Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 22 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
22
Dung lượng
1,04 MB
Nội dung
SỬ DỤNG GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ A). Phương Pháp: Với phươngtrình có dạng : )()( mgxf = Chúng ta thực hiện các bước sau đây: Bước 1: Xem đó là phươngtrình hoành độ giao điểm của )(xf và )(mg .Do đó số nghiệm của phươngtrình là số giao điểm của 2 hàm số Bước 2: Xét hàm số )(xfy = • Tìm tập xác định D • Tính đạo hàm 'y , rồi giải phươngtrình 0' = y • Lập bảng biến thiên của hàm số Bước 3: Kết luận: • Phươngtrình có nghiệm )(max)()(min xfmgxf ≤≤⇔ • Phươngtrình có k nghiệm phân biệt ⇔ dựa vào bảng biến thiên xem )(mg cắt )(xf tại k điểm .Suy ra giá trị cần tìm • Phươngtrình vô nghiệm ⇔ hai hàm số không cắt nhau Với bất phươngtrình có dạng : )()( mgxf ≤ Chúng ta thực hiện các bước sau đây: Bước 1: Xét hàm số )(xfy = • Tìm tập xác định D • Tính đạo hàm 'y , rồi giải phươngtrình 0' = y • Lập bảng biến thiên của hàm số Bước 2: Kết luận: • Bất phươngtrình có nghiệm D ∈ )(min mgy ≤⇔ • Bất phươngtrình nghiệm đúng Dx ∈∀ )(max mgy ≤⇔ Chú ý : Nếu )()( mgxf ≥ thì: • Bất phươngtrình có nghiệm D ∈ )(min mgy ≥⇔ • Bất phươngtrình nghiệm đúng Dx ∈∀ )(max mgy ≥⇔ Chú ý chung : Nếu có đặt ẩn phụ )(xht = . Từ điều kiện của x chuyển thành điều kiện của t .Có 3 hướng để tìmđiều kiện : • Sử dụng BĐT Cô si cho các số không âm • Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki • Sử dụng đạo hàm để tim min và max ( lúc đó t sẽ thuộc min và max ) B).Bài Tập Ứng Dụng : Loại 1: Bài toán tìmmđốivớiphươngtrình Bài 1.Tìm m để phươngtrình sau có nghiệm : a) mxxxx =+−−++ 11 22 b) )45(12 xxmxxx −+−=++ c) mxxxx ++−=−+ 99 2 d) mxx =−+ 4 2 1 e) 0113 4 4 =−++− xmxx f) 4 2 4 2 422)422( −=+−−+− xxxxm g) 03)cot(tancottan 22 =++++ xxmxx Bài làm : a) mxxxx =+−−++ 11 22 Xét hàm số 11 22 +−−++= xxxxy • Miền xác định : RD = • Đạo hàm : 12 12 12 12 ' 22 +− − − ++ + = xx x xx x y 1)12(1)12(0' 22 +−+=++−⇔= xxxxxxy +−+=++− >+− ⇔ )1()12()1()12( 0)12)(12( 2222 xxxxxx xx ⇔ vô nghiệm Mà 01)0(' >= y nên hàm số đồng biến trên R • Giới hạn : 1 11 2 lim)11(limlim 22 22 = +−+++ =+−−++= +∞→+∞→+∞→ xxxx x xxxxy xxx 1 11 2 limlim 22 −= +−+++ = −∞→−∞→ xxxx x y xx • Bảng biến thiên : Vậy phươngtrình có nghiệm khi và chỉ khi 11 <<− m b) )45(12 xxmxxx −+−=++ Điều kiện : x ∞− ∞+ 'y + y 1 -1 40 04 05 012 0 ≤≤⇔ ≥− ≥− ≥+ ≥ x x x x x (*) Viết phươngtrình về dạng : mxxxxx =−−−++ )45)(12( (1) Xét hàm số : )45)(12( xxxxxy −−−++= • Miền xác định : [ ] 4,0 = D • Nhận xét rằng : - Hàm )12()( ++= xxxxh là hàm đồng biến trên D - Hàm xxxg −−−= 45)( có : Dx xx xx xg ∈∀> −− −−− = 0 452 45 )(' .Suy ra đồng biến )().( xgxhy =⇒ là hàm đồng biến trên D Vậy phươngtrình (1) có nghiệm khi : )4()0( fmf ≤≤ 12)25(12 ≤≤−⇔ m c) mxxxx ++−=−+ 99 2 Điều kiện : 90 09 0 ≤≤⇔ ≥− ≥ x x x Biến đổiphươngtrình : mxxxx ++−=−+ 9)9(29 2 mxxxx =+−+−−⇔ 9299 22 Xét hàm số xxxxy 9299 22 +−++−= • Miền xác định : [ ] 9,0 = D • Đạo hàm : xx x xy 9 )92( 92' 2 +− +− −−= 0 9 1 1)92(0' 2 = +− +−⇔= xx xy 2 9 =⇔ x • Bảng biến thiên : Vậy phươngtrình có nghiệm khi : 9 4 9 ≤≤− m d) mxx =−+ 4 2 1 Điều kiện : 0 ≥ x Xét hàm số : xxy −+= 4 2 1 • Miền xác định : [ ) +∞= ,0D • Đạo hàm : x x x y 2 1 )1(2 ' 4 32 − + = 4 32 )1(0' +=⇔= xxxy 326 )1( +=⇔ xx 1 22 +=⇔ xx (vô nghiệm) Suy ra )(' xy không đổi dấu trên D , mà 0 2 1 82 1 )1(' 4 <−= y Do đó Dxxy ∈∀< 0)(' ⇔ hàm số đồng biến • Giới hạn: 0 )1)(1( 1 lim)1(limlim 2 4 2 4 2 = ++++ =−+= +∞→+∞→+∞→ xxxx xxy xxx • Bảng biến thiên: x 0 2 9 9 'y – 0 + y 9 9 4 9 − x 0 ∞+ 'y – y 1 0 Vậy phươngtrình có nghiệm khi : 10 ≤< m e) 0113 4 4 =−++− xmxx Biến đổiphươngtrinh : xmxx −=+− 113 4 4 −=+− ≥− ⇔ 44 )1(13 01 xmxx x =+−− ≤ ⇔ mxxx x 13)1( 1 44 Xét hàm số xxxy 13)1( 44 +−−= • Miền xác định : ( ] 1, ∞−= D • Đạo hàm : 91212134)1(4' 233 ++−=+−−−= xxxxy 0912120' 2 =++−⇔= xxy −= = ⇔ )( 2 1 )( 2 3 nx lx • Giới hạn : [ ] +∞=+−−= −∞→−∞→ xxxy xx 13)1(limlim 44 • Bảng biến thiên: Vậy để phươngtrình có nghiệm khi : 2 3 −≥ m x ∞− 2 1 − 1 'y — 0 + y ∞+ 12 2 3 − f) 4 2 4 2 422)422( −=+−−+− xxxxm Điều kiện : 2 ≥ x Khi 2 = x : VPVT VP VT ≠⇔ = −= 0 2 (loại) Khi :2 > x Chia 2 vế cho 4 2 4 − x ta được : 2 2 2 2 2 2 44 = − + − + + − x x x x m (*) Đặt 4 2 2 − + = x x t Tìmđiều kiện cho t Cách 1: Xét hàm số 2 2 2 )( 4 >∀ − + = x x x xf Đạo hàm : ( ) 0 2 2 2 1 2 2 4 1 2 2 )(' 4 3 2 4 3 ' < − + − − = − + − + = x x x x x x x xf Suy ra hàm số )(xf nghịch biến 2 >∀ x 1)(lim)( >⇔>⇔ +∞→ txfxf x Cách 2: Ta có 2 > x . Mà 4 2 2 − + = x x t 2 2 4 − + =⇔ x x t 1 )1(2 2)2( 4 4 4 − + =⇔ +=−⇔ t t x xxt Do đó: > −< ⇔ −< > ⇔>−⇔ > − ⇔> − + 1 1 1 1 01 0 1 4 2 1 )1(2 2 2 4 44 4 t t t t t tt t Mặc khác 10 >⇒> tt Lúc đó : (*) )()( 12 2 22 1 2 tfmg t tt mt t m =⇔ + + =⇔=− +⇒ Xét hàm số 12 2 )( 2 + + = t tt tf • Miền xác định : ( ) +∞= ,1D • Đạo hàm : ( ) ⇒> + ++ = 0 12 222 )(' 2 2 t tt tf hàm số đồng biến • Giới hạn : +∞= +∞→ )(lim tf t • Bảng biến thiên: Vậy để phươngtrình có nghiệm : 11)( >⇔> mmg g) 03)cot(tancottan 22 =++++ xxmxx Đặt xxt cottan += 2cottan 222 ++=⇒ xxt Tìmđiều kiện cho t : 2cot.tan2cottancottan ≥⇔≥+=+= txxxxxxt (vì )1cot.tan = xx Lúc đó : )()( 1 01 2 2 tfmg t t mmtt =⇔ + =−⇔=++ Xét hàm số t t tf 1 )( 2 + = • Miền xác định: ),2()2,( +∞∨−−∞= D • Đạo hàm : Dx t t tf ∈∀> − = 0 1 )(' 2 2 • Giới hạn : ±∞= + = ±∞→±∞→ t t tf tt 1 lim)(lim 2 • Bảng biến thiên : x 1 ∞+ 'y + y ∞+ 1 x ∞− 2 − 2 ∞+ 'y + + y 2 5 − ∞+ ∞− 2 5 Vậy để phươngtrình có nghiệm: > −< 2 5 2 5 mm Bài 2.Tìm m để phươngtrình có đúng 2 nghiệm phân biệt a) mxxxx =−+−++ 626222 44 b) 6164164 4 3434 =++−+++− mxxxmxxx Bài làm : a) mxxxx =−+−++ 626222 44 (1) Điều kiện : 60 06 02 ≤≤⇔ ≥− ≥ x x x Xét hàm số xxxxy −+−++= 626222 44 • Miền xác định: [ ] 6,0 = D • Đạo hàm x x x x y − − − −+= 6 1 )6(2 1 2 1 )2(2 1 ' 4 3 4 3 0 6 1 2 1 )6(2 1 )2(2 1 0' 4 3 4 3 = − −+ − −⇔= xx xx y 0 6 1 2 1 )6(2 1 6 1 2 1 2 1 6 1 2 1 44 4 44 = − ++ − + − + − −⇔ xxxxxxxx 44 6 1 2 1 xx − =⇔ xx −=⇔ 62 2=⇔ x • Bảng biến thiên: x 0 2 6 'y + 0 — y )44(3 4 + )66(2 4 + 1212 4 + Để (1) có hai nghiệm phân biệt: )44(3)66(2 4 4 +<≤+ m b) 6164164 4 3434 =++−+++− mxxxmxxx Đặt )0(164 4 34 ≥++−= tmxxxt Lúc đó : 066 22 =−+⇔=+ tttt −= = ⇔ )(3 )(2 lt nt Với mxxxmxxxt −=+−⇔=++−⇔= 16164161642 3434 (*) Xét hàm số : xxxxf 164)( 34 +−= • Miền xác định: RD = • Đạo hàm : 1684)(' 23 +−= xxxf 016840)(' 23 =+−⇔= xxxf = −= ⇔ 2 1 x x • Giới hạn +∞=+−= +∞→+∞→ )164(lim)(lim 34 xxxxf xx +∞=+−= −∞→−∞→ )164(lim)(lim 34 xxxxf xx • Bảng biến thiên: x ∞− -1 2 ∞+ 'y — 0 + 0 + y ∞+ ∞+ 16 -11 Vậy để có hai nghiệm khi : 271116 <⇔−>− mm 3.Tìm m để phươngtrình xmx cos1 2 =+ có đúng 1 nghiệm thuộc ) 2 ,0( π Bài làm: Biến đổiphương trình: 1cos 2 −= xmx (1) Nhận xét: (1) có nghiệm khi 0 ≤ m ( vì 0 > m lúc đó 0,0 <> VPVT ) Lúc đó (1) m x x x x m −= ⇔ − =⇔ 2 2 2 2 4 2 sin2 1cos m x x 2 2 2 sin 2 2 −= ⇔ (2) Đặt 2 x t = . Vì ∈⇒ ∈ 4 ,0 2 ,0 ππ tx (2) m t t m t t 2 sin 2 sin 2 2 2 −= ⇔−=⇔ Xét hàm số: t t tf sin )( = • Miền xác định = 4 ,0 π D • Đạo hàm Dt t ttt t ttt tf ∈∀< − = − = 0 )tan.(cossincos. )(' 22 ( vì tttDt <>⇒∈ tan,0cos ) Do đó hàm )(tf nghịch biến • Giới hạn : 1 sin lim)(lim 00 = = →→ t t tf tt • Bảng biến thiên: t 0 4 π )(' tf – )(tf 1 π 22 [...]... vớim i x ⇔ g ( m) ≥ max f ( x) ⇔ m ≥ 4 27 Bài 2: T mm để bất phươngtrình có nghi m a) mx − x − 3 ≤ m +1 b) 2 sin x + 3cos x ≥ m. 3sin x c) x −4 x +3 +2mx −6 > 0 Bài l m : a) mx − x − 3 ≤ m +1 Điều kiện : x ≥ 3 Đặt t = x −3 (t ≥ 0) 2 2 2 2 Lúc đó : 2 m( t 2 + 3) − t ≤ m + 1 ⇔ m( t + 2) ≤ t + 1 ⇔ m ≤ ⇔ g ( m) ≤ f (t ) Xét h m số: f (t ) = • • t +1 t2 + 2 Miền xác định Đạo h m t +1 t2 + 2 D = [ 0,+ )... nghi m x ∈[ 0,2 ] nghi m đúng vớim i 1 2 Bài 3: T mm để phươngtrình Bài 4: T mm để phươngtrình x −2 ( x +1) +m =0 1 3 x 2 −2 x = m 2 + m +1 có ba nghi m phân biệt có bốn nghi m phân biệt Bài 5: T mm để phươngtrình −2 x +10 x −8 = x −5 x +m có bốn nghi m phân biệt Bài 6: T mm để (3 + x)(7 − x) ≤ x − 4 x + m nghi m đúng ∀x ∈[− 3,7 ] Bài 7: T mm để hệphươngtrình có nghi m: 2 2 2 x 2 1... xlim f ( x) = xlim →+∞ →+∞ x5 f ' ( x) = • 0 max y ≥ m ⇔ m ≤ 4 x 2 −4 x +3 +2mx −6 > 0 Xét h m số (1) • Bảng biến thiên : x +∞ 1 + y' y +∞ 2 Để bất phươngtrình nghi m đúng với x ≥ 1 ⇔ min f ( x) ≥ g (m) 2 ⇔ 3m ≤ 2 ⇔ m ≤ 3 log 2 x 2 Bài 4: T m tất cả m để bất phươngtrình log 2 x −1 2 vớim i x > 0 Bài l m: Đặt t = log 2 x 2 T mđiều kiện cho t : Vì x > 0 ⇔ t > 1 t ≥ m ⇔ f (t ) ≥ g (m) t −1 t h m số... 2 3 x 2 − mx x + 16 = 0 Bài 8: T mm để hệphươngtrình có ba cặp nghi m phân biệt 3( x + 1) 2 + y − m = 0 x + xy = 1 x 2 − 3 x − 4 ≤ 0 3 2 x − 3 x x − m − 1 5m ≥ 0 3 x + x = 3m + y nghi m: y 3 + y = 3m + x Bài 9: T mm để hệ có nghi m Bài 10: T mm để hệ vô Bài 11: T mm để phươngtrình có nghi m: 7 2 x + x +1 − 7 2 + x +1 + 2007 x ≤ 2007 2 x − (m + 2) x + 2m + 3 = 0 (1)... Xét h m số f (t ) = 3 + t 3 • Miền xác định D = R t 2 • Đạo h m f ' ( x) = ln 3.3 + 3t > 0 H m số đồng biến Do đó x = y Thay vào phươngtrình (2) ta có: t x 2 + x 2 = m ⇔ 2x 2 = m ⇔ x 2 = m 2 Để hệ có nghi m: m ≥ 0 C).Bài tập tự luyện: Bài 1: T mm để bất phươngtrình Bài 2: T mm để 9 2 x −x − 2 (m −1).6 2 x 2 x thoả điều kiện x ≥ ( m + 2) x m ≥ x +1 2 −x + ( m + 1).4 2 x 2 −x ≥0 có nghi m x ∈[ 0,2 ]... phươngtrình nghi m đúng vớim i x a) x −6 x +5 +2mx >1 b) m. 9 x − 3 x + 1 ≥ 0 c) m. x 4 − 4 x + m ≥ 0 Bài l m : a) Xét h m số : y = f ( x) = x −6 x +5 +2mx 2 2 f1 ( x) = x 2 + 2( m − 3) x + 5 ( x ≤ 1 ∨ x ≥ 5) f ( x) = 2 f 2 ( x ) = −x + 2 (m + 3) x − 5 (1 < x < 5) Để bất phươngtrình nghi m đúng vớim i x ⇔ min f ( x) > 1 ⇔ min{ f1 (1 ), f1 (5 ), f1 (3 − m) } > 1 1 m > 2 f1 (1) > 1... trình nghi m đúng vớim i 3 ⇔ max f ( x ) < m ⇔ 4 log 4 3 x ∈(− 2,0 ) ⇔ 1< m < 5 f (3 − m) > 1 2 10 1 m − 6m + 5 < 0 Vậy với 1 < m < 5 bất phươngtrình có nghi m đúng vớim i b) Đặt t =3 x (t > 0) Lúc đó : m. t 2 − t + 1 ≥ 0 ⇔ mt 2 ≥ t − 1 ⇔ m ≥ Xét h m số f (t ) = t −1 t2 t −1 ⇔ g (m) ≥ f (t ) t2 D = ( 0,+ ∞) • Miền xác định • Đạo h m : f ' (t ) = 2t − t 2 t4 t = 0 f ' (t ) = 0 ⇔ 2t − t 2 = 0 ⇔ t = 2 • Giới hạn : 2t − t 2 lim f (t ) = lim ... f 2 (1) > 0 ⇔ f 2 (3) > 0 ⇔ f ( m + 2) > 0 2 2m − 6 > 0 ⇔ 1< m < 5 6m + 5 > 0 m 2 − 6m + 5 > 0 Bài 3: T m tất cả m để bất phươngtrình − x 3 + 3mx − 2 ≤ − 1 thoả m n x3 với x ≥ 1 Bài l m: 1 x3 6 3 x + 2x − 1 ⇔ 3m ≤ x4 Biến đổi bất phươngtrình về dạng: 3mx ≤ x 3 + 2 − Xét h m số f ( x) = • • x 6 + 2x3 − 1 x4 Miền xác định : Đạo h m : D =[ 1,+ ) ∞ 2 x 6 − 2 x 3 + 4 2 x 3 ( x 3 − 1)... −1 • Miền xác định D = ( 1,+ ∞) t −2 • Đạo h m : f ' (t ) = 3 2 2 ( t −1) Lúc đó : Xét f ' (t ) = 0 ⇔ t = 2 • Giới hạn : lim f (t ) = lim t →+∞ t→ +∞ lim f (t ) = lim + + t→ 1 t→ 1 t −2 23 ( t −1) t −2 23 ( t −1) • Bảng biến thiên : 2 2 = +∞ = +∞ m nghi m đúng x 1 2 +∞ y' +∞ y — 0 + +∞ 1 Để bất phươngtrình nghi m đúng vớim i x > 0 ⇔ f (t ) ≥g ( m) ∀ >0 t ⇔ min f (t ) ≥ g (m) ⇔ 1 ≥ m Bài 5: T mm để . <+− > > ⇔ > − > > ⇔ m mm m m mf f f Vậy với 51 << m bất phương trình có nghi m đúng với m i x b) Đặt )0(3 > = tt x Lúc đó. với m i 0 > x ⇔ 0)()( > ∀≥ tmgtf mmgtf ≥⇔≥⇔ 1)()(min Bài 5: T m m để bất phương trình m xx < +−− )32(log 2 4 4 3 nghi m đúng với m i