Đề cương toán học Trung học phổ thông

Thầy: Ngô Long 0988 66 63 63 – Chu Minh – Ba Vì - HN ĐỀ CƢƠNG TOÁN HỌC TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LỚP 10: I. VÉCTƠ 1. Khái niệm - Kí hiệu - Giá, phương, hướng, độ dài - Véctơ bằng nhau, đối nhau - Tích Véctơ với 1 số - Góc 2 Véctơ - Tích vô hướng - Quy tắc 3 điểm 2. Tọa độ: Cho      = (x, y)      = (x’, y’) +,                      ,            k.             ,              +,           +,      󰅖     +,           3. Tọa độ điểm: Cho A(x 1 ; y 1 ), B(x 2 ; y 2 ), C(x 3; y 3 )          =    Trọng tâm  Điểm thuộc Ox, điểm thuộc Oy  Điểm hình chiếu, đối xứng qua các trục tọa độ 4. Bài tập: Cho A( ; ), B( ; ), C( ; ). + Tìm trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp + Tìm hình chiếu của A trên BC + Tìm chân đường phan giác của  Thầy: Ngô Long 0988 66 63 63 – Chu Minh – Ba Vì - HN + Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành II. ĐƢỜNG THẲNG 1. Phƣơng trình  Tổng quát: A.x + B.y + C = 0, A 2 + B 2   Tham số:       Chính tắc:   =    Đoạn chắn:   +   = 1  Hệ số góc: y = a.x + b y = a.(x – x o ) + y o  Đi qua 2 điểm A(x 1 , y 1 ), B(x 2 , y 2 ):   =   - BÀI TẬP 2. Vị trí tƣơng đối a. Phương pháp giải hệ b. Phương pháp tỉ lệ 3. Góc giữa 2 đường thẳng 4. Khoảng cách 5. Cặp phân giác  BÀI TẬP 1. A(1; 3), 2 trung tuyến x – 2y + 1 = 0, y-1 = 0. Viết pt các cạnh 2.  (1; 3), : x – 2y + 1 = 0 tìm H thuộc  sao cho MH nhỏ nhất 3. Cho A(0; 2), B(2; -2), d: x – y – 1 = 0. Tìm M thuộc d sao cho (MA + MB) nhỏ nhất. 4. Cho A(1; 1), B(1; 2), d: x + y + 1 = 0. Tìm M thuộc d sao cho (MA 2 + MB 2 ) nhỏ nhất. ĐƢỜNG TRÒN  Phương trình: (x - a) 2 + (y - b) 2 = R 2 x 2 + y 2 – 2ax – 2by + c = 0, R =          Tiếp tuyến: tiếp xúc C(I, R)  d(I,  Thầy: Ngô Long 0988 66 63 63 – Chu Minh – Ba Vì - HN - Tính chất: Nếu M là tiếp điểm => IM 󰅖  Cát tuyến: cắt C(I, R)  d(I,  - Tính chất: Nếu giao điểm của với C(I, R) là A, B => IA = IB Vị trí của 2 đường tròn:    < I 1 I 2 <    Cắt I 1 I 2 =    => Tiếp xúc ngoài    = I 1 I 2 => Tiếp xúc trong I 1 I 2 >   => Rời nhau    > I 1 I 2 => Lồng nhau  Đường tròn ngoại tiếp ABC: là đường tròn đi qua 3 đỉnh của ABC. - Tính chất: SABC =      Đường tròn nội tiếp ABC: là đường tròn tiếp xúc 3 cạnh của ABC, tâm đường tròn ngoại tiếp là giao 2 đường phân giác trong. - Tính chất: SABC = p.r (p là nửa chu vi)  Tiếp tuyến chung của 2 đường tròn: là đường thẳng đồng thời tiếp xúc với cả 2 đường tròn.  * BÀI TẬP (Có lời giải, phân tích, hướng dẫn) BT1. Viết pt đường tròn ngoại tiếp ABC, biết: A(2; 0); B(0; 1); C(-1; 2). Cách 1: Gọi pt đường tròn: x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 A, B, C thuộc đường tròn      => 3 pt bậc nhất 3 ẩn a, b, c => ghpt => (C) Chú ý: Gọi pt x 2 + y 2 – 2ax – 2by + c = 0, R =         cũng được. Cách 2: Gọi I(a, b) là tâm => IA= IB= IC = R  2 pt bậc nhất 2 ẩn a, b => I và R = IA Cách 3: - Viết phương trình trung trực của AB - Viết phương trình trung trực của AB Thầy: Ngô Long 0988 66 63 63 – Chu Minh – Ba Vì - HN => I => R = IA BT2. Cho I(1; 3), : x – 3y + 6 = 0 Viết phương trình đường tròn tâm I và tiếp xúc  LG: R = d(I , =          BT3. Viết pt đường tròn đi qua A(1; 2) và tiếp xúc với    tại M(-2; -1) LG: A  Đường thẳng IM     IM:         M   Vì I thuộc IM => Gọi I(-2 + 3t; -1- 4t)  IM = IA         =          => t => I => R BT4. Viết pt đường tròn đi qua 2 điểm A(6; 3), B(3; 2) và tiếp xúc với đường thẳng    . LG: Gọi I(a; b) là tâm =>    (1) Là pt bậc nhất (2) Là pt bậc 2 => ghpt hệ có 2 nghiệm I Thầy: Ngô Long 0988 66 63 63 – Chu Minh – Ba Vì - HN BT5. Viết C(I, R) có tâm I thuộc      ; tiếp xúc với       LG: Gọi I thuộc  = R =   => t => I => C(I, R) BT6. Viết C(I, R) biết tâm I(3; 1) và cắt     theo 1 đoạn thẳng có độ dài = 4. LG: Gọi A, B là giao điểm với (C) H là trung điểm của AB  IA 2 = IH 2 + HA 2  R 2 = d 2 (I, ∆) + 2 2 A   R 2 = 5 + 4  R = 3 BT7. Viết C(I, R) có tâm I thuộc    và tiếp xúc 2 đường thẳng  1: x + y + 4 = 0;  2: 7x – y + 4 = 0 LG: Cách1: I thuộc d => gọi I(t) (C) tiếp xúc với  1,  2 => d ( I , ∆ 1 ) = d ( I, ∆ 2 )         =        mà x i; y i theo 1 ẩn t => giải pt 1 ẩn t => t => I => (C) Cách 2: Để ý rằng  1 cắt  2 tại M  Pt cặp phân giác góc   :    =      (C) tiếp xúc với  1,  2 => d ( I , ∆ 1 ) = d ( I, ∆ 2 ) = R  I thuộc phân giác trong góc M  I là giao của d với phân giác góc M (I = d    LƯU Ý: Vì có 2 phân giác => có 2 điểm I => có 2 đường tròn. I Thầy: Ngô Long 0988 66 63 63 – Chu Minh – Ba Vì - HN BT8: Viết C(I, R) đi qua A(4; 2) và tiếp xúc 2 đường thẳng  1: x - 3y - 2 = 0;  2: x - 3y + 18 = 0  1 LG: Ta thấy  1 //  2 => d ( ∆ 1 , ∆ 2 ) =         =        =    = 2    => R =   .d (∆1, ∆2) =    2 * Tìm I: Gọi  là đường thẳng // và cách đều 2 đường thẳng  1 và  2 =>: x - 3y + 8 = 0. => I => I (3t – 8; t) * d ( I , ∆ 1 ) = d ( I, A)    =           => t 1 ; t 2 => I 1 , I 2 . BT9: Tìm giao điểm của đường thẳng  1 : x - 7y + 10 = 0 với đường tròn (C): x 2 + y 2 – 2x + 4y – 20 = 0. LG:  Ghpt:                  BT10: Tìm giao điểm của 2 đường tròn (C 1 ): x 2 + y 2 – 4x - 6y + 4 = 0. (1) (C 2 ): x 2 + y 2 – 10x -14y + 70 = 0. (2) P 2: Tọa độ giao điểm là nghiệm của hpt:    => ghpt => tọa độ giao điểm. BT11: Cho (C): x 2 + y 2 – 2x + 8y +1 = 0 và : 5x +12y – 6 = 0 I Thầy: Ngô Long 0988 66 63 63 – Chu Minh – Ba Vì - HN Viết pt tiếp tuyến biết tiếp tuyến // với  LG: Vì tiếp tuyến // với => pt tiếp tuyến có dạng: : 5x +12y + c = 0 (c  -6) d (I, ∆) = R => pt 1 ẩn c => pt tiếp tuyến. BT12: Cho (C): x 2 + y 2 + 2x - 8y – 19 = 0 và : 2x - y + 1 = 0 Viết pt tiếp tuyến biết tiếp tuyến tạo với  1 góc 45 o LG: (C) có tâm I(1; -4), R = 6  TH 1: Tiếp tuyến có dạng: x = a (  g(  45 o => loại  TH 2: Tiếp tuyến có dạng: y – ax + b (                                                         => a, b. BT13: Cho A(1; -1), (C): x 2 + y 2 - 4x + 6y + 4 = 0. Viết pt tiếp tuyến kẻ từ A. C1: (C) có tâm I( 2; -3), R = 3. TH1: Tiếp tuyến có dạng: x = a  x + 0.y – a = 0. d (I, ∆) = R       = 3       1 : x = -1 (loại vì k đi qua A)   1 : x = 5 (loại vì k đi qua A) TH2: Tiếp tuyến có dạng: : y = ax + b  ax – y + b = 0.                      => a, b. C2: (C) có tâm I( 2; -3), R = 3. Gọi tiếp điểm là M(x o ; y o ) =>        x o – 2; y o + 3) Thầy: Ngô Long 0988 66 63 63 – Chu Minh – Ba Vì - HN  Pt tiếp tuyến          : (x o – 2).(x – x o ) + (y o + 3).( y – y o ) = 0. Có A(1; -1)   (x o – 2).(1 – x o ) + (y o + 3).( -1 – y o ) = 0. (1) M  (C)  x o 2 + y o 2 - 4x o + 6y o + 4 = 0 (2) Từ (1) và (2) => x o , y o => Tiếp tuyến. C3: (C) có tâm I( 2; -3), R = 3. Gọi pt tiếp tuyến có dạng: : ax + by + c  a 2 + b 2  0.        => 2pt 3 ẩn a, b, c => biểu diễn a, c theo b => pt tt. BT14: Cho (C): x 2 + y 2 - 12x – 4y + 36 = 0. Viết pt đường tròn (C 1 ) tiếp xúc Ox, Oy và tiếp xúc ngoài với (C). LG: (C) có tâm I(6; 2), R = 2. Gọi (C 1 ) có tâm I 1 (a; b), R 1 .  (C 1 ) tiếp xúc Ox, Oy => d(I 1 , Ox) = d(I 1 , Oy)  a = b  Xét TH1: a = b => I 1 (a; a) => R 1 =    (C 1 ) tiếp xúc ngoài với (C)  I 1 I = R 1 + R          =      =>     Xét TH2: a = -b => a = 6 KL: Có 3 đường tròn ứng với a = 18, a = 2, a = 6. BT15: Viết Pt đường tròn nội tiếp  biết A(-1; 7), B(4; -3), C(-4; 1). LG: Kẻ phân giác trong AD, BI (I = AD  ) Thầy: Ngô Long 0988 66 63 63 – Chu Minh – Ba Vì - HN    =   =>            .         D (-1; -   )    =   =>       =   .       => I(-1; 2)  Pt AB: 2x + y – 5 = 0  R = d(I. AB) =   KL: (C) (x + 1) 2 + (y – 2) 2 = 5 BT16: Viết pt đường thẳng  đi qua O(0; 0) và cắt (C) (x – 1) 2 + (y + 3) 2 = 25 tại A, B và AB = 8. LG:  qua O => ax + by = 0, a 2 + b 2 > 0 Gọi H là trung điểm AB => IH 2 +     2 = R 2 => a, BT17: Cho A’ (3; 0), (C) : x 2 + y 2 + 2x – 4y – 20= 0. Viết phương trình  đi qua A’, cắt (C) tại AB sao cho AB min LG: Theo Pitago => IA 2 =     2 + d 2 (I, A)  AB min  d(I, A) Max   󰅖 IA’              BT18: Cho (C): x 2 + y 2 - 2x + 4y +4 = 0, d: 3x + 4y – 7 = 0. Viết // d và chia đường tròn thành 2 cung có tỉ số độ dài = 2. LG: Sđ cung   = 2. Sđ cung      = 120 o => IH =   . IA =   // d =>  3x + 4y + c = 0. (c   d(I,  = ½ => c =   hoặc c =    . I A B n m Thầy: Ngô Long 0988 66 63 63 – Chu Minh – Ba Vì - HN BT19: Cho (C): x 2 + y 2 - 2x + 4y +4 = 0, M(-1; -3) Viết  qua M, cắt (C) tại A, B sao cho S IAB max LG: S IAB =    sin    S Max    = 90 o  Gọi H là trung điểm của AB => IH = AH = IA.sin 45 o = 3    . Bài toán trở thành: Viết pt đt  đi qua M( -1; -3) và d(I,  = 3    . BT20: Viết pt tiếp tuyến chung của 2 đường tròn (C 1 ): x 2 + y 2 = 9; (C 2 ) : (x – 3) 2 + y 2 = 1 LG: ax + by + c = 0, a 2 + b 2  0                                            =>          TH1:     => b =     .a =>       TH2:     => a = b = 0 (vô lý) Kết luận: Có 2 tiếp tuyến chung CHÚ Ý: Tùy theo vị trí (C 1 ) với (C 2 ) => cách viết tiếp tuyến chung. Đề thi Đại học A – 13: Hình chữ nhật ABCD, A( -4; 8), Cd: 2x + y + 5 = 0. C là trung điểm của MB, BN ˪ MD, N(5; -4). Tìm B, C. A B LG: Gọi C(t; -2t – 5) => I(      ) B  IA = IN => t => I => C I [...]... 1)2 + b2 =1 Định lý Cosin => MO2 = OI2 + IM2 – 2OI.IM √  M( ; ̂ O ) C2 : Gọi H là trung điểm OM, Pitago=> OM C3 : Dường thẳng OM : { I H M  OM cắt (C) tại M D – 07 : Cho (C) : (x-1)2 + (y+2)2 = 9, d : 3x – 4y + m = 0 Tìm m để trên d có duy nhất 1 điểm P mà từ P kẻ được 2 tiếp tuyến PA, PB sao cho PAB đều O LG : PAB đều  ̂ = 30o  IP = 2: IA = 6 H I Tìm được duy nhất P thuộc d sao cho IP = 6  d(I;... cắt nhau tại 1 điểm thuộc tia Oy Viết (C) G: Gọi M(0; t), t B 0 AB = 2√ , AI = R = √ AH = A  AM = 2√ , MH = 4√  d(M, ) = 4√ => t = 8 => M(0; 8) I O  H(4; 4) => IH = √ =  I(5; 3) D – 13: ABC, M( là trung điểm AB, H(-2; 4) là chân đường cao kẻ từ B, I(-1; 1) là tâm đường tròn nội tiếp Tìm C? LG: * AB: đi qua M và ˪ MI  AB: 7x – y + 33 = 0 B Gọi A(t; 7t + 33) => B( -t – 9; -7t – 30) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗... TN 2012 : y = x2 – 2x2 , y’ = x3 – 4x2 TXĐ : R Lim (…) = + x y’ = 0  x = 0, x = x y’ y + -2 -0 + 2 0 0 0 + -4 đb (…), đb (….) + 2 - 0 nb (…), nb (….) + CĐ, CT, CT -4  Đồ thị đi qua 3 điểm cực trị, và học sinh lấy thêm 2 điểm A(-2√ ; 0), B(2√ ; 0) y -2√ O -4 2√ x Thầy: Ngô Long 0988 66 63 63 – Chu Minh – Ba Vì - HN Đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng  Khảo sát hàm y = - TXĐ : R\ { - Lim( }, = => TCN :... )- x - y’ = ( => TXĐ: x = )= + => dấu của y’ khi x - BTT: x - y’ y + - + - x y’ y - + - + - Kết luận đơn điệu  Vẽ đồ thị: Cho x = 0 => y; cho y = 0 => x Nếu 2 điểm cùng phía so với tiệm cận đứng thì học sinh tự lấy thêm 1 điểm ở phía bên kia TCĐ Bài mẫu: (TN – 2011) - y= TXĐ: R\ { } - Lim ( x )= => TCN: y = 1 Thầy: Ngô Long 0988 66 63 63 – Chu Minh – Ba Vì - HN - Lim ( ) = - , Lim ( ( )- x x - y’... N thì thay N vào tiếp tuyến - Nếu tiếp tuyến // với đường thẳng y = ax + b => k = a - Nếu tiếp tuyến ˪ với đường thẳng y = ax + b => k = - Có thể gọi tiếp điểm M(xo; yo)với 1 ẩn xo (Mọi bài tiếp tuyến đều có 3 bước: TIẾP ĐIỂM => K => PT TIẾP TUYẾN) (a Thầy: Ngô Long 0988 66 63 63 – Chu Minh – Ba Vì - HN  Bài mẫu: (TN – 2013) Cho hàm số: y = x3 - 3x - 1 Viết pt tiếp tuyến biết hệ số góc của tiếp tuyến . Thầy: Ngô Long 0988 66 63 63 – Chu Minh – Ba Vì - HN ĐỀ CƢƠNG TOÁN HỌC TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LỚP 10: I. VÉCTƠ 1. Khái niệm - Kí hiệu - Giá, phương, hướng, độ dài. trí (C 1 ) với (C 2 ) => cách viết tiếp tuyến chung. Đề thi Đại học A – 13: Hình chữ nhật ABCD, A( -4; 8), Cd: 2x + y + 5 = 0. C là trung điểm của MB, BN ˪ MD, N(5; -4). Tìm B, C. A B.    sin    S Max    = 90 o  Gọi H là trung điểm của AB => IH = AH = IA.sin 45 o = 3    . Bài toán trở thành: Viết pt đt  đi qua M( -1; -3) và d(I,  = 3    .