thiết lập điều kiện cho tính siêu ổn định suy rộng của phương trình drygas trong không gian tựa chuẩn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI NCKH CỦA SINH VIÊN NĂM 2018-2019 THIẾT LẬP ĐIỀU KIỆN CHO TÍNH SIÊU ỔN ĐỊNH SUY RỘNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH DRYGAS TRONG KHƠNG GIAN TỰA CHUẨN Mã số: SPD2018.02.54 Chủ nhiệm đề tài: Phạm Thị Mai Thắm Lớp: ĐHSTOAN15B Giảng viên hướng dẫn: TS Nguyễn Văn Dũng Đồng Tháp, 6/2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN THIẾT LẬP ĐIỀU KIỆN CHO TÍNH SIÊU ỔN ĐỊNH SUY RỘNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH DRYGAS TRONG KHƠNG GIAN TỰA CHUẨN Mã số: SPD2018.02.54 Giảng viên hướng dẫn Chủ nhiệm đề tài TS Nguyễn Văn Dũng Phạm Thị Mai Thắm Xác nhận Chủ tịch hội đồng TS Lê Hoàng Mai Đồng Tháp, 6/2019 MỤC LỤC Thông tin kết nghiên cứu iii Summary v Mở đầu 1 Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực đề tài nước Tính cấp thiết đề tài Mục tiêu nghiên cứu Cách tiếp cận Phương pháp nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nội dung nghiên cứu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian tựa chuẩn 1.2 Định lí điểm bất động không gian tựa Banach Tính siêu ổn định suy rộng cho phương trình hàm Drygas khơng gian tựa chuẩn 10 2.1 Tính siêu ổn định suy rộng cho phương trình hàm Drygas khơng gian tựa chuẩn 10 2.2 Áp dụng tính siêu ổn định suy rộng cho phương trình hàm Drygas không gian tựa chuẩn 23 Kết luận 29 Phụ lục 32 ii iii BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP Độc lập - Tự - Hạnh phúc TÓM TẮT KẾT QUẢ ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN Thông tin chung: - Tên đề tài: Thiết lập điều kiện cho tính siêu ổn định suy rộng phương trình Drygas khơng gian tựa chuẩn - Mã số: SPD2018.02.54 - Chủ nhiệm đề tài: Phạm Thị Mai Thắm - Thời gian thực hiện: 6/2018 đến 5/2019 Mục tiêu - Thiết lập chứng minh số kết tính siêu ổn định phương trình Drygas khơng gian tựa chuẩn - Xây dựng ví dụ minh họa cho tính siêu ổn định phương trình Drygas khơng gian tựa chuẩn Tính sáng tạo Đề tài hệ thống hố chi tiết hoá kết từ số báo quốc tế nên tính khoa học không cao Kết nghiên cứu - Hệ thống hóa số khái niệm tính chất không gian tựa chuẩn; thiết lập chứng minh số kết tính siêu ổn định suy rộng cho phương trình Drygas khơng gian tựa chuẩn; kết mở rộng kết có tài liệu tham khảo - Kết đề tài gửi tham dự Hội nghị sinh viên nghiên cứu khoa học năm 2018 - 2019 Trường Đại học Đồng Tháp báo cáo sinh hoạt chuyên môn Bộ môn Giải tích - Tốn ứng dụng Sản phẩm - Báo cáo tổng kết thiết lập điều kiện cho tính siêu ổn định suy rộng phương trình Drygas không gian tựa chuẩn - Bài viết gửi tham dự Hội nghị sinh viên nghiên cứu khoa học Trường Đại học Đồng Tháp năm học 2018-2019 iv Phương thức chuyển giao, địa ứng dụng, tác động lợi ích mang lại kết nghiên cứu Báo cáo tổng kết đề tài tài liệu tham khảo cho sinh viên giảng viên ngành Sư phạm Tốn học, Trường Đại học Đồng Tháp nói chung quan tâm đến tính siêu ổn định suy rộng phương trình hàm Drygas khơng gian tựa chuẩn nói riêng Qua đó, đề tài góp phần nâng cao lực tư Toán học, chất lượng học tập nghiên cứu sinh viên giảng viên ngành Sư phạm Toán học, Trường Đại học Đồng Tháp v MINISTRY OF EDUCATION AND TRAINING SOCIALIST REPUBLIC OF VIET NAM DONG THAP UNIVERSITY Independence - Freedom - Happiness SUMMARY General information Project Title: Establishing conditions for the generalized hyperstability of Drygas functional equations in quasi-normed spaces Code number: SPD2018.02.54 Coordinator: Pham Thi Mai Tham Duration: from July, 2018 to June, 2019 Objectives: - To establish and prove some results on the hyperstability of the Drygas function equation in quasi-normed spaces - To construct some illustrated examples for the obtained results Creativeness and innovativeness: The topic of systematizing and detailing results from a number of international articles so the novelty in science is not high Research results: - Some notions and basic properties of space on quasi-nomred spaces were presented; Certain conditions for the generalized hyperstability of Drygas functional equations in quasi-normed spaces were stated and proved; Certain particular cases for the generalized hyperstability of Drygas functional equations in quasi-normed spaces were deduced - The main result of the project was submitted to 2018 - 2019 Student’s Scien- vi tific Research Conference of Dong Thap University It was also presented in the Seminar of Division of Mathematical Analysis and Applied Mathematics Products: - Summary report on establishing conditions for the generalized hyperstability of Drygas functional equations in quasi-normed spaces - The article was submitted to 2018 - 2019 Student’s Scientific Research Conference of Dong Thap University Transfer alternatives, application institutions, impacts and benefits of research results: The report of the project is a reference for lecturers and students in Mathematics Teacher Education of Dong Thap University in general, and for the readers who are interested the generalized hyperstability of Drygas functional equations in quasi-normed spaces in particular Then the report partially improves the mathematical competence, the quality of learning and researching activities of the students and lecturers of Mathematics Teacher Education at Dong Thap University MỞ ĐẦU Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực đề tài nước Hàm số f : R → R gọi thỏa mãn phương trình hàm Drygas f (x + y) + f (x − y) = f (x) + f (y) + f (−y) (0.1) với x, y ∈ R Lưu ý hàm số f , g : R → R thỏa mãn phương trình hàm Drygas f ± g thỏa mãn phương trình hàm Drygas Năm 1987, Drygas [5] nghiên cứu phương trình đưa đặc trưng từ khơng gian tựa tích Sau đó, lời giải tổng qt lớp hàm Drygas đưa Ebanks cộng [7] Tính ổn định phương trình hàm Drygas nghiên cứu nhiều tác giả theo điều kiện khác Năm 2013, kết tính siêu ổn định phương trình hàm Drygas đạt Piszcek and Szczawinska [12] Cụ thể, kết tính siêu ổn định xuất lần [3], thuật ngữ “siêu ổn định” sử dụng lần đầu [9] Trong thời gian gần đây, báo [1] tác giả sử dụng định lí điểm bất động Brzdek để chứng minh số kết tổng quát tính siêu ổn định hàm Drygas khơng gian định chuẩn Bên cạnh đó, khơng gian định chuẩn mở rộng thành không gian tựa chuẩn với nhiều tính chất giải tích khác biệt Hơn nhiều mơ hình khơng gian tựa chuẩn đóng vai trị quan trọng Tốn học, Vật lí lí thuyết quan tâm nhiều tác giả thời gian gần Trong báo [6], Dung Hang thiết lập định lí điểm bất động không gian tựa chuẩn áp dụng vào nghiên cứu tính siêu ổn định phương trình hàm không gian tựa Banach Vấn đề đặt kết tính siêu ổn định báo [1] thiết lập, chứng minh không gian tựa chuẩn áp dụng cho khơng gian khơng chuẩn hóa Tính cấp thiết đề tài Những nhận định phần tổng quan, đặc biệt kĩ thuật trình bày báo [6], dẫn đến khả kết tính siêu ổn định báo [1] thiết lập chứng minh khơng gian tựa chuẩn Từ đó, tính siêu ổn định phương trình Drygas áp dụng cho khơng gian khơng chuẩn hóa Việc nghiên cứu đề tài tính siêu ổn định suy rộng phương trình Drygas góp phần chi tiết hóa làm phong phú thêm số kết tính siêu ổn định suy rộng phương trình Drygas khơng gian tựa chuẩn Đề tài tài liệu tham khảo hữu ích cho sinh viên giảng viên ngành Sư phạm Tốn học, Trường Đại học Đồng Tháp nói chung quan tâm đến phương trình Drygas khơng gian tựa chuẩn nói riêng Qua đó, đề tài góp phần nâng cao lực tư duy, chất lượng học tập nghiên cứu sinh viên giảng viên ngành Sư phạm Toán học, Trường Đại học Đồng Tháp Mục tiêu nghiên cứu - Thiết lập chứng minh số kết tính siêu ổn định phương trình Drygas khơng gian tựa chuẩn - Xây dựng ví dụ minh họa cho tính siêu ổn định phương trình Drygas khơng gian tựa chuẩn Cách tiếp cận Nghiên cứu tài liệu tham khảo tính siêu ổn định suy rộng nước liên đến đề tài, cách tương tự hóa kết có, đề xuất kết Phương pháp nghiên cứu Đọc hiểu tài liệu tham khảo, trao đổi thông tin với thành viên nhóm nghiên cứu người lĩnh vực Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu tính siêu ổn định suy rộng phương trình hàm Drygas Phạm vi nghiên cứu không gian tựa chuẩn Nội dung nghiên cứu Nội dung nghiên cứu đề tài bao gồm: - Một số khái niệm tính chất tính siêu ổn định suy rộng phương trình Drygas - Một số kết tính siêu ổn định phương trình Drygas khơng gian tựa chuẩn số ví dụ minh họa cho kết đạt 18 Chứng minh Với x ∈ X, m ∈ M0 thay x (m + 1)x y mx vào (2.17) ta có u((m + 1)x)v(mx) ≥ (2.19) f ((m + 1)x + mx) + f ((m + 1)x − mx) − f ((m + 1)x) − f (mx) − f (−mx) = f ((m + 1)x) + f (mx) + f (−mx) − f ((2m + 1)x) − f (x) Xác định ánh xạ Tm : Y X → Y X (Tm ξ )(x) := 2ξ ((m + 1)x) + ξ (mx) + ξ (−mx) − ξ ((2m + 1)x), x ∈ X, ξ ∈ Y X Theo định nghĩa s1 (n), s2 (n) ta có với x ∈ X, εm (x) := u((m + 1)x)v(mx) ≤ [s1 (m + 1)s2 (m)]u(x)v(x) (2.20) Khi bất đẳng thức (2.19) có dạng Tm f (x)− f (x) ≤ εm (x) Điều chứng tỏ (1.5) thỏa mãn với ϕ = f , ε = εm Xác định ánh xạ Λm : RX+ → RX+ (Λm η)(x) := κY2 (2η((m + 1)x) + η(mx) + η(−mx) + η((2m + 1)x)) với η ∈ RX+ , x ∈ X Khi (1.7) thỏa mãn với k = 4, f1 (x) = (m + 1)x, f2 (x) = mx f3 (x) = −mx, f4 (x) = (2m + 1)x, L1 (x) = 2κY2 L2 (x) = L3 (x) = L4 (x) = κY2 Hơn nữa, với ξ , µ ∈ Y U , x ∈ X theo Định nghĩa 1.1.1 không gian tựa 19 chuẩn, ta có Tm ξ (x) − Tm µ(x) = 2ξ ((m + 1)x) + ξ (mx) + ξ (−mx) − ξ ((2m + 1)x) −2µ((m + 1)x) − µ(mx) − µ(−mx) + µ((2m + 1)x) ≤ 2κY2 (ξ − µ)((m + 1)x) + κY2 (ξ − µ)(mx) +κY2 (ξ − µ)(−mx) + κY2 (ξ − µ)((2m + 1)x) = ∑ Li(x) (ξ − µ)( fi (x)) i=1 Bằng phép quy nạp tốn học, chúng tơi với x ∈ X, n ≥ n0 , m ∈ M0 , Λnm εm (x) ≤ κY2n [s1 (m + 1)s2 (m)][2s12 (m + 1) + s12 (m) + s12 (−m) +s12 (2m + 1)]n u(x)v(x) (2.21) Thật vậy, với n = ta có (2.21) tương đương với εm (x) ≤ [s1 (m + 1)s2 (m)]u(x)v(x) Bất đẳng thức (2.20) Vậy (2.21) với n = Giả sử (2.21) cho n = l, l ∈ N Với n = l + 1, ta có l Λl+1 m εm (x) = Λm (Λm εm (x)) = 2κY2 Λlm εm ((m + 1)x) + κY2 Λlm εm (mx) + κY2 Λlm εm (−mx) +κY2 Λlm εm ((2m + 1)x) ≤ κY2l+2 [s1 (m + 1)s2 (m)][2s12 (m + 1) + s12 (m) + s12 (−m) +s12 (2m + 1)]l [2u((m + 1)x)v((m + 1)x) + u(mx)v(mx) +u(−mx)v(−mx) + u((2m + 1)x)v((2m + 1)x)] 20 ≤ κY2l+2 [s1 (m + 1)s2 (m)][2s12 (m + 1) + s12 (m) + s12 (−m) +s12 (2m + 1)]l [2s12 (m + 1)u(x)v(x) + s12 (m)u(x)v(x) +s12 (−m)u(x)v(x) + s12 (2m + 1)u(x)v(x)] 2(l+1) ≤ κY [s1 (m + 1)s2 (m)][2s12 (m + 1) + s12 (m) + s12 (−m) +s12 (2m + 1)]l+1 u(x)v(x) Điều (2.21) với n = l + Do (2.21) với n ∈ N Theo Định nghĩa M0 tổng chuỗi cấp số nhân, với x ∈ X m ∈ M0 ∞ ∑ (Λnmεm)θ (x) n=0 ∞ ≤ ∑ κYθ 2n[s1(m + 1)s2(m)]θ [2s12(m + 1) + s12(m) + s12(−m) n=0 +s12 (2m + 1)]θ n uθ (x)vθ (x) [s1 (m + 1)s2 (m)]θ uθ (x)vθ (x) = − κY2θ [2s12 (m + 1) + s12 (m) + s12 (−m) + s12 (2m + 1)]θ < ∞ (2.22) Từ (2.22) ta suy (1.6) với [s1 (m + 1)s2 (m)]θ uθ (x)vθ (x) ε (x) = − κY2θ [2s12 (m + 1) + s12 (m) + s12 (−m) + s12 (2m + 1)]θ ∗ Do đó, theo Hệ 1.2.2, với m ∈ M0 tồn điểm bất động Fm Tm , nói cách khác Fm thỏa mãn T Fm = Fm hay Fm : X → Y thỏa mãn Fm (x) = 2Fm ((m + 1)x) + Fm (mx) + Fm (−mx) − Fm ((2m + 1)x) Hơn nữa, theo Hệ 1.2.2, ta có (1.9) ≤ f (x) − Fm (x) θ (2.23) θ θ θ 4[s1 (m + 1)s2 (m)] u(x) v(x) − κY2θ [2s12 (m + 1) − s12 (m) − s12 (−m) − s12 (2m + 1)]θ Theo (1.8), ta có lim Tmn f (x) = Fm (x) n→∞ (2.24) 21 Từ (2.24) với x, y ∈ X, ta có lim (2Tmn f (x) + Tmn f (y) + Tmn f (−y)) = 2Fm (x) + Fm (y) + Fm (−y) n→∞ (2.25) Tiếp theo chứng minh Tmn f (x + y) + Tmn f (x − y) − 2Tmn f (x) − Tmn f (y) − Tmn f (−y) ≤ κY2n [2s12 (m + 1) + s12 (m) + s12 (−m) + s12 (2m + 1)]n (u(x)v(y)) (2.26) với x, y, x + y, x − y ∈ X n ∈ N Thật vậy, với n = 0, (2.26) trở thành (2.17) Giả sử (2.26) với n = r với x, y, x + y, x − y ∈ X Khi Tmr+1 f (x + y) + Tmr+1 f (x − y) − 2Tmr+1 f (x) − Tmr+1 f (y) −Tmr+1 f (−y) = Tm Tmr f (x + y) + Tm Tmr f (x − y) − 2Tm Tmr f (x) − Tm Tmr f (y) −Tm Tmr f (−y) = 2Tmr f ((m + 1)(x + y)) + Tmr f (m(x + y)) + Tmr f (−m(x + y)) −Tmr f ((2m + 1)(x + y) + 2Tmf ((m + 1)(x − y)) + Tmr f (m(x − y)) +Tmr f (−m(x − y)) − Tmr f ((2m + 1)(x − y)) −2(2Tmr f ((m + 1)x) + Tmr f (mx) + Tmr f (−mx) − Tmr f ((2m + 1)x)) −2Tmr f ((m + 1)y) − Tmr f (my) − Tmr f (−my) + Tmr f ((2m + 1)y) −2Tmr f ((m + 1)(−y)) − Tmr f (m(−y)) − Tmr f (−m(−y)) +Tmr f ((2m + 1)(−y)) ≤ κY2 2Tmr f ((m + 1)(x + y)) + 2Tmf ((m + 1)(x − y)) −2(2Tmr f ((m + 1)x)) − 2Tmr f ((m + 1)y) − 2Tmr f ((m + 1)(−y)) + Tmr f (m(x + y)) + Tmr f (m(x − y)) − 2Tmr f (mx) − Tmr f (my) −Tmr f (m(−y)) 22 + Tmr f (−m(x + y)) + Tmr f (−m(x − y)) − 2Tmr f (−mx) −Tmr f (−my) − Tmr f (−m(−y)) + Tmr f ((2m + 1)(x + y)) + Tmr f ((2m + 1)(x − y)) −2Tmr f ((2m + 1)x) − Tmr f ((2m + 1)y) − Tmr f ((2m + 1)(−y)) ≤ κY2 κY2r [2s12 (m + 1) + s12 (m) + s12 (−m) + s12 (2m + 1)]r ×[2u((m + 1)x)v((m + 1)y) + u(mx)v(my) + u(−mx)v(−my) +u((2m + 1)x)v((2m + 1)y)] ≤ κY2r+2 [2s12 (m + 1) + s12 (m) + s12 (−m) + s12 (2m + 1)]r [2s12 (m + 1)u(x)v(y) +s12 (m)u(x)v(y) + s12 (−m)u(x)v(y) + s12 (2m + 1)u(x)v(y)] 2(r+1) ≤ κY [2s12 (m + 1) + s12 (m) + s12 (−m) + s12 (2m + 1)]r+1 u(x)v(y) Suy (2.26) với n = r + Điều suy (2.26) với n ∈ N Đặt d(x, y) = x − y với x, y ∈ Y Theo Định lí 1.2.1 (Y, d, κY ) khơng gian b -metric Từ (2.26) (1.3) Định lí 1.2.1, ta có Dd (Tmn f (x + y) + Tmn f (x − y), 2Tmn f (x) + Tmn f (y) + Tmn f (−y)) ≤ d θ (Tmn f (x + y) + Tmn f (x − y), 2Tmn f (x) + Tmn f (y) + Tmn f (−y)) = Tmn f (x + y) + Tmn f (x − y) − 2Tmn f (x) − Tmn f (y) − Tmn f (−y) θ ≤ κYθ 2n [2s12 (m + 1) + s12 (m) + s12 (−m) + s12 (2m + 1)]θ n ×(uθ (x)vθ (y)) (2.27) Vì Dd liên tục, cho n → ∞ (2.27), sử dụng (2.24), (2.25) định nghĩa M0 với x, y ∈ X, ta suy Dd (Fm (x + y) + Fm (x − y), 2Fm (x) + Fm (y) + Fm (−y) = lim Dd (Tmn f (x + y) + Tmn f (x − y), 2Tmn f (x) + Tmn f (y) + Tmn f (−y)) n→∞ = (2.28) 23 Theo (2.16), lấy giới hạn hai vế (2.23) m → ∞, ta lim f (x) − Fm (x) θ m→∞ = Suy lim f (x) − Fm (x) = Do m→∞ lim Fm (x) = f (x) m→∞ (2.29) Từ (2.29) với x, y ∈ X, ta có lim (2Fm (x) + Fm (y) + Fm (−y)) = f (x) + f (y) + f (−y) m→∞ (2.30) Cho m → ∞ (2.28), sử dụng (2.29), (2.30) tính liên tục Dd , ta có Dd ( f (x + y) + f (x − y), f (x) + f (y) + f (−y) = lim Dd (Fm f (x + y) + Fm f (x − y), 2Fm (x) + Fm (y) + Fm (−y)) m→∞ = Do f (x + y) + f (x − y) = f (x) + f (y) + f (−y) Vậy f nghiệm phương trình (2.18) 2.2 Áp dụng tính siêu ổn định suy rộng cho phương trình hàm Drygas không gian tựa chuẩn Trong mục này, áp dụng tính siêu ổn định suy rộng cho phương trình hàm Drygas không gian tựa chuẩn để suy số kết có khơng gian định chuẩn số trường hợp đặc biệt Trước hết, kết có tài liệu tham khảo [1] Những kết có cách thay κZ = κY = Định lí 2.1.1 Định lí 2.1.2 24 Hệ 2.2.1 ([1], Định lí 2.1) Giả sử X tập không rỗng không gian định chuẩn (Z, , κZ ) trường F cho x ∈ X −x ∈ X (Y, , κY ) không gian Banach trường K Tồn n0 ∈ N cho nx ∈ X với x ∈ X, n ≥ n0 hàm số h : X → R+ thỏa mãn M0 := {n ∈ N, n ≥ n0 : 2s(n + 1) + s(n) + s(−n) + s(2n + 1) < 1} tập vơ hạn, s(n) := inf{t ∈ R+ : h(nx) ≤ th(x) với x ∈ X} s(n) thỏa mãn điều kiện sau với n ∈ N lim s(n) = lim s(−n) = n→∞ n→∞ (2.31) Hàm f : X → Y thỏa mãn bất đẳng thức f (x + y) + f (x − y) − f (x) − f (y) − f (−y) ≤ h(x) + h(y) (2.32) với x, y, x + y, x − y ∈ X Khi f thỏa mãn phương trình f (x + y) + f (x − y) = f (x) + f (y) + f (−y) (2.33) với x, y ∈ X Hệ 2.2.2 ([1], Định lí 2.2) Giả sử X tập không rỗng không gian định chuẩn (Z, , κZ ) trường F cho x ∈ X −x ∈ X (Y, , κY ) không gian Banach trường K 25 Tồn n0 ∈ N cho nx ∈ X với x ∈ X, n ≥ n0 hàm số u, v : X → R+ thỏa mãn M0 := {n ∈ N, n ≥ n0 : 2s12 (n + 1) + s12 (n) + s12 (−n) +s12 (2n + 1) < 1} tập vơ hạn, s1 (n)s2 (n) := s12 (n), s1 (n) := inf{t ∈ R+ : u(nx) ≤ tu(x) với x ∈ X} s2 (n) := inf{t ∈ R+ : v(nx) ≤ tv(x) với x ∈ X} s1 (n), s2 (n) thỏa mãn điều kiện sau với n ∈ N (W1 ) lim s1 (±n)s2 (±n) = 0; n→∞ (W2 ) lim s1 (n) = lim s2 (n) = n→∞ n→∞ (2.34) Hàm f : X → Y thỏa mãn bất đẳng thức f (x + y) + f (x − y) − f (x) − f (y) − f (−y) ≤ u(x)v(y) (2.35) với x, y, x + y, x − y ∈ X Khi f thỏa mãn phương trình f (x + y) + f (x − y) = f (x) + f (y) + f (−y) (2.36) với x, y ∈ X Tiếp theo số trường hợp đặc biệt tính siêu ổn định suy rộng cho phương trình hàm Drygas khơng gian tựa chuẩn Hệ 2.2.3 Giả sử X tập không rỗng không gian tựa chuẩn (Z, , κZ ) trường F cho x ∈ X −x ∈ X (Y, , κY ) không gian tựa Banach trường K, c ≥ p < 26 Tồn n0 ∈ N với nx ∈ X, x ∈ X, n ≥ n0 hàm số f : X → Y thỏa mãn bất phương trình f (x + y) + f (x − y) − f (x) − f (y) − f (−y) ≤ c( x p + y p) với x, y, x + y, x − y ∈ X Khi f thỏa mãn phương trình f (x + y) + f (x − y) = f (x) + f (y) + f (−y) với x, y ∈ X Chứng minh Định nghĩa h : X → R+ xác định h(x) := c x p với c ∈ R+ , x ∈ X Với n ∈ N, c > 0, s(n) = inf{t ∈ R+ : h(nx) ≤ th(x), x ∈ X} = |n| p Tương tự, ta có s(−n) = | − n| p = |n| p Suy lim s(n) = lim s(−n) = lim |n| p = n→∞ n→∞ n→∞ Ta suy κY2 (2s(n + 1) + s(n) + s(−n) + s(2n + 1)) < Khi đó, tất điều kiện Định lí 2.1.1 Do đó, f thỏa mãn phương trình f (x + y) + f (x − y) = f (x) + f (y) + f (−y) 27 Hệ 2.2.4 Giả sử X tập không rỗng không gian tựa chuẩn (Z, , κZ ) trường F cho x ∈ X −x ∈ X (Y, , κY ) không gian tựa Banach trường K, c ≥ p, q ∈ R với p + q < Tồn n0 ∈ N với nx ∈ X, x ∈ X, n ≥ n0 hàm số f : X → Y thỏa mãn bất phương trình f (x + y) + f (x − y) − f (x) − f (y) − f (−y) ≤ c( x p + y p) với x, y, x + y, x − y ∈ X Khi f thỏa mãn phương trình f (x + y) + f (x − y) = f (x) + f (y) + f (−y) với x, y ∈ X p Chứng minh Định nghĩa ánh xạ u, v : X → R+ với u(x) := s x v(x) := r x q , s, r ∈ R+ , sr = c, p, q ∈ R, p + q < 0, với x ∈ X Theo định nghĩa s1 (n), s2 (n) Định lí 2.1.2 c > 0, ta có s1 (n) = inf{t ∈ R+ : u(nx) ≤ tu(x), x ∈ X} = |n| p Tương tự, ta có s1 (−n) = | − n| p = |n| p s2 (n) := inf{t ∈ R+ : v(nx) ≤ t(vx), x ∈ X} = |n|q s2 (−n) = | − n|q = |n|q Với p, q ∈ R, p + q < 0, p < q < Khi lim s1 (n) = n→∞ lim s2 (n) = n→∞ 28 Với c = r = s = Từ định nghĩa s1 s2 , ta có lim s1 (±n)s2 (±n) = n→∞ Suy κY2 (2s12 (n + 1) + s12 (n) + s12 (−n) + s12 (2n + 1)) < Khi điều kiện Định lí 2.1.2 Do đó, f thỏa mãn phương trình f (x + y) + f (x − y) = f (x) + f (y) + f (−y) 29 KẾT LUẬN Đề tài đạt kết sau - Hệ thống hóa số khái niệm tính chất khơng gian tựa chuẩn tựa Banach - Thiết lập chứng minh số kết tính siêu ổn định phương trình Drygas khơng gian tựa chuẩn: Định lí 2.1.1, Định lí 2.1.2 Áp dụng kết thu trường hợp đặc biệt: Hệ 2.2.1, Hệ 2.2.2, Hệ 2.2.3, Hệ 2.2.4 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] L Aiemsomboon and W Sintunavarat Two new generalised hyperstability results for the Drygas functional equation Bull Aust Math Soc., 95(2):269– 280, 2017 [2] M Boriceanu, M Bota, and A Petrus¸el Multivalued fractals in b-metric spaces Cent Eur J Math., 8(2):367–377, 2010 [3] D G Bourgin Approximately isometric and multiplicative transformations on continuous function rings Duke Math J., 16(2):385–397, 1949 [4] S Czerwik Nonlinear set-valued contraction mappings in b-metric spaces Atti Sem Math Fis Univ Modena, 46:263–276, 1998 [5] H Drygas Quasi-inner products and their applications In Advances in Multivariate Statistical Analysis, pages 13–30 Springer, 1987 [6] N V Dung and V T L Hang The generalized hyperstability of general linear equations in quasi-Banach spaces J Math Anal Appl., 462(1):131– 147, 2018 [7] B R Ebanks, P L Kannappan, and P K Sahoo A common generalization of functional equations characterizing normed and quasi-inner-product spaces Canad Math Bull., 35(3):321–327, 1992 30 31 [8] N Kalton Quasi-Banach spaces In W B Johnson and J Lindenstrauss, editors, Handbook of the geometry of Banach spaces, volume 2, pages 1099– 1130 Elsevier, 2003 [9] G Maksa and Z Páles Hyperstability of a class of linear functional equations Acta Math Acad Paedagog Nyházi, 17(2):107–112, 2001 [10] L Maligranda Tosio Aoki (1910-1989) In International symposium on Banach and function spaces: 14/09/2006-17/09/2006, pages 1–23, Yokohama, 2008 Yokohama Publishers [11] M Paluszy´nski and K Stempak On quasi-metric and metric spaces Proc Amer Math Soc., 137(12):4307–4312, 2009 [12] M Piszczek and J Szczawi´nska Hyperstability of the Drygas functional equation J Funct Spaces Appl., 2013:1–5, 2013 32 PHỤ LỤC Danh mục viết công bố kết đề tài Phạm Thị Mai Thắm, Nguyễn Văn Dũng Võ Thị Lệ Hằng (2019), Thiết lập điều kiện cho tính siêu ổn định suy rộng phương trình Drygas khơng gian tựa chuẩn, Hội nghị sinh viên nghiên cứu khoa học Trường Đại học Đồng Tháp năm học 2018-1019 (bài gửi tham gia) ... 2.1 Tính siêu ổn định suy rộng cho phương trình hàm Drygas không gian tựa chuẩn Trong mục thiết lập chứng minh kết tính siêu ổn định suy rộng cho phương trình hàm Drygas khơng gian tựa chuẩn Định. .. Định lí điểm bất động khơng gian tựa Banach Tính siêu ổn định suy rộng cho phương trình hàm Drygas khơng gian tựa chuẩn 10 2.1 Tính siêu ổn định suy rộng cho phương trình hàm Drygas không. .. nghiệm phương trình (2.18) 2.2 Áp dụng tính siêu ổn định suy rộng cho phương trình hàm Drygas khơng gian tựa chuẩn Trong mục này, chúng tơi áp dụng tính siêu ổn định suy rộng cho phương trình hàm Drygas