Sắp xếp mời số đó một cách tùy ý thành một hàng.. Cộng mỗi số với thứ tự của nó trong hàng, ta đợc mời tổng.. Chứng minh rằng trong mời tổng đó tồn tại ít nhất hai tổng có chữ số tận cùn
Trang 1đại học quốc gia hà nội
Trờng đại học khoa học tự nhiên đề thi tuyển sinh lớp 10
Hệ thpt chuyên năm 2002
đề số 1 Môn : toán học (cho thí sinh thi vào chuyên Toán hoặc chuyênTin) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu I
1) Giải phơng trình:
x2 −3x+2+ x+3 = x−2+ x2 +2x−3 2) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:
x+xy+y=9
Câu II
Giải hệ phơng trình:
+
= +
= + +
y 3 x y x
1 xy y
x
3 3
2 2
Câu III
Cho mời số nguyên dơng 1, 2, …, 10 Sắp xếp mời số đó một cách tùy ý thành một hàng Cộng mỗi số với thứ tự của nó trong hàng, ta đợc mời tổng Chứng minh rằng trong mời tổng đó tồn tại ít nhất hai tổng có chữ số tận cùng giống nhau
Câu IV
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
c b a
c 16 b
c a
b 9 a
c b
a 4 P
− +
+
− +
+
− +
=
trong đó a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác
Câu V
Đờng tròn (C) tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh Bc, CA, AB tơng ứng tại các điểm A′, B′, C′
1) Gọi các giao điểm của đờng tròn (C) với các đoạn IA, IB, IC lần lợt là M, N, P Chứng minh rằng các đờng thẳng MA′ , NB′ , PC′ đồng quy
2) Kéo dài đoạn AI cắt đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D (khác A) Chứng minh rằng 2r
ID
IC
IB = , trong đó r là bán kính của đờng tròn (C)