5.TÌM GIÁ TRỊ CỦA THAM SỐ m ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM

Chuyên đề 5: PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Chuyên đề : Tìm giá trị của tham số m để phương trình fx = m có nghiệm 1/Các bước giải bài toán:Tìm giá trị của tham số m để phương trình fx = m 1 có

Chuyên đề 5:

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Chuyên đề : Tìm giá trị của tham số m để phương trình f(x) = m có nghiệm

1/Các bước giải bài toán:Tìm giá trị của tham số m để phương trình f(x) = m (1) có nghiệm

Bước 1: Nêu tập xác định của phương trình,giả sử x 𝜖 D

Bước 2 : Đặt ẩn phụ t = g(x) (nếu cần)-Tìm điều kiện thích hợp đối với ẩn phụ t Thực chất ở bước này

là tìm gtln, gtnn của hàm số t = g(x) Chẳng hạn: t 𝜖 𝑎; 𝑏 ,Với x 𝜖 D

Bước 3: -Biến đổi đưa phương trình đã cho thành phương trình ẩn t Ta gọi là phương trình (2)

- Lập luận:Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x 𝜖 D tương đương tìm m để phương trình (2)

có nghiệm t 𝜖 𝑎; 𝑏

Bước 4: Tiến hành tìm m để phương trình (2) có nghiệm thỏa mãn t 𝜖 𝑎; 𝑏

- Phương trình f(t) = m có nghiệm t 𝜖 𝑎; 𝑏 Khi và chỉ khi m thuộc tập giá trị của hàm số y = f(t)

Tức là : Minf(t) ≤m ≤ Maxf(t) Với t 𝜖 𝑎; 𝑏

Nghĩa là ở bước này ta lại phải tìm gtln,gtnn của hàm số y = f(t) ứng với t 𝜖 𝑎; 𝑏

* Đối với những bài toán không cần phải đặt ẩn phụ thì tất nhiên không có hai bước 2 và 3

Sau khi nêu tập xác định của phương trình,tiến hành:Tìm m để phương trình f(x) = m có nghiệm x 𝜖 D

-Tìm tập giá trị của hàm số y = f(x)

-Để phương trình f(x)=m có nghiệm ,điều kiện: m phải thuộc tập giá trị của hàm số y = f(x)

2/Ví dụ :

Bài toán 1 : (Thi chọn giáo viên giỏi Trường THPT Tân Kỳ I – năm học 2008-2009 )

Cho phương trình : 𝑥 + 2 + 6 − 𝑥 + 2 12 + 4𝑥 − 𝑥2 + 5 – m = 0 (1)

1)Giải phương trình với m = 17

2) Tìm giá trị thực của m để phương trình (1) có nghiệm

Hướng dẫn : 2) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm :

-Điều kiện - 2 ≤ x ≤6

- Đặt t = 𝑥 + 2 + 6 − 𝑥 Thì ta có: 2 2) ≤t ≤4

(Để có kết quả này ,có thể dùng bđt côsy,có thể dùng Bđt Bunhiacopxky, có thể dùng công cụ đạo hàm

để tìm gtln, gtnn của hàm số t = g(x) = 𝑥 + 2 + 6 − 𝑥 )

Nghĩa là “Kính thưa các kiểu”.Làm theo cách nào cũng được, miễn làm sao nhanh chóng đi đến kết quả

-Phương trình trở thành: f(t) = t2 + t - 3 = m (2)

- Tìm m để phương trình (1) có nghiệm thỏa mãn - 2 ≤ x ≤6 tương đương Tìm m để phương trình

(2) có nghiệm t thỏa mãn 2 2) ≤t ≤4

-Ta tìm được gtln, gtnn của hàm số y = f(t) = t2 + t – 3 ứng với 2 2) ≤t ≤4

- Hàm số y = f(t) đồng biến trên 2 2 ; 4

Do đó gtnn Minf(t) = f(2 2 ) = 5 + 2 2 và gtln Maxf(t) = f(4) = 17.Suy ra:

Để phương trình đã cho có nghiệm, điều kiện : 5 + 2 2) ≤m ≤17

Bài toán 2 :Tìm giá trị của m để phương trình : x +1 – m. 𝑥2− 𝑥 + 1 = 0 (1) có nghiệm

Hướng dẫn : -Tập xác định của phương trình :∀xϵ R

- Viết phương trình thành : f(x) = 𝑥+1

𝑥2−𝑥+1 = m (2)

- Tính đạo hàm, lập bảng biến thiên, suy ra kết quả

Bài toán 3 : Tìm giá trị thực của m để phương trình : cos2x + 6cosx + 2(1 – m) = 0 (1)

có nghiệm x 𝜖 − 𝜋

6 ;𝜋

3

Hướng dẫn :

Cách giải 1 :-Đặt t = cosx , ta có x 𝜖 − 𝜋

6 ;𝜋3 thì 1

2 ≤ 𝑡 ≤ 1

( Nhiều người nhầm đk của t Hãy vẽ vòng tròn lượng giác, thì thấy ngay đk của t như trên.)

-Ta có pt ẩn t : f(t) = 2t2 + 6t + 1 = 2m (2)

- Phương trình (1) có nghiệm x 𝜖 − 𝜋

6 ;𝜋

3 khi và chỉ khi pt (2) có nghiệm t thỏa mãn 1

2 ≤ 𝑡 ≤ 1

- Hàm số y = f(t) = 2t2 + 6t + 1 đồng biến với:1

2 ≤ 𝑡 ≤ 1

Do đó: Minf(t) = f(1

2 ) = 92 và Maxf(t) = f(1) = 9

-Suy ra pt có nghiệm khi và chỉ khi : 9

2 ≤ 2𝑚 ≤ 9 Tức là : 9

4 ≤ 𝑚 ≤ 9

2

Cách giải 2 : Phương trình cos2x + 6cosx + 2(1 – m) = 0

-Viết thành : f(x) = cos2x + 6cosx + 2 = 2m

-Tính đạo hàm,Thấy:f‟(x) = - 2sin2x – 6sinx = -2sinx.(3 + 2cosx) = 0 khi x = 0 ( Nhớ là x 𝜖 − 𝜋6 ;𝜋3 )

f‟(x) ≥0 khi x 𝜖 − 𝜋6 ; 0 và f‟(x) ≤0 khi x 𝜖 0 ;𝜋3

-Như vậy trên đoạn: x 𝜖 − 𝜋6 ;𝜋3 hàm số chỉ có một cực đại và không có cực tiểu

Do đó : Maxf(x) = ycđ = f(0) = 9 và Minf(x) = Min 𝑓( − 𝜋6) ; 𝑓(𝜋

3) = f (𝜋

3 ) =

9

2

( Vì ta có f(− 𝜋6) = 52 + 3 3 f(𝜋

3 ) =

9

2 )

-Suy ra :Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi : : 9

2 ≤ 2𝑚 ≤ 9 Tức là : 9

4 ≤ 𝑚 ≤ 9

2

Chú ý : Nếu bài toán 3 có thêm câu :Giải phương trình khi m = m0 (Với m0 làgiá trị đã cho ) thì phải

giải cách1, không nên giải như cách giải 2

Bài toán 4:Tìm giá trị của m𝜖R để phương trình: x2

+ cosx2 – (m + 1) = 0 có nghiệm x 𝜖 0 ; 𝜋

2

Hướng dẫn : -Viết phương trình thành f(x) = x2

+ cosx2 – 1 = m

- Tính đạo hàm: f‟(x) = 2x – 2x.sinx2 = 2x ( 1 – sinx2 ) Thấy f‟(x) ≥0 , ∀x 𝜖 0 ; 𝜋2

- Suy ra :Trên 0 ; 𝜋2 hàm số đồng biến

Do đó : Minf(x) = f(0) = 0 và Maxf(x) = f( 𝜋2 ) = 𝜋

4 + cos𝜋

4 – 1 = 𝜋

4 + 22 – 1 = 𝜋−2+2 2

4

Suy ra : Phương trình có nghiệm x 𝜖 0 ; 𝜋2 Khi và chỉ khi 0≤ m ≤ 𝜋−2+2 2

4

Chú ý: Từ việc giải bài toán :Tìm m để phương trình f(x) = m có nghiệm, x 𝜖(𝑎; 𝑏) Có thể suy ra cách

giải bài toán tìm giá trị của m để phương trình f(x) = m không có nghiệm x𝜖 (a;b)

-Phương trình f(x) = m không có nghiệm x 𝜖 (a;b) Khi m không thuộc tập giá trị của hàm số

ứng với x 𝜖 (a;b)

-Chẳng hạn ở bài tập 4, Thay câu hỏi thành ;Tìm m để phương trình không có nghiệm x𝜖 0 ; 𝜋2

Thì kết quả : m không thuộc 0 ; 𝜋−2+24 2 ( Tức là m<0 hoặc m> 𝜋−2+2 2

4 )

BÀI TẬP: TÌM GIÁ TRỊ CỦA THAM SỐ m ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM

1/ Xác định m để pt sau có nghiệm:

m( 1 + 𝑥2 – 1 − 𝑥2 +2) = 2 1 − 𝑥4 + 1 + 𝑥2 – 1 − 𝑥2 (1)

Hd: t = 1 + 𝑥2 – 1 − 𝑥2 đk: -1 x 1 thì 0 t≤ 2 ,ta có t2= 2 - 2 1 − 𝑥4 nên 1 − 𝑥4 = 2−𝑡

2

2

Pt trở thành : mt + 2m = 2 – t2 + t Hay là f(t) = −𝑡2+𝑡+2

𝑡+2 = m (2)

-Tìm Max ,Min của f(x) trên 0; 2 Đk Min f(x) m Max f(x)

2/ Tìm m để pt sau có 2 nghiệm phân biệt: 2

2 2 1

x mx  x (1)

Hd: x - 12 Bình phương hai vế viết pt thành: f(x) = 3𝑥

2 +4𝑥−1

𝑥 = m (2)

-Hàm số f(x) đồng biến với mọi x : 𝑥 ≥ −𝑥 ≠ 01

2

Do đó pt có 2 nghiệm khi m f(- 1

2) = 92

3/ Xác định m để pt sau có nghiệm thực : 4 2

3 x 1 m x 1 2 x 1 (1)

Hd: Đk x 1 - Chia hai vế pt cho 𝑥 + 1 > 0 , được : 3( 4 𝑥−1𝑥+1 )2 + m = 2 4 𝑥−1𝑥+1

- Đặt t = 4 𝑥−1𝑥+1 ta có 0 t 1 được phương trình f(t) = - 3t2+ 2t = m (2)

- Pt (1) có nghiệm t/mãn x 1 Khi pt (2) có nghiệm t/mãn: 0 t 1

Đkiện Minf(x)≤ 𝑚 ≤ Maxf(x) Ta thấy trên nửa đoạn 0; 1) hàm số f(t) có Max= f(13 ) và không có Min

Do đó suy ra : f(1) m f(13) Tức là : - 1 m 13 (chú ý với mọi x 1 thì 0 t 1)

4/ Cmr với m > 0, phương trình sau có 2 nghiệm thực phân biệt x22x 8 m x( 2) (1)

Hd: Đk x 2 Viết pt thành (x -2)2

+ 6(x-2) = 𝑚 𝑥 − 2 𝑓 𝑡 = 𝑡3+ 6𝑡 = 𝑚

𝑡 = 𝑥 − 2 ≥ 0 (2)

-P/trình (1) có hai nghiệm thực phân biệt thoả mãn x 2 khi p/trình (2) có 2 nghiệm thực t/mãn t 0

Vì ứng với mỗi giá trị t 0 cho ta một giá trị x = t2 + 2 (Do t = 𝑥 − 2 )

5/ Xác định m để pt sau có nghiệm: 2

(x1)(3x) x 2x3m (1)

Hd: Đkiện: – 1 x 3 Viết p/trình thành − 𝑥2+ 2𝑥 + 3 = 𝑥2− 2𝑥 − 3 + 3m + 3

Đặt t = − 𝑥2+ 2𝑥 + 3

Thì 0 ≤ 𝑡 ≤ 2 Ph/trình trở thành : - t2 + t = 3m + 3 f(t) = - 13 t2 + 13 t - 1 = m (2)

-P/trình (1) có nghiệm t/mãn – 1 x 3 khi và chỉ khi p/trình (2) có nghiệm t/mãn 0 ≤ 𝑡 ≤ 2

- Ta có trên 0; 2 :Maxf(t) = f(12) = - 11

12 ; Minf(t) = f(2) = - 5

3 Do đó p/trình có nghiệm khi: - 5

3≤ m - 1112

6/ Xác định m để pt sau có đúng 2 nghiệm : 2 2

4 5 4

x  x  m x x (1)

Hd: txđ: R Viết p/trình : x2 – 4x + 5 + 𝑥2− 4𝑥 + 5 - 5 = m Đặt t = 𝑥2− 4𝑥 + 5 (*) , t 1

-Ta có p/trình : f(t) = t2 + t – 5 = m (2)

- P/trình (1) có hai nghiệm khi p/trình (2) có một nghiệm thoả mãn t 1.Vì với mỗi giá trị của t thoả

mãn t 1 thay vào (*) ta được hai giá trị x thuộc R,(với t = 1 thì p/trình chỉ có một nghiệm x = 2).Từ đó

suy ra : m f(1) = - 3 m - 3 thì phương trình đã cho có đúng hai nghiệm

7/ Xác định m để pt sau có nghiệm: 3 x 6 x (3x)(6x) m (1)

Hd: Đkiện: – 3 x ≤ 6 Đặt t = 3 + 𝑥 + 6 − 𝑥 thì 0 t 6 ; Ta có : 3 + 𝑥 (6 − 𝑥) = 𝑡22−9

Do đó ta có pt : f(t) = 12 t2 – t - 92 = m (2)

-Để pt (1) có nghiệm : – 3 x ≤ 6 thì pt (2) phải có nghiệm t thoả mãn 0 t 6 Điều kiện m phải

thuộc tập giá trị của hàm số ,với 0 t 6 Tức là Minf(t) m Maxf(t) Với 0 t 6

Ta có Minf(t) = f(1) = -5 và Maxf(t) = f( 6) = −3−2 62 Như vậy để pt có nghiệm thì : -5 m −3−2 62

8/ Xác định m để pt sau có đúng 1 nghiệm : 4 4

13 1 0

x  x m   x (1)

Hd: -Viết pt thành 𝑥4 4− 13𝑥 + 𝑚 = 1 – x Đkiện : x 1

- Nâng luỹ thừa bậc 4 cả hai vế được : x4 – 13x + m = x4 – 4x3 + 6x2 – 4x + 1

Hay là f(x) = – 4x3 + 6x2 + 9x + 1 = m (2)

-Tính đạo hàm f „(x) = - 12x2 +12x +9 = 0 khi x1 = - 12 , x2= 32 … (Lập bảng biến thiên)

- Suy ra :Để pt (1) có đúng một nghiệm thì m f(1) = 9 (lúc m f(1) = 9 mặc dù pt (2) có hai nghiệm

nhưng chỉ có một nghiệm thoả mãn x 1) Vậy m 9

9/ Xác định m để pt sau có nghiệm : 2𝑥2+ 𝑚𝑥 = 3 - x

Hd:

Đkiện: x 3 Bình phương hai vế ,được pt tương đương : 2x2

+ mx = x2 – 6x + 9 - x2

- 6x + 9 = mx

-Chia hai vế cho x 0 được pt : f(x) = −𝑥2−6𝑥 +9

𝑥 = m f(x) = - x – 6 + 𝑥9 = m ,có f „(x)= -1- 9

𝑥 2 0

với 𝑥 ≤ 3

𝑥 ≠ 0 Suy ra :Phương trình luôn có nghiệm ,với mọi m 𝜖 R

10/ Xác định m để pt sau có nghiệm : x2x1 x2x1m

Hd: Txđ : R Tính đạo hàm ,lập bbt với hàm số f(x) = 𝑥2+ 𝑥 + 1 - 𝑥2− 𝑥 + 1 để suy ra kết quả

mong muốn

11/ Xác định m để pt sau có nghiệm duy nhất : 2 3 2

1x 2 1x m (1)

Hd: Đkiện: – 1 x ≤ 1 Đặt t = 1 − 𝑥6 2 thì 0 t 1 p/trình trở thành : f(t) = t3 + 2t2 = m (2)

-Pt (1) có nghiệm thoả mãn – 1 x ≤ 1 pt (2) có nghiệm thoả mãn 0 t 1

- Tính đạo hàm , lập bảng biến thiên để suy ra kết quả

12/Xác định m để pt sau có nghiệm duy nhất :

x 1 x 2m x(1 x) 24x(1x)m3

13/ Xác định m để pt sau có nghiệm: 𝑥 + 9 − 𝑥 = −𝑥2+ 9𝑥 + m (1)

Hd: Đkiện: 0 x 9 Đặt t = 𝑥 + 9 − 𝑥 thì 0 t ≤ 3 Vì t2 = 9 + 2 −𝑥2+ 9𝑥 −𝑥2+ 9𝑥 = 𝑡22−9

Ta có ptrình : t = 𝑡2−9

2 + m Hay là f(t) = - 𝑡2

2 + t + 9

2 = m (2)

-Tìm m để pt (1) có nghiệm : 0 x 9 tương đương tìm m để pt (2) có nghiệm 0 t ≤ 3

-Đ/kiện : Minf(t) m Maxf(t) trên 0; 3 Ta có Minf(t) = f(3) = 3 , Maxf(t) = f(1) = 5 Vậy 3 m 5

Thì pt đã cho có nghiệm

14/ Xác định m để pt sau có nghiệm:(m – 4)9x

–2(m -2)3x + m – 1=0 (1)

Hd: Txđ : R

-Thấy x = 0 không phải là nghiệm của pt Do đó viết pt thành : m = 4.9𝑥−4.3𝑥+1

9 𝑥 −2.3 𝑥 +1 m = (2.3(3xx−1)−1)22 (*)

Suy ra :- Đk cần : m 0

-Đk đủ:Từ pt (*) có 𝑚 = 2 +3𝑥1−1 𝑚 = 2 + 3𝑥 −11

𝑚 = − 2 − 3𝑥 −11 3𝑥 = 𝑚 − 2 𝑚 −1

3 𝑥 = 𝑚 +1

𝑚 + 2

(vì 3𝑥 > 0 ∀𝑥 )

𝑚 𝜖 0;1 ∪ 4 ;+∞) ∀𝑚≥0 - Vậy m 𝜖 0 ; + ∞) thì pt có nghiệm

15/Cho phương trình : 4 1−𝑥 2

− 21− 1−𝑥 2

= m với m là tham số (1)

- Xác định m để phương trình đã cho có nghiệm

Hd: Đk : -1 x 1 Đặt t = 2 1−𝑥 2

thì ta có 1 t 2 , phương trình trở thành: f(t) = t2 - 2𝑡 = m (2)

- Tìm m để pt (1) có nghiệm x thoả mãn -1 x 1 tương đương tìm m để pt (2) có

nghiệm t thoả mãn 1 t 2 Điều này xẩy ra khi :Trên 1 ; 2 thì Minf(t) m Maxf(t)

– Ta có f „(t) = 2t + 2

𝑡 2 0 với mọi t thuộc 1 ; 2 Suy ra Minf(t) = f(1) = - 1 Maxf(t) = f(2) = 3

-Vậy -1≤ 𝑚 ≤ 3 thì pt có nghiệm

16/ Cho phương trình : 22𝑥+1− 2𝑥+3− 2𝑚 = 0 (1)

a)Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt

b)Giải phương trình với m=32

Hd: -Đặt t = 2x, t 0 Viết pt thành f(t) = t2 – 4t = m (2) – P/trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khi pt (2)

có 2 nghiệm dương phân biệt Vì ứng với mỗi giá trị t 0 cho một giá trị x ( x = log2𝑡 suy ra từ t = 2x

)

– Dựa vào đồ thị ( hoặc bbt ) ta có : f(2) = - 4 m 0

(Lúc đó đường thẳng y = m cắt đồ thị y = f(t) = t2

– 4t tại hai điểm với hoành độ dương )

- Đón đọc kỳ tới với chủ đề :

Tìm giá trị của tham số m 𝝐 R để Bất phương trình: f(x) > m ; f(x)≥ m ;

f(x) < m ; f(x) ≤ m có nghiệm x 𝝐 𝐚 ; 𝐛