Chuyên đề 3 : TÍNH SỐ HẠNG CỦA DÃY FIBONACCI SUY RỘNGI... Có thể bắt đầu từ hai số hạng liên tiếp bất kỳ của dãy Fibonacci.. Viết quy trình bấm phím để tính un.. Lập một công thức truy h
Trang 1Chuyên đề 3 : TÍNH SỐ HẠNG CỦA DÃY FIBONACCI SUY RỘNG
I DÃY FIBONACCI :
1) Dạng tổng quát : u1 = 1 , u2 = 1 , un+1 = un + un - 1
Số hạng un gọi là số Fibonacci
2) Quy trình bấm phím :
a) Máy Fx- 570 MS :
Cách 1 :
Quy trình 1 :
Bấm phím 1 1 Và lặp lại dãy phím
Giải thích :
Phím 1 đưa u2 = 1 vào ô nhớ
Phím 1 cộng u2 = 1 với u1 = 1 được u3 = 2 và
ghi vào ô nhớ
được u4 = u3 + u2 = 3 ghi vào ô nhớ
trong , được u5 = u4 + u3 = 5 và ghi vào ô nhớ Tiếp tục quy trình trên , ta sử dụng hai ô nhớ và để lần lượt
tính các giá trị un
Quy trình 2 :
Bấm phím 1 1
lặp lại phím
Giải thích : Phím lấy lại quy trình tính
và tính tiếp nhờ phím Cách 2 : Xử dụng công thức gán giá trị
A +
m
A SHIFT STO
A
B
A
m
A +
m
=
Trang 2Công thức : D = D + 1 : A = A + B : D = D + 1 : B = B + A
b) Máy Calculator trong Windows :
Bấm phím 1
Và lặp lại dãy phím
3) Nghiệm tổng quát :
n
u
5
Quy trình bấm phím máy Fx-570 MS :
1 5 2 1 5
2 5
Bấm máy hiện X ?
Thay X bằng các số tự nhiên từ 1 đến 49 ta được các số
Máy Casio fx - 570MS ta chỉ cần khai báo công thức một lần , sau đó mỗi lần bấm phím chỉ cần thay X bằng một trong các số tự nhiên từ 1 đến 49 , ta sẽ được các un tương ứng
Tính theo công thức nghiệm tổng quát ta chỉ được số gần đúng , nếu không chú ý có thể dẫn đến đáp số sai
Không nhất thiết phải bắt đầu từ hai số hạng đầu là u1=1 và u2=1 Có thể bắt đầu từ hai số hạng liên tiếp bất kỳ của dãy Fibonacci
* Tìm số hạng thứ n và tính tổng thứ n
C = 2 2 ( Tổng 2 số hạng đầu )
Công thức : D = D + 1 : A = A + B : C = C + A
D = D + 1 : B = B + A : C = C + B
II/- DÃY LUCAS :
1- Dạng tổng quát :
Dãy Lucas là dãy số tổng quát của dãy Fibonacci ; các số hạng của nó tuân theo quy luật : u1 = a , u2 = b ; un+1 = un + un-1 với mọi n 2, trong đó a và b là hai số nào đó
Với a=b=1 thì trở thành dãy Fibonacci
M+
CALC
CALC
A SHIFT STO
B SHIFT STO
D SHIFT STO
C SHIFT STO
Trang 32- Quy trình bấm phím :
Máy Fx - 570 MS :
Cách 1 :
Quy trình 1 :
Bấm phím
b a
Và lặp lại dãy phím
Quy trình 2 :
b a
lặp lại phím
Cách 2 : Xử dụng công thức gán giá trị
Công thức : D = D + 1 : A = A + B : D = D + 1 : B = B + A Áp dụng : Tính u35 = ( 20633239)
Biết u1 = 1 và u2 = 3 , un+1 = un + un-1 ( n 2 )
Công thức : D = D + 1 : A = A + B : D = D + 1 : B = B + A
III/- DÃY FIBONACCI SUY RỘNG :
1- Dãy Fibonacci suy rộng dạng :
u1 = a , u2 = b ; un+1 = Mun + Nun-1 với mọi n 2
* Quy trình sử dụng máy Casio Fx-570 MS :
Cách 1 :
Quy trình 1 : Bấm phím
b M N a
Và lặp lại dãy phím
M N
m
A SHIFT STO
B SHIFT STO
D SHIFT STO
m
Trang 4Giải thích :
b M N a
Đưa b = u2 vào ô nhớ , tính u3 = Mu2 + Nu1 và đẩy u3 vào ô nhớ
M N
Tính u4 = Mu3 + Nu2 và đưa vào ô nhớ Như vậy , ta có u4 trên màn hình và trong ô nhớ , còn trong ô nhớ là u3
M N
Ta có u5 trên màn hình và trong ô nhớ
Tiếp tục vòng lặp ta được các số hạng của un+1 = Mun + Nun-1
Quy trình 2 : Bấm phím
b M N a
M N
lặp lại phím
Cách 2 :
Công thức : D = D + 1 : A = MB + NA : D = D + 1 : B = MA + NB
* Bài tập áp dụng : Tính u17 = ( 8346193634 ) Với u1 = 2 và u2 = 3 , un+1 = 4 un + un -1 n 2 Gán giá trị : A = 2 2 SHIFT STO A
B = 3 3 SHIFT STO B
D = 2 2 SHIFT STO D Công thức : D = D + 1 : A = 4B + A : D = D + 1 : B = 4A + B
A SHIFT STO
B SHIFT STO
D SHIFT STO
A
B
Trang 52- Dãy Fibonacci suy rộng dạng :
u1 = a , u2 = b ; un+1 = un 2 + un-1 2 với mọi n 2
* Quy trình sử dụng máy Casio fx-570 MS :
Cách 1 :
Bấm phím
b a
Và lặp lại dãy phím
Cách 2 :
Công thức : D = D + 1 : A = A2 + B2 : D = D + 1 : B = B2 + A2
3- Dãy Fibonacci suy rộng dạng :
u1 = a , u2 = b ; un+1 = F1 ( un ) +F2 ( un-1 ) với mọi n 2
* Quy trình sử dụng máy Casio fx-500 A :
Khai báo b
Tính F 1 (b) F2(a)
ta được u2= b trong ô nhớ và u3 = F1 ( u2 ) +F2 ( u1 ) = F1 ( b) +F2 ( a ) trên màn hình
Và lặp lại dãy phím :
* Quy trình sử dụng máy Casio fx-570 MS :
Bấm phím
b
Và lặp lại dãy phím
4- Dãy truy hồi tổng quát :
u1 = a , u2 = b ; un+1 =
k i
i
i u F
1
) ( với mọi n k , trong đó u1,u2, uk cho trước Fi (x) , i = 1 n là các biểu thức toán học của biến số x
x2
+
F2
F2 +
SHIFT STO
B SHIFT STO
ALPHA A ALPHA B
F1
Min
X M
x2
x2 +
SHIFT STO
B SHIFT STO
ALPHA A ALPHA B
x2
A SHIFT STO
B SHIFT STO
D SHIFT STO
Trang 6Tính dãy Fibonacci bậc 3 : u1 = u2 =1 , u3 = 2 , un+1 = un + un - 1+un-2 với n 3.
Bấm phím : Đưa u 2 vào : 1
Đưa u 3 vào : 1
Tính u 4 : 1 Và lặp lại dãy phím :
Ta được dãy : 1,1,1,3,5,9,17,31,57,105,193,355,653,
Cách khác :
Tính dãy Fibonacci bậc 3 : u1 = a ; u2 =b , u3 = c ,
un+1 = Xun + Yun - 1 + Zun-2 với n 3
Gán giá trị : A = a a SHIFT STO A
B = b b SHIFT STO B
C = c c SHIFT STO C
D = 2 2 SHIFT STO D Công thức : D = D + 1 : A = XC + YB + ZA :
D = D + 1 : B = XA + YC + ZB :
D = D + 1 : C = XB + YA + ZC :
Bài tập áp dụng :
a) Biết : u1 = 4 , u2 =7 , u3 = 5 , un+1 = 2un - un - 1 + un-2 với n 3
Gán giá trị : A = 4 4 SHIFT STO A
B = 7 7 SHIFT STO B
C = 5 5 SHIFT STO C
D = 3 3 SHIFT STO D Công thức : D = D + 1 : A = 2C - B + A :
D = D + 1 : B = 2A - C + B :
D = D + 1 : C = 2B - A + C : Tính u30 ? u30 = 20929015 b) Biết : u1 = 1 , u2 =2 , u3 = 3 , un = un-1 +2un - 2 + 3un-3 với n 3
Tính u28 ? u28 = 9524317645
IV/- CÁC TÍNH CHẤT CỦA DÃY FIBONACCI :
Dãy Fibonacci có rất nhiều tính chất hay , dưới đây là một số tính chất quen thuộc Nhiều tính chất có thể mở rộng cho dãy Lucas
1).Tính chất 1 :
um = uk um+1 - k + uk - 1 um - k
hay un+m = un - 1.um + un um + 1
SHIFT STO
SHIFT STO
+
+
+
+
(u5) (u6) (u7)
+ + +
Trang 72).Tính chất 2 :
u2n+1 = 2
n
2 1
u
3) Tính chất 3 :
1 n n
1 n
2
n u u ( 1 )
4) Tính chất 4 :
u1 + u3 + u5 + + u2n-1 = u2n
5) Tính chất 5 :
Với mọi n ta có : Vn := | un+4un-2 - un+2un | = 3 6) Tính chất 6 :
Với mọi n : 4un-2u2 - un+2un un+4un-2 | = 3
IV/- BÀI TẬP ÁP DỤNG :
* Áp dụng tính số Fibonacci :
Với u1=1 và u2 = 1 un+1 = un + un - 1 (n 2) Tính u49 ?
* Áp dụng tính số Lucas :
1) Với u1 = 1 và u2 = 3 ; un+1 = un + un - 1 (n 2)
Tính u35 ? 2) Với u1 = - 3 và u2 = 4 ; un+1 = un + un - 1 (n 2)
Tính u22 ? 3) Với u1 = - 1 và u2 = - 5 ; un+1 = un + un - 1 (n 2)
Tính u6 ? 4) Với u1 = 1 và u2 = - 5 ; un+1 = un + un - 1 (n 2)
Tính u10 ? 5) Với u1 = 8 và u2 = 13 ; un+1 = un + un - 1 (n 2)
Tính u17 ? 6) Với u1 = 144 và u2 = 233 ; un+1 = un + un - 1 (n 2)
Tính u39 ?
* Áp dụng tính số Fibonacci suy rộng :
1) Với u1=2 và u2 =3 , un+1 =4un + un -1 Tính u17 ? 2) Với u1 = 3 và u2 = 2 , un+1 = 2 un + 3 un -1 Tính u21 ? 3) Với u1 = 1 và u2 = 2 , un+1 = 3 un + un -1 Tính u19 ? 4) Với u1 = 2 và u2 = 20 , un+1 = 2 un + un -1 Tính u24 ? 5) Với u1=2 và u2 =3 , un+1 =4un + 5un -1 Tính u15 ? 6) Với u1 = 3 và u2 = 5 , un+1 = 3un - 2un -1 - 2 Tính u33 ? 7) Với u1 = 2 và u2 = 10 , un+1 = 10 un - un -1 Tính u22 ? 8) Với u1 = 1 và u2 = 1 , un+1 = 2un - un -1 + 2 Tính u15 ? 9) Với u1 = u2 =1 , un+1 = un 2 + un-1 2 Tính u8 ?
Trang 81) Cho dãy u1=2 và u2 = 20 , un+1 = 2un + un - 1 ( n 2 )
a) Tính u3 , u4 ,u5 ,u6 ,u7
b) Viết quy trình bấm phím để tính un c) Tính giá trị của u22 , u23 ,u24 ,u25 2) Cho dãy số un = 2 3 2 32 3
n n
a) Tính 8 số hạng đầu tiên của dãy b) Lập một công thức truy hồi để tính un+2 theo un+1 và un c) Lập một quy trình tính un
d) Tìm các số n để un chia hết cho 3
3) Cho dãy u0 =2 , u1 = 10 , 10un - un - 1 , n = 1, 2,
a) Lập một quy trình tính un+1
b) Tính u2 , u3 , u4 , u5 , u6 c) Tìm công thức tổng quát của un 4) Cho dãy u1 = 1 , u2 = 3 ; un+1 = 2
1 n
2
n u
u Tìm số dư của un chia cho 7
5 2
5 1 5
1 u
n n
n
a) Tính u1 , u2 , u3 , u4 , u5 b) Tìm công thức truy hồi tính un+2 theo un+1 và un
c) Viết quy trình bấm phím liên tục tính un
6) Cho dãy số với n 0,1,2,3. .
7 2
7 5 7 5
a) Tính 5 số hạng đầu của dãy số : U0, U1, U2, U3, U4 b) Chứng minh rằng Un+2 = 10 Un+1 - 18Un
c) Lập qui trình ấn phím liên tục tính Un+2 trên máy tính CASIO fx 570 MS
7) Cho dãy số 2 , với n 0 , 1 , 2 , 3
2 5 3 2
5 3 U
n n
a) Tính 5 số hạng đầu của dãy số : U0, U1, U2, U3, U4
b) Lập công thức truy hồi tính Un+1 theo Un và Un - 1 c) Lập qui trình ấn phím liên tục tính Un+1 trên máy tính CASIO fx 570 MS
8) Cho dãy số với n 1,2,3. .
2 2
2 3 2 3
a) Tính 5 số hạng đầu của dãy số : U1, U2 , U3 , U4 , U5 b) Chứng minh rằng Un+2 = 6 Un+1 - 7Un
c) Lập qui trình ấn phím liên tục tính Un+2 trên máy tính CASIO fx 570 MS
9) Cho dãy số với n 1,2,3. .
3 2
3 10 3
10
Trang 9a) Tính 4 số hạng đầu của dãy số : U1, U2 , U3 , U4 b) Lập công thức truy hồi tính Un+2 theo Un+1 và Un
c) Lập qui trình ấn phím liên tục tính Un+2 theo Un+1 và Un rồi tính
U5, U6 , U7 , U16