CĐ rút gọn biểu thức - Toán 9

các dạng tập rút gọn biểu thức I Lý thuyết A Những đẳng thức 1) (a+b)2 = a2 + 2ab +b2 2)(a-b)2 = a2 - 2ab + b2 3)a2 - b2 = (a-b)(a+b) 4)a2 + b2 = (a+b)2- 2ab = (a-b)2 + 2ab 5)(a+b)3 = a3 +3a2b + 3ab2 + b3 = a3 + b3 + 3ab(a+b) 6)(a-b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = a3 - b3 - 3ab(a-b) 7)a3 + b3 = (a+b)(a2 - ab + b2) = (a+b)3 - 3ab(a+b) 8)a3 - b3 = (a-b)(a2 + ab + b2) = (a-b)3 + 3ab(a-b) 9)(a+b+c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca 10) (a+b+c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a+b)(b+c)(c+a) B Các công thức biến đổi thức 1) A2 = A 2) AB = A B (víi A ≥ vµ B ≥ ) 3) A = B A ( víi A ≥ vµ B > ) B 4) a b = a b ( víi B ≥ ) 5) a b = a b ( víi A ≥ vµ B ≥ ) a b = − a b (víi A ≤ vµ B ≥ ) 6) 7) 8) 9) A = B b A B = AB (víi A.B ≥ vµ B ≠ ) A B ( víi B > ) B C = A ±B C A± B C ( A mB A −b = C ( ) (víi A ≥ vµ A ≠ B2 ) Am B A −B ) (víi A ≥ , B ≥ vµ A ≠ B ) II bµi tập áp dụng tập Tính ( ) 1 15 6+ − 120 − 3+ 2 + − 3+ − 2 b, B = +1 a, A = ( ) ( c) + 15 )( 5− ) − 15 híng dÉn ( ) ( ) 1 15 1 30 11 30 30 11 6+ − 120 − = 11 + 30 − 4.30 − = + 30 − − = 2 4 2 2 3+ 2 + − + − 2 = + + 2 −1 − − + 2 = b, B = +1 a, A = ( ( c) + 15 = ( )( 5− ) (4+ ) − 15 = 15 5− ( ) ) ( 5− ) ( + 15 ( − 15 ) ( + = ) ) (4− ) 15 = 15 ) =( 5− ) + 15 bµi tËp TÝnh a) (1 − 2) e) E = 17 − 12 + − 2 + + 2 f) F = + − − b) − 2 c) + g) G = − − + h) H = 21 + 6 + 21 − 6 d) − híng dÉn a) = − v× < b) = − c) = 2+ d) = e) E = 4−2 ( − 1) −1 = = 2 ( 3− 2) + ( ) 2 −1 + ( ) +1 = 3- 2 + 2-1+ +1=3 f) C¸ch F = 8+2 − 8−2 = ( ) +1 2 ( − ) −1 2 = +1 −1 − = 2 C¸ch : Phơng pháp Bình phơng hai vế Có F > Nªn F2 = + + - - ( 4+ 7) ( 4− 7) = - 16 − = ⇒ F = g) C¸ch G = - - ( + ) = -2 C¸ch :Phơng pháp Bình phơng hai vế Chú ý : G < h) Cịng cã hai c¸ch nh Đáp số H = ( +3 ) + ( −3 ) =6 tập : Chứng minh biểu thức sau có giá trị số nguyên a) A = ( 57 + + 38 + )( 57 − − 38 + ) b) B = + − 13 + 48 6+ c) C = a) A = − − 29 − 12 ( ) ( 57 + − + 38 ) híng dÉn = 93 + 12 − 92 − 28 = ∈ Z 2 2+ b) B = + − (2 + 1) = + − = = 1∈ Z c) C = (2 − 3− 6+ 6+ 6+ −3 ) = − − = Z tập : So sánh A vµ 2B víi A = 10 + 24 + 40 + 60 + + + + 16 2+ 3+ B= híng dÉn Ta cã A = ( 2) + ( ) + ( 5) + + 10 + 15 = B= ( ) 2+ 3+ + ( 2+ 3+ ) = 1+ ( 2+ 3+ ) = 2+ 3+ 2+ 3+ VËy 2B = + 2 = + + Suy A > 2B tập : Rút gọn biẻu thức + a) A = 5− 6+ 1 + + + b) B = 2+ 3+ 2008 + 2009 híng dÉn Sư dơng ph¬ng pháp trục thức a) A = ( ( 5+ 5− )( ) 5+ + ) ( ( 6− 6+ )( ) 6− ) = ( 5+ 5−3 ) + 2( 6− 6−3 )= 5+ b) B = (− + 3) + ( − + ) + + ( − 2008 + 2009 ) = 2009 − bµi tËp : TÝnh a) N = ( 1− 2008 ) 2009 + 2008 b) M = − 10 − − + 10 − c) P = 2+ + 2+ 2− + − 2− híng dÉn ( a) N = − 2008 ) =( 2008 + )( 2008 − ) 2008 + = 2007 b) Phơng pháp Bình phơng hai vế M2 = - = ( − 1) ⇒ M = - v× M < c) Cã ± ( 3= ) ±1 2  2+ 2−  2+ 2−  2+ 3− + 2− 3+  + = 2 ÷  3+ + 3− ÷ =  ÷ P= +1 −1    ÷ 2+ 2− 3+ 3−   2  3+ +3−  = 2 ÷=  ÷   bµi tËp : CMR 1 1 a) + + + + n + n < víi n ≥ 1vµ n ∈ N ( ) ( b) 2− 3− 36 − 35 < + + + 12 +1 3+ 36 + 35 a) Ta cã )( ( ) ( )( ) )( ) híng dÉn   1   1   1 = k − + ÷= k  − ÷= k  ÷ ÷  ( k + 1) k ÷ k +  k k +1   k k +1  ( k + 1) k  k    k  1    − − = 1 + ÷ ÷<  ÷  k + ÷ k k +1  k +1   k   ¸p dơng víi k ∈ { 1; 2;3; ; n} ta cã 1   < 1 − ÷ 2  1   < 2 − ÷ 3  (1) (2) …………………… 1   < 2 − ( n + 1) n  n n + ÷  (n) Céng vÕ víi vÕ n BĐT ta có 1 1  + + + + < 1 − ÷ < 2 ( n + 1) n n +1   b) XÐt biÓu thøc n +1 − n víi n ∈ N* ( n + 1) + n V× (n+1) +n = 2n + = ( 2n + 1) = 4n + 4n + > 4n + 4n = n ( n + 1) ⇒ 1 < ( n + 1) + n n n + ⇔ n + 1− n n + 1− n < ( n + − n > 0) ( n + 1) + n n n + n + 1− n 1 < − (n + + n ) n n +1 ;2; ;36} ta có áp dụng BĐT với n ∈ { 1 1 1 2− 3− 36 − 35 − + − + + − < + + + 2 2 2 35 36 +1 3+ 36 + 35 1 = = − 2.6 12 Lu ý :Ta dùng BĐT cô si (n+1) + n > ( n + 1) n ⇔ Tỉng qu¸t 2− 3− n +1 − n n +1 −1 + + + < +1 3+ ( n + 1) + n n +1 bµi tËp : Rót gän biĨu thøc 45a − 30a + 5a víi a < a) A= 3a − 1− 2m + m b) B = m −1 híng dÉn 3 5a 9a − 6a + = 5a 3a − = ( 1− 3a ) = 3a 1)  m −1 =  m −1 )  −4(m <  bµi tËp : Cho biĨu thøc  a    − A=   a − a − a ÷:  a + + a − 1÷ ÷     a) Rót gän biĨu thøc A b) TÝnh giá trị A biết a = +2 c) Tìm a để A < a) Điều kiện < a ≠ híng dÉn  a − Khi ®ã ta cã A =   a −1 a a −1  a −1 a +1 a −1 : = A= a ( a − 1) ( a − a + 1) )( a ( b) a = +2 = A= 2+ 2 2+1 ( ) 2+1 )   ÷:  + ÷  a +1   ( )( a +1  ÷ a −1 ÷  ) =2 c) Víi < a ≠ th× A < a −1 a < ⇒ a − 1< ⇔ a < KÕt hỵp víi ®iỊu kiƯn ta cã A< < a < bµi tËp 10 : Cho biĨu thøc  x+2 x +4  x − ÷ ÷ x −2  x +3 ÷    P = 1 +  a) Rót gän P b) T×m x để P > hớng dẫn a) Điều kiÖn ≤ x ≠  x +3  x+3 x − x−2 x +4 ÷  ÷= ÷ ÷ x +3  x −2   Khi ®ã P =   x −4 >1⇔ x −2 b) Víi ≤ x ≠ ta cã P > VËy P >1 ≤ x < Lu ý : Tõ x −4 x −2 x −4 −1 > ⇔ x −2 −2 > ⇔ x −2 ⇔ x − > x − ??? x −2 NhiÒu häc sinh kÕt luËn x < sai ??? bµi tËp 11 : Cho biĨu thøc  A = 1 −   a −2  a  ÷:  ÷  + a − + a a ÷ víi ≤ a ≠ a −1   a) Rót gọn A b) Tìm a để gia trị a ®¹t GTLN híng dÉn  a −1− a +   a − a +1− a a) A =  ÷:   ÷  1+ a a − a +1 a −1    ( )(  ÷= ÷  ) ( ( ) a −1 )( a −1 ) a +1 ( 1+ a ) ( a − ) a +1 1− a = -(a- a +1) b) A = -(a- a +1) = - ( a − ) - −3 ≤ 4 −3 1 a = ⇔ a = t/m 4 bµi tËp 12 : Cho biĨu thøc x2 + x 2x + x − +1 y= x − x +1 x Amax = a) Rút gọn y Tìm x để y = b) Cho x > CMR y - y = c) T×m GTNN y híng dẫn a) Đkxđ x > *A = ( ) − x(2 x x x +1 x − x +1 ) +1 = x −1 x   ( x) + 1   ( ) − x −1 +1 = x ( x − x +1  x = −1 ⇒ x− x = 2⇔ x− x −2=0⇔  *y=2 ⇔ x = ⇔ x = t/m  x =2  x ) x +1 − x −1+1 = x − x b) y = x- x = x ( x − 1) víi x > y > y = y ⇔ y − y = −1 c) y = x - x =  x −  − ≥  ÷ 2 4  1 −1 1 ⇔ x = ⇔ x = t/m 4 bµi tËp 13 : Cho biĨu thøc  x x +1 x −1   x  P=   x − − x − ÷:  x − ÷ ÷    ymin = a) Rót gän P b) Tìm P bết x = c)Tìm x để P =3 híng dÉn a) §KX§ < x ≠  Khi ®ã ta cã P =    ( )( )−  x − ÷  x −  x − x + − ( x − 1) x − 2− x  =  x ÷= ÷ x x −1 ÷  x −1 x +1 x −1 x   x −1 Lu ý : NhiỊu häc sinh thùc hiƯn phÐp chia biểu thức toán trở nên phức t¹p x −1 ( x +1 x − x +1 )( ) h¬n b) Víi < x ≠ vµ x = 1 ⇒x= thay vµo P ta cã 4 P= 2− x = x 2− =6 2− x c) P =3 ⇔ = ⇔ 3x+ x  x = −1  x -2 =  ⇒ x = ⇒ x = t /m x=   bµi tËp 14 : Cho biĨu thøc   a −1   − − ÷ P=  ÷:   1+ a a 1+ a   a −1 ÷   a) Rút gọn P b) Tìm a để P nhận giá trị nguyên a) Đkxđ a Khi ®ã ta cã ( híng dÉn ) 1− a − a +1 1 a −a − a −1  : − ÷= : 1+ a a − a +1  a +1  1+ a a − a +1 a +1 P= ( = ( 1+ )( ) ( )( a ( a − 1) 1− a 2a : = a ) ( a − a + 1) ( a + 1) a − a + ) ( ) b) Cã P nhận giá trị nguyên a Nếu a = có P = giá trị nguyên Vậy a = giá trị t/m NÕu < a ≠ ta cã a - a + > 0∀a ⇒ P > Lại có theo BĐT Côsi < P = a + −1 a a −1 a =2 Do ®ã < P < mµ P ∈ Z ⇒ P =1 ⇒ KL : a = hc a = 2a 3± 7± =1 ⇔ a − a + = ⇔ a = ⇔a= a − a +1 2 7± bµi tËp 15 : Cho biÓu thøc a b    ab  + P = ÷ ÷:  ab − b   a − b   ab + a a) Rót gọn P b) Tìm a, b nguyên để P = ab > a) Đkxđ a b híng dÉn a Khi ®ã ta cã P = = ( ) ( ab + a ) a − b = a ab − ab + b ( ab + a ) ( ab − b ) ab ab − b ab + a ab − b + b ab + ab a − b ab − ab ab ab ( a + b ) a − b a + b = ab ab ( a − b ) ab  ab > a+b ⇔ = ⇔ ( a + b ) = ab b) Gi¶ sư cã a, b nguyên P = ab a ≠ b ⇔ a ( b − ) − ( b − ) = ⇔ ( a − ) ( b − ) = (*)  ab > ⇒ a2 b2 Do có a, b nguyên a ≠ b a − = a − =  a − = −1  a − = −4 hc  hc  hc  b − = b − = b − = −4 b − = −1 a = a = a = a = (loại ) (loại) b = b = b = −2 b = a = a = KL :  hc  b = b = Nªn tõ (*) ⇒   ab > Lu ý : Víi §K  ta chØ dùng P2 quy đồng Nêú đặt nhân tư chung råi chia tư a≠b  cho mÉu lµ sai bµi tËp 16 : Cho biĨu thøc  x −1 x   x +1  − + ÷:  ÷ x −1 x + 9x −1 ÷  x + ÷     Cho biÓu thøc A =   a) Rót gän biĨu thøc A b) Tìm x để A < hớng dẫn a) §kx® ≤ x ≠ Khi ®ã ta cã P = = ( )( (3 ) ( x + 1) ( 3x + x − x − − x + + x : ) x −1 : x +1 x +1 x +1 3x + x x +1 = x +1 x +1 x −1 x +1 ( x + 1) ( x −1) x ( x + 1) x +1 x = = ( x + 1) ( x − 1) x + x − b) Víi ≤ x ≠ ) x −1 x +1 − x −1 + x ( )( ) x x a) §kx® a ≠ a ≠   b) Khi ®ã ta cã A =    = ( ( )( a( ) −( a −1 a + a +1 ) a −1 ) : a + = a − )( ( ) a +1 a − a +1  a + ÷: ÷ a−2 a a +1  ) a − a +1− a + a +1 a a−2 a+2 a > a−2  c) Víi a ≠ Ta cã A = =2a+2 a+2 a ≠  a + = a = ⇔ ( §Ĩ A ∈ Z ⇒ 8M a + ) mµ a + 2Z a > nên a + > ⇒  a + = a = Đối chiếu với điều kiện ta lấy a =   1   + − bµi tËp 22 : Cho biĨu thøc : A=  ÷:  ÷+  1- x + x   − x + x  − x a) Rót gän biĨu thức A b) Tính giá trị A x = + c) Với giá trị x A đạt giá trị nhỏ 12 hớng dẫn a) Đkxđ < x   1+ x − 1− x   + x + − x ÷:  ÷+ Khi ®ã ta cã A =  1− x 1+ x ÷  1− x 1+ x ÷ 1− x     ( = (1− x ) (1+ x ) (1− )( ) ( x ) (1+ x ) + b)Ta cã x = + = + = 1− x x ( ( )( ) ( nªn A = ) ) 1 + = x 1− x x − x ) = ( x − x ) 1 = x − x 2+ 3− 7+4 ( ) −1 5−3 = 5+3 c) Víi < x ≠ Ta thÊy A < x > Nếu A có GTNN GTNN A phải nhỏ x < Đặt x = α + 1(α > 0) Ta cã A= nhỏ A nhỏ , A nhỏ đợc Vậy A không + có giá trị nhỏ a+b Lu ý : + Mét sè HS sử dụng BĐT ữ ab a; b Ta cã    x +1− x  ≥ ⇔ x = t/m lµ sai ?? ⇒A x − x ≤  ÷ = x 1− x   −1 Lu ý r»ng x = th× A = n bµi tËp 23 : Cho biĨu thøc:  x +2 x −  x +1 Q= − (víi < x ) ữì x x + x +1 x  = ( ) ( a) Chøng minh Q = ) x −1 b) Tìm số nguyên x lớn để Q có giá trị số nguyên hớng dẫn a) với < x ≠ ta cã x + ( x − 1) − x − x + x + x +1 Q= x ( x − 1) x + x + ( ) ( ( )( ) ) 13 = = ( x x + 2x − x − − x x + 2x + x − 2x − x − ( x − 1) ( x + 2x + x ( x − 1) ( ) x +1 ) x +1 ( )( ) x +1 x ) x +1 x x +1 x +1 = = x −1 x ( x − 1) x + ( ) b) víi < x ≠ ta cã ∈ Z ⇔ 2M x − 1) cã (x-1) ∈ Z ⇒ x − 1∈ { ±1; ±2} ⇔ x ∈ { 1;0;2;3} Q Z ( x Đối chiếu với điều kiện ta có giá trị x nguyên lớn để Q nhận giá trị nguyên x = 14 ... a = -( a- a +1) b) A = -( a- a +1) = - ( a − ) - −3 ≤ 4 −3 1 a = ⇔ a = t/m 4 bµi tËp 12 : Cho biÓu thøc x2 + x 2x + x − +1 y= x − x +1 x Amax = a) Rót gọn y Tìm x để y = b) Cho x > CMR y - y =... víi y - y + ta cã x + x + = − y + y + (2) Céng vÕ víi vÕ (1) vµ (2) ta cã x + y = hay A = b) Tõ x + y = ⇒ x = -y ⇒ x20 09 = - y20 09 ⇒ x20 09 + y20 09 = hay B = )( ( ) ( )( ) 2 2 c) Ta cã x = - y nªn... = 3- 2 + 2-1 + +1=3 f) C¸ch F = 8+2 − 8−2 = ( ) +1 2 ( − ) −1 2 = +1 −1 − = 2 Cách : Phơng pháp Bình phơng hai vÕ” Cã F > Nªn F2 = + + - - ( 4+ 7) ( 4− 7) = - 16 − = ⇒ F = g) C¸ch G = - - (