Đề cương toán học Trung học phổ thông

Khái niệm - Kí hiệu - Giá, phương, hướng, độ dài - Véctơ bằng nhau, đối nhau  Điểm thuộc Ox, điểm thuộc Oy  Điểm hình chiếu, đối xứng qua các trục tọa độ 4.. + Tìm trọng tâm, trực tâm,

Trang 1

Thầy: Ngô Long 0988 66 63 63 – Chu Minh – Ba Vì - HN

ĐỀ CƯƠNG TOÁN HỌC TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LỚP 10:

I VÉCTƠ

1 Khái niệm

- Kí hiệu

- Giá, phương, hướng, độ dài

- Véctơ bằng nhau, đối nhau

 Điểm thuộc Ox, điểm thuộc Oy

 Điểm hình chiếu, đối xứng qua các trục tọa độ

4 Bài tập: Cho A( ; ), B( ; ), C( ; )

+ Tìm trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp

+ Tìm hình chiếu của A trên BC

+ Tìm chân đường phan giác của

Trang 2

+ Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành

1 A(1; 3), 2 trung tuyến x – 2y + 1 = 0, y-1 = 0 Viết pt các cạnh

2 (1; 3), : x – 2y + 1 = 0 tìm H thuộc sao cho MH nhỏ nhất

3 Cho A(0; 2), B(2; -2), d: x – y – 1 = 0 Tìm M thuộc d sao cho (MA + MB) nhỏ nhất

4 Cho A(1; 1), B(1; 2), d: x + y + 1 = 0 Tìm M thuộc d sao cho (MA2 + MB2) nhỏ nhất

Trang 3

- Tính chất: Nếu M là tiếp điểm => IM

 Cát tuyến: cắt C(I, R)  d(I,

- Tính chất: Nếu giao điểm của với C(I, R) là A, B => IA = IB

- Tính chất: S ABC = p.r (p là nửa chu vi)

 Tiếp tuyến chung của 2 đường tròn: là đường thẳng đồng thời tiếp xúc với cả 2 đường tròn

 * BÀI TẬP (Có lời giải, phân tích, hướng dẫn)

BT1 Viết pt đường tròn ngoại tiếp ABC, biết: A(2; 0); B(0; 1); C(-1; 2)

Cách 1: Gọi pt đường tròn: x2 + y2 + ax + by + c = 0

A, B, C thuộc đường tròn {

=> 3 pt bậc nhất 3 ẩn a, b, c => ghpt => (C)

Chú ý: Gọi pt x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0, R = √ cũng được

Cách 2: Gọi I(a, b) là tâm => IA= IB= IC = R

 2 pt bậc nhất 2 ẩn a, b => I và R = IA Cách 3: - Viết phương trình trung trực của AB

- Viết phương trình trung trực của AB

Trang 4

=> I => R = IA

BT2 Cho I(1; 3), : x – 3y + 6 = 0

Viết phương trình đường tròn tâm I và tiếp xúc

LG: R = d(I , = | |

√ √

BT3 Viết pt đường tròn đi qua A(1; 2) và tiếp xúc với tại M(-2; -1) LG: A  Đường thẳng IM {

 IM: {

M

 Vì I thuộc IM => Gọi I(-2 + 3t; -1- 4t)

 IM = IA  √ = √

=> t => I => R BT4 Viết pt đường tròn đi qua 2 điểm A(6; 3), B(3; 2) và tiếp xúc với đường thẳng

LG: Gọi I(a; b) là tâm => {

(1) Là pt bậc nhất

(2) Là pt bậc 2 => ghpt hệ có 2 nghiệm

I

Trang 5

BT5 Viết C(I, R) có tâm I thuộc √ ; tiếp xúc với LG: Gọi I thuộc

= R = √ => t => I => C(I, R)

BT6 Viết C(I, R) biết tâm I(3; 1) và cắt theo 1 đoạn thẳng có độ dài = 4

LG: Gọi A, B là giao điểm với (C)

H là trung điểm của AB

Cách1: I thuộc d => gọi I(t)

(C) tiếp xúc với 1, 2 => d( I , ∆ 1 ) =d( I, ∆ 2 )

 | |

√ = | |

√ mà xi; yi theo 1 ẩn t => giải pt 1 ẩn t => t => I => (C) Cách 2: Để ý rằng 1 cắt 2 tại M

 Pt cặp phân giác góc ̂:

√ = –

√

 (C) tiếp xúc với 1, 2 => d( I , ∆ 1 ) = d( I, ∆ 2 ) = R

 I thuộc phân giác trong góc M

 I là giao của d với phân giác góc M (I = d ̂

 LƯU Ý: Vì có 2 phân giác => có 2 điểm I => có 2 đường tròn

I

Trang 6

BT8: Viết C(I, R) đi qua A(4; 2) và tiếp xúc 2 đường thẳng 1: x - 3y - 2 = 0;

Trang 7

Viết pt tiếp tuyến biết tiếp tuyến // với

LG: Vì tiếp tuyến // với => pt tiếp tuyến có dạng: : 5x +12y + c = 0 (c -6)

d(I, ∆) = R => pt 1 ẩn c => pt tiếp tuyến

BT12: Cho (C): x2 + y2 + 2x - 8y – 19 = 0 và : 2x - y + 1 = 0

Viết pt tiếp tuyến biết tiếp tuyến tạo với 1 góc 45o

LG: (C) có tâm I(1; -4), R = 6

 1: x = -1 (loại vì k đi qua A)

 1: x = 5 (loại vì k đi qua A) TH2: Tiếp tuyến có dạng: : y = ax + b  ax – y + b = 0

{

 {

| |

√ => a, b

C2: (C) có tâm I( 2; -3), R = 3

Gọi tiếp điểm là M(xo; yo) => ⃗⃗⃗⃗⃗ xo – 2; yo + 3)

Trang 8

Gọi (C1) có tâm I1(a; b), R1

 (C1) tiếp xúc Ox, Oy => d(I1, Ox) = d(I1, Oy)  a = b

Trang 9

BT16: Viết pt đường thẳng đi qua O(0; 0) và cắt (C) (x – 1)2

+ (y + 3)2 = 25 tại A, B và AB = 8 LG: qua O => ax + by = 0, a2

I

n

m

Trang 10

Bài toán trở thành: Viết pt đt đi qua M( -1; -3) và d(I, = 3√

BT20: Viết pt tiếp tuyến chung của 2 đường tròn

Kết luận: Có 2 tiếp tuyến chung

CHÚ Ý: Tùy theo vị trí (C1) với (C2) => cách viết tiếp tuyến chung

Trang 11

Trang 12

Cho MI = 5 => t = 2, t = 3 => M(2; -4), M(-3; 1) các cạnh BC, CA, AB tại D, E, F

Biết D(3; 1), EF: y – 3 = 0 Tìm A, biết yA>0

Trang 13

HD: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ( ; 0) => BD // EF => ABC cân tại A

D – 11 – NC: Cho A(1; 0), (C): x2 + y2 – 2x + 4y – 5 = 0 Viết cắt (C) tại M, N sao cho AMN vuông cân tại A

Cho d1: √ + y = 0, d2 : √ – y = 0, đường tròn C(I,R) tiếp xúc d1 tại A, cắt d2 tại B, C

sao cho ABC vuông tại B, SABC = √ , XA > 0 Viết phương trình (C)

LG:

√

Trang 14

D – 07 : Cho (C) : (x-1)2 + (y+2)2 = 9, d : 3x – 4y + m = 0 Tìm m để trên d có duy nhất 1 điểm

P mà từ P kẻ được 2 tiếp tuyến PA, PB sao cho PAB đều

Trang 15

B- 06: Cho C(I; R) : x2 + y2 – 2x- 6y + 6 =0, M(-3; 1) Kẻ 2 tiếp tuyến MT1, MT2 Viết phương trình T1T2

C1: qua M Ox => : x = -3

 là 1 tiếp tuyến

Tam giác qua M có hệ số góc = K

 : y = K (x + 3) + 1

là tiếp tuyến  d(I; A) = R

 2 tiếp tuyến => 2 tiếp điểm T1, T2=> T1T2

C2 : Gọi T(xo; yo) là tiếp điểm

Trang 16

Viết phương trình (C’) đối xứng (C) qua d

Tìm giao của (C) với (C’)

LG:

C1: (C) có I(1; 2), R = 2

(C’) có I’ (a; b), R’ = R =2

Tìm I’ đối xứng I qua d

Giao điểm giải hệ

C2: Phương pháp quỹ tích

Lấy M(x; y) tùy ý => M’ (t(x); g(y)) đối xứng M qua d Cho M(x; y) (C) => M’ vẽ lên (C’)

Tham khảo : Cho (C) : x2 + y2 = 1 Tìm M để trên đường thẳng y = m có đúng 2 điểm mà từ mỗi điểm đó kẻ được 2 tiếp tuyến với (C) sao cho góc giữa 2 tiếp tuyến đó = 60o

Trang 17

√

 Khảo sát hàm bậc 3 : y = a x3 + b x2 + c.x + d

TXĐ : R; Lim ( ) , tính y’ và giải phương trình y’ = 0; x

Bảng biến thiên và kết luận đơn điệu cực trị; lấy 5 điểm và vẽ đồ thị ( Gồm CĐ, CT, uốn và 2

Đồ thị đi qua 5 điểm : CĐ(1; -1), CT (1; -3) uốn (0; -1), và thêm 2 điểm A(-2; -3), B(2; 1)

Trang 18

Đồ thị nhận điểm uốn U(0; -1) làm tâm đối xứng

 Khảo sát hàm bậc trùng phương : y = ax4 + hx2 +C gồm các bước như hàm bậc 3

Trang 19

Đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng

 Khảo sát hàm y =

- TXĐ : R\ { },

- Lim(

= => TCN : y = x

Lim (

) = … , Lim (

) = => TXĐ: x =

x ( )- x ( +

- y’ =

=> dấu của y’ khi x

- BTT:

Kết luận đơn điệu  Vẽ đồ thị: Cho x = 0 => y; cho y = 0 => x Nếu 2 điểm cùng phía so với tiệm cận đứng thì học sinh tự lấy thêm 1 điểm ở phía bên kia TCĐ Bài mẫu: (TN – 2011) y =

- TXĐ: R\ { } - Lim (

) = => TCN: y = 1 x

x - +

y’ - -

y +

-

x - +

y’ - -

y +

-

Trang 20

- Lim (

) = - , Lim (

) = => TCĐ: x = x ( )- x ( +

- y’ =

=> y’ < 0

- BTT: Hàm số nb trên khoảng (- ); ( , + ) - Đồ thị hàm số đi qua các điểm A(0; -1); B(- 0); C(1; 3); D(

- Đồ thị nhận giao điểm của 2 tiệm cận làm tâm đối xứng BTVN: y = x3 - x2 + 5; y = x3 - x2 + 1; y = x4 - x2 + 1; y = x3 +x; y = x4 + x2 + 1  Tiếp tuyến của hàm y = f(x) - Nếu đã biết tiếp điểm là M(x o ; y o ) thì pttt: y = f’(x o ).(x – x o ) + f(x o ) (hệ số góc k = f’(x o )) - Nếu tiếp tuyến đi qua điểm N thì thay N vào tiếp tuyến - Nếu tiếp tuyến // với đường thẳng y = ax + b => k = a - Nếu tiếp tuyến ˪ với đường thẳng y = ax + b => k = - (a

- Có thể gọi tiếp điểm M(x o ; y o )với 1 ẩn x o (Mọi bài tiếp tuyến đều có 3 bước: TIẾP ĐIỂM => K => PT TIẾP TUYẾN) x - +

y’ - -

y +

-

O

Trang 21

 Bài mẫu: (TN – 2013) Cho hàm số: y = x3 - 3x - 1

Viết pt tiếp tuyến biết hệ số góc của tiếp tuyến = 9

LG:

Gọi tiếp điểm M(xo; xo

3

– 3xo – 1) y’ = 3x2 – 3 => k = 3xo

a, Viết pt tiếp tuyến biết hệ số góc của tiếp tuyến = -5

b, Viết pt tiếp tuyến tại giao của đồ thị với Oy

c, Viết pt tiếp tuyến tại giao của dồ thị với d: y = 7

 Giao điểm của 2 đồ thị: Giải hệ

Trang 22

 [

Với x = 1 => y = 3 => giao điểm A(1; 3)

Với x = - => y = - 2 = => Giao điểm B(

Kết luận: Có 2 giao điểm cần tìm là A, B

- Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 => y’(1) = 0 => m = 1

- Kiểm tra lại với m = 1 => y = x3 - x2

y CĐ +

CT

Trang 23

VD: (TM 2013) Tìm max, min của hàm số y = √ – x trên [ ]

Trang 24

VD: 1 (TN – 2010) Cho y = x – 2.√ giải bất pt y’ < 0

2 (TN – 2008) Cho y = cos(2x – 1) Chứng minh rằng: y’’ + 4y = 0

x - 4 +

y’ + 0 - 0 +

y 5 +

-3

Trang 25

- a0 = 1; a1 = a; a-x = ; √ = a1/2

; ax.ay = ax+y = ax-y ; y

- Bao nhiêu Loga lấy bấy nhiêu điều kiện

- Nhớ bỏ điều kiện thừa

- Điều kiện của cơ số: 0 < a 1

Trang 26

BÀI TẬP MẪU: (TN – 2013) Giải phương trình: 31 – x – + 2 = 0

Trang 27

Định dạng
Số trang	27
Dung lượng	1,55 MB