Bất đẳng thức Bunhiacốpxki

Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn 1 ..... Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn Nếu A=0hoặcB=0hoặcC=0thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng vì khi đĩ cả hai vế của bất đẳng th

Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

1

n n

x x

Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Nếu A=0hoặcB=0hoặcC=0thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng vì khi đĩ cả hai vế của bất đẳng thức đều bằng 0

• Tổng quát : bất đẳng thức Bunhiacơpxki mở rộng cho rộng cho mdãy số thực khơng âm:

Cho mdãy số thực khơng âm:

Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Đẳng thức xảy ra khi nào?

Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

ab bc ca A

1

Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Bài 14 : Cho các số thực dương x y z t; ; ; thoả mãn xyzt= Chứng minh: 1

Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Dấu đẳng thức xảy ra khi a b c= =

Bài 18 :Cho ; ;x y z∈ +thoả xy yz zt tx+ + + = Chứng minh: 1

www.nguoithay.org

Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

4

4

Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

k

n k

n x

k

n k

n x

Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Bài 2: Choa b c d; ; ; > Chứng minh:0 1 1 4 16 64

Bài 4: Choa2 +b2 +c2 = Chứng minh:1 a b c ab ac bc+ + + + + ≤ +1 3

Bài 5: Choa b c là các số dương.Chứng minh:; ;

+ + − − + Dấu “=” xảy ra khi nào?

Bài 16: Choa a1; ; ;2 a là các số thực thoả mãn n 2 2 2

Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

dấu “=” xảy ra khi

Dấu “=” xảy ra khi ΔABC đều

Bài 3 : Cho a, b, c, là số đo 3 cạnh Δ chứng minh rằng

a c b

a T

−+

=

2

−+

+

−

c b

a c b

Hướng dẫn giải

Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki cho 6 số:

a c b a

c b

a c

b a

c

b

−+

−+

22

2

Sau đĩ dùng biến đổi tương đương chứng minh:

(a + b+ c)2 ≥ 4ab +4bc +4ca –a2 –b2 - c2

Từ đĩ suy ra đpcm

Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Bài 4 : Cho ΔABC và đường trịn nội tiếp Δ , các tiếp tuyến của đường trịn song song với 3 cạnh của Δ nhỏ

và cĩ diện tích S1; S2; S3 Gọi S là diện tích ΔABC Chứng minh:

3

3 2 1

S S S

r ha

r pr aha= ⇒ 2 =

S S S

Áp dụng BĐT Bun ta cĩ:

3 2

S +S +S ≥ (đpcm) Dấu “=” xảy ra khiΔABC đều

Bài 5 : Cho ΔABC và 1 điểm Q nào đĩ ở trong Δ Qua Q kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC ở M và cắt

BC ở N Qua điểm Q kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB ở F; cắt BC ở E Qua E kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC ở P, cắt AB ở R Kí hiệu S1= dt(QMP); S2 = dt(QEN); S3 = dt(QFR) và S =

Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Dấu “=” xảy ra khiS1=S2 = ⇔ Q là trọng tâmS3 ΔABC

Bài 6 : Cho a , b , c là 3 cạnh của tam giác.Chứng minh:

Từ (1) (2) (3) (4)⇒ đpcm Dấu “=” xảy ra khi a b c= =

Bài 7 : Cho ∆ABC Chứng minh : a 2 b(a – b) +b 2 c(b – a) + c 2 a(c – a) ≥ 0

( Trích đề thi vơ địch tốn quốc tế 1983 )

Hướng dẫn giải

Gọi A’; B’; C’ là các tiếp điểm:

Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Bài 8 : Với a; b; c là độ dài 3 cạnh của ∆ CMR : 4a 9b 16 26

Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

=> 2P ≥ 81 - 29

=> 2P ≥ 52 => P ≥ 26

Chọn a = 7; b = 6; c = 5 thì dấu đẳng thức xảy ra

Bài 9 : Cho elip (E):

Vậy với M(2 7;0; (0; 21)N thì MN đạt GTNN và GTNN của Mn là 7

C2: Pt tiếp tuyến tại điểm (x0; y0) thuộc (E) là 0 0

90;

N y

Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

(Vì theo cơng thức Hêrơng: s= p p a p b p c( − )( − )( − ) = xyz x y z( + + )

Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

q r+r p+ p q≥

Dấu “=” xảy ra khi p = q = r > 0

+ Nếu nhân 2 vế của (3) cho p + q + r > 0 ta được

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

• Bổ đề 2: Nếu O; G theo thứ tự là tâm mặt cầu ngoại tiếp và trọng tâm của tứ diện ABCD thì

Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Từ (1)(2) suy ra điều phải chứng minh

Trở lại việc giải bài tốn trên

Bài 2 : Cho ΔABCnội tiếp đường trịn bán kính R;BC=a CA b AB c; = ; = Gọi x;y;z lần lượt là khoảng cách từ

M thuộc miền trong của ΔABCđến các cạnh BC;CA;AB.Chứng minh:

Bài 4 : Cho a , b , c là 3 cạnh của tam giác và

Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Bài 5 : Điểm M nằm trong ΔABC.Hạ MA , MB , MC lần lượt vuơng gĩc với BC;CA;AB.Xác định vị trí của M

n

n n

a

Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Hay 1 2

n n

Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Vậy GTNN của biểu thức P là 1

Bài 6 : Cho a b c là các số thực dương sao cho , , a2+b2+c2 = 1

Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Thay a2+b2+c2 = vào BĐT trên ta nhận được BĐT cần chứng minh 1

Bài 7 : Cho , , ,a b c d là các số thực dương Chứng minh:

Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Bài 9 : Cho a b c là các số thực dương Chứng minh : , , 25a 16b c 8

Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Khơng mất tính tổng quát ta cĩ thể giả sử a b c≥ ≥ >0 Theo giả thiết ta cĩ:

ii) Nếu r<0 thì z r ≥y r nên x r +z r >z r ≥y r

Do đĩ trong cả hai trường hợp ta đều cĩ: f x( )+ ( )z ≥ f y( )

Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Bài 4: Cho a b c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện , , a b c+ + =1 Tìm GTNN của biểu thức