Thông tin tài liệu
TRẦN ĐỨC NGỌC – YÊN SƠN ĐÔ LƢƠNG NGHỆ AN – GV TRƢỜNG THPT TÂN KỲ I – NGHỆ AN 1 Chuyên đề 5: PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Chuyên đề:Tìm giá trị của tham số m để phƣơng trình f(x) = m có nghiệm 1/Các bƣớc giải bài toán:Tìm giá trị của tham số m để phương trình f(x) = m (1) có nghiệm Bƣớc 1: Nêu tập xác định của phương trình,giả sử x D. Bƣớc 2 : Đặt ẩn phụ t = g(x) (nếu cần)-Tìm điều kiện thích hợp đối với ẩn phụ t . Thực chất ở bước này là tìm gtln, gtnn của hàm số t = g(x) .Chẳng hạn: t ; ,Với x D Bƣớc 3: -Biến đổi đưa phương trình đã cho thành phương trình ẩn t .Ta gọi là phương trình (2) - Lập luận:Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x D tương đương tìm m để phương trình (2) có nghiệm t ; Bƣớc 4: Tiến hành tìm m để phương trình (2) có nghiệm thỏa mãn t ; . - Phương trình f(t) = m có nghiệm t ; Khi và chỉ khi m thuộc tập giá trị của hàm số y = f(t) Tức là : Minf(t) m Maxf(t) Với t ; . Nghĩa là ở bước này ta lại phải tìm gtln,gtnn của hàm số y = f(t) ứng với t ; * Đối với những bài toán không cần phải đặt ẩn phụ thì tất nhiên không có hai bước 2 và 3. Sau khi nêu tập xác định của phương trình,tiến hành:Tìm m để phương trình f(x) = m có nghiệm x D. -Tìm tập giá trị của hàm số y = f(x). -Để phương trình f(x)=m có nghiệm ,điều kiện: m phải thuộc tập giá trị của hàm số y = f(x) . 2/Ví dụ : Bài toán 1 : (Thi chọn giáo viên giỏi Trường THPT Tân Kỳ I – năm học 2008-2009 ) Cho phương trình : + 2 + 6 + 2 12 + 4 2 + 5 – m = 0 (1) 1)Giải phương trình với m = 17 2) Tìm giá trị thực của m để phương trình (1) có nghiệm Hƣớng dẫn : 2) .Tìm m để phương trình (1) có nghiệm : -Điều kiện - 2 x 6 - Đặt t = + 2 + 6 Thì ta có: 2 2) t 4 (Để có kết quả này ,có thể dùng bđt côsy,có thể dùng Bđt Bunhiacopxky, có thể dùng công cụ đạo hàm để tìm gtln, gtnn của hàm số t = g(x) = + 2 + 6 ) Nghĩa là “Kính thưa các kiểu”.Làm theo cách nào cũng được, miễn làm sao nhanh chóng đi đến kết quả . -Phương trình trở thành: f(t) = t 2 + t - 3 = m (2) - Tìm m để phương trình (1) có nghiệm thỏa mãn - 2 x 6 tương đương Tìm m để phương trình (2) có nghiệm t thỏa mãn 2 2) t 4 -Ta tìm được gtln, gtnn của hàm số y = f(t) = t 2 + t – 3 ứng với 2 2) t 4 . - Hàm số y = f(t) đồng biến trên 2 2 ; 4 . Do đó gtnn Minf(t) = f(2 2 ) = 5 + 2 2 và gtln Maxf(t) = f(4) = 17.Suy ra: Để phương trình đã cho có nghiệm, điều kiện : 5 + 2 2) m 17 Bài toán 2 :Tìm giá trị của m để phương trình : x +1 – m. 2 + 1 = 0 (1) có nghiệm Hƣớng dẫn : -Tập xác định của phương trình :x R - Viết phương trình thành : f(x) = +1 2 +1 = m (2) - Tính đạo hàm, lập bảng biến thiên, suy ra kết quả Bài toán 3 : Tìm giá trị thực của m để phương trình : cos2x + 6cosx + 2(1 – m) = 0 (1) có nghiệm x 6 ; 3 TRẦN ĐỨC NGỌC – YÊN SƠN ĐÔ LƢƠNG NGHỆ AN – GV TRƢỜNG THPT TÂN KỲ I – NGHỆ AN 2 Hƣớng dẫn : Cách giải 1 :-Đặt t = cosx , ta có x 6 ; 3 thì 1 2 1 ( Nhiều người nhầm đk của t .Hãy vẽ vòng tròn lượng giác, thì thấy ngay đk của t như trên.) -Ta có pt ẩn t : f(t) = 2t 2 + 6t + 1 = 2m (2) - Phương trình (1) có nghiệm x 6 ; 3 khi và chỉ khi pt (2) có nghiệm t thỏa mãn 1 2 1 - Hàm số y = f(t) = 2t 2 + 6t + 1 đồng biến với: 1 2 1 Do đó: Minf(t) = f( 1 2 ) = 9 2 và Maxf(t) = f(1) = 9. -Suy ra pt có nghiệm khi và chỉ khi : 9 2 2 9 Tức là : 9 4 9 2 Cách giải 2 : Phương trình cos2x + 6cosx + 2(1 – m) = 0 -Viết thành : f(x) = cos2x + 6cosx + 2 = 2m . -Tính đạo hàm,Thấy:f‟(x) = - 2sin2x – 6sinx = -2sinx.(3 + 2cosx) = 0 khi x = 0 ( Nhớ là x 6 ; 3 ) f‟(x) 0 khi x 6 ; 0 và f‟(x) 0 khi x 0 ; 3 -Như vậy trên đoạn: x 6 ; 3 hàm số chỉ có một cực đại và không có cực tiểu Do đó : Maxf(x) = y cđ = f(0) = 9 và Minf(x) = Min ( 6 ) ; ( 3 ) = f ( 3 ) = 9 2 . ( Vì ta có f( 6 ) = 5 2 + 3 3 f( 3 ) = 9 2 ) -Suy ra :Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi : : 9 2 2 9 Tức là : 9 4 9 2 Chú ý : Nếu bài toán 3 có thêm câu :Giải phương trình khi m = m 0 (Với m 0 là giá trị đã cho ) thì phải giải cách1, không nên giải như cách giải 2 Bài toán 4:Tìm giá trị của mR để phương trình: x 2 + cosx 2 – (m + 1) = 0 có nghiệm x 0 ; 2 Hƣớng dẫn : -Viết phương trình thành f(x) = x 2 + cosx 2 – 1 = m - Tính đạo hàm: f‟(x) = 2x – 2x.sinx 2 = 2x ( 1 – sinx 2 ) .Thấy f‟(x) 0 , x 0 ; 2 . - Suy ra :Trên 0 ; 2 hàm số đồng biến. Do đó : Minf(x) = f(0) = 0 và Maxf(x) = f( 2 ) = 4 + cos 4 – 1 = 4 + 2 2 – 1 = 2+2 2 4 Suy ra : Phương trình có nghiệm x 0 ; 2 Khi và chỉ khi 0 m 2+2 2 4 Chú ý: Từ việc giải bài toán :Tìm m để phương trình f(x) = m có nghiệm, x (; ) Có thể suy ra cách giải bài toán tìm giá trị của m để phương trình f(x) = m không có nghiệm x (a;b) -Phương trình f(x) = m không có nghiệm x (a;b) Khi m không thuộc tập giá trị của hàm số ứng với x (a;b) -Chẳng hạn ở bài tập 4, Thay câu hỏi thành ;Tìm m để phương trình không có nghiệm x 0 ; 2 Thì kết quả : m không thuộc 0 ; 2+2 2 4 ( Tức là m<0 hoặc m> 2+2 2 4 ) TRẦN ĐỨC NGỌC – YÊN SƠN ĐÔ LƢƠNG NGHỆ AN – GV TRƢỜNG THPT TÂN KỲ I – NGHỆ AN 3 BÀI TẬP: TÌM GIÁ TRỊ CỦA THAM SỐ m ĐỂ PHƢƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM 1/ Xác định m để pt sau có nghiệm: m( 1 + 2 – 1 2 +2) = 2 1 4 + 1 + 2 – 1 2 (1) Hd: t = 1 + 2 – 1 2 đk: -1 x 1 thì 0 t 2 ,ta có t 2 = 2 - 2 1 4 nên 1 4 = 2 2 2 Pt trở thành : mt + 2m = 2 – t 2 + t Hay là f(t) = 2 ++2 +2 = m (2) -Tìm Max ,Min của f(x) trên 0; 2 .Đk Min f(x) m Max f(x) 2/ Tìm m để pt sau có 2 nghiệm phân biệt: 2 2 2 1x mx x (1) Hd: x - 1 2 Bình phương hai vế viết pt thành: f(x) = 3 2 +41 = m (2) -Hàm số f(x) đồng biến với mọi x : 0 1 2 Do đó pt có 2 nghiệm khi m f(- 1 2 ) = 9 2 3/ Xác định m để pt sau có nghiệm thực : 2 4 3 1 1 2 1x m x x (1) Hd: Đk x 1 - Chia hai vế pt cho + 1 > 0 , được : 3( 1 +1 4 ) 2 + m = 2. 1 +1 4 - Đặt t = 1 +1 4 ta có 0 t 1 được phương trình f(t) = - 3t 2 + 2t = m (2) - Pt (1) có nghiệm t/mãn x 1 Khi pt (2) có nghiệm t/mãn: 0 t 1. Đkiện Minf(x) Maxf(x) Ta thấy trên nửa đoạn 0; 1) hàm số f(t) có Max= f( 1 3 ) và không có Min Do đó suy ra : f(1) m f( 1 3 ) Tức là : - 1 m 1 3 (chú ý với mọi x 1 thì 0 t 1) 4/ Cmr với m > 0, phương trình sau có 2 nghiệm thực phân biệt 2 2 8 ( 2)x x m x (1) Hd: Đk x 2 .Viết pt thành (x -2) 2 + 6(x-2) = . 2 = 3 + 6= = 2 0 (2) -P/trình (1) có hai nghiệm thực phân biệt thoả mãn x 2 khi p/trình (2) có 2 nghiệm thực t/mãn t 0 Vì ứng với mỗi giá trị t 0 cho ta một giá trị x = t 2 + 2 (Do t = 2 ) 5/ Xác định m để pt sau có nghiệm: 2 ( 1)(3 ) 2 3x x x x m (1) Hd: Đkiện: – 1 x 3 .Viết p/trình thành 2 + 2+ 3 = 2 23 + 3m + 3 . Đặt t = 2 + 2+ 3 Thì 0 2 Ph/trình trở thành : - t 2 + t = 3m + 3 f(t) = - 1 3 t 2 + 1 3 t - 1 = m (2) -P/trình (1) có nghiệm t/mãn – 1 x 3 khi và chỉ khi p/trình (2) có nghiệm t/mãn 0 2 - Ta có trên 0; 2 :Maxf(t) = f( 1 2 ) = - 11 12 ; Minf(t) = f(2) = - 5 3 .Do đó p/trình có nghiệm khi: - 5 3 m - 11 12 6/ Xác định m để pt sau có đúng 2 nghiệm : 22 4 5 4x x m x x (1) Hd: txđ: R Viết p/trình : x 2 – 4x + 5 + 2 4+ 5 - 5 = m .Đặt t = 2 4+ 5 (*) , t 1. -Ta có p/trình : f(t) = t 2 + t – 5 = m (2) - P/trình (1) có hai nghiệm khi p/trình (2) có một nghiệm thoả mãn t 1.Vì với mỗi giá trị của t thoả mãn t 1 thay vào (*) ta được hai giá trị x thuộc R,(với t = 1 thì p/trình chỉ có một nghiệm x = 2).Từ đó suy ra : m f(1) = - 3 m - 3 thì phương trình đã cho có đúng hai nghiệm . 7/ Xác định m để pt sau có nghiệm: 3 6 (3 )(6 )x x x x m (1) TRẦN ĐỨC NGỌC – YÊN SƠN ĐÔ LƢƠNG NGHỆ AN – GV TRƢỜNG THPT TÂN KỲ I – NGHỆ AN 4 Hd: Đkiện: – 3 x 6 Đặt t = 3 + + 6 thì 0 t 6 ; Ta có : 3 + (6 ) = 2 9 2 . Do đó ta có pt : f(t) = 1 2 t 2 – t - 9 2 = m (2) -Để pt (1) có nghiệm : – 3 x 6 thì pt (2) phải có nghiệm t thoả mãn 0 t 6 Điều kiện m phải thuộc tập giá trị của hàm số ,với 0 t 6 .Tức là Minf(t) m Maxf(t) .Với 0 t 6 . Ta có Minf(t) = f(1) = -5 và Maxf(t) = f( 6) = 32 6 2 .Như vậy để pt có nghiệm thì : -5 m 32 6 2 8/ Xác định m để pt sau có đúng 1 nghiệm : 4 4 13 1 0x x m x (1) Hd: -Viết pt thành 4 13+ 4 = 1 – x .Đkiện : x 1 - Nâng luỹ thừa bậc 4 cả hai vế được : x 4 – 13x + m = x 4 – 4x 3 + 6x 2 – 4x + 1 Hay là f(x) = – 4x 3 + 6x 2 + 9x + 1 = m . (2) -Tính đạo hàm f „(x) = - 12x 2 +12x +9 = 0 khi x 1 = - 1 2 , x 2 = 3 2 … (Lập bảng biến thiên) - Suy ra :Để pt (1) có đúng một nghiệm thì m f(1) = 9 (lúc m f(1) = 9 mặc dù pt (2) có hai nghiệm nhưng chỉ có một nghiệm thoả mãn x 1) Vậy m 9 9/ Xác định m để pt sau có nghiệm : 2 2 + = 3 - x Hd: Đkiện: x 3 Bình phương hai vế ,được pt tương đương : 2x 2 + mx = x 2 – 6x + 9 - x 2 - 6x + 9 = mx -Chia hai vế cho x 0 được pt : f(x) = 2 6+9 = m f(x) = - x – 6 + 9 = m ,có f „(x)= -1- 9 2 0 với 3 0 Suy ra :Phương trình luôn có nghiệm ,với mọi m R 10/ Xác định m để pt sau có nghiệm : mxxxx 11 22 Hd: Txđ : R .Tính đạo hàm ,lập bbt với hàm số f(x) = 2 + + 1 - 2 + 1 để suy ra kết quả mong muốn 11/ Xác định m để pt sau có nghiệm duy nhất : 3 22 1 2 1x x m (1) Hd: Đkiện: – 1 x 1 .Đặt t = 1 2 6 thì 0 t 1 p/trình trở thành : f(t) = t 3 + 2t 2 = m (2) -Pt (1) có nghiệm thoả mãn – 1 x 1 pt (2) có nghiệm thoả mãn 0 t 1 . - Tính đạo hàm , lập bảng biến thiên để suy ra kết quả. 12/Xác định m để pt sau có nghiệm duy nhất : 3 4 1 2 (1 ) 2 (1 )x x m x x x x m 13/ Xác định m để pt sau có nghiệm: + 9 = 2 + 9 + m (1) Hd: Đkiện: 0 x 9 Đặt t = + 9 thì 0 t 3 .Vì t 2 = 9 + 2 2 + 9 2 + 9 = 2 9 2 Ta có ptrình : t = 2 9 2 + m . Hay là f(t) = - 2 2 + t + 9 2 = m (2) -Tìm m để pt (1) có nghiệm : 0 x 9 tương đương tìm m để pt (2) có nghiệm 0 t 3 -Đ/kiện : Minf(t) m Maxf(t) trên 0; 3 .Ta có Minf(t) = f(3) = 3 , Maxf(t) = f(1) = 5. Vậy 3 m 5 Thì pt đã cho có nghiệm . 14/ Xác định m để pt sau có nghiệm:(m – 4)9 x –2(m -2)3 x + m – 1=0 (1) Hd: Txđ : R . -Thấy x = 0 không phải là nghiệm của pt .Do đó viết pt thành : m = 4.9 4.3 +1 9 2.3 +1 m = (2.3 x 1) 2 (3 x 1) 2 .(*) Suy ra :- Đk cần : m 0 . TRẦN ĐỨC NGỌC – YÊN SƠN ĐÔ LƢƠNG NGHỆ AN – GV TRƢỜNG THPT TÂN KỲ I – NGHỆ AN 5 -Đk đủ:Từ pt (*) có = 2 + 1 3 1 = 2 + 1 3 1 = 2 1 3 1 3 = 1 2 3 = +1 + 2 (vì 3 > 0 ) 0;1 4 ;+∞) 0 - Vậy m 0 ; + ∞) thì pt có nghiệm 15/Cho phương trình : 4 1 2 2 1 1 2 = m với m là tham số. (1) - Xác định m để phương trình đã cho có nghiệm. Hd: Đk : -1 x 1 Đặt t = 2 1 2 thì ta có 1 t 2 , phương trình trở thành: f(t) = t 2 - 2 = m (2) - Tìm m để pt (1) có nghiệm x thoả mãn -1 x 1 tương đương tìm m để pt (2) có nghiệm t thoả mãn 1 t 2 Điều này xẩy ra khi :Trên 1 ; 2 thì Minf(t) m Maxf(t) . – Ta có f „(t) = 2t + 2 2 0 với mọi t thuộc 1 ; 2 Suy ra Minf(t) = f(1) = - 1 Maxf(t) = f(2) = 3. -Vậy -13 thì pt có nghiệm 16/ Cho phương trình : 2 2+1 2 +3 2 = 0 (1) a)Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt b)Giải phương trình với m=32 Hd: -Đặt t = 2 x , t 0 Viết pt thành f(t) = t 2 – 4t = m (2) – P/trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khi pt (2) có 2 nghiệm dương phân biệt .Vì ứng với mỗi giá trị t 0 cho một giá trị x .( x = log 2 suy ra từ t = 2 x ) – Dựa vào đồ thị ( hoặc bbt ) ta có : f(2) = - 4 m 0 (Lúc đó đường thẳng y = m cắt đồ thị y = f(t) = t 2 – 4t tại hai điểm với hoành độ dương ) - Đón đọc kỳ tới với chủ đề : Tìm giá trị của tham số m R để Bất phƣơng trình: f(x) > m ; f(x) m ; f(x)< m ; f(x) m có nghiệm x ; . đề 5: PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Chuyên đề :T m giá trị của tham số m để phƣơng trình f(x) = m có nghi m 1/Các bƣớc giải bài toán :T m giá trị của tham số m để phương trình f(x) = m (1) có nghi m. không có hai bước 2 và 3. Sau khi nêu tập xác định của phương trình, tiến hành :T m m để phương trình f(x) = m có nghi m x D. -T m tập giá trị của h m số y = f(x). -Để phương trình f(x) =m có nghi m. 12 + 4 2 + 5 – m = 0 (1) 1)Giải phương trình với m = 17 2) T m giá trị thực của m để phương trình (1) có nghi m Hƣớng dẫn : 2) .T m m để phương trình (1) có nghi m : -Điều kiện -
Ngày đăng: 28/04/2015, 17:00
Xem thêm: 5.TÌM GIÁ TRỊ CỦA THAM SỐ m ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM, 5.TÌM GIÁ TRỊ CỦA THAM SỐ m ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM
