Đề TS chuyên 10 KHTN 2006

đại học quốc gia hà nội Trờng đại học khoa học tự nhiên đề thi tuyển sinh lớp 10 Hệ thpt chuyên năm 2006 Môn : toán (Vòng 2) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Câu I (2,0 điểm) Chứng minh rằng ++ 33 9 84 1 9 84 1 là một số nguyên. Câu II (2,0 điểm) Giải hệ phơng trình =+ = 5yx 3y2x4yx 22 22 Câu III (2,0 điểm) 1) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: xy10yxyx8 2222 =++ 2) Ký hiệu [x] là phần nguyên của số x (số nguyên lớn nhất không vợt quá x). Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta luôn có; [ ] [ ] [ ] 3 33 3 7n721n9n91n72 +=++=+ Câu IV (3,0 điểm) Cho ABC nội tiếp đờng tròn (O) và I là điểm nằm trong ABC . Các đờng thẳng AI, BI, CI cắt đờng tròn (O) lần lợt tại A , B , C (khác A, B, C). Dây cung CB cắt các cạnh AB, AC tơng ứng tại các điểm M, N. Dây cung AC cắt các cạnh AB, BC tơng ứng tại các điểm Q, P. Dây cung BA cắt các cạnh BC, CA tơng ứng tại các điểm F, E. 1. Giả sử AM = AN, BP = BQ, CE = CF xảy ra đồng thời. Chứng minh rằng I là tâm đ- ờng tròn nội tiếp ABC . 2. Giả sử AM = AN = BP = BQ = CE = CF. Chứng minh rằng sáu điểm M, N, P, Q, E, F cùng nằm trên một đờng tròn. Câu V (1,0 điểm) Chứng minh rằng đa giác lồi 2n cạnh ( 2n,Nn ) luôn có ít nhất n đờng chéo không song song với bất kỳ cạnh nào của đa giác đó. . nội Trờng đại học khoa học tự nhiên đề thi tuyển sinh lớp 10 Hệ thpt chuyên năm 2006 Môn : toán (Vòng 2) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Câu I (2,0 điểm) Chứng minh rằng ++ 33 9 84 1 9 84 1 . phơng trình =+ = 5yx 3y2x4yx 22 22 Câu III (2,0 điểm) 1) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: xy10yxyx8 2222 =++ 2) Ký hiệu [x] là phần nguyên của số x (số nguyên lớn nhất không vợt quá x). Chứng