CHUYÊN ĐỀ: TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ Áp dụng lý thuyết về dãy số; cấp số cộng và cấp số nhân ta có thể giải được một số bài toán về tìm số hạng tổng quát của một dãy số.. Đây cũng
Trang 1CHUYÊN ĐỀ: TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ
Áp dụng lý thuyết về dãy số; cấp số cộng và cấp số nhân ta có thể giải được một số bài toán
về tìm số hạng tổng quát của một dãy số Đây cũng là một chuyên đề quan trọng của thi HSG Tỉnh cũng như Quốc gia Dưới đây là một vài áp dụng đơn giản giúp thầy cô và học sinh tham khảo khi học và đặc biệt là ôn thi HSG cấp tỉnh lớp 11 năm học 2010 - 2011
Bài toán 1: Tìm số hạng tổng quát của dãy số sau: 1; 2; 4; 7; 11 …
Giải:
Nếu kí hiệu các số hạng của dãy trên là: u u u1; ; ; 2 3 un thì ta có:
2 1 1; 3 2 2; 4 3 3 n n 1 1 n 1 1 2 3 1
u − = u u − u = u − = u u − u − = − ⇒ n u − = + + + + − u n
= n n ( − 1) / 2 ⇒ un = n n ( − 1) / 2 1 +
Một số bài toán tương tự: Tìm số hạng tổng quát của các dãy số sau:
1/ 1; 4; 10; 19; 31; … ; 2/ 1; 2; 6; 15; 31; …
Bài toán 2: Tìm số hạng tổng quát của dãy 1 *
1
1 ( ) :
n
u u
=
Giải:
Cách 1: Từ hệ thức truy hồi ta có dãy các hệ thức sau:
1
1
3 1
n
n
−
Cách 2: Đặt vn+1 = un+1 + α sao cho vn+1 = 3 vn
nhân
có công bội q =3 và v1 = + = ⇒ u1 1 2 vn = v13n−1 = 2.3n−1⇒ un = − = vn 1 2.3n−1− 1
Từ cách giải 2 ta có lời giải của bài toán tổng quát 1 sau:
Tìm số hạng tổng quát của dãy 1
1
( ) :
( 0;1)
n
u
=
Giải:
Đặt vn+1 = un+1 + α sao cho:
1
c
b
−
Trang 2Như vậy ( ) vn là một cấp số nhân có
Bài toán 3: Tìm số hạng tổng quát của dãy 1 *
1
2 ( ) :
n
u u
=
Giải:
Cho n chạy từ 1 đến n-1 ở hệ thức truy hồi rồi cộng các hệ thức lại ta được:
n
u = + u n − + − + + + + − = n n n n + + − = − n n −
Bài toán 4: Tìm số hạng tổng quát của dãy 1 *
1
2 ( ) :
n
u u
=
Giải:
- Cách 1: Từ hệ thức truy hồi ta suy ra:
1 1
n
⇒ = + = + với S = 3 n − + 1 2(3 n − + 4) 2 (32 n − + + 7) 5.2n−1
1
2 2(3 1) 2 (3 4) 8.2 5.2 3.2 3.2 3.2
5.2 3 1 6(1 2 2 ) 5.2 3 1 6(2 1) 5.2 3 1
n
−
Chú ý: trong lời giải trên ta đã tính tổng của tích các số hạng tương ứng của một cấp số
cộng và một cấp số nhân
- Cách 2: Đặt vn = un + an b + sao cho vn = 2 vn−1
Có v1 = + u1 3.1 5 10 + = ⇒ vn = un + 3 n + = 5 v1.2n−1 = 10.2n−1 = 5.2n
5.2n 3 5
n
Bài toán 5: Tìm số hạng tổng quát của dãy 1 1 *
1
1 ( ) :
u u
=
Giải:
Trang 3- Cách 1: Theo giả thiết ta có:
3 2 ;3n 3 2 3; 3n n 3n 2 3n
n
Chú ý: Trong lời giải trên ta đã tính tổng của tích các số hạng tương ứng của hai cấp số
nhân
- Cách 2: Đặt vn = un + k 2n với
1
1
−
Bài toán 6: Tìm số hạng tổng quát của dãy 1 2 *
1; 5 ( ) :
n
u
Giải:
Từ giả thiết ta suy ra: un+2 − 2 un+1 = 3( un+1− 2 ) un Đặt vn+1 = un+2 − 2 un+1
1 3.
⇒ = Vậy ( ) vn là cấp số nhân có công bội q = 3 và v1 = u2 − 2 u1 = − 5 2.1 3 =
⇒ = − = = ⇒ = + Đặt xn = un + k 3n−1 sao cho:
x = x − ⇒ x = u + k − = u − + − + k − = x − = u − + k −
3 3 k 2 k k 3
⇒ + = ⇒ = − Do ( ) xn là cấp số nhân có công bội q = 2 và
Bây giờ ta giải bài toán tổng quát 2 của bài toán trên:
Tìm số hạng tổng quát của dãy 1 2 *
; ( ) :
(1)( )
n
u
trong đó a,b,c,d là
các hằng số thực; a và b khác 0
Giải:
Giả sử un = rn với r là một số thực nào đó Khi đó từ (1) ta suy ra:
r + − c r + − d r =
⇔ − − = (2) được gọi là phương trình đặc trưng ( PTĐT ) của dãy ( ) un
Có hai trường hợp:
1/ (2) có hai nghiệm phân biệt r1 và r2 Khi đó ta có: r1n+2 − c r 1n+1− d r 1n = 0 và
Trang 42 1 2 2 1 1
2n . 2n . 2n 0 ( 1n . 2n ) ( 1n . 2n ) ( 1n ) 02n
r + − c r + − d r = ⇒ k r + + l r + − c k r + + l r + − d k r + l r =
Điều đó chứng tỏ un = k r 1n + l r 2n thỏa mãn (1) Trong đó k và l là các hằng số thỏa mãn hệ
phương trình sau: 12 22
.
2 2
1 2
0
r r
r r
= = − = − − ≠ nên
hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất; điều đó cũng chứng tỏ dãy số đã cho được xác định một cách duy nhất
Áp dụng vào bài 6 ta có a = 1; b = 5; c = 5; d = -6 ⇒ = r1 2; r2 = ⇒ = − = 3 k 1; l 1
. n . n 2n 3n
n
Đối với dãy Fibônaxi ta có a = b = c = d = 1 nên PTĐT r2 − − = r 1 0 có hai nghiệm:
&
r = + r = − Từ đó ta có hệ phương trình:
Lấy (4) trừ (3) ta được: k+l = 0 Thay l = -k vào (3) ta được: 5 k = ⇒ = 1 k 1/ 5
Vậy 1 1 5 1 5
5
n
2/ (2) có nghiệm kép
2
r = = ⇒ − = r d r r = Đặt un = r v1n. n; thay vào (1) ta được:
1n . n 2 .1n . n 1 .1n n 2.1n . n 1 1n . n n 2 n 1 n 1 n
r + v + = c r + v + + d r v = r + v + − r + v ⇒ v + − v + = v + − v
Vậy ( ) vn là một cấp số cộng nên vn = k n l + với k và l là các số thỏa mãn hệ phương trình:
1
2 1
( ).
(2 ).
1
0 2.
r r
= = ≠ nên k và l được xác định một cách duy nhất; tức là có duy nhất dãy ( ) un mà un = ( k n l r + ) 1n thỏa mãn điều kiện của bài toán
Áp dụng: Tìm số hạng tổng quát của dãy 1 2 *
4; 20 ( ) :
n
u
Ở đây ta có: a = 4; b = 20; c = 4; d = -4 nên PTĐT có nghiệm: r1 = = r2 2
Giải hệ phương trình ta tìm được: k = 3 và l = -1 Vậy un = (3 n − 1).2n
Áp dụng vào giải đề thi HSG Tỉnh Lạng Sơn:
Trang 5Câu 2( HSG Tỉnh LS 2008-2009):
Dãy số { }u xác định như sau: n
1 1
1; 2 (1)
2 (2) 3
n
+
(với n = 1, 2,3,…) Tìm u n
Giải:
Từ (2) ⇒ 3u n+1 = +u n 2u n−1
⇔ 3u n+1− −u n 2u n−1 =0
Phương trình đặc trưng 3X2− − =X 2 0
X=1 2 X=-3
⇒ công thức tổng quát của dãy { }u là: n (1) 2
3
n n
n
u =α +β − ÷
Với n = 0:
0
1 (1)
3
⇔ = +1 α β (3)
Với n = 1:
2
2 1
3
b
2 4 (4)
9
⇔ = +
Từ (3) và (4) ta có hệ phương trình:
14 1
5
2
9
5
Vậy Un =
14 9 2
5 5 3
n
14 9 ( 2)
5 5 3
n n
−
Bài 2 (HSG Tỉnh LS 2009-2010):
Cho dãy số(xn) xác định như sau:
1
1
2 (1)
3
(2) 2
n
n
n
x
x
x
x
+
=
(n N∈ *)
Tìm công thức tính Xn theo n
Giải:
Trang 6Từ (2)
1
1 2 1 2 1
3 3 3
n
x
+
1
2
u = Khi đó, ta có:
1
1 2
(3)
3 3
Đến đây, áp dụng bài toán tổng quát 1, ta có:
Đặt vn+1 = un+1+ α sao cho:
1
2
3
v + = v ⇒ v + = u + + = α u + + = α v = u + α ⇒ = α = −
−
Như vậy ( ) vn là một cấp số nhân có
1
n
Vậy, công thức số hạng tổng quát của {x } là: n
1
1 2
2 3
n
x
(n N∈ *)
Lạng Sơn, ngày 8/1/2010
Người soạn chuyên đề
Đặng Tiền Giang