Đề tài nghiên cứu bất đẳng thưc trong trường THPT

Chuyên đề bất đẳng thức trường THPT MỤC LỤC A Mở đầu B Cơ sở lý luận C Nội dung đề tài I Các bất đẳng thức Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối Bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân .5 Bất đẳng thức Cauchy – Bunhiacovski II Phương pháp chứng minh .6 Phương pháp chứng minh Mở rộng cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi 17 III Bài tập vận dụng đề thi 37 Bài tập 37 Bài tập nâng cao 40 Một số bất đẳng thức đề thi đại học vừa qua .43 D Kết luận 45 A ĐẶT VẤN ĐỀ I Lý chọn đề tài -1- Chuyên đề bất đẳng thức trường THPT Toán học khoa học tự nhiên, toán học đời từ sớm nhằm đáp ứng nhu cầu đo đạc ruộng đất xây dựng nhà cửa Càng ngày xã hội loài người tiến dần lên mức độ cao đến đang trình độ cao từ mà lồi người chưa có Do tốn học củng khơng nằm ngồi quy luật phát triển từ sơ khai đến đại Toán học nghiên cứu nhiều, đa dạng phong phú Trong tốn bất đẳng thức tốn khó, để giải toán bất đẳng thức, bên cạnh việc nắm vững khái niệm tính chất bất đẳng, phải nắm phương pháp chứng minh bất đẳng thức Có nhiều phương pháp để chứng minh bất đẳng ta phải vào đặc thù toán mà sử dụng phương pháp cho phù hợp Mỗi toán chứng minh bất đẳng thức áp dụng nhiều phương pháp giải khác nhau, có phải phối hợp nhiều phương pháp cách hợp lí giải Bài toán chứng minh bất đẳng thức vận dụng nhiều vào dạng toán giải biện luận phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đặc biệt, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức đề thi học sinh giỏi huyện, thành phố, tuyển sinh vào lớp 10 thường có tốn bất đẳng thức, sách giáo khoa phổ thơng lại trình bày Vì học sinh cần thiết phải nắm kiến thức bất đẳng thức Trong thực tế trường THPT, học sinh gặp nhiều khó khăn giải tốn liên quan bất đẳng thức, tốn chứng minh bất đẳng thức thường khơng có cách giải mẫu, không theo phương pháp định nên học sinh khơng xác định hướng giải tốn Mặt khác nhận thức học sinh THPT cịn có nhiều hạn chế khả tư chưa tốt học sinh cịn lúng túng nhiều khơng biết vận dụng kiến thức vào giải dạng tập khác Trong nội dung đề tài xin tập trung giới thiệu tính chất bản, số phương pháp hay sử dụng chứng minh bất đẳng thức như: dùng định nghĩa, biến đổi tương đương, dùng bất đẳng thức biết, phương pháp phản chứng, tam tức bậc hai , số tập vận dụng ứng dụng bất đẳng thức nhằm giúp học sinh bớt lúng túng gặp toán chứng minh hay vận dụng bất đẳng thức, giúp học sinh tự định hướng phương pháp chứng minh, giải toán liên quan hứng thú học bất đẳng thức nói riêng mơn Tốn nói chung Qua chuyên đề “bất đẳng thức trường THPT” chúng tơi muốn giúp học học sinh có thêm số phương pháp chứng minh bất đẳng thức lý chọn đè tài này, nghiên cứu không tránh khỏi sai sót mắc phải mong góp ý thầy giáo, bạn để đề tài hồn thiện hơn, tơi xin chân thành cảm ơn! II Nhiệm vụ nghiên cứu - Kỹ giải toán chứng minh bất đẳng thức -2- Chuyên đề bất đẳng thức trường THPT - Kỹ vận dụng bất đẳng thức để giải tốn: tìm giá trị lớn – giá trị nhỏ nhất, giải hệ phương trình, phương trình nghiệm nguyên, phương trình vơ tỉ III Đối tượng nghiên cứu - Học sinh trung học phổ thông - Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức ứng dụng IV Phương pháp nghiên cứu: Qua trình học tập từ trước đến nay, tham khảo tài liệu, thu thập tài liệu, đúc rút, tổng kết kinh nghiệm, kiểm tra kết kiểm tra chất lượng học sinh, nghiên cứu hồ sơ giảng dạy, điều tra trực tiếp thông qua học, thể nhiều đối tượng học sinh khác nhau: học sinh giỏi, học sinh trung bình mơn tốn V Nội dung: - Các bất đẳng thức - Các phương pháp chứng minh + Phương pháp chứng minh thông thường + Mở rộng cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi - Bài tập vận dụng đề thi + Bài tập + Bài tập nâng cao + Một số bất đẳng thức đề thi đại học vừa qua B CƠ SỞ LÝ LUẬN -3- Chuyên đề bất đẳng thức trường THPT Để giải tốn địi hỏi người phải đọc kỹ toán xem toán yêu cầu gì, phải sử dụng phương pháp để giải, gặp toán giải có dạng tương tự tốn hay khơng để từ tìm cách giải Đối với học sinh việc vận dụng khiến thức lý thuyết, nhận dạng tốn để tìm cách giải chưa rèn luyện nhiều đơi lúc trình bày vấn đề sơ sài Khi nghiên cứu bất đẳng thức ta thấy thật có tác dụng rèn luyện phát huy khả tư để giải tốn khơng riêng bất đẳng thức mà cịn giải dạng tốn khác muốn giải địi hỏi phải thật có kiến thức toán học lớn Phương pháp để giải tốn bất đẳng thức khơng đâu xa xơi ngồi chương trình em Nhưng việc em vận dụng vấn đề cốt lỏi Muốn làm điều địi hỏi học sinh phải thật nắm vững kiến thức, phải có lập luận lôgic, xét đầy đủ mặt khác toán, nhận dạng toán Đặc biệt học sinh giỏi phải linh hoạt, sáng tạo không giải tốn mà cịn phải khái qt dạng để đưa phương pháp chung cho toán khác tuơng tự Khi giảng dạy cho học sinh giáo viên phải rèn luyện cho em nắm phần lý thuyết, đưa ví dụ minh hoạ cụ thể, tập vận dụng, nên ý tạo cho em cách nhìn nhận tốn để giải khơng nên giải tắt, làm tắt tạo cho học sinh khó hiểu chí khơng hình thành lơgic tốn học Thời lượng chương trình dành cho bất đẳng thức phổ thơng sở hạn chế Do việc học tập vận dụng thành thao cho em sẻ khó khăn đói với em có học lực trung bình, Bên cạnh đó, cần phải mở rộng nâng cao số kiến thức để em phát huy hết khả tư duy, sáng tạo C NỘI DUNG ĐỀ TÀI I Các bất đẳng thức -4- Chuyên đề bất đẳng thức trường THPT Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối Cho a, b ∈ ¡ , ta có: a + b ≤ a + b (1) a − b ≥ a − b (2) Dấu “=” xảy ab > • Chứng minh (1): (1) ⇔ ( a+b ) ( a + b) ≤ ⇔ a + 2ab + b ≤ a + a b + b ab ≤ a b ( *) (*) ∀a, b ∈ ¡ Dấu " = " xảy khi: ab ≥ • Chứng minh (2): ∀a, b ∈ ¡ ∀ ( a − b ) , b ∈ ¡ ⇔ Áp dụng (1), ta có (2) ⇔ ( a − b ) + b ≤ ⇔ ≤ a a−b + b a −b + b ⇔ a−b ≤ a −b Vậy (2) Ngồi ta cịn dùng quy nạp để chứng minh cho n số: ∀a1 , a2 , , an ∈ ¡ , ta ln có: n n i =1 i =1 ∑ ≤ ∑ n Dấu " = " xảy khi: ∏a i >0 i =1 Bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân Cho a, b ∈ ¡ , a, b ≥ , ta có: a+b ≥ ab (*) Dấu “=” xảy a = b • Chứng minh (*) ⇔ ( a + b) ≥ 4ab ⇔ a + 2ab + b ≥ 4ab ⇔ a − 2ab + b ≥ ⇔ ( a − b) ≥ 0; ∀a, b ∈ ¡ , a, b ≥ Dấu “=” xảy a = b Vậy (*) chứng minh Ta mở rộng bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân cho n số thực không âm: -5- Chuyên đề bất đẳng thức trường THPT ∀a1 , a2 , , an ∈ ¡ , a1 , a2 , , an ≥ , ta ln có: n ∑a i =1 n i ≥ n n ∏a i =1 i Dấu " = " xảy khi: a1 = a2 = = an Bất đẳng thức Cauchy – Bunhiacovski Cho a1 , a2 , b1 , b2 ∈ ¡ , ta ln có: 2 (a12 + a2 )(b12 + b2 ) ≥ ( a1b1 + a2b2 )2 (*) Dấu " = " xảy khi: a1 = kb1 , a2 = kb2 , k ∈ ¡ • Chứng minh: ( *) ⇔ a12b12 + a12b22 + a22b12 + a22b22 ≥ a12b12 + 2a1b1a2b2 + a22b22 ⇔ 2 a12b2 + a2 b12 ≥ ⇔ ( a1b2 − a2b1 ) ≥ 2 2a1b1a2b2 ≥ ⇔ a b − 2a1b1a2b2 + a b 2 0; ∀a1 , b1 , a2 , b2 ∈ ¡ Dấu " = " xảy khi: a1b2 = a2b1 = k , k ∈ ¡ , tức a1 = kb1 , a2 = kb2 , k ∈ ¡ Vậy (*) chứng minh Ta mở rộng bất đẳng thức Cauchy – Bunhiacovski cho 2n số thực: ∀a1 , a2 , , an , b1 , b2 , , bn ∈ ¡ , ta ln có:  n  a ∑ b ≥  ∑ bi ÷ ∑ i =1  i=1  i =1 Dấu " = " xảy khi: = kbi , i = 1, n; k ∈ ¡ n i n i II Các phương pháp chứng minh Phương pháp chứng minh thông thường a Phương pháp dựa vào định nghĩa Để chứng minh A ≥ B , ta làm sau: - Lập hiệu A − B - Biến đổi biểu thức A − B chứng minh A − B ≥ - Kết luận A ≥ B - Xét trường hợp A = B Ví dụ: Chứng minh rằng: a b + ≥ ; ∀ab > b a Chứng minh: -6- Chuyên đề bất đẳng thức trường THPT 2 a − b) Ta có: a + b − = a + b − 2ab = ( b a ab ab Vì ab > , nên ( a − b) ab 2 ≥0 a b + ≥ ; ∀ab > b a Dấu “=” xảy a = b Bài tập tương tự: Chứng minh rằng: 1 + ≥ ; ∀a, b ∈ ¡ , ab > −1 2 + a + b + ab b Phương pháp chứng minh trực tiếp Để chứng minh A ≥ B , ta làm sau: - Biến đổi vế phức tạp, thường vế trái: A = A1 = A2 = = B + M Vậy Vì M ≥ nên B + M ≥ B Nên A ≥ B Dấu “ =” xảy M = Ví dụ: Chứng minh rằng: x − x + ≥ −1; ∀x ∈ ¡ Chứng minh: Ta có: x − x + = −1 + x − x + = − + ( x − ) ( ) Do ( x − ) ≥ 0; ∀x ∈ ¡ Nên x − x + ≥ −1; ∀x ∈ ¡ Dấu ”=” xảy x = Bài tập tương tự: Chứng minh rằng: 1 + + + < 1.2 2.3 99.100 c Phương pháp so sánh Để chứng minh A ≥ B , ta làm sau: - Biến đổi riêng vế so sánh kết Suy điều phải chứng minh: A = A1 = A2 = = An B = B1 = B2 = = Bn Nếu An ≥ Bn , A ≥ B Ví dụ: Chứng minh rằng: -7- Chuyên đề bất đẳng thức trường THPT 200300 > 300 200 Chứng minh: 200300 = ( 2003 ) 100 300200 = ( 3002 ) = 8000000100 100 = 90000100 Vì 8000000100 > 90000100 Nên 200300 > 300200 d Dùng phép biến đổi tương đương Để chứng minh A ≥ B , ta làm sau: Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức bất đẳng thức chứng minh Chú ý bất đẳng thức sau: - Bình phương tổng, hiệu - Lập phương tổng, hiệu ( a + b + c ) = a + b2 + c + 2ab + 2bc + 2ac ( a+b+c+d) = a + b + c + d + 2ab + 2bc + 2cd + 2ac + 2bd + 2ad a + b3 + c − 3abc = ( a + b + c ) ( a + b + c − ab − bc − ca ) Ví dụ: Cho a, b ∈ ¡ Chứng minh rằng: a + b + ≥ ab + a + b Chứng minh: Ta có: a + b2 + ⇔ ⇔ ≥ ab + a + b a + b + − ab − a − b ≥0 ( a + b + − ab − a − b ) ≥0 ⇔ ( a − 2ab + b ) + ( a − 2a + 1) + ( b − 2b + 1) ≥ + ( a − 1) + ( b − 1) ≥ 0; ∀a, b ∈ ¡ Dấu ”=” xảy a = b = Bài tập tương tự: Cho a, b, c ∈ ¡ , abc ≠ Chứng minh rằng: a b c 1 + + ≥ + + bc ca ba a b c e Phương pháp làm trội ⇔ -8- ( a − b) 2 Chuyên đề bất đẳng thức trường THPT Dùng tính chẩt bất đẳng thức để đưa vế bất đẳng thức cần chứng minh dạng để tính tổng hữa hạn tích hữu hạn - Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn: S = u1 + u2 + + un biểu diễn số hạng tổng quát uk hiệu số hạng liên tiếp nhau: uk = ak − ak +1 Lúc đó: S n = (a1 − a2 ) + (a2 − a3 ) + + (an −1 − an ) = a1 − an -Phương pháp chung để tính tích hữu hạn Pn = u1u2 un biểu diễn số hạng tổng quát uk thương số hạng liên tiếp uk = n Lúc Pn = ∏ i=2 ak ak +1 −1ai a1 = ai +1 an Ví dụ: Chứng minh bất đẳng thức sau với n ∈ ¥ : a) 1 1 + + + < − 2 n n b) 1 + + + < 2 n Chứng minh: a) Với k > , ta có: 1 1 < = − k k ( k − 1) k − k Lần lượt thay k = 2,3, , n cộng lại có: 1 1 1 + + < − ⇒ + + + < − 2 n n n n b)Với k > ta có: 1   ≤ 2 − ÷ k  2k − 2k +  Lần lượt thay k = 2,3, , n vào cộng lại ta được: 1  1 + + < 2 − ÷ 2 n  2n +  1 ⇔ + + < n 1 ⇔ + + + < n -9- Chuyên đề bất đẳng thức trường THPT Bài tập tương tự: Chứng minh rằng: Với n ∈ ¥ * , ta có: 1 + + + < 2 n n −1 f Phương pháp lượng giác Sử dụng điều kiện biến x ≤ k ⇒ k ≥ Đặt x = k sin a với −π π ≤ a ≤ x = k cos a với ≤ a ≤ π 2 Ví dụ: Chứng minh rằng: − a + a ≤ 15 Chứng minh: Điều kiện a ≤ Đặt a = 3sin α , −π π ≤α ≤ 2 Khi đó: − a + 4a = − 9sin α + 12sin α = − sin α + 12sin α = cos α + 12sin α = 15 3cos α 4sin α + 5 = 15 cos(α − β ) ≤ 15 với cos β = , sin β = 5 Bài tập tương tự: Chứng minh rằng: x < n số nguyên lớn ta có: ( 1− x) n − ( + x ) < 2n n g Dùng bất đẳng thức tam giác Nếu a, b, c số cạnh tam giác a,b,c>0 b−c < a 3) Cho  x + y + z = Tìm giá trị lớn S = x y + y z + z x III.Bài tập vận dụng đề thi: 1) Bài tập bản: 1.1) Cho a, b, c ba số dương Chứng minh rằng: a + b > c  a) ( a + b − c ) ( b + c − a ) ( c + a − b ) > đồng thời b + c > a c + a > b  3 2 b) ( a + b + c ) ≥ ( a + b + c ) ( a + b + c ) ≥ 9abc 3 c) ( a + b + c ) ≥ ab ( a + b ) + bc ( b + c ) + ca ( c + a ) ≥ 6abc ( a + b) ( b + c) ( c + a) 1.2) Cho a, b, c ba số thỏa mãn điều kiện a + b + c = Chứng minh rằng: abc + ( + a + b + c + ab + bc + ca ) ≥ 1.3) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác với chu vi p Chứng minh rằng: 3 d) a + b + c ≥ - 35 - Chuyên đề bất đẳng thức trường THPT abc 1 1 1 + + ≥  + + ÷ b) p−a p−b p −c a b c a) ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) ≤ p − a + p − b + p − c ≤ p 1.4) Cho 2n số dương a1 , a2 , , an , b1 , b2 , , bn Chứng minh rằng: n a +b ( 1 ) ( a2 + b2 ) ( an + bn ) ≥ n a1a2 an + n b1b2 bn c) p< 1.5) Cho a, b ∈ ¡ , thỏa a + b ≥ Chứng minh rằng: ( a + b ) ( a + b3 ) ( a + b ) ≤ ( a + b9 ) 1.6) Cho a, b, c ∈ ( 0; +∞ ) Chứng minh rằng: ( abc ) a +b+ c ≤ a a bb c c 1.7) Cho a, b, c ∈ ¡ ; a ≤ 6; b ≤ −8; c ≤ Chứng minh rằng: ∀x ≥ ta có: x − ax − bx ≥ c 1.8) Cho VABC Chứng minh rằng: ∀x ta có: 1 + x ≥ cos A + x ( cos A + cos B ) ∀x, y , z ∈ ¡ 1.9) Chứng minh rằng: 1.10) 1.11) 1.12) 1.13) - 36 - x + xy + y + x + xz + z ≥ y + yz + z Gọi a, b, c độ dài cạnh, x, y , z độ dài đường phân giác VABC Chứng minh rằng: 1 1 1 + + > + + x y z a b c Cho a, b, c ∈ ¡ thóa a + b + c = Chứng minh rằng: a2 b2 c2 3 + + ≥ 2 2 b +c c +a a +b Cho < a < b Chứng minh rằng: a −b a a −b < ln < a b b Chứng minh rằng: Chuyên đề bất đẳng thức trường THPT Nếu < x < π thì: 2sin x + 2tan x ≥ x x +1 1.14) Cho a, b ∈ ( 0; +∞ ) Chứng minh rằng: ab ≤ a a bb 1.15) ∀a ∈ ¡ Chứng minh rằng: a2 + a + + a2 − a + ≥ 1.16) Cho x, y , z ∈ ( 0; +∞ ) Chứng minh rằng: 1 + y + + z + ≥ 82 x y z 1 1.17) Cho x, y , z ∈ ( 0; +∞ ) thỏa: + + = x y z Chứng minh rằng: 1 + + ≤1 2x + y + z x + y + z x + y + 2z 1.18) ∀x ∈ ¡ Chứng minh rằng: x x x  12   15   20  x x x  ÷ + ÷ + ÷ ≥ +4 +5 5  4    1.19) Cho x, y , z ∈ ( 0; +∞ ) xyz = Chứng minh rằng: x2 + + x3 + y3 + y3 + z3 + z + x3 + + ≥ 3 xy yz zx 1.20) Cho x, y ∈ ¡ thỏa: ≤ x ≤ 3;0 ≤ y ≤ Tìm giá trị lớn của: A= ( x − 1) + y2 + ( x + 1) + y2 + y − 1.21) Cho a, b, c ∈ ¡ ; a ≥ 3, b ≥ 4, c ≥ Tìm giá trị: ab c − + bc a − + ca b − A= abc 1.22) Cho α , β , γ ba góc dương thỏa mãn điều kiện α + β + γ = - 37 - π Chuyên đề bất đẳng thức trường THPT Tìm giá trị lớn biểu thức: A = + tan α tan β + + tan β tan γ + + tan γ tan α 2) Bài tập nâng cao: 2.1) Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: 2 2 a + ( − b ) + b2 + ( − c ) + c2 + ( − a ) ≥ 2.2) Cho a, b, c ∈ ( 0;1) Chứng minh rằng: ( 1− a) ( 1− b) ( 1− c) abc + , thỏa x1 x2 xn = - 38 - Chuyên đề bất đẳng thức trường THPT Chứng minh rằng: 1 + + + > 1 + x1 + x1 x2 + x2 + x2 x3 + xn + xn x1 2.11) Cho x, y , z ∈ ( 0; +∞ ) , thỏa x + y + z = xyz Chứng minh rằng: xy + yz + zx ≥ + x + + y + + z + 2.12) Cho x, y , z ∈ ( −1; +∞ ) Chứng minh rằng: + x2 + y + z + + ≥2 y + z z + x2 x + y 2.13) Cho x, y , z ∈ ( 0; +∞ ) , thỏa x + y + z = Chứng minh rằng: x2 + y y2 + z z + x + + ≥2 y+z z+x x+ y 2.14) Cho x, y , z ∈ ( 0; +∞ ) , thỏa x + y + z = Chứng minh rằng: x + y + z ≥ xy + yz + zx 2.15) Cho x, y , z ∈ ( 0; +∞ ) Chứng minh rằng: x y z z+x x+ y y+z + + ≥ + + y z x z+ y x+z y+x 2.16) Cho x, y , z ∈ ( 0; +∞ ) Chứng minh rằng: x3 y3 z3 xy + yz + zx + + ≥3 2 2 y − yz + z z − zx + x x − xy + y x+ y+z 2.17) Cho a, b, c, x, y, z ∈ ( 0; +∞ ) , thỏa a + x = b + y = c + z = Chứng minh rằng:  1  + + ÷≥  ay bz cx  ( abc + xyz )  2.18) Cho x, y , z ∈ ( 0; +∞ ) Chứng minh rằng: ( x y + y z + z x ) ( xy + yz + zx ) ≥ xyz ( x + y + z ) 2.19) Cho x, y , z ∈ ( 0; +∞ ) Chứng minh rằng:  1 1 x2   y  z2  27 +  + ÷ + ÷ + ÷ ≥ ( x + y + z )  + + ÷ yz   zx   xy  x y z  - 39 - Chuyên đề bất đẳng thức trường THPT 2.20) Cho x, y , z ≤ , thỏa x + y + z = Chứng minh rằng: 1 27 + + ≤ 2 1+ x 1+ y 1+ z 10 2.21) Cho x1 , x2 , , xn ∈ ( 0;1) σ hoán vị { 1; 2; ; n} Chứng minh rằng: n   ∑ xi n ∑ − x ≥ 1 + i=1n  i =1 i   2.22) Cho x1 , x2 , , xn ∈ ( 0; +∞ ) , thỏa n  ÷ n ÷ ∑ ÷ i =1 − xi xσ ( i ) ÷  ∑ 1+ x i =1  ÷ ÷  =1 i Chứng minh rằng: n ∑ i =1 2.23) Cho n > x1 , x2 , , xn ∈ ¡ , thỏa Chứng minh rằng: n xi ≥ ( n − 1) ∑ i =1 xi n ∑ xi ≥ n i =1 n ∑a i =1 i ≥ n2 max { x1 , x2 , , xn } ≥ 2.24) Cho x1 , x2 , , xn ∈ ( 0; +∞ ) , n > , thỏa:  n  n  ∑ xi ÷ ∑ x  i =1   i =1 i  ÷= n +1  Chứng minh rằng:  n  n   ∑ xi ÷ ∑ x ÷ > n + + n n − ( )  i =1   i =1 i  2.25) Cho x1 , x2 , , xn ∈ ( 0; +∞ ) , n > , thỏa x1 + x2 + + xn = Chứng minh rằng: n   n  n − xi  + ÷≥ ∏  ∏  x i=1 − x ÷ i =1  i  i   2.26) Cho a, b, c ∈ ( 0; +∞ ) , thỏa abc = Chứng minh rằng: 1 1 1 + + ≤ + + 1+ a + b 1+ b + c 1+ c + a + a + b + c 2.27) Cho a, b, c ∈ ( 0; +∞ ) , thỏa 21ab + 2bc + 8ca ≤ 12 Tìm giá trị nhỏ của: - 40 - Chuyên đề bất đẳng thức trường THPT + + a b c 2.28) Cho a, b, c, x, y, z ∈ ( 0; +∞ ) , thỏa xy + yz + zx = Chứng minh rằng: a b c ( y + z) + ( z + x) + ( x + y ) ≥ b+c c+a a +b 2.29) Cho a, b, c ∈ ( 0; +∞ ) Chứng minh rằng: 2 ( b + c − a) + ( c + a − b) + ( a + b − c) ≥ 2 ( b + c ) + a ( c + a ) + b2 ( a + b ) + c 2.30) Cho a, b, c, d ∈ ( 0; +∞ ) , thỏa abcd = Chứng minh rằng: (1+ a) + ( 1+ b) + ( 1+ c) + ( 1+ d ) ≥1 3) Một số tập bất đẳng thức kỳ thi đại học vừa qua: 3.1) Cho x, y , z ∈ ( 0; +∞ ) thỏa x + y + z ≤ Chứng minh rằng: 1 + y + + z + ≥ 82 x y z (Đề Toán khối A năm 2003) 3.2) Tìm giá trị lớn nhỏ hàm: y = x + − x2 (Đề Toán khối B năm 2003) 3.3) Cho VABC không tù, thỏa: cos A + 2 cos B + 2 cos C = Tính góc VABC (Đề Toán khối A năm 2004) 3.4) Cho x, y , z ∈ ( 0; +∞ ) , thỏa: 1 + + =4 x y z x2 + Chứng minh rằng: 1 + + ≤1 2x + y + z y + z + x 2z + x + y (Đề Toán khối A năm 2005) 3.5) Cho x, y ∈ ¡ thay đổi Tìm giá trị nhỏ của: - 41 - Chuyên đề bất đẳng thức trường THPT A= ( x − 1) + y2 + ( x + 1) + y2 + y − (Đề Toán khối B năm 2006) 3.6) Cho x, y ∈ ¡ \ { 0} thay đổi, thỏa: ( x + y ) xy = x + y − xy Tìm giá trị nhỏ lớn của: A= 1 + x3 y (Đề Toán khối A năm 2006) 3.7) Cho x, y , z ∈ ( 0; +∞ ) , thỏa xyz = Tìm giá trị nhỏ của: x2 ( y + z ) y2 ( z + x) z2 ( x + y ) P= + + y y + 2z z z z + 2x x x x + y y (Đề Toán khối A năm 2007) 3.8) Cho x, y , z ∈ ( 0; +∞ ) , thỏa: x ( x + y + z ) = yz Chứng minh rằng: 3 ( x + y ) + ( y + z ) + 3( x + y ) ( y + z ) ( z + x ) ≤ ( y + z ) (Đề Toán khối A năm 2009) D TỔNG KẾT Các tập bất đẳng thức thường tương đối khó học sinh Nhưng với đề tài chúng tơi hy vọng góp phần giúp em cảm thấy dễ dàng việc giải toán bất đẳng thức Đồng thời, đứng trước tốn khó dù dạng tập nào, em có hướng suy nghĩ tự tin Đề tài nhiều thiếu sót, mong ủng hộ thầy bạn để đề tài ngày hoàn thiện - 42 - Chuyên đề bất đẳng thức trường THPT Chúng xin chân thành cảm ơn cô Ngơ Thị Bích Thủy, thầy Nguyễn Duy Thái Sơn nhiệt tình giúp đỡ chúng tơi hồn thành đề tài Đà Nẵng, ngày tháng năm 2010 Nhóm sinh viên thực PHỤ LỤC Bất đẳng thức Cauchy – Bunhiacovski 6, 22 Bất đẳng thức Chebychev 24 Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối Bất đẳng thức lượng giác tam giác 31 Bất đẳng thức Nesbit .24 Bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân 5, 18 Phương pháp: Bài toán giá trị lớn – giá trị nhỏ 35 Bất đẳng thức tam giác 11 - 43 - Chuyên đề bất đẳng thức trường THPT Biến đổi tương đương Chứng minh trực tiếp .7 Dồn biến 25 Dựa vào định nghĩa Đạo hàm 16 Làm trội Lượng giác .10 Miền giá trị hàm .14 Phản chứng .12 Quy nạp 12 So sánh SOS 28 Tam thức bậc hai 15 Tính chất hàm lồi 13 Vec-tơ .17 - 44 - ... giáo, bạn để đề tài hồn thiện hơn, xin chân thành cảm ơn! II Nhiệm vụ nghiên cứu - Kỹ giải toán chứng minh bất đẳng thức -2- Chuyên đề bất đẳng thức trường THPT - Kỹ vận dụng bất đẳng thức để... học nghiên cứu nhiều, đa dạng phong phú Trong tốn bất đẳng thức tốn khó, để giải tốn bất đẳng thức, bên cạnh việc nắm vững khái niệm tính chất bất đẳng, cịn phải nắm phương pháp chứng minh bất đẳng. .. kiến thức để em phát huy hết khả tư duy, sáng tạo C NỘI DUNG ĐỀ TÀI I Các bất đẳng thức -4- Chuyên đề bất đẳng thức trường THPT Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối Cho a, b ∈ ¡ , ta ln có: a + b ≤