Khắc phục hiện tượng phương sai của sai số thay đổi

Thảo luận Nhóm 03 Kinh tế lượng Đề tài : KHẮC PHỤC HIỆN TƯỢNG PHƯƠNG SAI CỦA SAI SỐ THAY ĐỔI 1 Thảo luận Nhóm 03 Kinh tế lượng A.LÝ THUYẾT I.Giới thiệu về phương sai của sai số thay đổi. 1.1. Định nghĩa Phương sai sai số thay đổi xảy ra khi giả thiết: Var(Uᵢ ) = 2 i σ Khi giả thiết phương sai sai số đồng đều bị vi phạm thì mô hình hồi quy gặp phải hiện tượng này. 1.2 Nguyên nhân Phương sai của sai số thay đổi có thể do một trong các nguyên nhân sau: - Do bản chất của mối liên hệ của các đại lượng kinh tế.có nhiều mối quan hệ kinh tế có chứa hiện tượng này. Chẳng hạn mối liên hệ giữa thu nhập và tiết kiệm, thông thường thu nhập tăng thì mưc độ biến động của hiện tượng cũng tăng. - Do kỹ thuật thu nhập và sử lý số liệu được cải tiến dường như giảm. Kỹ thuật thu thập số liệu càng được cải tiến thì sai lầm phạm phải càng it hơn. - Do con người học được hành vi trong quá khứ. Ví dụ như lỗi của người đánh máy càng it thì nếu thời gian thực hiện càng tăng. - Phương sai của sai số thay đổi cũng cũng xuất hiện khi có các quan sat ngoại lai. Quan sat ngoại lai là các quan sat khác biệt rất nhiều (quá nhỏ hoặc quá lớn) với các quan sat khác trong mẫu. Việc đưa vào hay loại bỏ các quan sat này ảnh hưởng rất lớn đến phân tích hồi quy. - Nguyên nhân khác đó là mô hình định dạng sai, có thể là do bỏ xót biến thích hợp hoặc dạng giải tích của hàm là sai 1.3 Hậu quả Các ước lượng bình phương nhỏ nhất là ước lượng tuyến tính không chệch nhưng không hiệu quả. Các ước lượng của các phương sai là các ước lượng chệch => Làm giá trị của thông kê T& F mất ý nghĩa. Các bài toán về ước lượng & kiểm định dự báo khi sử dụng thông kê T&F là không đáng tin cậy. 2 Thảo luận Nhóm 03 Kinh tế lượng II.Phát hiện sự tồn tại của hiện tượng phương sai của sai số thay đổi. 2.1 Phương pháp đồ thị phần dư Đồ thị sai số của hồi quy (phần dư) đối với biến độc lập X hoặc giá trị dự đoán Ŷ i sẽ cho ta biết liệu phương sai của sai số có thay đổi không. Phương sai của phần dư được chỉ ra bằng độ rộng của biểu đồ phân rải của phần dư khi X tăng. Nếu độ rộng của biểu đồ rải của phần dư tăng hoặc giảm khi X tăng thì giả thiết về phương sai hằng số có thể không được thỏa mãn. Ta hồi quy mô hình hồi quy gốc: Y i = β 1 + β 2 X i + U i Phương pháp vẽ đồ thị: B1.Ta hồi quy mô hình hồi quy gốc Yᵢ = β 1 + β 2 X i + Uᵢ Ta thu được phần dư eᵢ . B2.Sắp xếp các e i theo chiều tăng biến X nào đó. B3.Vẽ đồ thị phần dư eᵢ (eᵢ²) đối với X theo biến sắp xếp đó.( hoặc với Ŷᵢ trong trường hợp hồi quy nhiều biến) 3 Thảo luận Nhóm 03 Kinh tế lượng (d ) KL: Nếu độ rộng của phần dưu tăng khi X tăng thì kết luận có hiện tượng phương sai sai số thay đổi. 2.2. Kiểm định Park Park đã hình thức hóa phương pháp đồ thị cho rằng 2 i σ là hàm nào đó của biến gải thích X. Park đưa ra giả thiết: i v ii eX 2 22 β σσ = ⇔ iii vX ++= lnlnln 2 22 βσσ Vì thường 2 i σ chưa biết nên thay thế bởi ước lượng của nó là 2 i e iii vXe ++= lnln 21 2 ββ Như vậy để thực hiển kiểm định Park ta sẽ tiến hành các bước: Bước 1: Ước lượng hồi quy gốc để thu được các phần dư e i Bước 2: Ước lượng hồi quy iii vXe ++= lnlnln 2 22 βσ Nếu có nhiều biến giải thích thì ước lượng hồi quy này với từng biến giả thích hoặc với Bước 3: Kiểm định gải thuyết H 0 : β 2 = 0 Nếu H 0 bị bác bỏ thì kết luận có phương sai của sai số thay đổi. 4 Thảo luận Nhóm 03 Kinh tế lượng 2.3. Kiểm định Glejser Kiểm định Glejser cũng tương tự như kiểm định Park. Sau khi thu được phần dư e i từ hồi quy theo phương pháp bình phương nhỏ nhất, Glejser đề nghị hồi quy giá trị tuyệt đối của e i , i e đối với biến X nào mà có thể có kết hợp chặt chẽ với 2 i σ . Trong thực nghiệm Glejser sử dụng các hàm: iii vXe ++= 21 ββ iii vXe ++= 21 ββ i i i v X e ++= 1 21 ββ i i i v X e ++= 1 21 ββ Nếu H 0 : β 2 =0 bị bác bỏ thì kết luận có phương sai của sai số thay đổi. Nếu giá trị t tính được vượt điểm tới hạn t, chấp nhận giả thiết phương sai của sai số thay đổi, và ngược lại. 2.4. Kiểm định Goldfield – Quant (G – Q) Để đơn giản ta xét mô hình 2 biến Y i = β 1 + β 2 X i + U i Giả sử 222 ii X σσ = Bước 1: sắp xếp các gái trị quan sát theo chiều tăng của biến X j . Bước 2: Bỏ c quan ở giữa theo cách: Nếu n = 30: lấy c = 4 hoặc c = 6 Nếu n = 60: lấy c =10 Các quan sát còn lại chia 2 nhóm, mỗi nhóm có 2 cn − quan sát. Bước 3: Ước lượng mô hình với 2 cn − quan sát đầu và cuối thu được RSS 1 và RSS 2 tương ướng với bậc tự do là: 2 2 2 kcn k cn d −− =− − = . Bước 4: Xây dựng TCKĐ: 5 Thảo luận Nhóm 03 Kinh tế lượng Nếu giả thiết H 0 : phương sai của sai số ngẫu nhiên không đổi được thảo mãn thì F ≈ F(d,d) W α = { } ),(, ddfff tntn α > 2.5. Kiểm định White Xét mô hình sau đây: Y i = β 1 + β 2 X 2 + β 3 X 3 + U i (*) Bước 1: Ước lượng (*) bằng OLS . Thu được các phần dư tương ứng e i . Bước 2: ước lượng mô hình sau đây: ii VXXXXXXe ++++++= 326 2 35 2 2433221 2 ββββββ (**) Bước 3: với H 0 : phương sai của sai số không đổi, có thể chỉ ra rằng: nR 2 có phần xấp xỉ 2 χ (df), df bằng số hệ số của mô hình (**) không kể hệ số chặn. Bước 4: Nếu nR 2 không vượt quá giá trị )( 2 df α χ , thì giả thiết H 0 không có cơ sở bị bác bỏ. Điều này nói rằng trong mô hình (**) thì: β 2 = β 3 = … = β 6 = 0. Trong trường hợp ngược lại gải thiết H 0 bị bác bỏ. 2.6. Kiểm định dựa trên biến phụ thuộc. Giả thiết: Phương sai sai số ngẫu nhiên U i là phụ thuộc theo Y iii VYE ++= 2 21 2 ))(( ββσ (3) Các bước thực hiện: Bước 1 : ƯLMHHQ gốc để thu được các phần dư e i Bước 2 : ƯLMHHQ dạng (3) Bước 3 : Từ kết quả này thu được R² tương ứng. Có thể sử dụng hai kiểm định sau đây để kiểm định giả thiết: a, Kiểm định 2 χ TCKĐ 2 χ = nR 2 (R 2 là hệ số phù hợp của mô hình bước 2) Nếu H o đúng 2 χ ~ 2 χ (1) 6 Thảo luận Nhóm 03 Kinh tế lượng Theo nguyên lý xác suất bé ta có miền bác bỏ: W α ={ 2 χ : 2 χ = nR 2 > α χ )1(2 } b. Kiểm định F }:{ )2,1(~) ) ˆ ( ˆ ( )2,1( 0 2 2 2 − >=→ −= n H dung fffW nF se F α α β β Nếu bác bỏ Ho thì có hiện tượng phương sai sai số xảy ra III.Biện pháp khắc phục. 3.1 Phương sai đã biết. Sử dụng phương pháp bình phương nhỏ nhất có trọng số. Xét mô hình 2 biến: Trong đó tất cả các giả thuyết của mô hình hồi quy tuyến tính cổ điển được thỏa mãn trừ giả thuyết phương sai của sai số thay đổi: Phương trình có thể viết lại dưới dạng: (1) Trong đó: = 1. Chia cả hai vế của (1) cho Đặt , và ta sử dụng và chỉ các tham số của mô hình đã được biến đổi để phân biệt với các tham số của ước lượng bình phương nhỏ nhất thông thường Ta có mô hình mới có dạng: (2) Ta nhận thấy: 7 Thảo luận Nhóm 03 Kinh tế lượng Vậy có phương sai không đổi. Nên nếu chúng ta tiếp tục phương pháp bình phương nhỏ nhất cho mô hình biến đổi (2) thì các ước lượng sinh ra từ đó sẽ là các ước lượng tuyến tính không chệch tốt nhất. • Ước lượng OLS: Viết hàm hồi quy mẫu của (2): Hay: Để thu được ước lượng bình phương nhỏ nhất tổng quát, ta cực tiểu hàm: Hay: Đặt ta về dạng phương pháp bình phương nhỏ nhất có trọng số: Giải hệ phương trình: Giải hệ ta được: Trong đó: 8 Thảo luận Nhóm 03 Kinh tế lượng ; 3.2 Phương sai chưa biết. - Có mô hình hồi qui tổng thể hai biến: Yi = β 1 +β 2 Xi + Ui Giả thiết 1:Phương sai của sai số tỉ lệ với bình phương của biến giải thích: E(Ui 2 ) = Chia hai vế của mô hình gốc cho Xi,(Xi 0) =β 1 i X 1 + β 2 + = β 1 i X 1 + β 2 +Vi Trong đó Vi = là số hạng nhiễu đã được biến đổi ,và rõ ràng rằng E(Vi) 2 = ,thực vậy: E(Vi) 2 = E = E(Ui) 2 = = , Giả thiết 2: Phương sai của sai số tỉ lệ với biến giải thích X. E(Ui) 2 = Xi Chia hai vế của mô hình gốc cho căn bậc hai của Xi, (với Xi > 0) = β 1 X 1 + β 2 i i X X + i i X U = β 1 i X 1 + β 2 i X + V i ( * ) Trong đó Vi = Khi đó: Var , 9 Thảo luận Nhóm 03 Kinh tế lượng - Chú ý: Mô hình (*) làm mô hình không có hệ só chặn cho nên ta sẽ sử dụng mô hình hồi qui qua gốc để ước lượng và ,sau khi ước lượng (*) chúng ta sẽ trở lại mô hình gốc bằng cách nhân cả hai vế của (*) với căn bậc hai của Xi. Giả thiết 3: Phương sai của sai số tỉ lệ với bình phương của giá trị kỳ vọng của Y, nghĩa là : E( 2 ) = (E(Y i )) 2 Chia hai vế của mô hình cho E(Yi) : )( i i YE Y = )( 1 i YE β + 1 2 )( X YE i β + )( i i YE U = )( 1 1 i YE β + i i X YE )( 1 2 β + V i (*) Trong đó V i = )( i i YE U , Var(V i ) = 2 σ Do đó hàm hồi quy (*) thỏa mãn các đầy đủ các giả thiết của mô hình hồi quy tuyến tính cổ điển Mặt khác: E(Y i ) phụ thuộc vào trong đó lại chưa biết; nhưng chúng ta biết Nên ta sử dụng để biến đổi mô hình gốc thành dạng: (**) Bước 1:ước lượng mô hình hồi qui (***) bằng phương pháp OLS Bước 2 :Ước lượng hồi qui (**), dù không chính xác là E(Y i /X i ) ,chúng chỉ ước lượng vững nghĩa là khi cỡ mẫu tăng lên vô hạn thì chúng hội tụ đến E(Y i /X i ) ,vì vậy phép biến đổi (**) có thể sử dụng trong thực hành khi cỡ mẫu tương đối. Giả thiết 4: Dạng hàm sai 10 [...]... luận: Với mức ý nghĩa ta có thể khẳng định phương sai của sai số bị thay đổi III Khắc phục hiện tượng 20 Thảo luận lượng Nhóm 03 Kinh tế 1 Phương sai sai số thay đổi và E (Yi ) Sử dụng hàm: LS (e^2) c (Yf^2) Ta có bảng eview: Từ bảng kết quả ta nhận thấy xảy ra hiện tượng phương sai thay đổi, và phương sai của sai số tỷ lệ với bình phương của giá trị kỳ vọng của Y, nghĩa là thuộc giả thuyết 3 Y 1 X i... nhỏ KL: Để khắc phục hiện tượng phương sai sai số thay đổi ta có thể sử dụng 1 trong 4 cách phục trên đây Tuỳ từng mô hình ta có thể sử dụng các giả thiết để khắc phục riêng B BÀI TẬP THỰC HÀNH TRÊN EVEWS Trên cơ sở lý thuyết đã trình bày ở trên, và để thuận tiện cho việc tìm hiểu về phương sai của sai số thay đổi Nhóm chúng tôi tiến hành nghiên cứu về hiện tượng phương sai của sai số thay đổi bằng việc... thể nói rằng mô hình mới được khắc phục có phương sai của sai số đồng đều => đã khắc phục được hiện tượng phương sai của sai số không đồng đều 2 Phương sai sai số thay đổi và X: Từ cách tiếp cận Park, ta kiểm định c(2) =2 Ta thấy P-value = 0,2323 > 0,05 = α => suy ra chấp nhận Ho: β 2 = 2 24 Thảo luận lượng Nhóm 03 Kinh tế Suy ra: Phương sai của sai số tỷ lệ với bình phương biến giải thích, tức thuộc... = 5% hãy phát hiện hiện hiện tượng phương sai sai số thay đổi và khắc phục hiện tượng này 1 Phương pháp đồ thị Lập mô hình hồi quy mô tả mối quan hệ phụ thuộc giữa các biến 12 Thảo luận lượng Nhóm 03 Kinh tế Ta có mô hình hồi quy tổng thể: Yi = β1 + β2Xi + Ui Trong đó: Yi : Chi tiêu cho ăn uống Xi : Thu nhập Ui : sai số ngẫu nhiên Thực hiện ước lượng mô hình trên theo phương pháp bình phương nhỏ nhất... hình hồi quy: logYi = -8.980996 + 1.566502logXi kiểm định lại mô hình trên bằng kiểm định Park ta được: Ta thấy không có hiện tượng phương sai sai số thay đổi 31 Thảo luận lượng Nhóm 03 Kinh tế Kiểm định bằng kiểm định White ta được: Ta thấy không có hiện tượng phương sai sai số thay đổi 32 ... c(1)+c(2)*X enter): Ta có đồ thị biểu diễn tương quan giữa X và e: 15 Thảo luận lượng Nhóm 03 Kinh tế Nhìn đồ thị ta thấy , độ rộng của biểu đồ rải tăng lên khi X tăng , do đó có chứng cớ để cho rằng có phương sai sai số thay đổi khi X tăng 2, Phát hiện phương sai sai số thay đổi bằng các kiểm định 2.1, Kiểm định Park Do mô hình có nhiều biến giải thích nên có thể ước lượng hồi quy đối với Ŷi làm biến... lượng Nhóm 03 Kinh tế Đôi khi thay cho việc dự đoán về người ta định dạng lại mô hình chẳng hạnt hay cho việc ước lượng hồi qui gốc có thể chúng ta sẽ ước lượng hồi qui: lnYi =β1+β2 lnXi +Ui (*) Việc ước lượng hồi qui (****) có thể làm giảm phương sai của sai số thay đổi do tác động của phép biến đổi loga Một trong ưu thế của phép biến đổi loga là hệ số góc là hệ số co dãn của Y đốivới X Lưu ý: Khi nghiên... lượng Nhóm 03 Kinh tế Dựa vào kết quả của bảng trên ta thấy α = 0.05 < P-value (=0.1694) nên chưa đủ cơ sở để bác bỏ Kết luận: Với mức ý nghĩa α= 0.05 ta có thể nói rằng mô hình mới được khắc phục có phương sai của sai số đồng đều Cũng từ cách tiếp cận Park ta Kiểm định c(2)=1 Ta thấy P-value = 0,1591 > 0,05 = α => suy ra chấp nhận Ho: β 2 = 1 Suy ra: Phương sai của sai số tỷ lệ với biến giải thích, tức... với =0,05 thì ta bác bỏ giả thuyết Ho, chấp nhận H1, tức là có hiện tượng phương sai thay đổi Giả sử ta sử dụng hàm |ei| = β1 + β2Xi + Vi: Sử dụng câu lệnh ABS(E) C X Ta có bảng eview: 19 Thảo luận lượng Nhóm 03 Kinh tế Ta thấy P-value (X) = 0,0129; với =0,05 thì ta bác bỏ giả thuyết Ho, chấp nhận H1, tức là có hiện tượng phương sai thay đổi 3 Kiểm định White: Ước lượng mô hình: ei2 = α1 + α2X2 + α3X22... lượng Nhóm 03 Kinh tế Dựa vào kết quả của bảng trên ta thấy α = 0.05 < P-value (=0.0701) nên chưa đủ cơ sở để bác bỏ Kết luận: Với mức ý nghĩa α= 0.05 ta có thể nói rằng mô hình mới được khắc phục có phương sai của sai số đồng đều 3 Ta cũng có thể khắc phục mô hình theo giả thiết 4: Chẳng hạn ta ước lượng mô hình hồi quy: lnYi = β1 + β2lnXi + Ui Kết quả hồi quy của logYi đối với logXi là: 30 Thảo luận . KHẮC PHỤC HIỆN TƯỢNG PHƯƠNG SAI CỦA SAI SỐ THAY ĐỔI 1 Thảo luận Nhóm 03 Kinh tế lượng A.LÝ THUYẾT I.Giới thiệu về phương sai của sai số thay đổi. 1.1. Định nghĩa Phương sai sai số thay đổi xảy. cậy. 2 Thảo luận Nhóm 03 Kinh tế lượng II .Phát hiện sự tồn tại của hiện tượng phương sai của sai số thay đổi. 2.1 Phương pháp đồ thị phần dư Đồ thị sai số của hồi quy (phần dư) đối với biến độc. hiểu về phương sai của sai số thay đổi. Nhóm chúng tôi tiến hành nghiên cứu về hiện tượng phương sai của sai số thay đổi bằng việc sử dụng dãy số về vệc chi tiêu cho ăn uống và thu nhập của 30