BÀI GIẢNG học PHẦN GIẢI TÍCH hàm

BÀI GIẢNG HỌC PHẦN GIẢI TÍCH HÀM CHƯƠNG I ðẠI CƯƠNG VỀ KHÔNG GIAN BANACH 1 1.1. Không gian tuyến tính 1 1.2. Toán tử tuyến tính, phiếm hàm tuyến tính 3 1.3. Không gian tuyến tính ñịnh chuẩn 4 1.4. Chuỗi trong không gian tuyến tính ñịnh chuẩn 7 1.5. Các không gian Banach khả ly 8 1.6. Không gian con và không gian thương 9 1.7. Toán tử tuyến tính liên tục, phép ñồng phôi 11 1.8. Tích các không gian tuyến tính ñịnh chuẩn 15 1.9. Không gian tuyến tính ñịnh chuẩn hữu hạn chiều 16 Bài tập 18 CHƯƠNG II Các nguyên lý cơ bản của giải tích hàm 21 2.1. ðịnh lý Hahn-Banach 21 2.2. Nguyên lý ánh xạ mở ñồ thị ñóng 24 2.3. Nguyên lý bị chặn ñều. ðịnh lý Banach-Steinhaus 28 Bài tập 30 CHƯƠNG III Không gian liên hợp, tô pô yếu và tính phản xạ 33 3.1. Không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục 33 3.2. Topo yếu 36 3.3. Không gian phản xạ 39 Bài tập 40 CHƯƠNG IV Không gian Hinbe 42 4.1. Không gian unita và không gian Hilber 42 4.2. Các phần tử và tập hợp trực giao, cơ sở trực chuẩn, phép ñẳng cấu 44 4.3. Không gian liên hợp 48 4.4. Toán tử liên hợp 50 Bài tập 54 CHƯƠNG V Phổ của toán tử và toán tử compact 56 5.1. Phổ của toán tử tuyến tính liên tục 56 5.2. Toán tử compact 57 5.3. Phổ của toán tử compact 58 Bài tập 60 Tài liệu tham khảo 62 1 CHƯƠNG I ðẠI CƯƠNG VỀ KHÔNG GIAN BANACH Số tiết: 16 tiết(LT: 13 tiết, BT 03 tiết) A) MỤC TIÊU Củng cố cho sinh viên, từ ñó sinh viên nắm vững khái niệm không gian tuyến tính cùng một số tính chất ñặc trưng của nó. Sinh viên hiểu các khái niệm cơ bản về không gian ñịnh chuẩn, không gian Banach, chuỗi trong không gian ñịnh chuẩn, sự hội tụ trong không gian ñịnh chuẩn, toán tử tuyến tính liên tục, phép ñồng phôi. Sinh viên vận dụng ñược các khái niệm ñã học ñể chứng minh một số không gian thường gặp là tuyến tính ñịnh chuẩn, Banach. Sinh viên có thể xét ñược tính liên tục, bị chặn và tìm ñược chuẩn của một toán tử tuyến tính liên tục giữa các không gian tuyến tính ñịnh chuẩn thường gặp. B) NỘI DUNG 1.1. Không gian tuyến tính 1.1.1. ðịnh nghĩa ðịnh nghĩa 1.1. Giả sử K là trường số thực hoặc phức. Tập hợp X khác rỗng cùng với hai ánh xạ (gọi là phép cộng và nhân vô hướng): Phép cộng xác ñịnh trên X x X nhận giá trị trong X: (x, y) ֏ x + y; ∀ x, y ∈ X. Phép nhân vô hướng xác ñịnh trên K x X nhận giá trị trong X: (k, x) ֏ kx; ∀ k ∈ K, ∀ x ∈ X. Gọi là một không gian tuyến tính (không gian vectơ) nếu các ñiều kiện sau ñược thỏa mãn: 1. X cùng với phép cộng là một nhóm Abel, tức là: a) x + y = y + x; ∀ x, y ∈ X. b) (x + y) + z = x + (y + z); ∀ x, y, z ∈ X. c) Tồn tại phần tử 0 của X sao cho x + 0 = 0 +x = x; ∀ x ∈ X. d) Với mỗi phần tử x của X, tồn tại một phần tử – x của X sao cho: x +(– x) = 0. 2. k(x + y) = kx + ky ∀ k ∈ K, ∀ x, y ∈ X. 3. (k + m)x = kx + mx ∀ k, m ∈ K, ∀ x ∈ X. 4. (km)x = k(mx) ∀ k, m ∈ K, ∀ x ∈ X. 5. 1.x = x, ∀ x ∈ X. Nếu K = ℝ thì X ñược gọi là một không gian tuyến tính thực, nếu K = ℂ thì X ñược gọi là một không gian tuyến tính phức. 1.1.2. Các ví dụ 1. Không gian K T Giả sử T là một tập hợp bất kỳ. Gọi K T là tập hợp các hàm số xác ñịnh trên T và nhận giá trị trong K. Ta trang bị hai phép toán: 2 (x + y)(t) = x(t) + y(t) ∀ x, y ∈ K T , ∀ t ∈ T. (kx)(t) = k(x(t)) ∀ x ∈ K T , ∀ t ∈ T. Khi ñó K T là một không gian tuyến tính. Nếu T là một tập hợp có n phần tử thì K T = K n . 2. Không gian S Gọi S là tập hợp các dãy số thực hoặc phức, tức là S = K N . Khi ñó S là một không gian tuyến tính với các phép cộng và nhân vô hướng thông thường. 3. Không gian S 0 Gọi S 0 là tập hợp các dãy số thực hoặc phức, trong ñó tất cả các số hạng của dãy, trừ một số hữu hạn phần tử ñều bằng không. Khi ñó S 0 là một không gian tuyến tính với các phép cộng và nhân vô hướng thông thường. 4. Không gian l Không gian l các dãy số thực hoặc phức khả tổng tuyệt ñối là một không gian tuyến tính với các phép cộng và nhân vô hướng thông thường (x =(x i ) ∈ l ↔ 1 | | i i x ∞ = <∞ ∑ ). 5. Không gian l p Không gian l p , 1 < p < + ∞ các dãy số thực hoặc phức khả tổng tuyệt ñối mũ p là một không gian tuyến tính với các phép cộng và nhân vô hướng thông thường, (x=(x i ) ∈ l p ↔ 1 | | p i i x ∞ = <∞ ∑ ). 6. Không gian l ∞ Không gian l ∞ các dãy số thực hoặc phức bị chặn là một không gian tuyến tính với các phép cộng và nhân vô hướng thông thường, (x =(x i ) ∈ l ∞ ↔ sup | | i i x <∞ ). 7. Không gian c Không gian c các dãy số thực hoặc phức hội tụ là một không gian tuyến tính với các phép cộng và nhân vô hướng thông thường. 8. Không gian c 0 Không gian c 0 các dãy số thực hoặc phức hội tụ ñến 0, là một không gian tuyến tính với các phép cộng và nhân vô hướng thông thường. 9. Không gian B(T) Giả sử T là một tập hợp bất kỳ. Gọi B(T) là tập hợp các hàm số xác ñịnh và bị chặn trên T và nhận giá trị trong K. Khi ñó K T là một không gian tuyến tính với các phép cộng và nhân vô hướng thông thường. 10. Không gian C(S) Giả sử S là một không gian topo. Gọi C(S) là tập hợp các hàm số thực (phức) liên tục và bị chặn trên S. Khi ñó C(S) là một không gian tuyến tính với các phép cộng và nhân vô hướng thông thường. 11. Không gian [ ] , k a b D 3 Gọi [ ] , k a b D là tập hợp các hàm x(t) xác ñịnh trên ñoạn [a, b] và có ñạo hàm liên tục ñến cấp k là không gian tuyến tính với các phép cộng và nhân thông thường. 12. Không gian [ , ] a b C Không gian [ , ] a b C các hàm số thực liên tục trên ñoạn [a, b] là một không gian tuyến tính với các phép cộng và nhân thông thường. 1.1.3. Tập lồi, cân, hút ðịnh nghĩa 1.2. Cho X là một không gian tuyến tính, E là một tập con của X, E ñược gọi i) lồi nếu { } [ , ] (1 ) : 0 1 , , ; a b ta t b t E a b E = + − ≤ ≤ ⊂ ∀ ∈ ii) cân nếu , | | 1, ; tx E t x E ∈ ∀ ≤ ∀ ∈ iii) hút nếu , 0 : , | | . x X tx E t ε ε ∀ ∈ ∃ > ∈ ∀ < 1.2. Toán tử tuyến tính, phiếm hàm tuyến tính Giả sử X và Y là hai không gian tuyến tính trên cùng trường K. Ánh xạ A: X → Y gọi là một toán tử tuyến tính nếu: 1) A(x 1 + x 2 ) = A(x) + A(x 2 ), ∀ x 1 , x 2 ∈ X. 2) A(kx) = kAx, ∀ k ∈ K, ∀ x ∈ X. Nếu X là một không gian tuyến tính trên trường K thì toán tử tuyến tính A: X → K gọi là một phiếm hàm tuyến tính trên X. Các phiếm hàm tuyến tính của không gian tuyến tính ñịnh chuẩn X thường ñược ký hiệu x*, y*, z*, … Giả sử X và Y là hai không gian tuyến tính trên trường K. Gọi L (X, Y) là tập hợp tất cả các toán tử tuyến tính A : X → Y. Trên L (X, Y) ta trang bị hai phép toán: (A + B)x = Ax + Bx (kA)x = k(Ax) ∀ A, B ∈ L (X, Y), ∀ k ∈ K, ∀ x ∈ X. Khi ñó L (X, Y) là một khôn gian tuyến tính trên K. ðặc biệt nếu Y = K thì L (X, K) là không gian các phiếm hàm tuyến trên X và L (X, K) ñược gọi là không gian liên hợp ñại số của không gian tuyến tính X và thường ñược ký hiệu là X’. 4 Không gian liên hợp ñại số của không gian X’ ñược gọi là không gian liên hợp ñại số thứ hai của không gian tuyến tính X và thường ñược ký hiệu là X’’. Hiển hiên X’’ cũng là một không gian tuyến tính trên trường K. Giả sử X là một không gian tuyến tính trên trường K, x là một phần tử cố ñịnh của X. Dễ thấy ánh xạ H x : X’ → K xác ñịnh bởi H x (x*) = x*(x) là một phiếm hàm tuyến tính trên X’, tức là H x ∈ X’’. Dễ thấy ánh xạ H : X → X’’ xác ñịnh bởi H(x) = H x là một toán tử tuyến tính. Ngoài ra H là một ñơn ánh. Thật vậy, giả sử x là một phần tử khác 0 của X. Gọi L là không gian con tuyến tính sinh bởi a, tức là L = Lin{a} và M là phần bù ñại số của L. Khi ñó, mỗi phần tử x của X có biểu diễn duy nhất dưới dạng x = ka + y, trong ñó k ∈ K, y ∈ M. Ánh xạ x*: X → K xác ñịnh bởi x*(x) = k là một phiếm hàm tuyến tính trên X và x*(a) = 1. Do ñó, H a (x*) = x*(a) = 1 ≠ 0. Suy ra H(a) ≠ 0. ðơn ánh tuyến tính H: X → X’’ xác ñịnh như trên gọi là phép nhúng chính tắc không gian X vào X’’. Vì X ñẳng cấu tuyến tính với một không gian con tuyến tính của X’’ nên có thể coi X là một không gian con tuyến tính của X’’và ñồng nhất mỗi phần tử x của X với phần tử H(x) của X’’. 1.3. Không gian tuyến tính ñịnh chuẩn 1.3.1. Sơ chuẩn, nửa chuẩn, chuẩn ðịnh nghĩa 1.3. Giả sử X là một không gian tuyến tính. Hàm số thực g: X → R xác ñịnh trên X ñược gọi là một sơ chuẩn trên X nếu với mọi x, y ∈ X và với mọi k ≥ 0, ta luôn có: 1) g(x + y) ≤ g(x) + g(y). 2) g(kx) = kg(x). Hiển nhiên, từ ñịnh nghĩa trên ta có g(0) = 0. Hàm số thực p: X → R xác ñịnh trên X ñược gọi là một nửa chuẩn trên X nếu với mọi x, y ∈ X và với mọi k ∈ K, ta luôn có: 1) p(x + y) ≤ p(x) + g(y). 2) p(kx) = |k|p(x). Hiển nhiên, nửa chuẩn là một sơ chuẩn. Nếu p là một nửa chuẩn trên X thì p(x) ≥ 0 với mọi x ∈ X. 5 Từ ñịnh nghĩa nửa chuẩn ta có: a) 1 1 ( ) | | ( ) n n i i i i i i p k x k p x = = ≤ ∑ ∑ với mọi 1 1 , , ; , , n n x x X k k K ∈ ∈ b) |p(x) – p(y)| ≤ p(x - y) với mọi x, y ∈ X. Nửa chuẩn p trên không gian tuyến tính X ñược gọi là một chuẩn trên X nếu từ p(x) = 0 suy ra x = 0. Nếu p là một chuẩn trên X thì với mọi x ∈ X, số p(x) thường ñược ký hiệu là || x ||. Như vậy hàm số thực || . || xác ñịnh trên không gian tuyến tính X ñược gọi là một chuẩn nếu thỏa mãn: 1) Với mọi x ∈ X , || x || ≥ 0, || x || = 0 khi và chỉ khi x = 0, 2) || x + y || ≤ || x || + || y ||, với mọi x, y ∈ X, 3) || kx || = | k |.|| x || với mọi x ∈ X, với mọi k ∈ K. 1.3.2. ðịnh nghĩa và ví dụ ðịnh nghĩa 1.4. Cặp (X, || || ), trong ñó X là một không gian tuyến tính và ||.|| là một chuẩn trên X, ñược gọi là một không gian tuyến tính ñịnh chuẩn. Giả sử (X, || || ) là một không gian tuyến tính ñịnh chuẩn, dễ ràng thấy rằng hàm số thực ρ xác ñịnh trên X x X cho bởi công thức ρ (x, y) = || x – y || là một metric trên X(ñược gọi là metric xác ñịnh bởi chuẩn). Vậy không gian tuyến tính ñịnh chuẩn là một không gian metric. Nếu dãy {x n } những phần tử của X và x 0 ∈ X thì 0 lim n n x x →∞ = có nghĩa là 0 lim || || 0 n n x x →∞ − = . Không gian tuyến tính ñịnh chuẩn (X, || || ) ñầy ñủ ñối với metric xác ñịnh bởi chuẩn ñược gọi là một không gian Banach. ðịnh lý 1.1. Trong một không gian tuyến tính ñịnh chuẩn X, a) Phép cộng và phép nhân vô hướng là những ánh xạ liên tục, b) Chuẩn x ֏ || x ||, với mọi x ∈ X là một hàm số liên tục trên X. Chứng minh. a) Giả sử 0 0 lim , lim n n n n x x y y →∞ →∞ = = trong X, 0 lim n n k k →∞ = trong K. Khi ñó 0 0 0 0 || ( ) ( ) || || || || || 0 n n n n x y x y x x y y + − + ≤ − + − → khi n → ∞ . 0 0 0 0 0 || || || ( ) ( ) || n n n n n k x k x k x x k k x − = − + − 0 0 0 | | . || || | | . || || 0 n n n k x x k k x ≤ − + − → khi n → ∞ . b) Ta có | || x || – || y || | ≤ || x – y || ∀ x, y ∈ X, do ñó hàm chuẩn là liên tục trên X. 6 Các ví dụ 1. R, C là những không gian Banach với chuẩn xác ñịnh bởi || x || = | x |, với mọi x ∈ ℝ hoặc x ∈ ℂ . 2. ℝ n và ℂ n là những không gian Banach với chuẩn xác ñịnh bởi || x || = 2 1 | | n i i x = ∑ , với mọi x = (x 1 , , x n ) ∈ K n . 3. B(T) là không gian Banach với chuẩn xác ñịnh bởi || || sup | ( ) | t T x x t ∈ = , với mọi x(t) ∈ B(T). 4. l ∞ là không gian Banach với chuẩn || || sup | | n n N x x ∈ = , với mọi x = (x n ) ∈ l ∞ . 5. l p là không gian Banach với chuẩn xác ñịnh bởi || x || p = 1 1 | | n p p i i x =             ∑ , với mọi x = (x 1 , , x n ) ∈ K n . Mệnh ñề 1.1. Giả sử p là một nửa chuẩn trên X. Khi ñó các tập B B(p) X p 1 { : ( ) } x x = = ∈ < và B B(p) X p 1 { : ( ) } x x = = ∈ < là lồi, cân và hút. Mệnh ñề 1.2. Nếu E là một tập lồi, cân và hút thì công thức ( ) inf{ 0 : }, x p x t E x X t = > ∈ ∈ xác ñịnh một nửa chuẩn trên X, thỏa mãn ( ) ( ) B p E B p ⊂ ⊂ . Ngoài ra, nếu E chỉ là tập lồi và hút thì ( ) p x là một sơ chuẩn trên X và thỏa mãn ( ) ( ) B p E B p ⊂ ⊂ . 1.3.3. Tập bị chặn, hoàn toàn bị chặn và compact ðịnh nghĩa 1.4. Cho E là một tập hợp con của không gian tuyến tính ñịnh chuẩn X. Khi ñó E ñược gọi là i) tập bị chặn nếu sup{|| ||: } . x x E ∈ < +∞ ii) hoàn toàn bị chặn nếu ∀ ε > 0, tồn tại tập hữu hạn A ⊂ X sao cho 7 ∀ x ∈ E, ∃ y ∈ A: || x – y || < ε . iii) compact nếu mọi dãy {x n } ⊂ E có một dãy con { } k n x hội tụ tới một phần tử x ∈ E. Nhận xét. a) Các khái niệm bị chặn, hoàn toàn bị chặn và compact tương ñương với các ñịnh nghĩa trong không gian metric. b) Mọi tập hoàn toàn bị chặn là bị chặn. c) Tập hợp con hữu hạn A ⊂ X thỏa mãn ii) ñược gọi là một ε - lưới hữu hạn của E. Hơn nữa A có thể coi chứa trong E. ðịnh lý 1.2 (Hausdorff). Tập con E trong không gian Banach X là compact nếu và chỉ nếu E là ñóng và hoàn toàn bị chặn. 1.4. Chuỗi trong không gian tuyến tính ñịnh chuẩn 1.4.1. Chuỗi và sự hội tụ của chuỗi ðịnh nghĩa 1.5. Giả sử {x n } là một dãy những phần tử của không gian tuyến tính ñịnh chuẩn X. Ta gọi tổng hình thức 1 2 1 n i i x x x x ∞ = + + + + = ∑ là một chuỗi trong X. Phần tử S n = x 1 + + x n gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi. Nếu dãy các tổng riêng hội tụ thì chuỗi ñược gọi là hội tụ. Giới hạn S của dãy {S n } ñược gọi là tổng của chuỗi và ta viết S = , khi ñó r n = S – S n ñược gọi là phần dư thứ n của chuỗi . Ngược lại chuỗi gọi là phân kỳ. ðịnh lý 1.3. Nếu chuỗi 1 n n x ∞ = ∑ trong không gian tuyến tính ñịnh chuẩn X hội tụ thì thỏa mãn ñiều kiện : với mọi ε > 0, ∃ n 0 ∈ N sao cho với mọi n ≥ n 0 , p ≥ 1, luôn có 1 || || || || n p n n n p S S x x ε + + + − = + + < . ðịnh lý 1.4. Nếu chuỗi 1 n n x ∞ = ∑ trong không gian tuyến tính ñịnh chuẩn X hội tụ thì lim 0 n n x →∞ = . ðịnh lý 1.5. Nếu các chuỗi 1 n n x ∞ = ∑ , 1 n n y ∞ = ∑ trong không gian tuyến tính ñịnh chuẩn X hội tụ và có tổng tương ứng là S, T thì các chuỗi 1 1 ( ), . n n n n n x y k x ∞ ∞ = = + ∑ ∑ cũng hội tụ và có tổng tương ứng là S + T và k.S, ∀ k ∈ K. 8 1.4.2. Chuỗi hội tụ tuyệt ñối Chuỗi 1 n n x ∞ = ∑ gọi là hội tụ tuyệt ñối nếu chuỗi số 1 || || n n x ∞ = ∑ hội tụ. ðịnh lý 1.6. Trong không gian Banach X, mỗi chuỗi hội tụ tuyệt ñối ñều hội tụ và 1 1 || || i i i i x x ∞ ∞ = = ≤ ∑ ∑ ðịnh lý 1.7. Trong không gian tuyến tính ñịnh chuẩn X mỗi chuỗi hội tụ tuyệt ñối ñều hội tụ thì X là không gian Banach. 1.5. Các không gian Banach khả ly Ví dụ 1. Các không gian ℝ n và ℂ n là khả ly. Ví dụ 2. Không gian l p với 1 ≤ p < ∞ là khả ly. Thật vậy, ta chứng minh cho trường hợp l = ℂ . Gọi M là tập hợp các dãy số y = (y 1 , y 2 , , y n , 0, 0, ), trong ñó n là số tự nhiên, y k = p k + iq k ; p k , q k là những số hữu tỷ với k = 1, , n . Hiển nhiên, M là một tập hợp ñếm ñược của không gian l p . Ta sẽ chứng minh M trù mật trong l p . Với mọi dãy x(x n ) ∈ l p , vì 1 | | p n n x ∞ = ∑ hội tụ nên với số dương ε bất kỳ, tồn tại một số tự nhiên n 0 sao cho 0 1 | | 2 p p n n n x ε ∞ = − < ∑ Gọi r 1 = p 1 + iq 1 , , r n = p n + iq n , p k , q k là những số hữu tỷ với k = 1, , n sao cho 0 1 | | 2 n r p p n n n x r ε = − < ∑ 0 0 1 2 ( , , , ,0, 0, ) n y r r r = là một phần tử của M thỏa mãn bất ñẳng thức 0 0 0 0 1 1 || || | | | | n n p p p p n n n n n n x y x r x ε = = + − = − + < ∑ ∑ do ñó || x – y 0 || < ε . Ví dụ 3. l ∞ không phải là một không gian khả ly. Thật vậy, gọi E là tập hợp các dãy số {x n }, trong ñó các phần tử của dãy nhận một trong hai giá trị 0 hoặc 1. Hiển nhiên E là một tập con của l ∞ , E có lực lượng continum. Mặt khác, nếu {x n }, {y n } là hai phần tử khác nhau của E thì || x – y || = sup | | 1 n n n x y − = . Giả sử E là không gian khả ly. Khi ñó, tồn tại một tập hợp ñếm ñược M trù mật trong l ∞ . Khi ñó họ hình cầu tâm là các phần tử của M và bán kính 0,3 phủ không gian l ∞ , do ñó phủ E. Vì M là ñếm ñược, E có lực lượng continum nên tồn tại ít nhất một hình cầu chứa hai phần tử khác nhau x, y của E. Gọi z là tâm hình cầu ñó, ta có 9 1 = || x – y || ≤ || x - z || + || z - y || ≤ 0,3 + 0,3 = 0,6 ñiều này là vô lý. Vậy, l ∞ không phải là một không gian khả ly. 1.6. Không gian con và không gian thương 1.6.1. Không gian con Giả sử (X, || . ||) là một không gian tuyến tính ñịnh chuẩn và L là một không gian con tuyến tính của X. Dễ thấy hàm số ||. || ||. || : L L L = → ℝ || || || || L x x = ∀ x ∈ L là một chuẩn trên L. Không gian tuyến tính ñịnh chuẩn (L, || . || L ) gọi là không gian con của không gian tuyến tính ñịnh chuẩn (X, || ||). Có thể thấy ngay rằng tôpô sinh ra bởi chuẩn || || L là tôpô cảm sinh bởi tôpô trên X sinh ra bởi chuẩn || ||. Ta biết không gian con của một không gian metric khả ly là một không gian khả ly. Do ñó không gian con của một không gian tuyến tính ñịnh chuẩn khả ly là một không gian khả ly. Hiển nhiên không gian con ñóng của một không gian Banach là một không gian Banach. Không gian con ñầy ñủ của không gian tuyến tính ñịnh chuẩn X là một không gian con ñóng của X. Ví dụ 1. C(S) – không gian các hàm liên tục trên không gian tôpô S, là một không gian con ñóng của không gian Banach B(S) – không gian các hàm bị chặn trên S. Do ñó C(S) là là một không gian Banach. Ví dụ 2. c 0 – không gian các dãy số thực hoặc phức hội tụ ñến 0, là không gian con ñóng của không gian Banach c – không gian các dãy số thực hoặc phức hội tụ. Do ñó c 0 là một không gian Banach. ðịnh lý 1.7. (Riesz) Giả sử L là một không gian con ñóng thực sự của không gian tuyến tính ñịnh chuẩn X. Khi ñó với một số thực θ bất kỳ mà 0 < θ < 1, tồn tại một phần tử z của X sao cho || z || = 1, và || x – z || > θ , với mọi x ∈ L. Chứng minh. Vì L là một không gian con ñóng thực sự của không gian tuyến tính ñịnh chuẩn X nên X \ L khác ∅ . Giả sử x 0 ∈ X \ L. ðặt d = inf 0 || || x L x x ∈ − . Vì L là ñóng nên d > 0. Với mỗi số θ : 0< θ < 1, vì d θ > d nên tồn tại u ∈ L sao cho || x 0 - u || < d θ . (*) ðặt [...]... c 17 C) TÀI LI U H C T P [1] Nguy n Xuân Liêm (1997), Gi i tích hàm, NXB Giáo d c Hà N i [2] Nguy n Xuân Liêm (2009), Bài t p Gi i tích hàm, NXB Giáo d c Hà N i [3] Nguy n Văn Khuê, Lê M u H i (2010), Giáo trình Gi i tích hàm, NXB ð i h c Sư ph m Hà N i [4] Hoàng T y (2005), Hàm th c và Gi i tích hàm, NXB ð i h c Qu c gia Hà N i D) CÂU H I, BÀI T P, N I DUNG ÔN T P VÀ TH O LU N Câu h i 1) Khái ni m... t c C) TÀI LI U H C T P [1] Nguy n Xuân Liêm (1997), Gi i tích hàm, NXB Giáo d c Hà N i [2] Nguy n Xuân Liêm (2009), Bài t p Gi i tích hàm, NXB Giáo d c Hà N i [3] Nguy n Văn Khuê, Lê M u H i (2010), Giáo trình Gi i tích hàm, NXB ð i h c Sư ph m Hà N i [4] Hoàng T y (2005), Hàm th c và Gi i tích hàm, NXB ð i h c Qu c gia Hà N i D) CÂU H I, BÀI T P, N I DUNG ÔN T P VÀ TH O LU N Câu h i 1) N i dung các... CHƯƠNG II Ba nguyên lý cơ b n c a gi i tích hàm S ti t: 12 ti t( LT 10 ti t, BT 2 ti t) A) M C TIÊU Sinh viên hi u n i dung c a ba nguyên lý cơ b n c a gi i tích hàm: Nguyên lý b ch n ñ u, nguyên lý ánh x m ñ th ñóng và ñ nh lý Hahn – Banach Sinh viên v n d ng ñư c các nguyên lý vào gi i m t s bài t p cơ b n c a gi i tích hàm Sinh viên thành th o trong vi c tìm m t phi m hàm tuy n tính liên t c và chu n... || A || (6) 1.8 Tích các không gian tuy n tính ñ nh chu n ð nh nghĩa 1.10 Gi s (X1, || ||1), (X2, || ||2), , (Xm, || ||m), là m không gian tuy n tính ñ nh chu n Ta ñã bi t r ng tích c a m không gian tuy n tính là m t không gian tuy n tính v i phép c ng và nhân vô hư ng ñư c xác ñinh thông thư ng V i m i ph n t x (x1, x2, , xm) ∈ X, ñ t m || x || = ∑ || x k =1 15 k || (7) D th y r ng hàm s cho b i (7)... nó th a mãn m t s ñi u ki n cho trư c B) N I DUNG Cho m t phi m hàm tuy n tính f xác ñ nh trên m t không gian con L c a m t không gian tuy n tính X N u có m t phi m hàm tuy n tính F xác ñ nh trên X, trùng v i f trên L thì ta nói F là m t thác tri n c a f trên X, và f ñư c g i là thác tri n ñư c lên X Trong nhi u v n ñ ta thư ng có phi m hàm f trên L và mu n thác tri n nó lên toàn X sao cho nó v n gi... trên X N u f là m t phi m hàm tuy n tính trên m t không gian con L c a X sao cho | f (x) | ≤ p (x), ∀ x ∈ L, thì t n t i m t phi m hàm tuy n tính F xác ñ nh trên X sao cho F|L = f và | F(x) | ≤ p (x) v i m i x ∈ X ð nh lý 2.3 (ð nh lý Hahn – Banach ñ i v i chu n cho không gian tuy n tính th c) Gi s L là không gian con c a không gian tuy n tính ñ nh chu n X, f là m t phi m hàm tuy n tính liên t c trên... M t phi m hàm tuy n tính liên t c f xác ñ nh trên m t không gian con tuy n tính L c a không gian tuy n tính ñ nh chu n X bao gi cũng có th thác tri n thành m t phi m hàm tuy n tính liên t c F trên X mà || f || = || F || H qu 2.2 Gi s L là không gian con tuy n tính c a không gian tuy n tính ñ nh chu n X và ph n t a ∈ X \ L sao cho d (a, L) = inf || x − a || = d > 0 Khi ñó t n t i m t phi m hàm tuy n... ñ nh chu n Khái ni m phép ñ ng phôi tuy n tính Bài t p 1) Cho B = {et }t ∈T là m t cơ s c a không gian tuy n tính X trên trư ng K V i m i ph n t t0 c ñ nh c a T, g i et* : X → K là hàm s ñư c xác ñ nh như sau: 0 et* (x ) = et* (∑ ktet ) = kt 0 trong ñó x = ∑k e t ∈T t t 0 t ∈T 0 là khai tri n c a phàn t x theo cơ s B a) Ch ng minh r ng et* là m t phi m hàm tuy n tính trên X 0 b) Ch ng minh r ng n u... ng h n, n u L là không gian con tuy n tính c a không gian tuy n tính ñ nh chu n X, f là m t phi m hàm tuy n tính liên t c trên L, thì thư ng ta mu n thác tri n F c a f cũng liên t c trên X và || f || = || F || ð nh lý Hahn – Banach nh m gi i quy t v n ñ ñó, ñây là m t trong nh ng m nh ñ trung tâm c a gi i tích hi n ñ i 2.1 ð nh lý Hahn-Banach 2.1.1 Tiên ñ Zorn Cho m t t p h p S, trong ñó gi a m t s c... ñ i v i sơ chu n cho không gian tuy n tính th c) Gi s F là m t không gian con c a m t không gian tuy n tính th c X và p là m t sơ chu n trên X Khi ñó v i m i phi m hàm tuy n tính f: X → ℝ th a mãn 21 f(x) ≤ p (x), ∀ x ∈ F ɵ t n t i phi m hàm tuy n tính f : X → ℝ sao cho ɵ (x) = f(x), ∀ x ∈ F f và ɵ (x) ≤ p (x), ∀ x ∈ X f Ch ng minh Bư c 1 Ta g i m t m r ng c a f là m t c p (D, g) trong ñó D là m t không . Mậu Hải (2010), Giáo trình Giải tích hàm, NXB ðại học Sư phạm Hà Nội. [4] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực và Giải tích hàm, NXB ðại học Quốc gia Hà Nội. D) CÂU HỎI, BÀI TẬP, NỘI DUNG ÔN TẬP VÀ. ñều liên tục. 18 C) TÀI LIỆU HỌC TẬP [1] Nguyễn Xuân Liêm (1997), Giải tích hàm, NXB Giáo dục Hà Nội. [2] Nguyễn Xuân Liêm (2009), Bài tập Giải tích hàm, NXB Giáo dục Hà Nội. [3] Nguyễn. BÀI GIẢNG HỌC PHẦN GIẢI TÍCH HÀM CHƯƠNG I ðẠI CƯƠNG VỀ KHÔNG GIAN BANACH 1 1.1. Không gian tuyến tính 1 1.2. Toán tử tuyến tính, phiếm hàm tuyến tính 3 1.3. Không