thanh và đi qua tâm của thanh, ta thấy rằng thanh càng dài thì quay càng khó mặc dù khối tâm của hệ không đổi Sự phân bố khác nhau của các khối lượng đối với khối tâm là có ảnh hưởng khác nhau đến chuyển động của hệ, mặc dù khối lượng toàn phần và khối tâm của hệ không đổi

- Vì vậy, người ta đã đưa ra thêm một đại lượng để đặc trưng sự phân bố khối lượng, đó là mômen quán tính [1]

Định nghĩa: Mômen quán tính của một vật đối với một trục Oz là một đại lượng vô

hướng, xác định bởi đẳng thức:

𝐼𝑂𝑧 = ∑ 𝑚𝑖𝑟𝑖2 (2.7)

Trong đó: mi là khối lượng và ri là khoảng cách tới Oz của chất điểm ấy trên vật

- Mômen quán tính giữ một nhiệm vụ quan trọng trong chuyển động quay, như khối tâm trong chuyển động tịnh tiến

Gọi M là khối lượng toàn phần của vật, và đặt:

r

mi i oz



  2 2

Trong đó: gọi là bán kính quán tính (hay bán kính hồi chuyển) của vật đối với trục

Oz và chính là khoảng cách từ Oz đến điểm mà ta phải tập trung toàn bộ khối lượng của vật vào, để điểm ấy có mômen quán tính bằng vật [1]

- Trong tọa độ Descartes, mômenquán tính đối với các trục x, y và z là:

𝐼𝑥 = ∑ 𝑚𝑖(𝑦2+ 𝑧2); 𝐼𝑦 = ∑ 𝑚𝑖(𝑥2+ 𝑧2); (2.9)

𝐼𝑧 = ∑ 𝑚𝑖(𝑥2+ 𝑦2);

3 XÁC ĐỊNH KHỐI TÂM CỦA MỘT VÀI VẬT ĐỒNG TÍNH

3.1 Khối tâm của một cung tròn

- Ta xét cung tròn đồng tính AB, trên đường

tròn tâm O, bán kính R

- Gọi 2 = AOB là góc ở tâm chắn cung AB

và hướng trục Ox theo đường phân giác của góc

AOB (Hình 2.2).Oxlà trục đối xứng của cung, vậy

khối tâm G phải ở trên Ox Ta xác định hoành độ

GVHD: Lê Văn Nhạn 20 SVTH: Võ Ngọc Huỳnh

- Theo hình vẽ, ta có dlRd và hoành độ của trung điểm của MM’ trùng với hoành độ của M là Rcos Gọi 𝜌 là khối lượng trên đơn vị độ dài thì khối lượng dm của cung MM’ là dm.dl;

- Thế các trị số này vào công thức (2.6), ta được:

.cos

2 2

1

0

2

R d

R dl

d R

3.2 Khối tâm của một hình quạt tròn

- Ta xét hình quạt tròn đồng tính AOB tâm O, bán kính R Cũng gọi 2  AOB là góc ở tâm của hình quạt và hướng trục Oxtheo đường

phân giác cuả góc AOB (Hình 2.3)

Cũng do tính chất đối xứng của hình Khối tâm G của

nó cũng ở trên Ox, và ta chỉ cần xác định hoành độ x G

- Ta lấy trên hình quạt một diện tích nguyên tố ds, có

tâm là điểm H gọi r, là tọa độ cực của H

- Gọi là khối lượng trên đơn vị diện tích của hình

quạt, dm là khối lượng của diên tích nguyên tố ds, ta có:

R

G R

r dr d R x

R rdr d

H

y

Hình 2.3: Hình quạt tròn [1]

𝛼

GVHD: Lê Văn Nhạn 21 SVTH: Võ Ngọc Huỳnh

3.3 Khối tâm của một hình chỏm cầu

- Ta xét hình chỏm cầu đồng tính tâm O, bán kính R, đáy là một đường tròn tâm C, đỉnhO (Hình 2.4)

- Gọi 2 là góc ở đỉnh của hình tròn đỉnh I, đáy là đường tròn C Vì tính chất đối xứng khối tâm G của chỏm cầu phải ở trên OI Hướng trục Ox theo OI, ta xác định hoành độ x G của G

- Ta lấy trên chỏm cầu một diện tích nguyên tố ds giới hạn bởi hình chữ nhật cong ABCD đặt tại điểm M

Hoành độ của M là: x M Rcos cos 

- Độ dài hai cạnh AB, AD của ds lần lượt là:

GVHD: Lê Văn Nhạn 22 SVTH: Võ Ngọc Huỳnh

 là hằng số, hai biến số 𝜃 và 𝜑 là độc lập và đều biến thiên từ  đến , ta có:

.2

2cos1sin

2

2cos

.cos

d d

d d

G x

sin (2 sin 2 ) sin 2

3.4 Khối tâm của một hình quạt cầu

- Ta xét hình quạt cầu đồng tính tâm O,

bán kính R, đỉnh S, đáy là một đường tròn C,

tâm I (Hình 2.5)

- Ta cũng gọi 2 là góc ở đỉnh của hình

nón đỉnh O, đáy C Cũng do tính đối xứng,

khối tâm G phải ở trên OI Ta cũng hướng trục

Ox theo OI và xác định hoành độ x G của G

- Ta thấy một nguyên tố thể tích 𝑑𝑣, giới

hạn bởi hình hộp chữ nhật, tâm M ở cách O

một khoảng r Độ dài ba cạnh của hình hộp

theo tọa độ cực lần lượt là: dr; 𝑟𝑑𝜃;𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜑

- Nếulà khối lượng riêng (khối lượng

của đơn vị thể tích) của hình quạt cầu, thì khối

lượng dm của nguyên tố d là:

𝑑𝑚 = 𝜌𝑑𝑣 = 𝜌 𝑟2 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝑑𝜑 Hoành độ của điểm M là:

𝑥𝑀 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜑 Thế các trị số này vào (2.6) ta được :

3 2 2

cos cos cos

G

xdm r drd d x

GVHD: Lê Văn Nhạn 23 SVTH: Võ Ngọc Huỳnh

sin22

2sin4

.cos

.cos

cos

3 4

0 2 0

2 3

R

R

d d dr

r

d d

dr r

của vật đối với, M là khối lượng của vật Ta tính mômen

quán tính I của vật đối với  '.[1]

- Gọi Ai là một điểm của vật có khối lượng là mi Từ

Ai ta vẽ 2 đường AiH và AiK lần lượt vuông góc với  và

I  G  (2.14)

Định lí:Mômen quán tính của một cơ hệ đối với trục Δ’ bất kì, bằng mômen quán

tính của vật đối với một trục Δ đi qua khối tâm và song song với Δ’, cộng với tích khối lượng của vật và bình phương khoảng cách giữa hai trục [3]

GVHD: Lê Văn Nhạn 24 SVTH: Võ Ngọc Huỳnh

Công thức cho thấy rằng mômen quán tính của một vật đối với bất kì trục nào bao giờ cũng lớn hơn mômen quán tính đối với trục song song đi qua khối tâm, nghĩa là trong các trục có cùng một phương, thì đối với trục đi qua khối tâm, mômen quán tính có trị số nhỏ nhất [1]

5 ĐỊNH LÍ CHUYỂN ĐỘNG CỦA KHỐI TÂM

5.1 Định lí[𝟑]

- Giả sử cơ hệ có n chất điểm A1, A2,…An, khối lượng m1, m2,…mn Gọi Fi và fi là ngoại lực và nội lực tác dụng vào chất điểm Ai; gây ra cho nó gia tốc a i , vị trí của Ai được xác định bởi bán kính véctơ r i [1]

- Áp dụng định luật II Niu-tơn, chuyển động của từng chất điểm được xác định bởi các phương trình: [3]

𝐹1

⃗⃗⃗ + 𝑓⃗⃗⃗ = 𝑚1 1𝑎⃗⃗⃗⃗ 1

… … … …

i i i

i i

G m v v

M 

- Lấy đạo hàm đẳng thức trên, ta được:

i i

G m a a

M  Nhận thấy rằng:

G i

i

i m a M a F

   (2.15)

Định lí khối tâm: Khối tâm của vật rắn (hoặc hệ biến dạng) chuyển động như một

chất điểm mang tổng khối lượng M của hệ và chịu tác dụng của tổng véctơ các ngoại lực

- Nếu hệ kín:

∑ 𝐹⃗⃗ = 0,𝑖 𝑎⃗⃗⃗⃗ = 0 𝐺thì khối tâm chuyển động thẳng đều hoặc đứng yên, 𝑣⃗⃗⃗⃗ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, cũng có nghĩa là 𝐺động lượng của vật rắn (của hệ) được bảo toàn [3]

- Trong vật rắn, số chất điểm Ai lớn vô hạn, các khối lượng mi biến thiên một cách liên tục, ta phải thay các tổng số hữu hạn trên bằng các tích phân, nhưng kết quả trên vẫn không thay đổi Trong cách chứng minh trên, các r i biến thiên một cách độc lập Do đó, phương trình cũng áp dụng được cho vật rắn biến dạng Phương trình này chính là

GVHD: Lê Văn Nhạn 25 SVTH: Võ Ngọc Huỳnh

phương trình chuyển động của một chất điểm có khối lượng M, đặt tại khối tâm G và chịu tác dụng của toàn bộ các ngoại lực [3]

- Khối tâm của một cơ hệ cứng rắn hay biến dạng được, chuyển động như một chất điểm có khối lượng toàn phần của hệ, và chịu tác dụng của mọi ngoại lực đặt vào cơ hệ

Chú ý: Khi áp dụng định lí trên, ta coi các ngoại lực (đặt vào mỗi chất điểm) như đặt

vào khối tâm, nghĩa là coi lực F i như được dịch chuyển song song với chính nó, từ chất điểm Ai đến G Vì các lực này đều đặt ở cùng một điểm, nên chúng tương đương với một lực 𝐹 độc nhất đặt tại G [1]

5.2 Hệ quả

- Giả sử: Các ngoại lực tác dụng vào cơ hệ là trọng lực, thì tổng hợp lực của chúng

là trọng lượng M.g của hệ, đặt tại khối tâm G Mặc dù, khi chuyển động hình dạng hay đổi thế nào, khối tâm G vẫn chuyển động như một chất điểm trong trọng trường Nếu không có sức cản của không khí, thì khối tâm vẽ thành một đường parabol Dù viên đạn vừa đi vừa quay, dù nó nổ tan thành nhiều mảnh, thì khối tâm của nó vẫn đi theo đường parabol.[1]

- Ta xét chuyển động của hệ Trái Đất và Mặt Trăng quanh Mặt Trời Lực hấp dẫn

do Mặt Trời tác dụng vào Trái Đất và Mặt Trăng là ngoại lực, còn lực hấp dẫn giữa Trái Đất và Mặt Trăng là nội lực Khối tâm của hệ Trái Đất và Mặt Trăng sẽ chuyển động như một chất điểm chịu tác dụng của tổng hợp lực hai lực hút do Mặt Trời tác dụng vào Trái Đất và Mặt Trăng, vẽ thành một đường elip quanh Mặt Trời Nếu Mặt Trăng đi ra xa, hoặc lại gần Trái Đất, hoặc vỡ thành nhiều mảnh thì khối tâm của hệ vẫn tiếp tục đi theo đường elip cũ.[1]

- Nếu một vật rắn chỉ chịu tác dụng của một ngẫu lực thì tổng véctơcủa các lực 𝐹 =

0, khối tâm G của vật rắn chuyển động thẳng đều hoặc đứng yên, vật rắn chỉ quay quanh

G [3]

- Khi một vận động viên nhảy cầu thì khối tâm G của anh ta chỉ chịu tác dụng của trọng lực cơ thể, nên dù anh ta có làm nhiều động tác khác nhau (cuộn người lại, giãn thẳng người, ) thì G vẫn vạch ra quỹ đạo parabol xác định bởi vận tốc ban đầu Các nội lực không ảnh hưởng gì đến chuyển động của khối tâm [3]

- Chuyển động của vật rắn hoặc hệ trên mặt phẳng nằm ngang, nếu chỉ có trọng lực tác dụng [3]

 Giả thiết không có ma sát Nếu ban đầu hình chiếu G’ của khối tâm G của một người đứng yên thì G’ sẽ tiếp tục đứng yên, nghĩa là người ấy không thể đi được Lực của các cơ bắp là những nội lực, có thể làm chân tay dịch chuyển đối với nhau, nhưng không thể là G’ dịch chuyển Chỉ khi có ma sát giữa chân và mặt phẳng thì lực ma sát do mặt phẳng tác dụng lên chân mới là ngoại lực đẩy người tiến lên [3]

 Lực mà động cơ của một xe ô tô sinh ra là nội lực, không thể tự nó làm xe tiến lên Nếu không có ma sát giữa bánh xe và mặt đường thì bánh xe chỉ quay tại chỗ, điều này xảy ra khi xe vào đường bùn lầy Lực ma sát mới là ngoại lực làm xe tiến lên; lực này tỉ lệ với áp lực của bánh xe phát động lên mặt đường, nên người ta thường chế tạo xe sao cho phần lớn trọng lượng của xe phân bố trên các bánh ấy [3]

 Khi ta hãm xe, lực mà má phanh tác dụng lên bánh dù có lớn đến mấy cũng chỉ là nội lực không thể làm xe dừng lại Nhưng nó làm bánh xe ngừng quay và miết lên mặt đường Chính lực ma sát giữa bánh xe và mặt đường mới là ngoại lực làm xe dừng [3]