Giới hạn của hàm số tại một điểm 2.. Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là số thực L khi x dần đến hoặc tại điểm nếu với mọi dãy số... hàm số tại một điểm a Giới hạn hữu hạn 2... hàm số
Trang 11 Tìm lim 2 ?
n n
Trang 21 Giới hạn của hàm số tại một điểm
2 Giới hạn của hàm số tại vô cực
3 Một số định lí về giới hạn hữu hạn.
Nội dung
Củng cố
Trang 3hàm số tại một
điểm
a) Giới hạn hữu
hạn
ĐỊNH NGHĨA 1 (sgk, tr 146)
Giả sử (a;b) là khoảng chứa điểm và f là một
hàm số xác định trên tập hợp Ta
nói rằng hàm số f có giới hạn là số thực L khi x
dần đến (hoặc tại điểm ) nếu với mọi dãy số trong tập hợp (tức
và với mọi n) mà ta đều có
Khi đó ta viết hoặc
0
x
0 ( ; ) \ { } a b x
0
( )x n ( ; ) \ { }a b x0 x n ( ; )a b
0
n
x x lim xn x0
lim ( ) f xn L
0
lim ( )
x x f x L
0
( )
Trang 4hàm số tại một
điểm
a) Giới hạn hữu
hạn
Giả sử và f là một hàm số xác định trên x0 ( ; )a b ( ; ) \{ }a b x0
0
( ) ( ; ) \{ } lim lim ( )
lim ( )
x x
n
mà
Ví dụ 1: Cho f x( ) x3 3x2 x 5
lim x n = 2 , ta có f x( )n x n3 3x n2 x n 5
- Ta nói hàm số f có giới hạn là 3 khi x
dần đến 2 3 2
2
- Khi đó ta viết
- Xét x 0 2 ta có (-2;5) là khoảng chứa 2
- Ta có (-2;5) là khoảng chứa 2
- f xác định trên tập (-2;5)\{2 }
Trang 5hàm số tại một
điểm
a) Giới hạn hữu
hạn
Ví dụ 2: Tìm 2 ?
3
lim
3
x
x x x
Giải
+Ta có
x x x x
lim f x( )n lim (x n 1) 3 1 2
H1? Tìm
2
1
lim
1
x
x x
x
x x
+ ĐK:
x x x x
Do đó: x2 4x 3 (x 1)(x 3)
mà , ta có
• B2:
3
2
3
x
x x x
• B3: Kết luận
• B1: Xét hàm số:
2 4 3 ( )
3
x x
f x
x
Trang 6hàm số tại một
điểm
a) Giới hạn hữu
+Ta có
x x x x
lim f x( )n lim (x n 2) 1 2 1
H1? Tìm
2
1
lim
1
x
x x
x
x x
+ ĐK:
x x x x
Do đó: x2 3x 2 (x 1)(x2)
mà , ta có
• B2:
2
1
1
x
x x x
• B3: Kết luận
• B1: Xét hàm số:
2 3 2 ( )
1
x x
f x
x
Trang 7hàm số tại một
điểm
a) Giới hạn hữu
hạn
Nhận xét
a) Nếu , trong đó c là hằng số, thì
f x c x R
x
lim ( ) lim
a) Nếu g x ( ) x , x R , thì x0 R ,
lim ( ) lim
Ví dụ:
2
) lim 3 3
x
a
6
) lim 3 3
x
b
2
) lim 2
x
6
) lim 6
x
Trang 8hàm số tại một
điểm
b) Giới hạn vô cực
a) Giới hạn hữu
hạn
Ví dụ 3: Tìm 2 ?
2
1 lim
( 2)
x x
Giải
0
lim ( )
x x f x
( ) ( ; ) \{ }0 lim 0
lim ( )
n
f x
mà
0
lim ( )
x x f x
Tương tự:
B1: Xét hàm số 2
1 ( )
( 2)
f x
x
+ ĐK: (x 2)2 0 x 2
B2: ( )x n R \{ 2} mà , ta có limx n 2
2
1 lim ( ) lim
n
n
f x
x
+ Vì lim 1 1 0, lim( x n 2)2 0 và (x n 2)2 0,n nên
lim ( )f x n
2
1 lim
( 2)
x x
Trang 9hàm số tại một
điểm
a) Giới hạn hữu
hạn
2 Giới hạn của
hàm số tại vô
cực
ĐỊNH NGHĨA 2 (sgk, tr 148)
Giả sử hàm số f xác định trên ( ; a , ta nói )
( ) ( ; ) lim lim ( )
lim ( )
x
n
mà
Các giới hạn
lim ( )
lim ( )
x f x
lim ( )
x f x
lim ( )
x f x
lim ( )
x f x
b) Giới hạn vô cực
được định nghĩa tương tự.
Trang 10hàm số tại một
điểm
a) Giới hạn hữu
hạn
Nhận xét: Với mọi số nguyên dương k, ta có
x
1
x
c
x
x
d
x
) lim k x
nếu k chẵn nếu k lẻ
2 Giới hạn của
hàm số tại vô
cực
b) Giới hạn vô cực
Ví dụ:
3 ) lim
x
) lim 4
x
3 ') lim
x
2
1 ) lim 0
x
c
x
3
1 ) lim 0
x
d
x
Trang 11hàm số tại một
điểm
a) Giới hạn hữu
hạn
2 Giới hạn của
hàm số tại vô
cực
b) Giới hạn vô cực
3 Một số định lí
về giới hạn hữu
hạn.
ĐỊNH LÍ 1 (sgk tr 149)
Giả sử và Khi đó
0
lim ( )
x x f x L
0
lim ( )
x x g x M
0
) lim[ ( ) ( )]
x x
0
) lim[ ( ) ( )]
x x
0
) lim[ ( ) ( )]
x x
0
( ) lim
( )
x x
Đặc biệt, nếu c là một hằng số thì
0
lim[ ( )]
x x c f x c L
d) Nếu thì M 0
Chú ý: Định lí 1 vừa nêu và định lí 2 tiếp theo vẫn đúng khi thay x bởi hoặc x0 x x .
Trang 12ĐỊNH LÍ 1:
0
lim
x x f x L
0
x x g x M L M
Giả sử: và Khi đó:
0
x x
0
x x
0
) lim ;
x x
0
) lim ; 0
x x
0
lim ; c: haèng soá
x x cf x cL
ĐỊNH LÍ 2:
0
lim
x x f x L
Giả sử: khi đó:
0
) lim | | | | ;
x x
0
3 3
) lim ;
x x
c) Nếu f(x) ≥0 với mọi xJ\{x0}, trong đó J là một khoảng nào đó chứa x0 thì L≥0 và
0
lim
x x f x L
Trang 13hàm số tại một
điểm
a) Giới hạn hữu
hạn
2 Giới hạn của
hàm số tại vô
cực
b) Giới hạn vô cực
3 Một số định lí
về giới hạn hữu
hạn.
Nhận xét: Nếu k là một số nguyên dương
và a là một hằng số thì với mọi ta cóx0 R,
x x ax ax
Ví dụ 4 :
1
) lim( 3 2 3)
x
a x x x
2
2 1
2 1 ) lim
x
x x b
x x
Ví dụ: 3 3
2
lim 2 2.2 16
x x
Giải
Ví dụ 5 :
2
2
1 lim
2 1
x
x
x x
Giải
Trang 14hàm số tại một
điểm
a) Giới hạn hữu
hạn
2 Giới hạn của
hàm số tại vô
cực
b) Giới hạn vô cực
3 Một số định lí
về giới hạn hữu
hạn.
1
x
1
lim( 3 2 3) lim lim3 lim 2 lim3
1 3.1 2.1 3 1
x
x x x
1
lim( 3 2 3) 1
x x x x
Vậy
2
2 1
) lim
x
b
Với , ta có 2 22 1 ( 1)2 1
( 1)
x x x x x
1
x
Do đó
2
1 2
1
lim( 1)
lim 1
x
x
x
2 1
2 1
x
x x
x x
Trang 15hàm số tại một
điểm
a) Giới hạn hữu
hạn
2 Giới hạn của
hàm số tại vô
cực
b) Giới hạn vô cực
3 Một số định lí
về giới hạn hữu
hạn.
Ví dụ 5 : lim 2
2 1
x x x
Giải
Chia tử và mẫu phân thức cho x2 ta được
2
2
1 1 1
1 1
x
x x
x x
lim (1 ) lim 1 lim 1 0 1
x x x x x
Ta có
lim (2 ) lim 2 lim lim 2 0 0 2
x x x x x x x x
Do đó
2
1 lim (1 )
lim lim
1 1 1 1
2 1 2 lim (2 ) 2
x
x
x x
x x x x
Trang 16
0 nếu
0
nếu
2
x x
x
x x
x
-Đặt bậc cao nhất của tử và mẫu làm nhân tử chung
0
0
0
Khử dạng vô định
Dạng hay
Dạng dùng lượng liên hợp
) )(
(
2
2 b a b a b
Trang 179
3
x
x
Các bài tập ví dụ:
1
4
6
2
x
x
x
2
x
x
1 2
1
lim
0
3
3 9
4
lim
0
x
x
4
Trang 18hàm số tại một
điểm
a) Giới hạn hữu
hạn
b) Giới hạn vô cực
3 Một số định lí
về giới hạn hữu
hạn.
1 Theo định nghĩa, để tính giới hạn của hàm
• B1: Xét hàm số f(x) trên tập xác định của nó
và mẫu f(x) thành tích, sau đó rút gọn.
• B2: : Với mọi dãy số mà( ),x x n n x0 , n N*
0
lim x n x
2 Giới hạn tại vô
cực:
PP: Tương tự như giới hạn dãy số
• B3: : Kết luận
0
lim ( )
x x f x L
3 Tính giới hạn bằng định
lí
2 Giới hạn của
hàm số tại vô
cực
Trang 191 Giới hạn của hàm số tại một điểm
2 Giới hạn của hàm số tại vô cực
3 Một số định lí về giới hạn hữu hạn.
Nội dung
Củng cố