Chuyên đề hàm sinh tìm CTTQ của dãy số.

Hoàng Minh Quân - THPT Ngọc Tảo - Hà Nội PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG HÀM SINH TÌM CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ I. Cơ sở lí thuyết hàm sinh 1.Định nghĩa: Hàm sinh của dãy số vô hạn a 0 , a 1 , a 2 , , a n , là là một chuỗi hình thức được xác định bởi G(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a n x n + 2.Một số đẳng thức thường dùng trong hàm sinh a, 1 1 − x = 1 + x + x 2 + x 3 + b, 1 (1 − x) 2 = 1 + 2x + 3x 2 + 4x 3 + c, 1 (1 − x) n = 1 + nx + n(n+1) 2! x 2 + n(n+1)(n+2) 3! x 3 + =  ∞ i=0 C i i+n−1 x i v?i n ∈ N d, 1 1 + x = 1 − x + x 2 − x 3 + e, 1 (1 − ax) 2 = 1 + 2ax + 3a 2 x 2 + 4a 3 x 3 + f, 1 1 − x r = 1 + x r + x 2r + x 3r + g, 1 1 + x r = 1 − x r + x 2r − x 3r + II.Ứng dụng hàm sinh vào các bài toán xác định công thức tổng quát của dãy số điển hình. Thông thường các bạn biết đến phương pháp chứng minh quy nạp hoặc phương pháp sai phân để tìm công thức tổng quát của dãy số . Bài viết này nhằm cung cấp cho các bạn thêm một phương pháp nữa cũng khá hay để tìm công thức tổng quát của dãy số dựa trên cơ sở hàm sinh.Hi vọng rằng qua 8 ví dụ minh họa sau bạn đọc sẽ nắm chắc và vận dụng phương pháp sử dụng hàm sinh tìm công thức tổng quát của dãy số. Ví dụ 1 Tìm công thức tổng quát của dãy số Fibonacci(F n )với :  F 1 = F 2 = 1 F n = F n−1 + F n−2 n ≥ 3 Giải Đặt G(x) là hàm sinh cho dãy (F n ), và giả sử F 0 = 0 chúng ta có: G(x) = F 0 + F 1 x + F 2 x 2 + F 3 x 3 + (1) −xG(x) = −F 0 x − F 1 x 2 − F 2 x 3 − (2) −x 2 G(x) = −F 0 x 2 − F 1 x 3 − F 2 x 4 − (3) Từ (1) ,(2) và (3), ta có : (1 − x − x 2 )G(x) = F 0 + (F 1 − F 0 )x + (F 2 − F 1 − F 0 )x 2 + = x 1 ⇔ G(x) = x 1 − x − x 2 Phân tích G(x) = x 1 − x − x 2 = A 1 − αx + B 1 − βx Với α = 1 + √ 5 2 ; β = 1 − √ 5 2 là hai nghiệm của phương trình 1 − x − x 2 = 0 Quy đồng và đồng nhất hệ số, chúng ta được A = 1 √ 5 ; B = − 1 √ 5 . Vậy G(x) = x 1 − x − x 2 = 1 √ 5  1 1 − αx − 1 1 − βx  ⇔ √ 5G(x) =  1 1 − αx − 1 1 − βx  = ∞  k=1 (αx) n − ∞  k=1 (βx) n = ∞  k=1 (α n − β n )x n Vậy G(x) =  ∞ k=1 α n − β n √ 5 x n Hệ số của trong khai triển là F n = α n − β n √ 5 = 1 √ 5  1 + √ 5 2  n −  1 − √ 5 2  n  Vậy dãy số cần tìm có công thức tổng quát dạng F n = 1 √ 5  1+ √ 5 2  n −  1− √ 5 2  n  ,n ≥ 0 Nhận xét: Vậy với cách sử dụng hàm sinh chúng ta cũng đã tìm ra được công thức tổng quát của dãy số Fibonacci nổi tiếng. Bây giờ chúng ta cùng tìm hiểu thêm một số ví dụ tương tự như dãy trên để thấy rõ tính hiệu quả của phương pháp hàm sinh. Chũng ta cùng đi đến ví dụ sau: Ví dụ 2 Tìm công thức tổng quát của dãy số (a n )với :  a 0 = 1; a 1 = 2 a n+2 = 5a n+1 − 4a n n ≥ 0(∗) Giải Đặt G(x) là hàm sinh cho dãy (a n ), chúng ta có: G(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + (4) −5xG(x) = −5a 0 x − 5a 1 x 2 − 5a 2 x 3 + (5) 4x 2 G(x) = 4a 0 x 2 + 4a 1 x 3 + (6) Cộng ba đẳng thức trên và kết hợp (*) ta có: G(x) − 5xG(x) + 4x 2 G(x) = a 0 + ( a 1 − 5a 0 )x + (a 2 − 5a 1 + 4a 0 )x 2 + = 1 − 3x ⇔ (1 − 5x + 4x 2 )G(x) = 1 − 3x Do đó G(x) = 1 − 3x 1 − 5x + 4x 2 = 2 3  1 1 − x  + 1 3  1 1 − 4x  = 2 3 (1 + x + x 2 + ) + 1 3 [1 + (4x) + (4x) 2 + ] Do đó hệ số của x n trong khai triển của G(x) là 2 3 + 1 3 4 n nên a n = 2 3 + 1 3 4 n ,n ≥ 0. Vậy dãy số cần tìm có công thức tổng quát dạng a n = 2 3 + 1 3 4 n ,n ≥ 0. 2 Nhận xét: Như vậy hàm sinh đã giải quyết tốt bài toán xác định công thức tổng quát của dãy số cho bởi công thức truy hồi:  a 0 = a; a 1 = b a n+2 = p.a n+1 + q.a n n ≥ 0 Để ý với bài toán ở ví dụ1 và ví dụ 2, chúng ta thấy hàm G(x) có mẫu số là tam thức bậc hai, chẳng hạn ở ví dụ 2 chúng ta có mẫu số của hàm sinh là f(x) = 1 − 5x + 4x 2 có 2 nghiệm phân biệt là x = 1; x = 1 4 . Vậy trong trường hợp mẫu số của G(x) là phương trình bậc hai có nghiệm kép thì chúng ta làm như thế nào? Ví dụ sau đây sẽ giúp chúng ta xử lí tình huống đó: Ví dụ 3 Tìm công thức tổng quát của dãy số (a n )với :  a 0 = a 1 = 1 a n+2 = 4a n+1 − 4a n n ≥ 0 Giải Đặt G(x)là hàm sinh cho dãy (a n ), chúng ta có: G(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + (7) −4xG(x) = −4a 0 x − 4a 1 x 2 − 4a 2 x 3 − (8) 4x 2 G(x) = 4a 0 x 2 + 4a 1 x 3 + (9) Cộng ba đẳng thức trên ta có: G(x) −4xG(x) + 4x 2 G(x) = a 0 + (a 1 −4a 0 )x = 1 −3x ⇔ (1 −4x + 4x 2 )G(x) = 1 −3x Do đó G(x) = 1 − 3x 1 − 4x + 4x 2 = 1 − 3x (1 − 2x) 2 = 1 1 − 2x − x (1 − 2x) 2 = ∞  n=1 (2x) n − x ∞  n=1 (2x) n−1 = ∞  n=1 (2 n − n2 n−1 )x n Hệ sô của x n trong khai triển của G(x)là 2 n − n2 n−1 nên a n = 2 n − n2 n−1 ,n ≥ 0. Vậy dãy số cần tìm có công thức tổng quát dạng a n = 2 n − n2 n−1 ,n ≥ 0. Nhận xét: Trong ví dụ 2 và ví dụ 3 chúng ta thấy mẫu số của hàm sinh G(x) đều có nghiệm thực để chúng ta phân tích thành các nhân tử có dạng . Câu hỏi đặt ra là “Nếu mẫu số của hàm sinh G(x) vô nghiệm thì chúng ta sẽ không có phân tích thành các nhân tử có dạng . Khi đó chúng ta phải giải quyết bài toán này như thế nào”. Đặt ra câu hỏi này, tôi đã phải mất khá nhiều thời gian suy nghĩ và tìm hiểu vì trong trường hợp phương trình đặc trưng của dãy số vô nghiệm thì nhìn chung chúng ta chỉ biết đến phương pháp giải phương trình sai phân là giải quyết được bài toán này thông qua số phức nhưng với hàm sinh thì sao?. Dựa vào ý tưởng số phức ở phương pháp sai phân tìm công thức tổng quát của dãy số thật thú vị là cũng vẫn với ý tưởng số phức, chúng ta áp dụng vào hàm sinh và thấy rằng hàm sinh cũng giải quyết tốt bài toán xác định công thức tổng quát của dãy số trong trường hợp phương trình đặc trưng của dãy vô nghiệm. Ví dụ sau thông qua cách giải bài toán sẽ nói lên ý tưởng làm bài. Chúng ta cùng suy ngẫm và thưởng thức lời giải bằng hàm sinh cho bài toán này: 3 Ví dụ 4 Tìm công thức tổng quát của dãy số (a n )với :  a 0 = 1; a 1 = 1 2 a n+2 = a n+1 − a n với n ≥ 0 (*) Giải Đặt G(x)là hàm sinh cho dãy ( a n ), chúng ta có G(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + (10) −xG(x) = −a 0 x − a 1 x 2 − a 2 x 3 − (11) x 2 G(x) = a 0 x 2 + a 1 x 3 + (12) Cộng ba đẳng thức trên ta có: G(x) − xG(x) + x 2 G(x) = a 0 + (a 1 − a 0 )x + (a 2 − a 1 − a 0 )x 2 + = 1 − 1 2 x ⇔ (1 − x + x 2 )G(x) = 1 − 1 2 x = 2 − x 2 Do đó G(x) = 2−x 2(1−x+x 2 ) = 2−x 2 ( 1− 1−i √ 3 2 x )( 1− 1+i √ 3 2 x ) G(x) = 2 − x 2(1 − x + x 2 ) = 2 − x 2  1 − 1−i √ 3 2 x  1 − 1+i √ 3 2 x  = A 1 − 1−i √ 3 2 x + B 1 − 1+i √ 3 2 x Đem quy đồng và đồng nhất hệ số ta được A = B = 1 2 . Vậy ta có: G(x) = 1 2  1 1 − 1−i √ 3 2 x + 1 1 − 1+i √ 3 2 x  = 1 2 ∞  k=0    1 − i √ 3 2  k +  1 + i √ 3 2  k   x k = 1 2 ∞  k=0   cos( −π 3 ) + i sin ( −π 3 )  k +  cos π 3 + i sin π 3  k  x k = 1 2 ∞  k=0  cosk( −kπ 3 ) + i sin ( −kπ 3 ) + cos kπ 3 + i sin kπ 3  x k = 1 2 ∞  k=0 2cos kπ 3 x k = ∞  k=0 cos kπ 3 x k Vậy hệ số a n có hàm sinh G(x) là: a n = cos nπ 3 Do đó công thức tổng quát của dãy số đã cho là: a n = cos nπ 3 Bây giờ chúng ta xét tới trường hợp bài toán xác định công thức tổng quát của dãy số mà vế phải còn có thêm hàm f(n). Trước hết ta xét dãy số có dạng :  a 0 = a; a 1 = b a n+2 = p.a n+1 + q.a n + f(n) n ≥ 0 Ví dụ 5 và ví dụ 6 sau đây sẽ minh họa cho cách làm sử dụng hàm sinh để tìm công thức tổng quát của dãy số có dạng đã cho: 4 Ví dụ 5 Tìm công thức tổng quát của dãy số (a n )với :  a 0 = 0, a 1 = 1 a n + 5 a n−1 + 6a n−2 = 3n n ≥ 2(∗) Giải Đặt G(x) là hàm sinh cho dãy (a n ), chúng ta có: G(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + 5xG(x) = 5a 0 x + 5a 1 x 2 + 5a 2 x 3 + 5a 3 x 4 + 6x 2 G(x) = 6a 0 x 2 + 6a 1 x 3 + 6a 2 x 4 + 6 a 3 x 5 + Cộng các đẳng thức trên ta có: (1 + 5x + 6x 2 )G(x) = a 0 + (a 1 + 5 a 0 )x + (a 2 + 5 a 1 + 6a 0 )x 2 + (a 3 + 5 a 2 + 6 a 1 )x 3 + = x + 3(2x 2 + 3x 3 + 4x 4 + ) = x + 3x(2x + 3x 2 + 4 x 3 + ) = −2x + 3x(1 + 2x + 3x 2 + 4x 3 + ) = −2x + 3x (1 − x) 2 = −2x 3 + 4 x 2 + x (1 − x) 2 Vậy G(x) = −2x 3 + 4x 2 + x (1 + 5x + 6x 2 )(1 − x) 2 = −2x 3 + 4x 2 + x (3x + 1)(2x + 1)(1 − x) 2 Phân tích G(x) = −2x 3 + 4x 2 + x (3x + 1)(2x + 1)(1 − x) 2 = A 3x + 1 + B 2x + 1 + C 1 − x + D (1 − x) 2 Đồng nhất hệ số chứng ta tìm được : A = 5 16 ; B = −2 3 ; C = 5 48 ; D = 1 4 Vâỵ G(x) = −2x 3 + 4x 2 + x (3x + 1)(2x + 1)(1 − x) 2 = 5 16 . 1 1 + 3x − 2 3 . 1 1 + 2x + 5 48 . 1 1 − x + 1 4 . 1 (1 − x) 2 = 5 16 ∞  i=0 (−1) i (3x) i − 2 3 ∞  i=0 (−1) i (2x) i + 5 48 ∞  i=0 x i + 1 4 ∞  i=0 (i + 1)x i Hệ số của x n trong khai triển của G(x)là 5 16 (−1) n 3 n − 2 3 (−1) n 2 n + 5 48 + 1 4 (n + 1) = 5 16 (−1) n 3 n − 2 3 (−1) n 2 n + n 4 + 17 48 Vậy a n = 5 16 (−1) n 3 n − 2 3 (−1) n 2 n + n 4 + 17 48 Ví dụ 6 Tìm công thức tổng quát của dãy số ( a n )với :  a 0 = 0, a 1 = 1 a n = 5a n−1 − 6a n−2 + 5 n với n ≥ 2(*) Giải 5 Đặt G(x) là hàm sinh cho dãy (a n ), chúng ta có: G(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + −5xG(x) = −5a 0 x − 5a 1 x 2 − 5a 2 x 3 − 5a 3 x 4 − 6x 2 G(x) = 6a 0 x 2 + 6a 1 x 3 + 6a 2 x 4 + 6 a 3 x 5 + Cộng ba đẳng thức trên ta có: (1 − 5x + 6x 2 )G(x) = x + ∞  i=2 (a i − 5a i−1 + 6a i−2 )x i = x + ∞  i=2 5 i x i = x + 5 2 x 2 + 5 3 x 3 + 5 4 x 4 + = x + (5x) 2  1 + (5x) + (5x) 2 +  = x + (5x) 2 1 − 5x = 25x 2 + x − 5x 2 1 − 5x = 20x 2 + x 1 − 5x Do đó: G(x) = 20x 2 + x (1 − 5x)(1 − 5x + 6x 2 ) = 20x 2 + x (1 − 5x)(1 − 2x)(1 − 3x) Ta có: G(x) = 20x 2 + x (1 − 5x)(1 − 2x)(1 − 3x) = A 1 − 5x + B 1 − 2x + C 1 − 3x Đồng nhất hệ số, chúng ta được: G(x) = 25 6 . 1 1 − 5x + 22 3 . 1 1 − 2x − 23 2 . 1 1 − 3x G(x) = 25 6 ∞  i=0 (5x) i + 22 3 ∞  i=0 (2x) i − 23 2 ∞  i=0 (3x) i Hệ số của x n trong khai triển của G(x) là 25 6 .5 n + 22 3 .2 n − 23 2 .3 n nên a n = 25 6 .5 n + 22 3 .2 n − 23 2 .3 n ,n ≥ 1. Vậy dãy số cần tìm có công thức tổng quát dạng a n = 25 6 .5 n + 22 3 .2 n − 23 2 .3 n ,n ≥ 1. Nhận xét : Thông qua các ví dụ trên chúng ta thấy hàm sinh là một công cụ hữu hiệu giải quyết các bài toán xác định công thức tổng quát của dãy số có dạng  a 0 = a; a 1 = b a n+2 = p.a n+1 + q.a n + f(n) n ≥ 0 Câu hỏi đặt ra đối với dãy số có công thức truy hồi tổng quát phức tạp hơn thì chúng ta làm như thế nào? Hai ví dụ 7 và ví dụ 8 sau đây sẽ minh họa cách sử dụng hàm sinh cho các trường hợp như thế. Ví dụ 7 Tìm công thức tổng quát của dãy số ( a n ) với :  a 0 = 2, a 1 = 4, a 2 = 31 a n+1 = 4a n + 3 a n−1 − 18a n−2 n ≥ 2(∗) 6 Giải Đặt G(x)là hàm sinh cho dãy (a n ), chúng ta có: G(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + −4xG(x) = −4a 0 x − 4a 1 x 2 − 4a 2 x 3 − 4a 3 x 4 − −3x 2 G(x) = −3a 0 x 2 − 3a 1 x 3 − 3a 2 x 4 − 3a 3 x 5 − 18x 3 G(x) = 18a 0 x 3 + 18a 1 x 4 + 18a 2 x 5 + 18a 3 x 6 + Cộng các đẳng thức trên ta có: (1 − 4x − 3x 2 + 18 x 3 )G(x) = 2 − 4x + 9x 2 Do đó G(x) = 2 − 4x + 9x 2 1 − 4x − 3x 2 + 18x 3 = 2 − 4x + 9x 2 (1 + 2x)(1 − 3x) 2 = 1 1 + 2x + 1 (1 − 3x) 2 = ∞  i=0 (−2x) i + ∞  i=0 (i + 1)(3x) i Hệ số của x n trong khai triển của G(x)là (−2) n + ( n + 1)3 n Vậy a n = (−2) n + (n + 1)3 n , n ≥ 0 Ví dụ 8 Tìm công thức tổng quát của dãy số (a n ) với :  a 0 = 0, a 1 = −8, a 2 = 4, a 3 = −42 a n = −a n−1 + 3 a n−2 + 5a n−3 + 2a n−4 n ≥ 4(∗) Giải Đặt G(x)là hàm sinh cho dãy ( a n ), chúng ta có: G(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + xG(x) = a 0 x + a 1 x 2 + a 2 x 3 + a 3 x 4 + −3x 2 G(x) = −3a 0 x 2 − 3a 1 x 3 − 3a 2 x 4 − 3a 3 x 5 − −5x 3 G(x) = −5a 0 x 3 − 5a 1 x 4 − 5a 2 x 5 − 5a 3 x 6 − −2x 4 G(x) = −2a 0 x 4 − 2a 1 x 5 − 2a 2 x 6 − 2a 3 x 7 − Cộng các đẳng thức trên ta có: (1 + x − 3x 2 − 5x 3 − 2x 4 )G(x) = −8x − 4x 2 − 14x 3 ⇔ G(x) = −8x − 4x 2 − 14x 3 1 + x − 3x 2 − 5x 3 − 2x 4 = 8x + 4x 2 + 14x 3 (x + 1) 3 (2x − 1) Phân tích G(x) = 8x + 4x 2 + 14x 3 (x + 1) 3 (2x − 1) = A x + 1 + B (x + 1) 2 + C (x + 1) 3 + D 2x − 1 Quy đồng và đồng nhất hệ số ta được A = 6; B = −10; C = 6; D = 2 Vậy G(x) = 8x + 4x 2 + 14x 3 (x + 1) 3 (2x − 1) = 6 1 + x − 10 (1 + x) 2 + 6 (1 + x) 3 + 2 2x − 1 G(x) = 6 ∞  k=0 (−1) k x k − 10 ∞  k=0 (−1) k (k + 1)x k + 6 ∞  k=0 (−1) k C k k+2 x k − 2 ∞  k=0 (2x) k 7 Hệ số của x n trong khai triển của G(x) là: a n = 6(−1) n − 10(−1) n (n + 1) + 6(−1) n . n 2 + 3 n + 2 2 − 2 n+1 = (3n 2 − n + 2)( −1) n − 2 n+1 , n ≥ 0 Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là: a n = (3n 2 − n + 2)(−1) n − 2 n+1 , n ≥ 0 Một số bài toán tự luyện : Bài 1: Tìm công thức tổng quát của dãy số (a n ) với :  a 0 = 0, a 1 = 1 a n − 4a n−2 = 0 n ≥ 2 Bài 2 Tìm công thức tổng quát của dãy số (a n ) với :  a 0 = 2, a 1 = 2 a n − 6a n−1 + 5a n−2 = 0 n ≥ 2 Bài 3 Tìm công thức tổng quát của dãy số (a n ) với :  a 0 = 2, a 1 = 6 a n − 7a n−1 + 10 a n−2 = 2 n n ≥ 2 Bài 4 Tìm công thức tổng quát của dãy số (a n ) với :  a 0 = 3, a 1 = 1 a n − 2a n−1 − 3a n−2 = 0 n ≥ 2 Bài 5 Tìm công thức tổng quát của dãy số (a n ) với :  a 0 = 0, a 1 = 1, a 2 = 2 2a n = a n−1 + 2a n−2 − a n−3 n ≥ 3 Bài 6 Tìm công thức tổng quát của dãy số (a n ) với :  a 0 = a 1 = 1 a n = 3a n−1 − 2a n−2 + 2 n ≥ 2 Bài 7 Tìm công thức tổng quát của dãy số (a n ) với :  a 0 = −4, a 1 = −5 a n − a n−1 − 2a n−2 = 4n n ≥ 2 8 . - THPT Ngọc Tảo - Hà Nội PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG HÀM SINH TÌM CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ I. Cơ sở lí thuyết hàm sinh 1.Định nghĩa: Hàm sinh của dãy số vô hạn a 0 , a 1 , a 2 , , a n , là là một. dụng hàm sinh tìm công thức tổng quát của dãy số. Ví dụ 1 Tìm công thức tổng quát của dãy số Fibonacci(F n )với :  F 1 = F 2 = 1 F n = F n−1 + F n−2 n ≥ 3 Giải Đặt G(x) là hàm sinh cho dãy (F n ),. qua số phức nhưng với hàm sinh thì sao?. Dựa vào ý tưởng số phức ở phương pháp sai phân tìm công thức tổng quát của dãy số thật thú vị là cũng vẫn với ý tưởng số phức, chúng ta áp dụng vào hàm sinh