(Thi HS gioûi Caàn Thô, 2002) Moät ngöôøi söû duïng xe coù giaù trò ban ñaàu laø 10 trieäu. Sau moãi naêm, giaù trò xe giaûm 10% so vôùi naêm tröôùc ñoù. Tính giaù trò cuûa xe sau 5 naêm[r]
(1)Chuyên đề : DẠNG TOÁN LÃI SUẤT ( TĂNG TRƯỞNG )
1) Lãi ngân hàng : Khi ta có tiền khơng sử dụng đến , ta gửi ngân hàng để lấy lãi Có hai cách tính lãi
a) Lãi đơn : Lãi tính theo tỉ lệ phần trăm khoảng thời gian cố định trước
Ví dụ l Khi gửi 1.000.000 đ (một triệu đồng) vào ngân hàng với lãi suất 5% /năm sau năm ta nhận số tiền lãi :
1.000.000 5% = 50.000 (năm mươi ngàn đồng)
Số tiền lãi cộng vào hàng năm Kiểu tính lãi gọi lãi đơn Thí dụ, sau hai năm số tiền gốc lẫn lãi :
1.000.000 + 50.000 = 1.100.000 đ (một triệu trăm nghìn đồng) Nói chung, sau n năm, số tiền gốc lẫn lãi :
xn = 1.000.000+ 50.000n ñ
Tiền vốn tăng trưởng tăng tuyến tính, giá trị xn phụ thuộc cách tuyến tính theo n Nếu biểu diễn đồ thị xn theo n ta điểm đường thẳng
Kiểu tính lãi khơng khuyến khích người gửi, vì, ta cần
rút tiền ra, thí dụ, sau 18 tháng, ta tính lãi năm đầu tổng số tiền rút xn = 1.000.000+ 50.000 = 1.050.000 đ
Vì ngân hàng thường tính lãi suất với chu kì ngắn hơn,thí
dụ, tính lãi theo tháng Nếu lãi suất 125 %/tháng cuối tháng đầu có số tiền lãi từ triệu đồng 1.000.000 125 % = 4166 32 đ
Sau năm, tổng số tiền lãi trước : 4166 32 12 = 50000 đ
Như vậy, với lãi đơn, khơng có sai khác ta nhận lãi theo tròn năm hay theo tháng Tuy nhiên, ta rút tiền chừng, thí dụ , sau 18 tháng, ta số tiền lãi là: 4166 32 18 = 75000 đ
Và ta đóng tài khoản số tiền cà gốc lẫn lãi sau 18 tháng 1.000.000 + 75.000 = 1.075.000 đ
nhiều so với tính lãi theo năm 25000 đ
b) Lãi kép : Sau đơn vị thời gian ( tháng , năm ) , lãi gộp vào vốn tính lãi Loại lãi gọi lãi kép
Ví dụ : Khi ta gửi 1.000.000 đ với lãi suất 5%/năm sau năm ta nhận số tiền lãi 50000 đ số tiền gốc lẫn lãi 1.050.000đ
Toàn số tiền dược coi tiền gốc tổng số tiền cuối năm thứ hai 1.050.000 +1.050.000 5% = 1.102.500 đ
Gọi xn số tiền nhận cuối năm thứ n x0 = 1.000.000 đ, x1 = 1.000.000 + 1.000.000 5% = 1.000.000 ( + 5%)
(2)Hoàn toàn tương tự, sau hai năm ta nhận số tiền : x2 = xl + x1 5% = x1 (1+ 5%) = x0 (l+5%)2 đ Sau năm, số tiền là:
x3 = x2 + x2 5% = x2 (1+ 5%) = x0 (l+5%)3 đ Sau n năm, số tiền nhận gốc lẫn lãi là:
xn+1 = (1+ 5%)xn = l,05 xn
Phương trình phương trình sai phân tuyến tính bậc
Nghiệm phương trình tính trực tiếp theo công thức là:
xn = (1+ 5%)n x0 c) Tăng trưởng đột biến :
Trong mục trước , ta mở tài khoản với với số vốn ban đầu sau để số vốn tự sinh lãi Tuy nhiên , thực tế , ta thường hay sử dụng loại " tăng trưởng đột biếân ", tức ta gửi vào rút lượng tiền
Ví dụ 1: Giả sử vào ngày tháng giêng ta gửi 1000 đô la với lãi suất 0,5 %/ tháng Khi , sang ngày tháng ta có :
1000 + 1000 0,5 % = 1005 đô la Sang ngày tháng ta có số tiền :
1005 + 1005 0,5 % = 1010,025 đô la
Giả sử đầu tháng ta rút 100 la , số tiền mà ta cịn lại 1010,025 - 100 = 910,025 đô la
Công thức : xn+1 = (1+r%)xn + dn , n = 0,1,2,3, Nếu dn d
Ta có cơng thức : xn = qnx0 + ( qn-1 + qn-2 + +q +1) d = qnx0 + qn−1
q −1 d ( )
Ví dụ : Bạn gửi 1000 đô la trả lãi kép theo tháng với lãi suất 0,5%/ tháng Giả sử tháng ta phải rút 50 đô la để trả tiền điện Hỏi số tiền lại sau năm
Giải : Với lãi suất 0,5 % / tháng ta có :
x1 = 1,005 x0 - 50 , , xn+1 = 1,005 xn - 50 , n = 0,1,2,
Áp dụng công thức ( ) với : r = 0,5 % , n = 12 , xn = 1000 , d = - 50 Ta : xn =(1+0,5%)12
1000 -
1+0,5 %¿12−1 ¿ ¿ ¿
đô la d) Trả lãi nợ :
Ví dụ : Giả sử bạn vay 2000 đô la từ ngân hàng để đóng học phí Phải trả lãi %/ năm bạn muốn trả hết nợ vòng năm Hỏi tháng bạn phải trả tiền
Giải : Gọi m số tiền hàng tháng mà bạn phải trả xn số tiền nợ sau n tháng Như , x0 = 2000 đô la Sau năm số tiền lại :
(3)Áp dụng công thức ( ) với n = x3 = ta : = 1,063
2000 - 12m 1,06
3
−1 0,06
Suy : m = 1,063×2000×0,06
(1,063−1)×12 =62,35163547≈62,35 đô la
e) Lạm phát :
Lạm phát xảy đồng tiền bị giá Tỷ lệ phần trăm tăng lên số giá bán lẻ năm gọi tỉ lệ lạm phát năm Thí dụ, nói tỷ lệ lạm phát 3%, nghĩa ta cần 1+3 % = 1,03 đô la mua vật trị giá đô la trước năm Nếu tỷ lệ lạm phát số từ năm sang năm khác , cách tính giá trị hàng hóa hồn tồn giống trường hợp tính lãi kép Thí dụ , với tỷ lệ lạm phát % / năm , sau 20 năm ta muốn mua vật trị giá lúc 1000 la cần số tiền :
x20 = (1+
100) 20
×1000=1806,111235≈1806 đô la
Ta sử dụng cơng thức : xn = qn x0 , n = 1,2, với r = % , x0 = 1000 n = 20 năm
Mặc dù tỉ lệ lạm phát bình thường , sau thời gian dài gía trị đồng tiền bị giá cách đáng kể Thí dụ , với tỉ lệ lạm phát 3%, hỏi sau giá trị đồng tiền nửa ? Để trả lời câu hỏi ta cần tìm n cho
xn = (1+
100)
n ×1=2
Bằng máy tính, ta thấy : x21 = (1 + % )23 = 1,97 x22= ( + % )24 = 2.03 Vì , sau khoảng 24 năm,ta cần đô la để mua vật trị giá đầu đô la
2) Một số cơng thức tính tốn lãi suất số ví dụ áp dụng A : tiền vốn nhập lãi
a : tiền gửi vào hàng tháng r : Lãi suất ( hàng tháng ) n : thời gian ( tháng )
* Ví dụ : Một số tiền 58.000 đ gửi tiết kiệm theo lãi suất 0,7 % tháng Tính vốn lẫn lãi sau tháng
Công thức :
Giaûi : A = a (1+r)n = 58.000
(1,007)8 = 61.328,69987
Ấn phím : 58.000 1.007 (61.328,69987)
* Ví dụ : Muốn 58.000 đ trở thành 70.021 đ Hỏi phải gởi tiết kiệm với lãi suất 0,7 % tháng
A = a ( 1+ r )n
(4)Công thức :
ln70 021 58 000 ln(1 007)
Giaûi : n = ln A a
ln(1+r)
= = 27 tháng
Ví dụ 3 : Số tiền 58.000 đ gởi tiết kiệm tháng lãnh 61.329 đồng Tìm lãi suất / tháng
Cơng thức : r=√n A
a−1=
8 √61329
58000−1
Giải : = 0,007 = 0,7 %
Ví dụ 4 : Mỗi tháng gửi tiết kiệm 50.000 đ với lãi suất 0.7 % / tháng Hỏi sau 10 tháng lãnh vốn lẫn lãi
Công thức : ¿
¿ a(1+r)¿
¿
Giaûi : A = = 519.659,9
Ví dụ 5 : Muốn có 1.000.000 đ sau 10 tháng phải gởi quỹ tiết kiệm tháng , lãi suất 0,6 %
Công thức :
a=Ar
(1+r)[(1+r)10−1]
= 000 000×0,006
1,006×(1,00610−1)
Giải : = 96.749,1
n = ln
A a
ln(1+r)
r = n
√A a −1
A = ¿¿
a(1+r)¿ ¿
a=Ar
(5)BAØI TẬP THỰC HAØNH :
1) Số tiền 58.000 đ gởi tiết kiệm theo lãi kép ( sau tháng tiền lãi nhập thành vốn ) Sau 25 tháng vốn lẫn lãi 84.155 đồng Tính lãi suất /tháng ( tiền lãi 100 đ tháng )
2) Dân số nước 65 triệu , mức tăng dân số năm 1,2 % Tính dân số nước sau 15 năm
3) Dân số Hà Nội sau hai năm tăng từ 2.000.000 lên 2.048.288 người Tính xem hàng năm trung bình dân số tăng ?
4) Một người gửi 6800 đồng ( đôla ) vào ngân hàng với lãi suất hàng năm 4,3% Hỏi sau năm , năm , năm , năm , năm , người có tiền , biết hàng năm người khơng rút lãi suất
BÀI TẬP
1) (Thi HS giỏi Hà Nội, 1996) Dân số nước 65 triệu, mức tăng dân số l,2% năm Tính dân số nước sau 15 năm
2) (Thi HS giỏi Cần Thơ, 2002) Dân số nước ta năm 1986 55 triệu, mức tăng dân số 2, 2% năm Tính dân số nước ta năm 1996
3) ( Thi Khu vực , Bộ GD ĐT , 2004 , Đề dự bị ) Một người gửi tiết kiệm 1000 đô-la vào ngân hàng khoảng thời gian 10 năm với lãi suất 5% năm Hỏi người nhận số tiền nhiều hay ngân hàng trả lãi suất 125 % tháng
4) (Thi HS giỏi Cần Thơ, 2002) Một người sử dụng xe có giá trị ban đầu 10 triệu Sau năm, giá trị xe giảm 10% so với năm trước
a) Tính giá trị xe sau năm
b) Tính số năm để giá trị xe nhỏ triệu
5) a).Bạn gửi 1000 đô-la với lãi suất đơn cố định theo năm.Sau năm số tiền 1330 đô-la Hỏi lãi suất tiết kiệm bao nhiêu?
b) Giả sử ngân hàng tính lãi kép Hãy tính lãi suất tiết kiệm sau sáu năm bạn nhận số tiền 1330 đô-la
c).Giả sử bạn gửi 1000 đô-la với lãi suất kép 5%/năm vòng sáu năm Hỏi bạn nhận dược sau sáu năm Nếu ngân hàng tính lãi suất theo q (3 tháng lần tính lãi) bạn nhận
6) Bạn dinh gửi ngân hàng dể tăng gấp dôi số tiền 1000 đô-la nhanh tốt Ngân hàng đề nghị bạn chọn ba cách gửi tiền:
Cách l Lãi suất 7,5%/ năm ; Cách Lãi suất 7,25%/nửa năm Cách Lãi suất 7%/tháng ~ Bạn chọn cách ?
(6)số tiền nhận sau ba năm 15.011,81 đô la Hỏi ơng bác có tiền lúc mua cổ phiếu Nếu để sau 10 năm thực di chúc người nhận chia
8) ( Thi HS giỏi TP HCM , 1996 ) Một số tiền 58.000 đ gửi tiết kiệm theo lãi kép Sau 25 tháng vốn lẫn lãi 84155 đ Tính lãi suất / tháng ( tiền lãi 100 đồng tháng )
9) ( Thi Khu vực , Bộ GD&ĐT , 2004 ) Dân số xã Hậu Lạc 10000 người Người ta dự đoán sau năm dân số xã Hậu Lạc 10404 người
a) Hỏi trung bình năm dân số xã Hậu lạc tăng phần trăm ? b) Với tỉ lệ tăng dân số hàng năm , hỏi sau 10 năm dân số Hậu Lạc ?
10) Dân số nước 65 triệu , mức tăng dân số 1,2 % năm a) Tính dân số nước sau n năm
b) Viết quy trình bấm phím tính dân số sau 20 năm
c) Dân số nước sau n năm vượt 100 triệu.Tìm số n bé
11) Dân số giới năm 1995 5,6 tỷ người Hỏi với mức tăng trưởng 1,7 % số dân giới năm 2015 ?
12) (Thi chọn đội tuyển Thái Nguyên, Lớp 9, 2004) Ông J muốn sau năm phải có 20.000.000 đ (hai mươi triệu đồng) để mua xe Hỏi phải gửi vào ngân hàng khoản tiền hàng tháng bao nhiêu, biết lãi suất tiết kiệm 0,075 % tháng
13) (Thi chọn đội tuyển Thái Nguyên, Lớp 9, 2004)
a) Một người gửi tiền vào ngân hàng số tiền x đồng với lãi suất r% tháng (lãi suất kép) Biết người khơng rút tiền lãi Hỏi sau n tháng người nhận tiền gốc lẫn lãi?- Áp dụng số : a = 75.000.000 đ; r = 0,62 ; n = 12
b) Một người hàng tháng gửi vào ngân hàng số tiền a đồng với lãi suất m% tháng (lãi kép) Biết người khơng rút tiền lãi Hỏi cuối tháng thứ n người nhận dược tiền gốc lẫn lãi? - ÁP dụng số : a = 1.000.000 đ; m = 0,8 ; n = 12
14) Bạn gửi vào ngân hàng 2000 đô-la với lãi suất kép 4%/năm vòng năm Vào cuối năm bạn lấy 300 la Lập phương trình sai phân tính số tiền cịn lại sau năm Hỏi sau sáu năm số tiền lại bạn bao nhiêu? 15).Ta gửi 1000 đô la với lãi suất 0,5 %/tháng , giả sử ba tháng đầu tháng lấy 125 đô-la, 70 đô-la 95 đô-la Hỏi số tiền lại vào đầu tháng thứ tư bao nhiêu? Bạn muốn rút tháng 40 đô-la vịng tháng sau Hỏi cuối năm bạn cịn tiền?
(7)