Hiệu chỉnh phương trình Hammerstein với nhiễu không đơn điệu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ THẮM HIỆU CHỈNH PHƯƠNG TRÌNH HAMMERSTEIN VỚI NHIỄU KHƠNG ĐƠN ĐIỆU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ THẮM HIỆU CHỈNH PHƯƠNG TRÌNH HAMMERSTEIN VỚI NHIỄU KHƠNG ĐƠN ĐIỆU Chun ngành : TỐN ỨNG DỤNG Mã số : 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Giáo viên hướng dẫn: GS.TS NGUYỄN BƯỜNG Thái Nguyên - 2014 Mục lục Lời cảm ơn Mở đầu Một số kí hiệu chữ viết tắt Một số khái niệm 1.1 Không gian Banach 1.2 Toán tử đơn điệu 1.3 Bài tốn đặt khơng chỉnh 1.4 Phương trình tốn tử loại Hammerstein 6 16 22 Hiệu chỉnh phương trình Hammerstein với nhiễu khơng đơn điệu 25 2.1 Hiệu chỉnh không gian Banach vô hạn chiều 25 2.2 Phương pháp hiệu chỉnh kết hợp với xấp xỉ hữu hạn chiều 33 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 Lời cảm ơn Trong suốt q trình làm luận văn, tơi ln nhận hướng dẫn tận tình thầy giáo GS.TS Nguyễn Bường - Viện Công nghệ Thông tin, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam Tôi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy kính chúc thầy luôn mạnh khỏe Tôi xin bày tỏ lời cảm ơn chân thành đến cô giáo TS Nguyễn Thị Thu Thủy thầy cô giáo tham gia giảng dạy khóa cao học 2012 - 2014, người đem tâm huyết nhiệt tình để giảng dạy, trang bị cho tơi nhiều kiến thức bổ ích khoa học sống Tôi muốn bày tỏ lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đồng nghiệp quan tâm, động viên, giúp đỡ trình học tập nghiên cứu Tuy thân có nhiều cố gắng, song thời gian trình độ cịn hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận đóng góp ý kiến q thầy tồn thể bạn đọc để luận văn hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 22 tháng 10 năm 2014 Người thực Nguyễn Thị Thắm Mở đầu Nhiều toán khoa học, kỹ thuật đề cập đến vấn đề tìm nghiệm x(t) phương trình tích phân b K(t, s)G(x(s))ds = f (t), x(t) + a K(t, s) f (t) hàm cho trước Nếu ta ký hiệu b K(t, s)y(s)ds, (F2 y)(t) = (F1 x)(t) = G(x(t)), a ta có phương trình tốn tử x + F2 F1 (x) = f Phương trình nhà tốn học Đức A Hammerstein đề xuất Sau lý thuyết chung tồn nghiệm cho phương trình tốn tử chứng minh H Amann, H Bresiz, F.Browder, D Defigueiredo, C Gupta, W Petryshyn L Tartar · · · (xem [7]) Phương trình x + F2 F1 (x) = f đóng vai trị quan trọng việc nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng tựa tuyến tính, tốn điều khiển tối ưu, học đặc biệt việc nghiên cứu toán nảy sinh từ kỹ thuật Do nhiều tốn thực tế lý thuyết hệ thống có rơle phi tuyến lý thuyết hệ thống với cấu trúc thay đổi · · · dẫn đến việc giải phương trình vi tích phân với phần phi tuyến gián đoạn, toán nhà tốn học ngồi nước quan tâm nghiên cứu nhiều khía cạnh tồn nghiệm Nội dung luận văn trình bày kết nghiên cứu GS.TS Nguyễn Bường hiệu chỉnh phương trình Hammerstein với nhiễu khơng đơn điệu Kết trình bày báo "Solution of the Hammerstein equations under non-monotone perturbations" Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương trình bày số khái niệm khơng gian Banach, tốn tử đơn điệu, tốn đặt không chỉnh số vấn đề liên quan đến hiệu chỉnh phương trình Hammerstein Chương hai trình bày phương pháp hiệu chỉnh tìm nghiệm phương trình Hammerstein x + F2 F1 (x) = f toán tử Fi , i = 1, cho xấp xỉ tốn tử Fih khơng có tính đơn điệu Một số kí hiệu chữ viết tắt En Không gian Euclide n chiều D(A) Miền xác định toán tử A R(A) Miền giá trị toán tử A H Không gian Hilbert thực C Tập lồi đóng H I Ánh xạ đơn vị PC Phép chiếu mêtrix H lên tập lồi đóng C H xn → x Dãy {xn } hội tụ mạnh tới x xn Dãy {xn } hội tụ yếu tới x x Chương Một số khái niệm Trong chương này, chúng tơi trình bày số vấn đề khái niệm không gian Banach, tốn tử đơn điệu, tốn đặt khơng chỉnh khái niệm phương trình tốn tử loại Hammerstein Nội dung chương chủ yếu hình thành từ tài liệu [1], [2], [3] [4] 1.1 Khơng gian Banach Định nghĩa 1.1 Khơng gian tuyến tính X gọi không gian định chuẩn ứng với phần tử x ∈ X ta có số gọi chuẩn x kí hiệu x , thỏa mãn điều kiện sau: 1) x > 0, ∀x = 0, x = 0, ⇔ x = 0; 2) x + y ≤ x + y , ∀x, y ∈ X; 3) αx = |α| x , ∀x ∈ X, α ∈ R; Không gian định chuẩn đầy đủ gọi không gian Banach Ví dụ 1.2 Ví dụ khơng gian Banach 1) Không gian En với x = (x1 , x2 , ., xn ) chuẩn 1/p n x p |xi |p = , i=1 p số thực thỏa mãn ≤ p < +∞ Khi p = 2, En gọi không gian Euclid n chiều 2) Không gian dãy số lp với phần tử x = (x1 , x2 , , xn , ) 1/p ∞ x p |xi |p = < +∞ i=1 3) Không gian hàm Lp [a, b] phần tử hàm đo x(s) có xp (s) khả tích với chuẩn xác định sau x Lp =    b |x(s)|p ds 1/p  < +∞  a 4) Giả sử K trường số thực Ký hiệu C [a, b] không gian hàm liên tục đoạn hữu hạn [a, b] Bởi hàm liên tục đoạn bị chặn nên ta xác định f = sup {|f (x)| : x ∈ [a, b] , f ∈ C [a, b]} Dễ thấy hàm f → f xác định chuẩn không gian C [a, b] Như C [a, b] không gian định chuẩn Sự hội tụ C [a, b] chuẩn hội tụ Ta kiểm tra C [a, b] không gian Banach nghĩa dãy Cauchy hội tụ Thật vậy, cho {fn } dãy Cauchy C [a, b] Khi với ε > 0, tồn n0 , với m, n > n0 , với x ∈ [a, b], |fn (x) − fm (x)| ≤ ε (1.1) Như vậy, với ε cố định dãy số dãy Cauchy trường K Do K đầy đủ nên tồn f (x) = lim fn (x), x→∞ ∀x ∈ [a, b] Ta f ∈ C [a, b] nghĩa f liên tục [a, b] fn → f C [a, b] Trong (1.1) cách cố định x ∈ [a, b] n ≥ n0 , cho m → ∞ ta |fn (x) − f (x)| ≤ ε, ∀x ∈ [a, b] , n ≥ n0 (1.2) Vì fn0 liên tục x0 nên tồn δ > cho |fn0 (x) − fn0 (x0 )| ≤ ε, ∀ |x − x0 | < δ, ∀x ∈ [a, b] Từ (1.2) suy bất đẳng thức |f (x) − f (x0 )| ≤ |f (x) − fn0 (x)| + |fn0 (x) − fn0 (x0 )| + |fn0 (x0 ) − f (x0 )| ≤ 3ε, xảy với x ∈ [a, b], |x − x0 | < δ Vậy từ (1.2) suy dãy {fn (x)}∞ n=1 hội tụ đến f C [a, b] 5) Không gian Sobolev Cho Ω miền giới nội En x ∈ C l (Ω) hàm khả vi liên tục đến cấp l Vì Ω compact nên với l = 0, 1, 2, · · · , C l (Ω) ⊆ Lp (Ω) Do đó, ta xác định 1/p    p α D x Lp (Ω) , x Wp (Ω) = l   |α|≤l cho x ∈ C l (Ω), p ≥ l Không gian Sobolev wp (Ω) không gian tạo C l (Ω) làm đủ chuẩn Ta thấy với x ∈ C l (Ω) : x Lp (Ω) ≤ x Wl (Ω) p Trường hợp đặc biệt không gian Banach không gian Hilbert Định nghĩa 1.3 Cặp (H, , ) H khơng gian tuyến tính , :H ×H →R (x, y) → x, y thỏa mãn điều kiện sau: 1) x, x ≥ 0, ∀x ∈ H, x, x = ⇔ x = 0; 2) x, y = y, x , ∀x, y ∈ H; 3) λx, y = λ x, y , ∀λ ∈ R, ∀x, y ∈ H; 4) x + y, z = x, z + y, z , ∀x, y, z ∈ H, gọi không gian tiền Hilbert Không gian tiền Hilbert đầy đủ gọi không gian Hilbert Chương Hiệu chỉnh phương trình Hammerstein với nhiễu khơng đơn điệu Trong chương này, chúng tơi trình bày phương pháp hiệu chỉnh tìm nghiệm phương trình Hammerstein x + F2 F1 (x) = f toán tử Fi , i = 1, cho xấp xỉ toán tử Fih khơng có tính đơn điệu Mục 2.1 trình bày phương pháp hiệu chỉnh không gian Banach vô hạn chiều Mục 2.2 trình bày phương pháp hiệu chỉnh kết hợp với xấp xỉ hữu hạn chiều Nội dung chương hình thành từ tài liệu [5], [6], [7] [8] 2.1 Hiệu chỉnh không gian Banach vô hạn chiều Giả sử X không gian Banach phản xạ thực X ∗ không gian liên hợp X Để đơn giản chuẩn X X ∗ kí hiệu Viết x∗ , x x, x∗ thay x∗ (x) cho x∗ ∈ X ∗ x ∈ X Cho F1 : X → X ∗ F2 : X ∗ → X phi tuyến đơn điệu, bị chặn (có nghĩa: ảnh tập bị chặn bị chặn) toán tử liên tục 25 Xét phương trình tốn tử Hammerstein: x + F2 F1 (x) = f, f ∈ X (2.1) Trong trường hợp F2 tuyến tính, phương trình nghiên cứu chun sâu có tầm quan trọng lý thuyết phương trình vi phân phần, lý thuyết phương trình đạo hàm riêng, khí đặc biệt vấn đề kỹ thuật Hơn nữa, số vấn đề lý thuyết phân nhánh A(x) = λx, A toán tử X λ tham số đưa dạng phương trình (2.1) với hình thức x+γF2 F1 (x) = γ tham số Trong trường hợp này, phương trình (2.1) tổng quát cho hai trường hợp toán tử F1 F2 phi tuyến Cho S0 = ∅, S0 biểu thị cho tập hợp nghiệm (2.1) Cho (2.1) ta nghiên cứu phương trình hiệu chỉnh x + F2α F1α (x) = f, (2.2) F1α = F1 + αU1 , U1 ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc X, có nghĩa U1 ánh xạ từ X lên X ∗ thỏa mãn điều kiện U1 (x), x = U1 (x) x = x 2, ∀x ∈ X, F2α = F2 + αU2 , U2 ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc X ∗ , α > nhỏ tùy ý Với α > phương trình (2.2) có nghiệm xα chuỗi {xα } hội tụ đến nghiệm x0 (2.1) α → Mặt khác, nghiệm xα , α > cố định phụ thuộc liên tục vào vế phải f Định nghĩa 2.1 (Định nghĩa nghiệm hiệu chỉnh) Một thành phần xω ∈ X (ω phụ thuộc vào h, α ε) gọi nghiệm hiệu chỉnh (2.1), tồn thành phần x∗ ∈ X ∗ ω cho h F1α (xω ) − x∗ , x − xω ≥ −εg1 ( xω ) x − xω , ∀x ∈ X, ω (2.3) h F2α (x∗ ) + xω − f, x∗ − x∗ ≥ −εg2 ( x∗ ) x∗ − x∗ , ∀x∗ ∈ X ∗ , (2.4) ω ω ω ω ε ≥ h, α > 0, h đây, Fiα xác định trường hợp toán tử Fih đơn điệu Và, ta nói (2.3)-(2.4) có nghiệm [xω , x∗ ] ω 26 Ta chứng minh nghiệm hiệu chỉnh theo định nghĩa thực tồn Thật vậy, cách đặt xω = xα x∗ = F1α (xα ), ta ω h h F1α (xα ) − x∗ , x − xα = F1 (xα ) − F1 (xα ), x − xα ω ≥ −hg1 ( xα ) x − xα ≥ −εg1 ( xα ) x − xα , có nghĩa xα x∗ thỏa mãn bất đẳng thức (2.3) Mặt khác, từ (2.2) α suy xα − f = −F2α F1α (xα ) = −F2α (x∗ ) Do đó, ω h h F2α (x∗ ) + xα − f, x∗ − x∗ = F2 (x∗ ) − F2 (x∗ ), x∗ − x∗ ω ω ω ω ω ≥ −hg2 ( x∗ ) x∗ − x∗ ω ω ≥ −εg2 ( x∗ ) x∗ − x∗ ω ω Vì vậy, hệ (2.3)-(2.4) có nghiệm Ta có kết sau Định lý 2.2 Nếu ε/α → {xω } giới nội tồn dãy {xω } hội tụ đến nghiệm (2.1) Hơn nữa, dãy hội tụ {xω } hội tụ đến nghiệm (2.1) Chứng minh Từ tính chất đơn điệu Fi , i = 1, (2.3)-(2.4) suy (ε + h)g1 ( xω ) x − xω + α U1 (x), x − xω + F1 (x) − x∗ , x − xω ω + (ε + h)g2 ( x∗ ) x∗ − x∗ + α U2 (x∗ ), x∗ − x∗ ω ω ω + F2 (x∗ ) + xω − f, x∗ − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ X, ∀x∗ ∈ X ∗ ω (2.5) Khi x ∈ S0 bất đẳng thức viết dạng sau 2ε 2ε g1 ( xω ) x − xω + g2 ( x∗ ) x∗ − x∗ ω ω α α + U1 (x), x − xω + U2 (x∗ ), x∗ − x∗ ω ≥ m1 x − xω s1 + m2 x∗ − x∗ ω s2 , ∀x ∈ S0 , (2.6) x∗ = F1 (x) Do đó, từ ε/α → 0, si ≥ 2, gi (t) ≤ Mi t + Ni , ta có tập {xω } {x∗ } giới nội Khơng tính tổng qt, giả sử ω xω x1 , x∗ ω ∗ y1 , ε/α → Sau cho ε, α → 0, (2.5) ta có ∗ ∗ F1 (x), x − x1 + F2 (x∗ ) − f, x∗ − y1 ≥ y1 , x + x1 , −x∗ , 27 ∀x ∈ X, x∗ ∈ X ∗ Suy ra, ∗ ∗ F1 (x) − y1 , x − x1 + F2 (x∗ ) + x1 − f, x∗ − y1 ≥ 0, ∀x ∈ X, x∗ ∈ X ∗ Bất đẳng thức tương đương với hệ thống bất đẳng thức sau ∗ F1 (x) − y1 , x − x1 ≥ 0, ∀x ∈ X, ∗ F2 (x∗ ) + x1 − f, x∗ − y1 ≥ 0, ∀x∗ ∈ X Vì vậy, theo bổ đề Minty, ∗ F1 (x) − y1 = 0, ∗ F2 (y1 ) + x1 − f = Điều có nghĩa x1 nghiệm (2.1) Thay x x1 x∗ ∗ ∗ y1 (2.6) kết luận xω → x1 (x∗ → y1 ), ω ε/α, α → Chú ý 2.3 Nếu phương trình (2.1) có nghiệm x0 , dãy {xω } hội tụ đến x0 Giả sử ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc Ui không gian X X ∗ thỏa mãn điều kiện i i i i i i Ui (y1 ) − Ui (y2 ), y1 − y2 ≥ mi y1 − y2 i i i Ui (y1 ) − Ui (y2 ) ≤ ci (Ri ) y1 − si , mi > 0, si ≥ i v y2 i , < vi ≤ i i y1 , y2 ∈ X X ∗ phụ thuộc vào i = i = tương ứng, ci (Ri ), Ri > hàm dương tăng dần miền sau i i Ri = max y1 , y2 Khơng tính tổng qt, giả sử [xω , x∗ ] nghiệm (2.1)ω (2.2), xω → x0 ∈ S0 α, ε(ε > h) → (ε/α → 0) Giá trị xω − x0 đánh giá định lý Định lý 2.4 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: (i) F1 khả vi Fréchet số lân cận U0 x0 , bậc s1 − s1 = [s1 ], bậc [s1 ] s1 = [s1 ], F2 khả vi Fréchet số lân cận V0 x∗ , bậc s2 − s2 = [s2 ], bậc [s2 ] s2 = [s2 ], 28 ˜ (ii) Tồn số L > cho (k) (k) ˜ F1 (x0 ) − F1 (y) ≤ L x0 − y , ∀y ∈ U0 , (k) (k) ˜ F2 (x∗ ) − F2 (y ∗ ) ≤ L x∗ − y ∗ , ∀y ∗ ∈ V0 , (k) cho Fi : k = si − si = [si ] , k = [si ] si = [si ] [si ] ≥ 3, (k) (2) (k) (2) F1 (x0 ) = = F1 (x0 ) = 0, F2 (x∗ ) = = F1 (x∗ ) = 0, 0 (iii) Tồn phần tử x ∈ X cho (I + F2 (x∗ )∗ F1 (x0 )∗ )x1 = F2 (x∗ )∗ U1 (x0 ) − U2 (x∗ ), 0 ˜ s1 = [s1 ] L x1 < m1 s1 !, s2 = [s2 ] ˜ L F1 (x0 )∗ x1 − U1 (x0 ) < m2 s2 ! Khi đó, α chọn cho α ∼ ερ , < ρ < 1, ta có xω − x0 = O(εθ ), − ρ + θ2 , s1 − 1−ρ ρ θi = , , i = 1, si si θ = θ1 , Chứng minh Đặt: A = m1 xω − x0 s1 + m2 x∗ − x∗ ω s2 Dựa vào tính chất Ui hệ (2.1)-(2.2) ta có [ε(g1 ( xω ) xω − x0 α h + g2 ( x∗ ) x∗ − x∗ )+ F1 (xω ) − x∗ , x0 − xω ω ω ω A ≤ U1 (x0 ), x0 − xω + U2 (x∗ ), x∗ − x∗ + 0 ω h + F2 (x∗ ) + xω − f, x∗ − x∗ ] ω ω Đặt x2 = U1 (x0 ) − F (x0 )∗ x1 Từ điều kiện (iii) định lý suy x1 x2 (∈ X ∗ ) thỏa mãn hệ phương trình sau F1 (x0 )∗ x1 + x2 = U1 (x0 ), F2 (x0 )∗ x2 − x1 = U2 (x∗ ) 29 Từ h h F1 (xω ) − x∗ , x0 − xω = F1 (xω ) − F1 (xω ), x0 − xω ω + F1 (xω ) − F1 (x0 ) + x∗ − x∗ , x0 − xω ω ≤ hg1 ( xω ) xω − x0 + x∗ − x∗ , x0 − xω , ω h h F2 (x∗ ) + xω − f, x∗ − x∗ = F2 (x∗ ) − F2 (x∗ ), x∗ − x∗ ω ω ω ω ω h + F2 (x∗ ) − F2 (x∗ ) − x0 + xω , x∗ − x∗ ω 0 ω ≤ hg2 ( x∗ ) x∗ − x∗ − x0 − xω , x∗ − x∗ , ω ω 0 ω ta có A ≤ ≤ h+ε (g1 ( xω ) xω − x0 + g2 ( x∗ ) x∗ − x∗ ) ω ω α + U1 (x0 ), x0 − xω + U2 (x∗ ), x∗ − x∗ 0 ω 2ε (g1 ( xω ) xω − x0 + g2 ( x∗ ) x∗ − x∗ ) ω ω α + x1 , F1 (x0 )(x0 − xω ) + x2 , x0 − xω + x2 , F2 (x∗ )(x∗ − x∗ ) − x1 , x∗ − x∗ 0 ω ω (2.7) Xét trường hợp si = [si ], i = 1, Vì F1 (x0 )(x0 − xω ) = F1 (x0 ) − F1 (xω ) + rω , F2 (x∗ )(x∗ − x∗ ) = F1 (x∗ ) − F1 (x∗ ) + rω , ˜ 0 ω ω ˜ ˜ L ∗ L xω − x0 s1 , rω ≤ ˜ xω − x∗ rω ≤ s1 ! s2 ! s2 , bất đẳng thức (2.7) viết dạng A≤ 2ε (g1 ( xω ) xω − x0 + g2 ( x∗ ) x∗ − x∗ ) ω ω α ˜ L x1 + x1 , F1 (x0 ) − F1 (xω ) + xω − x0 s1 s1 ! ˜ L x2 ∗ ∗ + x , F2 (x0 ) − F2 (xω ) + x∗ − x∗ s2 ω s2 ! + x2 , x0 − xω − x1 , x∗ − x∗ ω 30 ≤ 2ε (g1 ( xω ) xω − x0 + g2 ( x∗ ) x∗ − x∗ ) ω ω α h + hg1 ( xω ) x1 + x1 , F1 (x0 ) − F1 (xω ) ˜ L x1 xω − x0 s1 + hg2 ( x∗ ) x2 + ω s1 ! ˜ L x2 ∗ h ∗ + x , F2 (x0 ) − F2 (xω ) + x∗ − x∗ s2 ω s2 ! + x2 , x0 − xω − x1 , x∗ − x∗ ω (2.8) Thay x (2.1) xω + x1 x∗ (2.2) xω + x2 , ta đánh giá h h x1 , F1 (x0 ) − F1 (xω ) = x1 , x∗ − x∗ + x1 , x∗ − F1 (xω ) ω ω ≤ x1 , x∗ − x∗ + εg1 ( xω ) x1 + α x1 , U1 (xω ) ω ≤ x1 , x∗ − x∗ + εg1 ( xω ) x1 + α x1 ω xω , h h x2 , F2 (x∗ ) − F2 (x∗ ) = x2 , −x0 + xω + x2 , −F2 (x∗ ) + f − xω ω ω ≤ − x2 , x0 − xω + εg2 ( x∗ ) x2 + α x2 , U2 (x∗ ) ω ω ≤ − x2 , x0 − xω + εg2 ( x∗ ) x2 + α x2 ω x∗ ω Do đó, từ (2.8) ta có A≤ 2ε (g1 ( xω ) xω − x0 + g2 ( x∗ ) x∗ − x∗ ) ω ω α + 2ε(g1 ( xω ) x1 + g2 ( x∗ ) x2 ) ω + α( x1 ˜ L x1 + s1 ! x∗ ) ω ˜ L x2 xω − x0 s1 + s2 ! xω + x2 x∗ − x∗ ω s2 (2.9) Để ước tính tỷ lệ hội tụ chuỗi {xω }, tìm ước tính cho x∗ − x∗ Từ (2.9) ràng buộc gi , {xn }, {x∗ } ta ω n m2 ˜ L x2 1− m2 s2 ! x∗ ω − x∗ s2 ≤ m1 + m2 31 ˜ L x1 1− m1 s1 ! ˜ L x2 1− m2 s2 ! xω − x0 s1 x∗ − x∗ ω s2 ≤O ε α ε +ε+α α x∗ − x∗ + O ω (2.10) Sử dụng bất đẳng thức Young a, b, c > 0, p > q > 0, ap ≤ baq + c ⇒ ap = O(bp/(p−q) + c) vào bất đẳng thức (2.10) ta x∗ − x∗ = O(εθ2 ) ω Từ (2.9) ta có m1 ˜ L x1 1− m1 s1 ! xω − x0 s1 ε ≤O α ε1+θ2 xω − x0 +O +ε+α α Trở lại, áp dụng bất đẳng thức Young vào bất đẳng cuối ta có xω − x0 = O(εθ ) Nếu si = [si ] hai số si , ví dụ s2 = [s2 ], rω ≤ ˜ ˜ L x∗ − x∗ ([s2 ] + 1)! ω [s2 ]+1 , vế trái (2.10) thay m2 ˜ L x2 1− x∗ − x∗ m2 ([s2 ] + 1)! ω [s2 ]+1−s2 x∗ − x∗ ω s2 Bởi x∗ − x∗ → 0, [s2 ] + − s2 > ω ˜ L x2 x∗ − x∗ 1− ([s2 ] + 1)! ω [s2 ]+1−s2 ≥ 1/2, cho ε, α bé tùy ý Trường hợp s1 = [s1 ] hai số si không số nguyên xét đến tương tự Định lý chứng minh Bây ta thiết lập hội tụ tốc độ hội tụ dãy {xωn }, h, α, ε → 0, n → +∞ cách đánh giá đại lượng xωn − x0 32 2.2 Phương pháp hiệu chỉnh kết hợp với xấp xỉ hữu hạn chiều Cho Pn phép chiếu tuyến tính từ khơng gian X lên khơng gian hữu hạn chiều Xn cho Xn ⊂ Xn+1 , Pn x → x cho x ∈ X, ∗ ∗ ˜ n → ∞ Pn đối ngẫu Pn với Pn (= Pn ) ≤ c = constant, với n Khi đó, ta có tốn hữu hạn chiều x + F2αn F1αn (x) = fn , x ∈ Xn , ∗ ∗ F2αn = Pn F2α Pn , F1αn = Pn F1α Pn , fn = Pn f , có nghiệm xαn , dãy {xαn } hội tụ đến xα , n → ∞ Khi F2 tuyến tính, tốc độ hội tụ chuỗi {xα } {xαn } nghiên cứu [8] với điều kiện −1 khơng phải giá trị riêng tốn tử F2 F1 (x0 )∗ Điều kiện đưa để nghiên cứu phương pháp loại trùng khớp (collocation-type method), tương đương với ảnh tốn tử tồn khơng gian R(I + F2 F (x0 )∗ ) = X, R(F ) biểu thị tồn ảnh cho tốn tử F bất kỳ, I biểu thị cho toán tử đồng X Gần đây, điều kiện thay điều kiện yếu yêu cầu ảnh R(I + F2 (x∗ )∗ F1 (x0 )∗ ) có chứa phần tử X toán tử Fi phi tuyến, x∗ = F1 (x0 ) Nếu thay F1 F2 h h ta biết xấp xỉ liên tục chúng tương ứng F1 F2 , h F1 (x) − F1 (x) ≤ hg1 ( x ), h F2 (x∗ ) − F2 (x∗ ) ≤ hg2 ( x∗ ), gi (t) ≤ Mi (t) + Ni , Mi , Ni > 0, ∀x ∈ X, ∀x∗ ∈ X ∗ , t ≥ 0, h ≥ 0, gi (t), i = 1, 2, hàm thực liên tục không giảm, với gi (0) = 0, gi (t) → +∞ với t → +∞, nghiệm hiệu chỉnh xây dựng phương trình sau h h x + F2α F1α (x) = f, (2.11) h Fiα = Fih +αUi , trường hợp Fih , i = 1, đơn điệu Nếu số Fih không đơn điệu, phương trình (2.11) khơng có nghiệm Vì vậy, ta có số cách để xác định yếu tố X phụ thuộc vào h, α nghiệm phương trình (2.1) 33 Dưới đây, kí hiệu a ∼ b có nghĩa a = O(b) b = O(a), biểu tượng, kí hiệu hội tụ yếu hội tụ tiêu chuẩn tương ứng Tương tự Định nghĩa 2.1 ta có bất đẳng thức sau hn F1α (xωn ) − x∗ , xn − xωn ≥ −εg1 ( xωn ) xn − xωn , ωn ∀xn ∈ Xn , (2.12) hn F2α (x∗ ) + xωn − fn , x∗ − x∗ ≥ −εg2 ( x∗ ) x∗ − x∗ , ωn n ωn ωn n ωn ∗ ∀x∗ ∈ Xn , n ε ≥ h, (2.13) h ∗ hn ∗ h hn F1α = Pn F1α Pn , F2α = Pn F2α Pn , bất đẳng thức có nghiệm [xωn , x∗ ] ωn Ta chứng minh kết sau Định lý 2.5 Giả sử điều kiện Định lý 2.4 thỏa mãn, α chọn cho α ∼ (ε + γn )ρ , < ρ < 1, γn = max{ (I − Pn )x0 , (I − Pn )f , (I − Pn )x1 , ∗ ∗ (I ∗ − Pn )x∗ , (I ∗ − Pn )x2 }, I ∗ toán tử đồng X ∗ Khi θ xωn − x0 = O(εθ1 + γn2 ), ν1 ν2 θ1 = τ1 , θ2 = τ2 , , s1 − s1 1−ρ ρ τi = , , si si , i = 1, Chứng minh Đặt B = m1 xωn − xn s1 + m2 x∗ − xn ∗ ω s2 , ∗ với x ∈ S0 , x∗ = F1 (x), xn = Pn x, x∗ = Pn x∗ Từ (2.12)-(2.13) ta có n B ≤ U1 (xn ), xn − xωn + U2 (x∗ ), x∗ − x∗ n n ωn + [ε(g1 ( xω ) xωn − xn + g2 ( x∗ ) x∗ − xn ∗ ) ω ωn α hn hn + F1 (xωn ) − x∗ , xn − xωn + F2 (x∗ ) + xωn − fn , x∗ − x∗ ] ωn ωn n ωn 34 ≤ U1 (xn ), xn − xωn + U2 (x∗ ), x∗ − x∗ n n ωn + [ε(g1 ( xω ) xωn − xn + g2 ( x∗ ) x∗ − xn ∗ ) ω ωn α h + F1 (xωn ) − F1 (xωn ) + F1 (xωn ) − F1 (xn ) + F1 (xn ) − x∗ , xn − xωn ωn h + F2 (x∗ ) − F2 (x∗ ) + F2 (x∗ ) − F2 (x∗ ) ωn ωn ωn n +F2 (x∗ ) + xωn − fn , x∗ − x∗ ] n n ωn Nhờ tính đơn điệu Fi , i = 1, 2, tính xấp xỉ toán tử Fih ∗ F1 (xn ) − x∗ , xn − xωn = Pn F1 (xn ) − x∗ , xn − xωn ωn n + x∗ − x∗ , xn − xωn n ωn = F1 (xn ) − F1 (x), xn − xωn + x∗ − x∗ , xn − xωn , n ωn F2 (x∗ ) + xωn − fn , x∗ − x∗ n n ωn = Pn (F2 (x∗ ) + x − f ), x∗ − x∗ + −xn + xωn , x∗ − x∗ n n ωn n ωn = F2 (x∗ ) − F2 (x∗ ), x∗ − x∗ − xn − xωn , x∗ − x∗ n n ωn n ωn ta có B ≤ U1 (xn ), xn − xωn + U2 (x∗ ), x∗ − x∗ n n ωn + [2εg1 ( xωn ) F1 (xn ) − F1 (x) xωn − xn α + 2εg2 ( x∗ ) F2 (x∗ ) − F2 (x∗ ) x∗ − x∗ ωn n ωn n (2.14) Do đó, dãy {xωn } {x∗ } hội tụ, ε/α → 0, n → +∞ Trong trường ωn hợp si = [si ] ta viết F1 (xn ) − F1 (x) = F (x)(xn − x) + rn , F2 (x∗ ) − F2 (x∗ ) = F (x∗ )(x∗ − x∗ ) + rn , ˜ n n rn ≤ ˜ L (Pn − I)x s1 ! Mặt khác, từ (2.7) với x = x0 s1 rn ≤ ˜ , ˜ L ∗ (Pn − I ∗ )x∗ s2 ! s2 (x0n = Pn x0 ) suy ν U1 (x0n ), x0n − xωn ≤ c1 (R1 )γn1 x0n − x0 + U1 (x0 ), x0n − xωn 35 Số hạng thứ hai vế phải bất đẳng thức đánh sau U1 (x0 ), x0n − xωn = U1 (x0 ), x0n − x0 + U1 (x0 ), x0 − xωn ≤ O(γn ) + x1 , F1 (x0 ) − F1 (xωn ) ˜ L x1 + x , x0 − xωn + x0 − xωn s1 ! s1 Tương tự trên, ta có ν U2 (x∗ ), x∗ − x∗ ≤ c2 (R2 )γn2 x∗ − x∗ + U2 (x∗ ), x∗ − x∗ 0n 0n ωn 0n ωn 0n ωn với đánh giá U2 (x∗ ), x∗ − x∗ ≤ O(γn ) + x2 , F2 (x∗ ) − F2 (x∗ ) − x1 , x∗ − x∗ 0n ωn ωn ωn ˜ L x2 ∗ ∗ + x∗ − x∗ s2 , x∗ = Pn x∗ = Pn F1 (x0 ) ωn 0n s2 ! Vì {xωn } {x∗ } giới nội, ωn hn x1 , F1 (x0 ) − F1 (xωn ) = x1 , x∗ − x∗ + x1 , x∗ − F1 (xωn ) ωn ωn h h − (I − Pn )x1 , F1 (xωn ) + x1 , F1 (xωn ) − F1 (xωn ) h ≤ γn F1 (xωn ) + x1 , x∗ − x∗ ωn + x1 hg1 ( xωn ) + c x1 εg1 ( xωn ) ˜ + c x1 α x1 − xωn , x2 , F2 (x∗ ) − F2 (x∗ ) ˜ ωn hn = x2 , −x0 + xωn + x2 , fn − xωn − F2 (x∗ ) ωn ∗ ∗ h + x2 , f − fn − (In − Pn )x2 , F2 (x∗ ) ωn h + x2 , F2 (x∗ ) − F2 (x∗ ) ωn ωn h ≤ γn F2 ( x∗ ) − x2 , x0 − xωn ωn + x2 hg2 ( x∗ ) + c x2 εg2 x∗ + c x2 α x2 − x∗ ˜ ˜ ωn ωn ωn Do đó, từ x0 − xωn s1 ≤ O(γn ) + x0n − xωn s1 , x∗ − x∗ ωn s2 ≤ O(γn ) + x∗ − x∗ 0n ωn s2 , từ ràng buộc gi (2.14) biểu diễn sau 36 m1 ˜ L x1 1− m1 s1 ! xωn − x0n + m2 s1 ≤ m1 ˜ L x2 1− m2 s2 ! ˜ L x1 1− m1 s1 ! x∗ − x∗ ωn 0n xωn − x0n s1 s2 ν ≤ O((ε + γn )1−ρ + γn1 ) xωn − x0n ν + O((ε + γn )1−ρ + γn2 ) x∗ − x∗ ωn 0n + O(ε + γn + (ε + γn )ρ ) ν ≤ O((ε + γn )1−ρ + γn1 ) xωn − x0n ν + O((ε + γn )1−ρ + γn2 + (ε + γn )ρ ) Áp dụng bất đẳng thức Young ta có θ xωn − x0n = O(εθ1 + γn2 ) Do đó, θ xωn − x0 = O(εθ1 + γn2 ) Trường hợp si = [si ] tương tự chứng minh Định lý 2.2 Chú ý 2.6 Nếu S0 có chứa nhiều phần tử, F1 F2 affine tập S0 F1 (S0 ), tương ứng Do điều kiện (k) (2) (k) (2) F1 (x) = = F1 (x) = 0, x ∈ S0 , F2 (x∗ ) = = F2 (x∗ ) = 0, x ∈ F1 (S0 ) tự động thỏa mãn Hơn nữa, F (x) F (x) không phụ thuộc tương ứng vào x x∗ Vì vậy, từ điều kiện (iii) Định lý 2.2, thực tế, vấn đề tồn nghiệm phương trình tốn tử tuyến tính Khi X khơng gian Lp (Ω) Wp (Ω), < p < +∞: Nếu p = X khơng gian Hilbert Ui = I, si = 2, mi = 1, νi = c(Ri ) ≡ 1, < p < ta có s1 = 2, m1 = p − 1, 2p−1 c(R1 ) = p2 ep Lp−1 , e = max{2p , 2R1 }, < L < 3.18, ν1 = p − 1, q−2 s2 = q, m2 = 22−q /q, c(R2 ) = 2q R2 {q[q − + max{R2 , L}]}−1 , ν2 = 1, p−1 + q −1 = Trường hợp p > xét tương tự 37 Kết luận Dưới hướng dẫn tận tình bảo nghiêm khắc thầy giáo GS.TS Nguyễn Bường luận văn tơi hồn thành tiến độ đạt kết sau: Trình bày kiến thức không gian Banach, tốn tử đơn điệu, tốn đặt khơng chỉnh giới thiệu phương trình tốn tử loại Hammerstein Giới thiệu phương pháp hiệu chỉnh tìm nghiệm phương trình Hammerstein x + F2 F1 (x) = f toán tử Fi ; i = 1, cho xấp xỉ tốn tử Fih khơng có tính đơn điệu Do vấn đề nghiên cứu phức tạp kiến thức nhiều hạn chế nên luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót, tơi mong nhận góp ý q thầy để luận văn hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! 38 Tài liệu tham khảo [1] Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Bường, Bài tốn đặt khơng chỉnh, NXB ĐHQG Hà Nội, 2005 [2] Nguyễn Bường, Hiệu chỉnh toán phi tuyến phương pháp toán tử đơn điệu, NXB ĐHQG Hà Nội, 2001 [3] Nguyễn Xuân Liêm, Giải tích hàm, NXB Giáo dục, 1999 [4] Nguyen Buong, On ill-posed problems in Banach spaces, Bull SouthEast Mathematical J., 21, 95–103, 1997 [5] Nguyen Buong, On solution of Hammerstein equations with monotone perturbations, Vietnamese Math Journal, 3, 28–32 (in Vietnamese), 1985 [6] Nguyen Buong, Solution of the Hammerstein equations under nonmonotone perturbations, New Zeland J of Math., 33, 147–157, 2004 [7] D Vaclav, Monotone Operators and Applications in Control and Net work Theory, Ams-New York, Elsevier, 1979 [8] W.V Petryshyn and R.M Fitzpatrick, New existence theorems for nonlinear equation of Hammerstein type, Trans AMS, 160, 39-63, 1971 39 ... khơng có tính đơn điệu 24 Chương Hiệu chỉnh phương trình Hammerstein với nhiễu khơng đơn điệu Trong chương này, chúng tơi trình bày phương pháp hiệu chỉnh tìm nghiệm phương trình Hammerstein x... 6 16 22 Hiệu chỉnh phương trình Hammerstein với nhiễu không đơn điệu 25 2.1 Hiệu chỉnh không gian Banach vô hạn chiều 25 2.2 Phương pháp hiệu chỉnh kết hợp với xấp xỉ hữu hạn chiều... Chương trình bày số khái niệm không gian Banach, tốn tử đơn điệu, tốn đặt khơng chỉnh số vấn đề liên quan đến hiệu chỉnh phương trình Hammerstein Chương hai trình bày phương pháp hiệu chỉnh tìm