CĐ rút gọn biểu thức - Toán 9

các dạng bài tập rút gọn biểu thức... Lại có theo BĐT Côsi.. Nêú đặt nhân tử chung rồi chia tử cho mẫu là sai... c Với những giá trị nguyên nào của a thì A có giá trị nguyên... Vậy A khô

các dạng bài tập rút gọn biểu thức

I Lý thuyết

A N hững hằng đẳng thức

1) (a+b)2 = a2 + 2ab +b2

2)(a-b)2 = a2 - 2ab + b2

3)a2 - b2 = (a-b)(a+b)

4)a2 + b2 = (a+b)2- 2ab = (a-b)2 + 2ab

5)(a+b)3 = a3 +3a2b + 3ab2 + b3 = a3 + b3 + 3ab(a+b)

6)(a-b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = a3 - b3 - 3ab(a-b)

7)a3 + b3 = (a+b)(a2 - ab + b2) = (a+b)3 - 3ab(a+b)

8)a3 - b3 = (a-b)(a2 + ab + b2) = (a-b)3 + 3ab(a-b)

9)(a+b+c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca

10) (a+b+c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a+b)(b+c)(c+a)

B Các công thức biến đổi căn thức

1) A2 A

2) AB  A B. (với A 0và B  0)

B  B ( với A0và B 0)

4) a b2 a b ( với B  0)

a b a b ( với A 0và B  0)

 2

a b a b (với A 0và B  0)

6) A  1 A B

B b (với A.B  0 và B  0 )

7) A A B

B

B ( với B > 0 )







 2

C

(với A  0 và A B2 )









C

(với A  0 , B  0 và A B )

II bài tập áp dụng

bài tập 1 Tính

a, A = 1 6 52 1 120 15

2   4  2

b, B = 3 2 3 2 2 3 3 2 2

3 2 1



   



c) 4  15  5  3 4  15

hớng dẫn

a, A = 1 6 52 1 120 15

2   4  2 = 111 2 30 1 4.30 30

2   4  4 =

11 30 30 11 30

2   2  2 2

b, B = 3 2 3 2 2 3 3 2 2

3 2 1



   

 = 3 2 2 2    2 1   3  3 2 2  = 3 c) 4  15  5  3 4  15  5  3 4  15 2 4  15 =  5  3 4  15

=  5  3 2 4  15 = 8 2 15 4     15 = 2

bµi tËp 2 TÝnh

a) (1  2) 2 e) E = 17 12 2   3 2 2   3 2 2 

b) 3 2 2  f) F = 4  7  4  7

c) 7 4 3  g) G = 4 2 3   4 2 3 

d) 2  3 h) H = 21 6 6   21 6 6 

híng dÉn

a) = 2 1  v× 1 < 2

b) = 2 1 

c) = 2+ 3

d) = 4 2 3 ( 3 1)2 3 1

e) E = 3 2 2  2   2 1  2   2 1  2 = 3- 2 2+ 2- 1 + 2 + 1 = 3

f) C¸ch 1

F = 8 2 7 8 2 7  7 12  7 12

2 2

 

 = 2

C¸ch 2 : Ph¬ng ph¸p “ B×nh ph¬ng hai vÕ”

Cã F > 0 Nªn F2 = 4 + 7 + 4 - 7 - 2 4  7 4   7 = 8 - 2 16 7  = 2  F = 2

g) C¸ch 1

G = 3- 1 - ( 3 + 1 ) = -2

C¸ch 2 :Ph¬ng ph¸p “ B×nh ph¬ng hai vÕ”

Chó ý : G < 0

h) Còng cã hai c¸ch nh trªn

§¸p sè H =  3 3 2  2   3 3 2  2 = 6 2

bµi tËp 3 : Chøng minh r»ng c¸c biÓu thøc sau cã gi¸ trÞ lµ sè nguyªn

a) A =  57 3 6   38 6    57 3 6   38 6  

b) B = 2 3 5 13 48

6 2

  



c) C = 5  3  29 12 5 

híng dÉn

a) A =  57 6   2 3 6  382  93 12 7 92 6 28 1     Z

b) B = 2 3 5 (2 3 1)2

6 2

  



= 2 3 4 2 3

6 2

 



= 2 2 3

1

6 2



 

c) C = 5  3  2 5 3  2  5  6 2 5 1   Z

bµi tËp 4 : So s¸nh A vµ 2B víi

A = 10  24  40  60

2 3 4

   

 

híng dÉn

Ta cã A = ( 2) 2  3 2 ( 5) 2  2 6 2 10 2 15     2  3  52  2  3  5

B =  2 3 4 2 2 3 4

1 2

2 3 4

    

 

 

VËy 2B = 2 + 2 2  2  2  4 Suy ra A > 2B

bµi tËp 5 : Rót gän biÎu thøc

5  3 6  3

2  3 3  4   2008  2009

híng dÉn

Sö dông ph¬ng ph¸p trôc c¨n thøc

2 5 3 3 6 3 2 5 3 2 6 3

5 6

5 3 6 3

5 3 5 3 6 3 6 3

b) B = (  2  3)   3  4   2008  2009  2009  2

bµi tËp 6 : TÝnh

a) N = 1  20082 2009 2 2008 

b) M = 4  10 2 5   4  10 2 5 

2 2 3 2 2 3



híng dÉn

a) N = 1  2008  2008 1   2  2008 1    2008 1   2007

b) Ph¬ng ph¸p “ B×nh ph¬ng hai vÕ”

M2 = 6 - 2 5  5 1  2  M = 1 - 5 v× M < 0

c) Cã 2   3 12

3

2





P =

2 3 2 3 2 3 2 3

2

3 1 3 1 3 3 3 3

2 3 3 3 2 3 3 3 2

3 3 3 3

      

= 3 3 3 3

6

    



bµi tËp 7 : CMR

a)

 

2 3 2 4 3    n 1 n < 2 víi n  1vµ n  N

2 1 3 2 36 35

12

híng dÉn

a) Ta cã

           

k

       

¸p dông víi k 1;2;3; ; n ta cã

2 1

 

   

  (1)

2

3 2 2 3

   

  (2)

………

 

2

   

    (n)

Céng vÕ víi vÕ n B§T trªn ta cã

 

2 3 2 4 3    n 1 n < 1

2 1

1

n





  < 2

b) XÐt biÓu thøc

 

1

1

 

  víi n  N*

V× (n+1) +n = 2n + 1 = 2n 12  4n2  4n  1 4n2  4n  2 n n  1

 

1 2 . 1

   

 

( 1) 2 2 1

¸p dông B§T víi n 1;2; ;36 ta cã

2 1 3 2 36 35

2 1 3 2 36 35

2 1 2 2 2 2 2 3 2 35 2 36

= 1  1  5

2 2.6 12

L

u ý :Ta có thể dùng BĐT cô si (n+1) + n > 2 n 1n

Tổng quát 2 1 3 2 1 1 1

2 1 3 2 ( 1) 2 1

bài tập 8 : Rút gọn biểu thức



3 45 30 5

3 1a a a a với a <

1 3



2 4

1 2

1 m m

m

hớng dẫn

5 9 6 1 5 3 1 5 1 3 3 5

3 1a a a a 3 1a a a 3 1a a vì 3a <1 nên 3a - 1 < 0

b) Điều kiện m 1

 

  

4 1

4 1

1 4( 1)

m m

bài tập 9 : Cho biểu thức

A =       



:

1

a

a

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tính giá trị A biết a = 4 +2 3

c) Tìm a để A < 0

hớng dẫn

a) Điều kiện 0  a 1

Khi đó ta có A =

        

a

( 1) ( 1)( 1)

b) a = 4 +2 3 =   

2

2 1

A =  



2 2 2 2

2 1

c) Với 0  a 1 thì A < 0 khi a1  0 a 1 0  a1

a

Kết hợp với điều kiện ta có A< 0 khi 0 < a < 1

bài tập 10 : Cho biểu thức

x

   

     

a) Rút gọn P

b) Tìm x để P > 1

hớng dẫn

a) Điều kiện 0  x 4

.

         



      

b) Với 0  x 4 ta có P > 1 khi 4 4 2

     

    x 2 0   x 4

Vậy P >1 khi 0x< 4

L

u ý : Từ 4

2

x

x



    

Nhiều học sinh kết luận x < 4 sai ???

bài tập 11 : Cho biểu thức

với 0  a 1 a) Rút gọn A

b) Tìm a để gia trị của a đạt GTLN

hớng dẫn

a) A =

2

       

= -(a- a+1)

b) A = -(a- a+1) = - 1 2

( ) 2

4 4





Amax = 3

4



a  a t/m

bài tập 12 : Cho biểu thức

y =

1 1

 

a) Rút gọn y Tìm x để y = 2

b) Cho x > 1 CMR y - y = 0

c) Tìm GTNN y

hớng dẫn

a) Đkxđ x > 0

3 1

x

  

= x x 1 2 x    1 1 x x

2

x

x

 

        





 x   2 x 4 t/m

b) y = x- x  x x 1

với x > 1 thì y > 0 do đó y  y y y  0

c) y = x -

2

1 1 1

2 4 4

x  x   

 

4 x 2 x 4



    t/m

bài tập 13 : Cho biểu thức

:

     



    

 

a) Rút gọn P

b) Tìm P bết x = 1

4

c)Tìm x để P =3

hớng dẫn

a) ĐKXĐ 0 x 1

Khi đó ta có P =    

 

1 1

          

 

= 2 x x



L

u ý : Nhiều học sinh thực hiện phép chia ở biểu thức 1

1

x x



 do đó bài toán trở nên phức tạp hơn

b) Với 0 x 1 và x = 1

4

1 4

x

  thay vào P ta có

P = 2 x

x

 =

1 2

2 6 1 4





c) P =3  2 x

x

 = 3  3x+ x-2 = 0

1

3

x

x

 

    

 



t /m

bài tập 14 : Cho biểu thức

:

1 2

a a

  

      

a) Rút gọn P

b) Tìm a để P nhận giá trị nguyên

hớng dẫn

a) Đkxđ 0 a 1

Khi đó ta có

2 1

a

 



:

1



 

b) Có P nhận giá trị nguyên thì 0 a 1

Nếu a = 0 có P = 0 là giá trị nguyên Vậy a = 0 là giá trị t/m

Nếu 0 a 1 ta có a - a    1 0 a P > 0 Lại có theo BĐT Côsi

P =

2

1 2 1

Do đó 0 < P < 2 mà P Z  P =1  2

1

a

3 1 0

       

KL : a = 0 hoặc a = 7 5

2

 bài tập 15 : Cho biểu thức

a b

a) Rút gọn P

b) Tìm a, b nguyên để P = 1

2.

hớng dẫn

a) Đkxđ ab 0

a b











ab ab b ab a ab ab ab



 .

ab a b a b a b

ab a b





b) Giả sử có a, b nguyên và ab 0

a b











khi đó P = 1

2 1 2 

2

a b

ab



    

 2 2 2 4  2  2 4

         (*)

Do có a, b nguyên và ab 0

a b











2 2

   

Nên từ (*) 2 1

2 4

a b

 



 

 



hoặc 2 4

2 1

a b

 





 



hoặc 2 1

2 4

a b

 





 



hoặc 2 4

2 1

a b

 





 

 3

6

a

b





 





hoặc 6

3

a b











hoặc 1

2

a b











(loại ) hoặc 2

1

a b











(loại)

KL : 3

6

a

b











hoặc 6

3

a b











L

u ý : Với ĐK ab 0

a b











ta chỉ có thể dùng P2 quy đồng Nêú đặt nhân tử chung rồi chia tử

cho mẫu là sai

bài tập 16 : Cho biểu thức

:

x

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tìm x để A < 1

hớng dẫn

a) Đkxđ 1

0

9

x

 

Khi đó ta có P =      

1 3 1 3 1 8 1

:

3 1

3 1 3 1

x



=



.

1 3 1

3 1 3 1



b) Với 1

0

9

x

x

3 1

     

Kết hợp với điều kiện ta có P < 1 1

0

9

x

   bài tập 17 : Cho biểu thức

A =

2

3

a



 

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tìm GTLN củu A

hớng dẫn

a) Đkxđ 0  a 1

Ta có A =

   

   

2

a

        



   

 

   

2

1

a a

 

     

b) Với 0  a 1 Ta có a2 + a + 1 =

2

1 3 3

0

2 4 4

a

 

   

 

 

Và A= 2 2

1 a a  nên Amax  (a2 +a+1)min Ta có (a2 +a+1)min = 3

4

0

     kt/m

Kl : không có giá trị của a để Amax

bài tập 18 : Cho biểu thức

: 1

1

x

        

Với 0  x 1 a) Rút gọn P

b) Tìm x để P < 0

hớng dẫn

a) Với 0  x 1 Ta có

P =

:

1

x

 

      

=

:

1

x

 

( 1)( 1) 1 2 1



b) Với 0  x 1 Ta có P < 0 khi 1

1

x  < 0  x  1 0 x1

Kết hợp với điều kiện ta có P < 0 khi 0  x < 1

bài tập 19 : Cho biểu thức

        

Với 0  x 1 a) Rút gọn P

b) Tìm x nguyên để M = P - x nhận giá trị nguyên

hớng dẫn

a) Với 0  x 1

P =

   

 

      

=

   

=

   

1 2 1

   



   

2 1 1

x



 



  



= 2

1

x

x





b) Với 0  x 1 Có M = P - x = 2

1

x x



 - x = 2 3

1

x



 

      

 Z  Z

Ta có p

x

q

 với p ; qN và q0 , (p;q) = 1

Khi đó x =

2 2

p

q Z nên p q2 2 p q  p q;   q q 1  x  p N

Từ đó M Z  x  1 Z hay x 1 là ớc của 3 1 1

1 3

x x

  

 

 



0; 4;16

x

  t/m

L

u ý : + ƯCLB(a;b) = (a;b)

+ ab thì ƯCLN(a;b) = b

+ Để M Z thì 3

x

    

 Z Z là sai Chẳng hạn x 1=0,5

 M = 7 Z

bài tập 20 : Cho x ; y thoả mãn x x2  1 y y2  1  1 Tính giá trị của biểu thức

a) A = x + y

b) B = x2009 + y2009

c) C = x y2  1y x2  1

hớng dẫn

a)Nhân hai vế của x x2  1 y y2  1  1với x - x 2 1

 x x2  1x x2  1 y y2  1  1. x x2  1

 x2 x21y y21  x x21

    1.y y2  1  x x2  1

      (1)

Tơng tự nhân hai vế với y - y 2 1 ta có

x x2   1 y y2  1 (2)

Cộng vế với vế (1) và (2) ta có x + y = 0 hay A = 0

b) Từ x + y = 0  x = -y  x2009 = - y2009  x2009 + y2009 = 0 hay B = 0

c) Ta có x = - y nên C = x y2  1y x2  1 = x x2  1 y y2  1  1

bài tập 21 : Cho biểu thức : A = 1 1 2

: 2

a

    



    

a) Với những giá trị nào của a thì A xác định

b) Rút gọn biểu thức A

c) Với những giá trị nguyên nào của a thì A có giá trị nguyên

hớng dẫn

a) Đkxđ

0 1 2

a

a

a











 



b) Khi đó ta có A =   

: 2

a



: 2

a a



2

2

a a





c) Với

0 1 2

a

a

a











 



Ta có A = 2

2

2

a a



 = 2 -

8 2

a 

Để A Z 8a2 mà a + 2Z và a > 0 nên a + 2 > 2 2 4 2

Đối chiếu với điều kiện ta lấy a = 6

bài tập 22 : Cho biểu thức : 1 1 1 1 1

1- x 1 x 1 x 1 x 1 x

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tính giá trị của A khi x = 7 4 3 

c) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị nhỏ nhất

hớng dẫn

a) Đkxđ 0 < x 1

Khi đó ta có A =

:

1

x

=

1  1 

=

1 1

b)Ta có x = 7 4 3  = 2 32 nên A =

2

5 3 3





c) Với 0 < x 1 Ta thấy A < 0 khi x > 1 Nếu A có GTNN thì GTNN của A phải nhỏ hơn 0 khi đó x < 1 Đặt x  1( 0) Ta có

A = 2 1



 nếu  càng nhỏ thì A càng nhỏ , A nhỏ hơn bao nhiêu cũng đợc Vậy A không

có giá trị nhỏ nhất

L

u ý : + Một số HS sử dụng BĐT

2 2

a b

ab





;

a b

 Ta có

2

1

x  x     

 A

1

4 1

1 4

x

  t/m là sai ??

Lu ý rằng x = 9 thì A = 1

6

 < 4

+ Biểu thức P = m

n đạt GTNN (GTLN) khi m là số dơng(âm) còn n > 0

bài tập 23 : Cho biểu thức:

1

Q

x



(với 0 < x 1 )

a) Chứng minh

1

2





x Q

b) Tìm số nguyên x lớn nhất để Q có giá trị là số nguyên

hớng dẫn

a) với 0 < x 1 ta có

x

x

=

1

x x



b) với 0 < x 1 ta có

x

Z Z có (x-1) Z x    1  1; 2 x  1;0;2;3

Đối chiếu với điều kiện ta có giá trị x nguyên lớn nhất để Q nhận giá trị nguyên là x = 3