Bài 4: Định nghĩa và một số định lí về giới hạn hàm số

1. Tìm ? 3 2 2 1 lim 2 1 n n n − − + § 1. Giới hạn của hàm số tại một điểm 2. Giới hạn của hàm số tại vô cực 3. Một số định lí về giới hạn hữu hạn. Nội dung  Củng cố 1. Giới hạn của hàm số tại một điểm a) Giới hạn hữu hạn  ĐỊNH NGHĨA 1 (sgk, tr 146) Giả sử (a;b) là khoảng chứa điểm và f là một hàm số xác định trên tập hợp . Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là số thực L khi x dần đến (hoặc tại điểm ) nếu với mọi dãy số . trong tập hợp (tức và với mọi n) mà ta đều có Khi đó ta viết hoặc 0 x 0 ( ; ) \{ }a b x 0 x 0 x ( ) n x 0 ( ; ) \{ }a b x ( ; ) n x a b ∈ 0n x x ≠ 0 lim n x x = lim ( ) n f x L = 0 lim ( ) x x f x L → = 0 ( )f x L khi x x → → 1. Giới hạn của hàm số tại một điểm a) Giới hạn hữu hạn Tóm tắt định nghĩa Giả sử và f là một hàm số xác định trên 0 ( ; )x a b ∈ 0 ( ; ) \{ }a b x 0 0 0 ( ) ( ; ) \{ } lim lim ( ) lim ( ) n n x x n x a b x x x f x L f x L → ∀ ⊂ =   = ⇔  ÷ ⇒ =   mà 3 2 3 2 3 2 lim ( ) lim( 3 5) lim lim3 lim lim5 2 3.2 2 5 3 n n n n n n n f x x x x x x x ⇒ = − + + = = − + + = = − + + =  Ví dụ 1: Cho 3 2 ( ) 3 5f x x x x= − + + - Với mọi dãy số (x n ) trong (-2;5)\{2} mà lim x n = 2, ta có 3 2 ( ) 3 5 n n n n f x x x x= − + + - Ta nói hàm số f có giới hạn là 3 khi x dần đến 2 3 2 2 lim( 3 5) 3 x x x x → − + + = - Khi đó ta viết - Xét 0 2x = ta có (-2;5) là khoảng chứa 2 - Ta có (-2;5) là khoảng chứa 2 - f xác định trên tập (-2;5)\{2} 1. Giới hạn của hàm số tại một điểm a) Giới hạn hữu hạn  Ví dụ 2: Tìm ? 2 3 4 3 lim 3 x x x x → − + − Giải +Ta có 2 4 3 ( 1).( 3) ( ) ( 1) 3 3 x x x x f x x x x − + − − = = = − − − lim ( ) lim ( 1) 3 1 2 n n f x x = − = − = H1? Tìm 2 1 3 2 lim 1 x x x x →− + + + 3 0 3x x − ≠ ⇔ ≠ + ĐK: 2 4 3 0 1 3x x x x − + = ⇔ = = + và Do đó: 2 4 3 ( 1)( 3)x x x x − + = − − mà , ta có ( ) \{3} lim 3 n n x x ∀ ⊂ = R • B2: 3 2 lim 2 4 3 3 x x x x → = − + − • B3: Kết luận • B1: Xét hàm số: 2 4 3 ( ) 3 x x f x x − + = − 1. Giới hạn của hàm số tại một điểm a) Giới hạn hữu hạn Giải +Ta có 2 3 2 ( 1)( 2) ( ) ( 2) 1 1 x x x x f x x x x + + + + = = = + + + lim ( ) lim ( 2) 1 2 1 n n f x x = + =− + = H1? Tìm 2 1 3 2 lim 1 x x x x →− + + + 1 0 1x x + ≠ ⇔ ≠ − + ĐK: 2 3 2 0 1 2x x x x + + = ⇔ = − = − + và Do đó: 2 3 2 ( 1)( 2)x x x x + + = + + mà , ta có ( ) \{ 1} lim 1 n n x x ∀ ⊂ − = − R • B2: 2 1 3 2 lim 1 1 x x x x →− + + = + • B3: Kết luận • B1: Xét hàm số: 2 3 2 ( ) 1 x x f x x + + = + 1. Giới hạn của hàm số tại một điểm a) Giới hạn hữu hạn  Nhận xét a) Nếu , trong đó c là hằng số, thì ( ) ,f x c x = ∀ ∈ R 0 ,x ∀ ∈ R 0 0 lim ( ) lim x x x x f x c c → → = = a) Nếu , thì ( ) ,g x x x = ∀ ∈ R 0 ,x ∀ ∈ R 0 0 0 lim ( ) lim x x x x g x x x → → = = Ví dụ: 2 ) lim3 3 x a → = 6 ) lim 3 3 x b →− = 2 ) lim 2 x c x → = 6 ) lim 6 x d x →− = − 1. Giới hạn của hàm số tại một điểm b) Giới hạn vô cực a) Giới hạn hữu hạn  ĐỊNH NGHĨA  Ví dụ 3: Tìm ? 2 2 1 lim ( 2) x x →− + Giải 0 lim ( ) x x f x → • = +∞ 0 0 ( ) ( ; ) \{ } lim lim ( ) n n n x a b x x x f x ∀ ⊂ =   ⇔  ÷ ⇒ = +∞   mà 0 lim ( ) x x f x → • = −∞ Tương tự: • B1: Xét hàm số 2 1 ( ) ( 2) f x x = + + ĐK: 2 ( 2) 0 2x x + ≠ ⇒ ≠ − • B2: mà , ta có ( ) \{ 2} n x ∀ ⊂ − R lim 2 n x = − 2 1 lim ( ) lim ( 2) n n f x x = + + Vì 2 lim 1 1 0,lim( 2) 0 n x= > + = và 2 ( 2) 0, n x n + > ∀ nên lim ( ) n f x = +∞ • B2: Kết luận 2 2 1 lim ( 2) x x →− = +∞ + 1. Giới hạn của hàm số tại một điểm a) Giới hạn hữu hạn 2. Giới hạn của hàm số tại vô cực  ĐỊNH NGHĨA 2 (sgk, tr 148) Giả sử hàm số f xác định trên , ta nói ( ; )a +∞ ( ) ( ; ) lim lim ( ) lim ( ) n n x n x a x f x L f x L →+∞ ∀ ⊂ +∞ = +∞   = ⇔  ÷ ⇒ =   mà  Các giới hạn lim ( ) x f x L →−∞ • = lim ( ) x f x →−∞ • = +∞ lim ( ) x f x →+∞ • = +∞ lim ( ) x f x →+∞ • = −∞ lim ( ) x f x →−∞ • = −∞ b) Giới hạn vô cực được định nghĩa tương tự. 1. Giới hạn của hàm số tại một điểm a) Giới hạn hữu hạn  Nhận xét: Với mọi số nguyên dương k, ta có ) lim ; k x a x →+∞ = +∞ 1 ) lim 0 k x c x →+∞ = 1 ) lim 0 k x d x →−∞ = ) lim k x b x →−∞ +∞  =  −∞  nếu k chẵn nếu k lẻ 2. Giới hạn của hàm số tại vô cực b) Giới hạn vô cực Ví dụ: 3 ) lim x a x →+∞ = +∞ 4 ) lim x b x →−∞ = +∞ 3 ') lim x b x →−∞ = −∞ 2 1 ) lim 0 x c x →+∞ = 3 1 ) lim 0 x d x →−∞ = [...]... 2 Giới hạn của hàm số tại vô cực lim xn = x0 3 Một số định lí về giới hạn hữu hạn + Tính lim f ( xn ) = L • B3: : Kết luậnlim f ( x) = L x→ x 2 Giới hạn tại vô cực: PP: Tương tự như giới hạn dãy số 3 Tính giới hạn bằng định 0 lí § Nội dung 1 Giới hạn của hàm số tại một điểm 2 Giới hạn của hàm số tại vô cực 3 Một số định lí về giới hạn hữu hạn  Củng cố - Về nhà làm bài tập trang 151-152 - Xem tiếp bài. .. Chú ý: Định lí 1 vừa nêu và định lí 2 tiếp theo vẫn đúng khi thay x → x0 bởi x → −∞ hoặc x → +∞ 1 Giới hạn của hàm số tại một điểm  Nhận xét: Nếu k là một số nguyên dương và a là một hằng số thì với mọi∀x0 ∈ R, ta có k lim ax k = ax0 a) Giới hạn hữu hạn b) Giới hạn vô cực 2 Giới hạn của hàm số tại vô cực 3 Một số định lí về giới hạn hữu hạn x → x0 Ví dụ: lim 2 x3 = 2.23 = 16 x→ 2  Ví dụ 4: a) lim(...1 Giới hạn của hàm số tại một điểm  ĐỊNH LÍ 1 (sgk tr 149) Giả sử lim f ( x) = L và lim g ( x) = M Khi đó x → x0 x → x0 a) Giới hạn hữu hạn a ) lim[ f ( x) + g ( x )] = L + M b) Giới hạn vô cực b) lim[ f ( x) − g ( x)] = L − M 2 Giới hạn của hàm số tại vô cực 3 Một số định lí về giới hạn hữu hạn x → x0 x → x0 c) lim[ f ( x).g ( x)] = L.M x → x0 Đặc biệt, nếu c là một hằng số thì lim[c f... 1+ 1 x2 lim (1 + 1 Giới hạn của hàm số tại một điểm a) Giới hạn hữu hạn CỦNG CỐ BÀI HỌC 1 Theo định nghĩa, để tính giới hạn của hàm số tại x0 ta thực hiện ba bước: • B1: Xét hàm số f(x) trên tập xác định của nó + Nếu f(x) xác định tại x0 thì thực hiện bước 2 b) Giới hạn vô cực + Nếu f(x) không xác định tại x0 thì biến đổi tử và mẫu f(x) thành tích, sau đó rút gọn • B2: : Với mọi dãy số( xn ), xn ≠ x0... 1) − 1 + 1 lim = lim = = =0 2 x→ −1 x→ −1 x x +x lim x −1 x2 + 2x + 1 Vậy lim =0 2 x →−1 x +x x→ −1 1 Giới hạn của hàm số tại một điểm a) Giới hạn hữu hạn b) Giới hạn vô cực 2 Giới hạn của hàm số tại vô cực 3 Một số định lí về giới hạn hữu hạn x2 + 1  Ví dụ 5: xlim 2 →+∞ 2 x − x + 1 Giải Chia tử và mẫu phân thức cho x2 ta được 1 1+ 2 x2 + 1 x ,∀x ≠ 0 = 2 x2 − x + 1 2 − 1 + 1 x x2 Ta có 1 1 lim (1... 3) x →1 Giải x2 + 2 x + 1 b) lim x →−1 x2 + x x2 + 1  Ví dụ 5: xlim 2 →+∞ 2 x − x + 1 Giải 1 Giới hạn của hàm số tại một điểm a ) lim( x3 + 3 x 2 − 2 x − 3) x →1 Ta có lim( x3 + 3 x 2 − 2 x − 3) = x→1 a) Giới hạn hữu hạn b) Giới hạn vô cực 2 Giới hạn của hàm số tại vô cực 3 Một số định lí về giới hạn hữu hạn = lim x 3 + lim 3x 2 − lim 2 x − lim 3 = x →1 x →1 x →1 x→1 = 13 + 3.12 − 2.1 − 3 = − 1 Vậy . Giới hạn của hàm số tại một điểm 2. Giới hạn của hàm số tại vô cực 3. Một số định lí về giới hạn hữu hạn. Nội dung  Củng cố 1. Giới hạn của hàm số tại một điểm a) Giới hạn hữu hạn  ĐỊNH. + 1. Giới hạn của hàm số tại một điểm a) Giới hạn hữu hạn b) Giới hạn vô cực 3. Một số định lí về giới hạn hữu hạn. CỦNG CỐ BÀI HỌC 1. Theo định nghĩa, để tính giới hạn của hàm số tại. hạn bằng định lí 2. Giới hạn của hàm số tại vô cực § 1. Giới hạn của hàm số tại một điểm 2. Giới hạn của hàm số tại vô cực 3. Một số định lí về giới hạn hữu hạn. Nội dung  Củng cố - Về