Gradient suy rộng của hàm Lipschitz và hàm không nhất thiết lipschitz

1 Mở đầu 1. Tính cấp thiết của đề tài Tiếp theo lý thuyết giải tích hàm và giải tích lồi là giải tích Lipschitz. Giải tích Lipschitz đã được hoàn chỉnh khoảng mười lăm năm gần đây, sau những công trình nổi tiếng của F.H. Clarke, R.T. Rockafellar, J.B. Hiriart- Urruty, I. Ekeland, G. Lebourg, Ta biết rằng trong không gian hữu hạn chiều, một hàm Lipschitz là khả vi hầu khắp nơi, cho nên lớp hàm Lipschitz rất gần với các lớp hàm khả vi thông thường. Tương ứng với các phép tính của đạo hàm thông thường, ta có các phép tính cho Gradient suy rộng của hàm vô hướng, jacobian suy rộng của hàm vectơ, nguyên lí biến phân Ekeland và điều kiện cần cho bài toán quy hoạch toán học với các hàm Lipschitz địa phương. Gradient suy rộng là một khái niệm cơ bản của giải tích Lipschitz và có rất nhiều ứng dụng quan trọng trong toán học như: chứng minh điều kiện đủ cấp 2 cho cực trị địa phương người ta thường dùng Gradient suy rộng và jacobian suy rộng Ckarke thay thế vai trò của Gradient và Hesian, Gradient suy rộng và ứng dụng vào bài toán tối ưu không trơn, các nghiên cứu về định lí hàm ẩn và hàm ngược F.H.Clarke đã chứng minh định lí hàm ẩn và hàm ngược địa phương của ánh xạ Lipschitz Như vậy ta thấy rằng Gradient có ứng dụng rất rộng rãi và đặc biệt nó cũng được vận dụng để chứng minh định lí hàm ngược, hàm ẩn.Việc khai thác và làm rõ Gradient suy rộng của hàm Lipschitz và ứng dụng của nó cho ta thấy được vai trò của Gradient suy rộng trong giải tích hiện đại. Là sinh viên ngành Sư phạm Toán, trên cơ sở đã được trang bị lí thuyết giải tích hàm, giải tích lồi và với mong muốn được học hỏi, trau dồi vốn kiến thức về toán học cũng như cung cấp một tài liệu về giải tích Lipschitz nói chung và về Gradient suy rộng nói riêng. Chính vì vậy em mạnh dạn nghiên 2 cứu đề tài: “Gradient suy rộng của hàm Lipschitz và hàm không nhất thiết lipschitz” làm khóa luận tốt nghiệp của mình. 2. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn Ý nghĩa khoa học: Hệ thống tất cả các vấn đề liên quan đến Gradient suy rộng của hàm Lipschitz và hàm không nhất thiết Lipschitz và ứng dụng quan trọng trong việc chứng minh định lí hàm ẩn và hàm ngược. Ý nghĩa thực tiễn: Cung cấp thêm tài liệu cho các bạn sinh viên nghành sư phạm toán trong nghiên cứu giải tích Lipschitz nói chung và về Gradient suy rộng nói riêng. 3. Mục tiêu khóa luận Khóa luận nghiên cứu các vấn đề cơ bản của hàm Lipschitz, Gradient suy rộng của hàm Lipschitz, hàm không nhất thiết Lipschitz. Thông qua khóa luận cho ta áp dụng chứng minh các định lí hàm ngược, hàm ẩn. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu • Tìm hiểu khái quát về hàm Lipschitz địa phương, Gradient suy rộng, một số trường hợp đặc biệt của Gradient suy rộng, Gradien suy rộng của hàm Lipschitz trong R n • Nghiên cứu Gradient suy rộng, các phép tính của Gradient suy rộng của các hàm không nhất thiết Lipschitz. • Nghiên cứu ứng dụng của Gradient suy rộng vào chứng minh các định lí hàm ngược, hàm ẩn. 5. Phương pháp nghiên cứu • Phương pháp nghiên cứu lí luận: Đọc và nghiên cứu tài liệu, giáo trình có liên quan đến Gradient suy rộng của hàm Lipschitz, hệ thống hóa các kiến thức một cách đầy đủ và khoa học. • Phương pháp phân tích, tổng hợp và đánh giá 6. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu • Đối tượng: Hàm Lipschitz. • Phạm vi: Gradient suy rộng của hàm Lipschitz. 3 Chương 1. Gradient suy rộng của hàm Lipschitz 1.1. Hàm Lipschitz địa phương 1.1.1. Hàm có biến phân giới nội và hàm tuyệt đối liên tục Giả sử : , a b R R ϕ     ⊂ → , trong đó R là không gian các số thực. Định nghĩa 1.1. Biến phân của hàm ϕ trên , a b     là cận trên đúng của các số ( ) ( ) 1 1 0 n i i i x x ϕ ϕ − + = − ∑ , lấy theo tất cả các cách chia [ ] , a b bở i các đ i ể m: 0 1 , n a x x x b = < < < = trong đ ó n là s ố t ự nhiên tùy ý. Ký hi ệ u bi ế n phân c ủ a ϕ trên , a b     là ( ) b a V ϕ . Định nghĩa 1.2. Hàm ϕ đượ c g ọ i là có bi ế n phân gi ớ i n ộ i, n ế u ( ) b a V ϕ < +∞ . Nhận xét 1.1 a) ϕ đơ n đ i ệ u không gi ả m ϕ ⇒ có bi ế n phân gi ớ i n ộ i. Th ậ t v ậ y, khi đ ó: ( ) ( ) ( ) b a V b a ϕ ϕ ϕ = − . b) T ổ ng hay hi ệ u c ủ a các hàm ϕ , ψ có bi ế n phân gi ớ i n ộ i c ũ ng có bi ế n phân gi ớ i n ộ i, b ở i vì ( ) ( ) ( ) b b b a a a V V V ϕ ψ ϕ ψ ± ≤ + . c) T ừ a) và b) ta có hi ệ u hai hàm đơ n đ i ệ u không gi ả m có bi ế n phân gi ớ i n ộ i. Mệnh đề 1.1. Hàm ϕ có bi ế n phân gi ớ i n ộ i khi và ch ỉ khi ϕ là hi ệ u c ủ a 2 hàm đơ n đ i ệ u không gi ả m. Chứng minh ) ⇒ Gi ả s ử hàm ϕ có bi ế n phân gi ớ i n ộ i. Ký hi ệ u: ( ) ( ) : x a V x V ϕ = . Đặ t ( ) ( ) ( ) 1 1 : 2 x V x x ϕ ϕ     = + ( ) ( ) ( ) 2 1 : 2 x V x x ϕ ϕ     = − . 4 N ế u ' '' a x x b ≤ < ≤ , thì v ớ i m ỗ i cách chia đ o ạ n , ' a x     b ở i các đ i ể m 0 1 ' p a x x x x = < < < = , ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 '' ' '' p i i i x x x x V x ϕ ϕ ϕ ϕ − + = − + − ≤ ∑ . ( ) ( ) ( ) ( ) '' ' '' ' V x V x x x ϕ ϕ ⇒ − ≥ − ⇒ 1 2 , ϕ ϕ đơ n đ i ệ u không gi ả m. Đươ ng nhiên là ( ) ( ) ( ) 1 2 x x x ϕ ϕ ϕ = − . ⇐ ) Ng ượ c l ạ i, gi ả s ử 1 2 ϕ ϕ ϕ = − , trong đ ó 1 2 , ϕ ϕ đơ n đ i ệ u không gi ả m. Khi đ ó, theo Nh ậ n xét 1.1.c ta có ϕ có bi ế n phân gi ớ i n ộ i. Mệnh đề 1.2. N ế u ϕ có bi ế n phân gi ớ i n ộ i, thì ϕ có đạ o hàm h ầ u kh ắ p n ơ i. Chứng minh Theo m ệ nh đề 1.1: 1 2 ϕ ϕ ϕ = − trong đ ó 1 2 , ϕ ϕ đơ n đ i ệ u không gi ả m. Ta đ ã bi ế t trong Lý thuy ế t độ đ o và tích phân r ằ ng: M ộ t hàm s ố đơ n đ i ệ u không gi ả m thì có đạ o hàm h ầ u kh ắ p n ơ i. Do đ ó ϕ có đạ o hàm h ầ u kh ắ p n ơ i. Định nghĩa 1.3. Hàm : , a b R ϕ     → đượ c g ọ i là tuy ệ t đố i liên t ụ c trên đ o ạ n , a b     , n ế u 0, 0 ε δ ∀ > ∃ > sao cho v ớ i m ọ i h ệ kho ả ng ( ) ( ) 1 1 , , , , k k a b a b r ờ i nhau (trong , a b     ): ( ) ( ) ( ) 1 1 k k i i i i i i b a b a δ ϕ ϕ ε = = − < ⇒ − < ∑ ∑ . Nhận xét 1.2. Hàm ϕ tuy ệ t đố i liên t ụ c ⇒ ϕ liên t ụ c (trong đị nh ngh ĩ a 1.3 ta l ấ y k=1). Mệnh đề 1.3. N ế u hàm ϕ tuy ệ t đố i liên t ụ c thì ϕ có đạ o hàm h ầ u kh ắ p n ơ i. Chứng minh ϕ tuy ệ t đố i liên t ụ c ⇒ bi ế n phân c ủ a ϕ trong kho ả ng có độ dài δ s ẽ không v ượ t quá ε ( ) b a b a V ε ϕ δ − ⇒ ≤ ⇒ có đạ o hàm h ầ u kh ắ p n ơ i. 5 1.1.2. Hàm Lipschitz Gi ả s ử X là không gian Banach, : f X R → Định nghĩa 1.4 a) Hàm f đượ c g ọ i là Lipschitz đị a ph ươ ng t ạ i x X ∈ , hay Lipschitz ở g ầ n x , n ế u t ồ n t ạ i lân c ậ n U c ủ a x , s ố 0 K > sao cho: ( ) , ' x x U ∀ ∈ ( ) ( ) ' ' f x f x K x x − ≤ − (1.1) Hàm f đượ c g ọ i là Lipschitz đị a ph ươ ng trên t ậ p Y X ⊂ , n ế u f Lipschitz đị a ph ươ ng t ạ i m ọ i x Y ∈ . b) Hàm f đượ c g ọ i là Lipschitz v ớ i h ằ ng s ố Lipschitz K trên t ậ p Y X ⊂ , n ế u (1.1) đ úng v ớ i m ọ i , ' x x Y ∈ . Định lí 1.1. Gi ả s ử f là hàm Lipschitz trên t ậ p l ồ i U X ⊂ . Khi đ ó, v ớ i m ọ i , ' x x U ∈ , hàm s ố ( ) ( ) ( ) : ' t f x t x x ϕ = + − ( ) 0 1 t ≤ ≤ có đạ o hàm h ầ u kh ắ p n ơ i. Chứng minh B ở i vì f là hàm Lipschitz trên t ậ p l ồ i U X ⊂ , cho nên có t ồ n t ạ i s ố 0 K > sao cho: ( ∀ , ' x x U ∈ ) ( ) ( ) ' ' f x f x K x x − ≤ − . (1.2) Ta có hàm ( ) ( ) ( ) ' t f x t x x ϕ = + − ( ) 0 1 t ≤ ≤ là tuy ệ t đố i liên t ụ c. Th ậ t v ậ y, ta l ấ y các kho ả ng r ờ i nhau ( ) ( ) 1 1 , , , , k k a b a b trong [ ] 0,1 . Khi đ ó, t ừ (1.2) ta có : ( ) ( ) ( ) 1 1 ' k k i i i i i i K b a b a x x ϕ ϕ = = ≤ − − − ∑ ∑ V ớ i 0 ε > cho tr ướ c, ta ch ọ n ' K x x ε δ = − . 6 Khi đ ó ( ) 1 k i i i b a ε = < − ∑ ⇒ ( ) ( ) 1 k i i i b a ϕ ϕ ε = − < ∑ . Do đ ó, ( ) t ϕ tuy ệ t đố i liên t ụ c. ⇒ ϕ có đạ o hàm h ầ u kh ắ p n ơ i (m ệ nh đề 1.3). Hệ quả 1.1.1. Gi ả s ử f là hàm Lipschitz trên t ậ p l ồ i U X ⊂ . Khi đ ó, v ớ i m ọ i , ' x x U ∈ : ( ) ( ) ( ) 1 0 ' ' f x f x t dt ϕ − = ∫ (1.3) trong đ ó ( ) ( ) ( ) : ' t f x t x x ϕ = + − ( ) 0 1 t ≤ ≤ . Chứng minh Theo đị nh lí 1.1, ( ) t ϕ tuy ệ t trên liên t ụ c trên [ ] 0,1 . Ta đ ã bi ế t trong Lý thuy ế t độ đ o và tích phân: N ế u hàm ϕ tuy ệ t trên liên t ụ c thì đạ o hàm ' ϕ kh ả tích và ( ) ( ) ( ) 1 0 0 ' t s ds ϕ ϕ ϕ = + ∫ . L ấ y 1 t = ta nh ậ n đượ c (1.3). 1.1.3. Các ánh xạ khả vi là Lipschitz địa phương 1.1.3.1. Các đạo hàm cổ điển Gi ả s ử F là ánh x ạ X Y → , trong đ ó X và Y là các không gian Banach. Kí hi ệ u ( ) , L X Y là không gian các toán t ử tuy ế n tính liên t ụ c t ừ X vào Y . Định nghĩa 1.5. Đạ o hàm c ủ a F theo ph ươ ng v t ạ i x đượ c xác đị nh b ở i: ( ) ( ) ( ) 0 ' ; : lim t F x tv F x F x v t ↓ + − = , n ế u gi ớ i h ạ n này t ồ n t ạ i. Định nghĩa 1.6. Ánh x ạ F đượ c g ọ i là kh ả vi Gâteaux t ạ i x , n ế u t ồ n t ạ i A ∈ ( ) , L X Y sao cho v ớ i m ỗ i v X ∈ , ( ) ( ) ( ) 0 F x tv F x t v t + = + Λ + . (1.4) 7 Khi đ ó, ta g ọ i Λ là đạ o hàm Gâteaux c ủ a F t ạ i x . Nhận xét 1.3 N ế u ánh x ạ F kh ả vi Gâteaux t ạ i x , thì: ( ) ( ) 0 F x tv F x v t + − − Λ → (1.5) S ự h ộ i t ụ này là đồ ng đề u theo v trên các t ậ p h ữ u h ạ n. Định nghĩa 1.7. Ánh x ạ F đượ c g ọ i là kh ả vi Hadamard t ạ i x , n ế u t ồ n t ạ i Λ ∈ ( ) , L X Y sao cho v ớ i m ỗ i v X ∈ (1.4) đ úng và (1.5) h ộ i t ụ đồ ng đề u theo v trên các t ậ p compact. Định nghĩa 1.8. Ánh x ạ F đượ c g ọ i là kh ả vi Fréchet t ạ i x , n ế u t ồ n t ạ i Λ ∈ ( ) , L X Y sao cho ( ) ( ) ( ) F x v F x v r v + = + Λ + , trong đ ó ( ) 1 . 0 X Y r v v − → khi 0 X v → . Nhận xét 1.4 a) Ánh xạ F khả vi Fréchet tại x ⇔ ∃Λ∈ ( ) , L X Y sao cho (1.4) đúng và (1.5) h ội tụ đồng đều theo v trên các tập bị chặn. b) Nếu n X R = thì khái niệm khả vi Hadamard và khả vi Fréchet là trùng nhau. Ví dụ 1.1 2 X R = ( ) 2 2 1, khi x=y , 0 , 0, khi x y y f x y  ≠ =  ≠  Khi đó, f khả vi Gâteaux tại ( ) 0,0 , nhưng không liên tục và không kh ả vi Fréchet tại ( ) 0,0 . Định nghĩa 1.9. Ánh xạ F được gọi là Lipschitz địa phương tại x , nếu tồn t ại số 0 γ > và 0 K > sao cho: ( ) ( ) ' '' ' '' X Y F x F x K x x − ≤ − ( ', '' x x x B γ ∀ ∈ + ), (1.6) 8 trong đó B là hình cầu đơn vị mở. Nhận xét 1.5. Định nghĩa tính Lipschitz địa phương theo lân cận hay theo hình c ầu đơn vị mở (trong không gian Banach) là tương đương. Mệnh đề 1.4. Nếu ánh xạ F là Lipschitz địa phương tại x thì khái niệm khả vi theo Hadamard và Gâteaux của F là trùng nhau. Chứng minh Do F là Lipschitz địa phương tại x , có tồn tại 0 γ > và 0 K > sao cho (1.6) đúng. Hi ển nhiên là F khả vi Hadamard thì F khả vi Gâteaux. Gi ả sử F khả vi Gâteaux tại x , V là tập compact trong X , 0 ε > cho trước. Với hình cầu đơn vị mở B có tồn tại phủ mở hữu hạn { } : : , 1, , i i V v B v V i n α + ∈ = , trong đó ( ) 2 K ε α = + Λ , Λ có trong (1.4) Ta có : ( ) ( ) i i v δ ∀ ∃ ( ) ( ) 0, i t δ ∀ ∈ , ( ) ( ) 2 i i F x tv F x v t ε + − − Λ < ( ) 1, , i n = (1.7) L ấ y 1 min i n i ε δ ≤ ≤ = ; v V ∈ . Khi đ ó 0 i v v B α ∈ + ( { } 0 1, , i n ∈ ). Ta có th ể ch ọ n ε đủ nh ỏ để F là Lipschitz trên t ậ p ( ) 0 i x v B δ α + + . Do đ ó v ớ i m ỗ i ( ) 0, t δ ∈ , ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 2 i i F x tv F x tv v v K t ε α + − + − Λ − ≤ + Λ = (1.8) T ừ (1.7) và (1.8) suy ra : v V ∈ , ( ) 0, t δ ∈ , ( ) ( ) F x tv F x v t ε + − − Λ < . 9 Đ i ề u đ ó ch ứ ng t ỏ ( ) ( ) 0 F x tv F x v t + − − Λ → đồ ng đề u theo v trên các t ậ p compact. Do đ ó F kh ả vi Hadamard t ạ i x . 1.1.3.2. Tính khả vi chặt Định nghĩa 1.10. Ánh x ạ F đượ c g ọ i là có đạ o hàm ch ặ t Hadamard t ạ i x : ( ) ( ) , s D F x L X Y ∈ , n ế u v ớ i m ọ i v gi ớ i h ạ n sau đ ây t ồ n t ạ i : ( ) ( ) ( ) , 0 lim s x x t F x tv F x D F x v t → ↓ + − = , trong đ ó s ự h ộ i t ụ là đồ ng đề u theo v trên các t ậ p compact. Định lí 1.2. Gi ả s ử F là ánh x ạ t ừ m ộ t lân c ậ n c ủ a x vào Y . Khi đ ó các kh ẳ ng đị nh sau là t ươ ng : a) F kh ả vi ch ặ t Hadamard t ạ i x và ( ) s D F x ς = ; b) F Lipschitz đị a ph ươ ng t ạ i x và v ớ i v X ∀ ∈ , ( ) ( ) , 0 lim x x t F x tv F x v t ς → ↓ + − = . (*) Chứng minh a) Gi ả s ử a) đ úng ta có ngay (*). Ta ch ỉ còn ph ả i ki ể m tra F Lipschitz đị a ph ươ ng t ạ i x . Ph ả n ch ứ ng: F không Lipschitz đị a ph ươ ng t ạ i x . Khi đ ó t ồ n t ạ i các dãy { } i x và { } ' i x h ộ i t ụ đế n x sao cho x sao cho ' 1 , i i x x x B i ∈ + và ( ) ( ) ' ' i i i i X Y F x F x i x x − > − Ta xác đị nh , i i t v th ỏ a mãn: ' 1/2 , i i i i i x x t v v i − = + = . Khi đ ó 0 i t → . Gi ả s ử { } { } 1 0 i i V v ∞ = = ∪ . Ta có V compact. 10 Theo đị nh ngh ĩ a c ủ a ( ) s D F x : 0, n : i n , , v V ε ε ε ∀ > ∃ ∀ ≥ ∀ ∈ ( ) ( ) ( ) i i i s i Y F x t v F x D F x v t ε + − − < . Nh ư ng đ i ề u đ ó không th ể x ả y ra b ở i vì i v v = , theo (*) ta có: ( ) 1/2 1/2 ( ) ( ) . . i i i i i i i i i i i i i i i F x t v F x i i i x t v x t v t i i t t t t − + − ≥ + − = = = . b) Gi ả s ử b) đ úng. L ấ y t ậ p compact V trong X ; s ố 0 ε > . Do F là Lipschitz đị a ph ươ ng t ạ i x , có t ồ n t ạ i s ố 0 γ > và s ố 0 K > sao cho: ( ) ( ) ' '' ' '' X Y F x F x K x x − ≤ − ( ', '' x x x B γ ∀ ∈ + ). V ớ i hình c ầ u đơ n v ị m ở B , có t ồ n t ạ i ph ủ m ở h ữ u h ạ n c ủ a { } : : , 1, , i i V v B v V i n α + ∈ = trong đ ó 2( ) K ε α ς = + . T ừ đ ó, ( ) ( ) ( ) 0 : , t 0, , i i i i i v x x B δ δ δ ∀ ∃ > ∀ ∈ + ∀ ∈ ( ) ( ) ( ) 1, , 2 i i i Y F x t v F x v i n t ε ς + − − < = L ấ y 1 min , V i n i v δ δ ≤ ≤ = ∈ . Khi đ ó { } 0 0 ( 1, , ) i v v B i n α ∈ + ∈ . Do đ ó, v ớ i x x B δ ∈ + , (0, ) t δ ∈ , ( ) ( ) 0 0 ( ) ( ) 2 i i Y F x tv F x tv v v K t ε ς ς α + − + − − ≤ + = ( ) , t 0, , , i x x B v V δ δ ⇒ ∀ ∈ + ∀ ∈ ∀ ∈ ( ) ( ) . Y F x tv F x v t ς ε + − − < Đ i ề u đ ó ch ứ ng t ỏ ( ) ( ) 0 F x tv F x v t ς + − − → đồ ng đề u theo v trên các t ậ p compact. Vì v ậ y ς là đạ o hàm ch ặ t Hadamard c ủ a F . [...]... về Gradient suy rộng của hàm Lipschitz như: Hàm Lipschitz địa phương, đạo hàm suy rộng theo phương Gradient suy rộng, một số trường hợp đặc biệt của Gradient suy rộng, Gradient suy rộng của hàm Lipschitz trong R n , Gradient suy rộng của hàm giá trị thực mở rộng … 32 Chương 2 Gradient suy rộng của hàm không nhất thiết Lipschitz 2.1 Hàm Lipschitz theo phương Giả sử f : X → R ( = R ∪ ±∞ ) không nhất thiết. .. = x '− tv ) 1.3 Gradient suy rộng Giả sử f là hàm Lipschitz địa phương trên không gian Banach X ( f : X → R ); X * là không gian đối ngẫu của X ( X * gồm các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X ) () Định nghĩa 1.13 Gradient suy rộng của hàm f tại x , ký hiệu ∂f x , là tập hợp sau đây trong () { ( ) X * : ∂f x := ξ ∈ X *: f o x, u ≥< ξ , u >, ∀u ∈ X Đây là khái niệm Gradient suy rộng của F.H, Clarke... kiện Lipschitz trên V , với hằng số Lipschitz 2N δ 13 1.2 Đạo hàm suy rộng theo phương 1.2.1 Định nghĩa Giả sử f là hàm Lipschitz địa phương tại x ∈ X Định nghĩa 1.12 Đạo hàm suy rộng của hàm f theo phương v (∈ X ) tại x , ( ) kí hiệu là f o x; v , được xác định như sau: ( ) f o x; v = limsup x → x ;t ↓0 f ( x + tv ) − f ( x ) t trong đó t > 0, x ∈ X Đây là khái niệm đạo hàm suy rộng theo phương của. .. = R ∪ ±∞ ) không nhất thiết là hàm Lipschitz địa () phương tại x và f x < +∞ Ta định nghĩa Gradient suy rộng cho f tại x như sau: { ( ( ))} ∂f x := ξ ∈ X * : (ξ , −1) ∈ N epi f x, f x Chú ý rằng với hàm f không nhất thiết Lipschitz địa phương tại x thì ∂f x () là đóng *-yếu, nhưng ∂f x có thể bằng ∅ và có thể không compact *-yếu Định nghĩa 2.1 Dưới đạo hàm trên của hàm f tại x theo phương v được... ra tập có độ đo 0 và 28 ( ) Do đó f liên tục suy ra f o x, v ≤ α + ε Bổ đề được chứng minh và do đó Định lí được chứng minh đầy đủ 1.7 Gradient suy rộng của hàm giá trị thực mở rộng Giả sử f : X → R (=R ∪ ±∞) () Định nghĩa 1.17 Giả sử f x < +∞ Khi đó gradient suy rộng của hàm f tại x được định nghĩa như sau: () { ( ( ))} ∂f x := ξ ∈ X * : (ξ , −1) ∈ N epi f x, f x Nhận xét 1.7 với hàm f : X → R ,... Là hệ quả của (ii) (iv) Phản chứng : Giả sử ∂f không nử liên tục trên tại x Khi đó tồn tại dãy { xi } hội tụ đến x , dãy {ς i } hội tụ đến ς sao cho ς i ∈ ∂f ( xi ) , nhưng () ς ∉ ∂f x Điều này mâu thuẫn với (iii) 1.5 Một số trường hợp đặc biệt của Gradient suy rộng 1.5.1 Gradient Mệnh đề 1.6 Giả sử f : X → R Lipschitz địa phương tại x , có đạo hàm () Df x theo nghĩa Gâteaux (hoặc đạo hàm chặt Hadamard,... 1.5 Giả sử f là hàm Lipschitz địa phương với hằng số Lipschitz K tại x Khi đó: (i) Hàm v → f o ( x; v ) hữu hạn, thuần nhất dương, dưới cộng tính trên X và f o ( x; v ) ≤ K v ; (ii) f o ( x; v ) nửa liên tục trên theo ( x; v ) ; f o ( x;.) Lipschitz (theo v ) với hằng số K trên X ; (iii) f o ( x; −v ) = ( − f ) ( x; v ) o Chứng minh (i) Do f là hàm Lipschitz địa phương với hằng số Lipschitz K tại... tại đạo hàm Gâteaux DF trong một lân cận của x và DF (.) : X → L ( X , Y ) liên tục tại x (theo tôpô chuẩn toán tử) Hệ quả 1.2.1 Giả sử ánh xạ F khả vi liên tục theo Gâteaux tại x Khi đó, F khả vi chặt Hadamard tại x , và do đó F Lipschitz địa phương tại x Định lí 1.3 Giả sử f : X → R khả vi Fréchet và có đạo hàm bị chặn trong tập lồi U , tức là f ' ( x ) ≤ α ( ∀x ∈U ) Khi đó, f là hàm Lipschitz. .. mỗi v , và ( ) ( ) f ' x, v =< Df x, v > ( ) ( ) Từ định nghĩa đạo hàm suy rộng 1.12 ta có f ' x, v ≤ f o x, v ( ) ( ) () () ⇒ f o x, v ≥< Df x, v > ⇒ Df x ∈ ∂f x Định lí 1.8 a) Giả sử f : X → R khả vi chặt Hadamard tại x Khi đó f Lipschitz địa () { ( )} phương tại x và ∂f x = DS f x () b) Ngược lại, nếu f Lipschitz địa phương tại x và ∂f x = (ς ) , thì f khả vi () chặt Hadamard tại x và DS f x... phương tại x ∈ U Khi () () ( ) ( ) đó ∂f x = DS f x , f o x; v = f ' x; v ( ∀v ∈ X ) , trong đó ∂f là gradient suy rộng của f ; f ' ( x;.) là đạo hàm theo phương của f tại x Chứng minh ( ) ( ) ( x, v ) = f '( x; v ) Từ giải tích lồi ta đã biết rằng f ' x; v tồn tại với mỗi v , và f ' x; là () hàm tựa của ∂ C f x Vì vậy ta chỉ cần chứng minh rằng f o ( ∀v ) là đủ Ta có thể viết ( ) f o x, v dưới dạng: