Khắc phục hiện tượng tự tương quan dựa trên durbin watson

LỜI MỞ ĐẦU Một trong các giả thuyết của mô hình hồi quy tuyến tính cổ điển là không có tự tương quan hay tương quan chuỗi các nhiễu U i trong hàm hồi quy tổng thể. Nhưng trong thực tế hiện tượng đó có xảy ra hay không? Nguyên nhân của hiện tượng đó là gì? Nếu có hiện tượng tự tương quan thì liệu có áp dụng được phương pháp bình phương nhỏ nhất nữa hay không? Làm thế nào để biết hiện tượng đó xảy ra? Cách khắc phục như thế nào? Đó là một loạt các câu hỏi mà nhóm chúng tôi sẽ giải quyết trong đề tài này. Áp dụng vào thực tế, Việt Nam đang trên đà hội nhập và phát triển, con người ngày được quan tâm hơn. Chỉ số HDI là một thước đo tổng quát về phát triển con người theo ba tiêu chí sau: sức khỏe, tri thức và thu nhập. Chính vì thế, với những tổng hợp cơ bản về số liệu chỉ số phát triển con người HDI, tuổi thọ trung bình, tỷ lệ biết chữ, thu nhập bình quân giai đoạn 1993-2005, nhóm chúng tôi đã thực hiện nghiên cứu sự phụ thuộc giữa các yếu tố này. CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Hiện tượng tự tương quan * Tự tương quan là gì? Là sự tương quan giữa các thành phần của chuỗi các quan sát được sắp xếp theo thứ tự thời gian (trong các số liệu chuỗi thời gian) hoặc không gian (trong số liệu chéo). Trong phạm vi hồi quy, mô hình tuyến tính cổ điển giả thiết rằng không có sự tương quan giữa các nhiễu U i , nghĩa là: Cov( U i ,U j ) = 0 ( i ≠j ) Nói một cách khác, mô hình cổ điển giả thiết rằng thành phần nhiễu gắn với một quan sát khác. Tuy nhiên trong thực tế có thể xáy ra hiện tượng mà thành phần nhiễu của các quan sát lại có thể phụ thuộc lẫn nhau nghĩa là: Cov( U i , U j ) ≠ 0 ( i≠j) * Nguyên nhân: - Nguyên nhân khách quan: + Quán tính: Nét nổi bật của hầu hết các chuỗi thời gian trong kinh tế là quán tính. Chúng ta đều biết các chuỗi thời gian như tổng sản phẩm, chỉ số giá, thất nghiệp mang tính chu kỳ. Chẳng hạn nếu chúng ta ở đầu thời kỳ khôi phục kinh tế, tổng sản phẩm có xu hướng đi lên. Trong quá trình biến động này, giá tri của chuỗi ở mỗi thời điểm sau lại cao hơn giá trị cả nó ở thời điểm trước. Vì vậy trong hồi qui của chuỗi thời gian, các quan sát kế tiếp đó có nhiều khả năng phụ thuộc lẫn nhau. + Hiện tượng mạng nhện: Ví dụ: Vào đầu vụ trồng lạc năm nay, người nông dân bị ảnh hưởng bởi giá mua lạc năm ngoái của các công ty xuất khẩu. Cho nên cung về lạc có biểu diễn dưới dạng hàm: Giả sử ở cuối thời kì t giá lạc Giả sử ở cuối thời kì t giá lạc do đó trong thời kì t+1 những người nông dân sẽ quyết định sản xuất lạc ít hơn thời kì t. Rõ ràng trong trường hợp đó, ta không mong đợi các ngẫu nhiên là ngẫu nhiên, có lẽ nông dân sẽ giảm sản xuất ở năm t+1 Điều này sẽ dẫn đến mô hình mạng nhện. + Trễ: Trong phân tích hồi quy chuỗi thời gian, chúng ta chúng ta có thể có gặp hiện tượng biến phụ thuộc ở thời kì t phụ thuộc vào chính biến đó ở thời kì t-1 và các biến khác. -Nguyên nhân chủ quan: + Phương pháp ( kỹ thuật) thu thập và xử lí số liệu + Sai lầm khi lập ô hình: Bỏ biến ( không đưa biến vào mô hình), dạng hàm sai, *Phân loại tự tương quan: Xét mô hình: AR(1) AR(p) *Hậu quả: Nếu có hiện tượng tự tương quan xảy ra mà vẫn tiếp tục sử dụng phương pháp bình phương nhỏ nhất thông thường thì sẽ gây ra một số hậu quả sau: • Ước lượng bình phương nhỏ nhất thông thường vẫn là ước lượng tuyến tính không chệch nhưng nó sẽ không hiệu quả nữa.Tức là ước lượng bình phương nhỏ nhất thông thường không phải là ước lượng tuyến tính không chệch tốt nhất nữa. • Phương sai ước lượng được của các ước lượng bình phương nhỏ nhất thông thường là chệch. Đôi khi công thức để tính phương sai và sai số tiêu chuẩn của các ước lượng bình phương nhỏ nhất thường đưa đến ước lượng quá thấp phương sai thực và sai số tiêu chuẩn, do đó phóng đại tỷ số t. Hậu quả sẽ ngộ nhận rằng một hệ số nào đó khác không có ý nghĩa về mặt thống kê, nhưng thực tế lại không phải như vậy. • Các kiểm định T và F không còn đáng tin cậy. • cho ước lượng chệch của thực và trong một số trường hợp, nó dường như ước lượng thấp . • 2 có thể là độ đo không đáng tin cậy cho R 2 thực. • Các phương sai và sai số tiêu chuẩn của dự đoán đã tính được cũng có thể không hiệu quả. 1.2. Các cách phát hiện hiện tượng tự tương quan a. Kiểm định Durbin-Watson Ý tưởng chung: Để phát hiện hiện tượng tự tương quan tức là xem xét tác động trễ giữa các biến ngẫu nhiên người ta sử dụng là chất liệu nghiên cứu Bước 1: Ước lượng mô hình hồi quy ban đầu → Bước 2: Bài toán kiểm định: ↔ Tiêu chuẩn kiểm định: d = Ta có: n= ; k’= k-1= ; α= ; = ; = 0 d L d U 4-d U 4-d L 4 1 (2) (3) (4) (5) + d (1) → có tự tương quan (+) + d (2), (4) → không có kết luận + d (3) → không có tự tương quan + d (5) → có tự tương quan (-) Bước 3: Kết luận b. Kiểm định Breusch – Godfrey (BG) Cách phát hiện hiện tượng tự tương quan trong kiểm định B-G Bước 1: Ước lượng mô hình hồi quy ban đầu để thu được = + . + Trong đó : = . + . + +. + Bài toán kiểm định : Bước 2: Ước lượng mô hình ta được : = + . + + .+ . + + . + Từ kết quả ước lượng mô hình này ta thu được Bước 3 : Tiêu chuẩn kiểm định : Tiêu chuẩn kiểm định = ( n-p ) đúng thì Miền bác bỏ : = Bước 4: = ( n –p) bác bỏ không thuộc chấp nhận bác bỏ 1.3 Các biện pháp khác phục hiện tượng tự tương quan 1.3.1 Khi cấu trúc của tự tương quan là đã biết Vì các nhiễu U t không quan sát được nên tính chất của tương quan chuỗi thường là vấn đề suy đoán hoặc là do những đòi hỏi cấp bách của thực tiễn. Trong thực hành, người ta thường giả sử rằng U t theo mô hình tự hồi quy bậc nhất nghĩa là: U t = ρ U t-1 + ɛ t . (1) Trong đó ǀρǀ˂1 và ɛ t thoả mãn các giả thiết của phương pháp bình phương nhỏ nhất thông thường nghĩa là: Trung bình bằng 0, phương sai không đổi và không tự tương quan. Giả sử U t = ρ U t-1 + ɛ t là đúng thì vấn đề tương quan chuỗi có thể được giải quyết thoả đáng nếu hệ số tự tương quan là đã biết. Để làm sáng tỏ vấn đề đó ta quay lại mô hình hai biến: Y t = β 1 + β 2 X t + U t (2) Nếu (2) đúng với t thì cũng đúng với t-1 nên: Y t-1 = β 1 +β 2 X t-1 +U t-1 (3) Nhân hai vế (3) với ρ ta được: ρY t-1 = ρβ 1 + ρβ 2 X t-1 + ρU t-1 trừ (2) cho (4) ta được: Y t - ρY t-1 = β 1 (1-ρ) + β 2 ( X t – ρX t-1 ) + (U t – ρU t-1 ) = β 1 ( 1 –ρ) + β 2 (X t – ρX t-1 ) + ɛ t (5) Đặt β * = β 1 * (1 –ρ); β 2 * = β 2 Y t * = Y t – ρY t-1 ; X t * = X t – ρX t-1 Thì phương trình (5) có dạng: Y t * = β 1 * + β 2 * X t * + ɛ t (6) Vì ɛ t thỏa mãn các giả thuyết của phương pháp bình phương nhỏ nhất thông thường đối với các biến Y * và X * và các ước lượng tìm được có tất cả các tính chất tối ưu nghĩa là ước lượng tuyến tính không chệch tốt nhất. Phương trình hồi quy Y t - ρY t-1 = β 1 ( 1 –ρ) + β 2 (X t – ρX t-1 ) + ɛ t được gọi là phương trình sai phân tổng quát. Việc ước lượng hồi quy Y * đối với X * có hay không có hệ số chặn phụ thuộc vào phương trình gốc có hệ số chặn hay không. Trong phương pháp này ( ước lượng hồi quy ρY t-1 = ρβ 1 + ρβ 2 X t-1 + ρU t-1 chúng ta mất đi một quan sát bởi vì quan sát thứ nhất không có quan sát đứng trước nó. Thủ tục này không chính xác là thủ tục ước lượng bình phương nhỏ nhất tổng quát sử dụng tất cả các quan sát với: Y t * = Y t X t * = X t Nhưng trong thực tế thì ρ chưa biết nên ta xét trường hợp sau đây: 1.3.2 Khi ρ chưa biết a. Phương pháp sai phân cấp 1 Như ra biết -1 ≤ ρ ≤1 nghĩa là p nằm giữa [-1,0] hoặc [0,1] cho nên người ta có thể bắt đầu từ các giá trị ở các dấu mút của các khoảng đo. Nghĩa là ta có thể giả thiết rằng: ρ = 0 tức là không có tương quan chuỗi. ρ = ±1 nghãi là có tương quan dương hoặc âm hoàn toàn. Trên thực tế khi ước lượng hồi quy người ta thường giả thiết rằng không có tự tương quan rồi sau đó tự tiến hành kiệm định Durbin-Watson hay các kiểm định khác để xem giả thiết này có đúng không. Tuy nhiên nếu ρ =±1 thì phương trình sau phân tổng quát quy về phương trình sai phân cấp 1 Y 1 – Y t-1 = ß 1 ( X 1 -X t-1 ) + ( U 1 -U t-1 )= ß 2 (X 1 -X t-1 )+ ε 1 Hay ∆Y t = ß 2 ∆X t + ε 1 Trong đó là toán từ sai số cấp 1. Để ước lượng hồi quy 1 thì cần phải lập các sai phân cấp 1 của biến phụ thuộc và biến giải thích và sử dụng chúng làm những đầu vào trong phân tích hồi quy. Chú ý một nét quan trọng của mô hình sai phân cấp 1 của biến phụ thuộc là không có số hạng chặn trong mô hình. Vì vậy để ước lượng hồi tquy 1 ta sẽ sử dụng mô hình hồi quy qua gốc tọa độ.Giả sử mô hình ban đầu là: Y t = ß 1 +ß 2 X 1 +ß 3 + ε 1 Trong đó t là biến xu thế còn U t theo sơ đồ tự hồi quy bậc nhất. Thực hiện phép biến đổi sai phân cấp 1 đối với 2 ta đi đến ∆Y t = ß 2 ∆X t +ß 3 + ε 1 Trong đó: ∆Y t = Y 1 – Y t-1 và X t = X 1 -X t-1 Phương pháp ∆Y t = ß 2 ∆X t +ß 3 + ε 1 có hệ số chặn dưới dạng sai phân cấp 1. Nhưng chú ý ß 1 rằng là hệ số của các biến xu thế trong mô hình ban đầu. Vì vậy có số hạng chặn ở dạng sai phân cấp 1 thì điều đó có nghĩa là có một số hạng xu thế tuyến tính trong mô hình gốc và số hạng chặn thực ra là hệ số của biến xu thế. Thí dụ nếu ß 3 trong ∆Y t = ß 2 ∆X t +ß 3 + ε 1 là dương thì điều đó có nghĩa là có xu thế tăng trong Y sau khi đã tính đến ảnh hưởng của tất cả các biến khác. Nếu ρ = -1 nghĩa là có tương quan chuỗi âm hoàn toàn ( đây không phải là trường hợp điển hình của các chuỗi thời gian trong kinh tế), phương trình sai phân tổng quát bây giờ có dạng : Y 1 +Y t-1 = 2ß 1 + ß 2 (X 1 +X t-1 )+ ε 1 Hay (Y 1 +Y t-1 )/ 2 = ß 1 + ß 2 (X 1 +X t-1 )/2+ ε 1 /2 Mô hình này được gọi là mô hình hồi quy trung bình trượ t(2 thời kỳ) vì chúng ta hồi quy giá trị của một trung bình trượt đối với một trung bình trượt khác. Phép biến đổi sai phân cấp 1 đã giới thiệu trước đây rất phổ biến trong kinh tế lượng. b. Ước lượng ρ dựa trên thống kê d – Durbin – Watson Trong phần kiểm định d chúng ta đã thiết lập được các công thức: d 2 ( 1 - Hoặc 1 - Đẳng thức này gợi cho ta cách thức đơn giản để thu được ước lượng của từ thống kê d. Từ (Y 1 +Y t-1 )/ 2 = ß 1 + ß 2 (X 1 +X t-1 )/2+ ε 1 /2 chỉ ra rằng giả thiết sai phân cấp 1 với = chỉ đúng khi d =0 hoặc xấp xỉ bằng không. Cũng vậy khi d = 2 thì và khi d = 4 thì Do đó thống kê d cung cấp cho ta một phương pháp sẵn có để thu được ước lượng của . Nhưng lưu ý rằng quan hệ 1 - chỉ là quan hệ xấp xỉ và có thể không đúng với các mẫu nhỏ. Khi đã được ước lượng thì có thể biến đổi tập số liệu theo phương trình sai phân tổng quát Và tiến hành ước lượng theo phương pháp bình phương nhỏ nhất thông thường. Khi ta sử dụng một ước lượng thay cho giá trị đúng, thì các hệ số ước lượng thu được từ phương pháp bình phương nhỏ nhất có thuộc tính tối ưu thông thường chỉ tiệm cận có nghĩa là có thuộc tính đó trong các mẫu lớn. Vì vậy trong các mẫu nhỏ ta phải cẩn thận trong khi giải thích các kết quả ước lượng. [...]... thì chỉ số HDI tăng 0.135720 2 Phát hiện hiện tượng tự tương quan bằng kiểm đinh d (Dubin -Watson) Mô hình hồi quy mẫu: •  BTKĐ: • TCKĐ: Miền giá trị: n=13 ; k’= k-1= 3; ; ; 1,816 0 0.715 (1) 1.816 (2) 2.184 (3) 3.285 (4) Ta có: d= 0,600477  d (1) • KL: Có hiện tượng tự tương quan dương 3 Phát hiên hiện tượng tự tương quan bằng kiểm định B-G a Kiểm định tự tương quan BG bậc 1 Mô hình hồi quy mẫu: (5)... đúng thì Miền bác bỏ : = Ta có = = 5,99147 Và = 11.0.624601 = 6,870611 Nhận thấy > =>> Bác bỏ , chấp nhận Kết luận : Mô hình có hiện tượng tự tương quan bậc 2 4 Cách khắc phục hiện tượng tự tương quan a Khắc phục hiện tượng tự tương quan dựa trên Durbin- Watson Từ phương pháp bình phương nhỏ nhất mô hình hồi quy gốc ta có d=0.600477→ = 1- d/2 = 0.699762 Phương trình sai phân tổng quát: Yt - ρYt-1 =... nhận H 0 bác bỏ H1 →không còn hiện tượng tự tương quan bậc 1  Kiểm định tự tương quan BG bậc 2 với α=5% ta cần kiểm định ↔ Ta có mô hình kiểm định BG như sau Theo mô hình kiểm định ta có p-value=0.2907 > α (5%) nên chấp nhận H0 bác bỏ H1 →không còn hiện tượng tự tương quan bậc 2 Ta thấy rằng kiểm định BG đều cho biết mô hình sai phân tổng quát không có hiện tượng tự tương quan Nếu chấp nhận mô hình... Ước lượng mô hình trên với các biến Y1, X1, Z1, T1 ta có kết quả: Với α=5%, n=12; k’=k-1=3 ta có dL=0.658,dU =1.834 Ta có khoảng là 0 dL dU 4-dU 4-dL 4 0 0.658 1.834 2.166 3.342 4 (2) (3) (4) (5)  Theo mô hình hồi quy ta có d = 1 293680 khoảng (2) → không có kết luận tự 2 tương quan Tiến hành kiểm định BG để thấy kết quả khắc phục tự tương quan mô hình  trên Kiểm định tự tương quan bậc 1 với α=5%... có hiện tượng tự tương quan bậc 1 b Kiểm định tự tương quan BG bậc 2 Mô hình hồi quy mẫu: Ước lượng mô hình : = ’ + ’ + ’ + ’ + + + = -1,151084 + 0,014167 +0.002873 - 0,043078 + 1,061623 - 0,488122 Bài toán kiểm định Tiêu chuẩn kiểm định : = ( n-2 ) đúng thì Miền bác bỏ : = Ta có = = 5,99147 Và = 11.0.624601 = 6,870611 Nhận thấy > =>> Bác bỏ , chấp nhận Kết luận : Mô hình có hiện tượng tự tương . chấp nhận Kết luận : Mô hình có hiện tượng tự tương quan bậc 2. 4. Cách khắc phục hiện tượng tự tương quan a. Khắc phục hiện tượng tự tương quan dựa trên Durbin- Watson Từ phương pháp bình phương. cũng có thể không hiệu quả. 1.2. Các cách phát hiện hiện tượng tự tương quan a. Kiểm định Durbin -Watson Ý tưởng chung: Để phát hiện hiện tượng tự tương quan tức là xem xét tác động trễ giữa các. (5) Ta có: d= 0,600477  d (1) • KL: Có hiện tượng tự tương quan dương 3. Phát hiên hiện tượng tự tương quan bằng kiểm định B-G a. Kiểm định tự tương quan BG bậc 1. Mô hình hồi quy mẫu: Ước