CHƯƠNG 11-Tính hệ thanh siêu tĩnh bằng phương pháp lự

Bậc siêu tĩnh của hệ được tính bằng số liên kết thừa.. Số liên kết thừa của một hệ có thể là liên kết ngoại liên kết cần thiết để giữ cho hệ được cố định hay liên kết nội liên kết giữa

Chương 11 TÍNH HỆ THANH SIÊU TĨNH

BẰNG PHƯƠNG PHÁP LỰC

I KHÁI NIỆM CƠ BẢN

⇒ Hệ tĩnh định (HTĐ): số liên kết = số phương trình cân bằng tĩnh học

⇒ Hệ siêu tĩnh (HST) là hệ có số liên kết nhiều hơn số phương trình cân

bằng tĩnh học Hệ siêu tĩnh là hệ bất biến hình và có các liên kết thừa Bậc

siêu tĩnh của hệ được tính bằng số liên kết thừa Số liên kết thừa của một

hệ có thể là liên kết ngoại (liên kết cần thiết để giữ cho hệ được cố định) hay liên kết nội (liên kết giữa các phần đối với nhau trong cùng một hệ)

So với hệ tĩnh định, HST có những đặc điểm sau:

• Nội lực trong HST phân bố đều hơn, ứng suất và biến dạng nhỏ hơn

so với HTĐ có cùng kích thước và tải trọng

• HST có nhược điểm là dễ phát sinh các ứng suất khi nhiệt độ thay đổi, khi có độ lún ở các gối tựa, gia công lắp ghép không chính xác

• Khi những liên kết thừa bị hư hỏng thì hệ vẫn không bị phá loại, vì khi đó hệ vẫn bết biến hình học

Ví dụ: Hình 11.1a,e: hệ thừa 2 liên kết ngoại: bậc siêu tĩnh của hệ là 2

Hình 11.1b: hệ thừa 1 liên kết ngoại: bậc siêu tĩnh của hệ là 1 Hình 11.1c:

hệ thừa 3 liên kết ngoại và 3 liên kết nội: bậc siêu tĩnh là 6 Hình 11.1d: hệ thừa 3 liên kết nội, bậc siêu tĩnh của hệ là 3

Khung khép kín (hình 1.1f) ⇒ siêu tĩnh bậc ba Vì muốn nối phần (A) và (B), cần 3 liên kết đơn hoặc 1 khớp và 1 liên kết đơn hay thay ba liên kết đơn bằng mối hàn cứng (hình 11.1g,h)

⇒ Khái niệm “liên kết thừa” chỉ có tính qui ước Bởi vì để đảm bảo cho hệ bất biến hình thì chúng là thừa, nhưng sự có mặt của chúng sẽ tạo cho kết cấu có độ cứng cao hơn và do đó, làm việc tốt hơn so với hệ tĩnh định Sau đây ta giải HST bằng phương pháp lực

a)

e)

Hình 11.1

II GIẢI HỆ SIÊU TĨNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP LỰC

1 Hệ cơ bản của HST

⇒ là một HTĐ có được từ HST đã cho bằng cách bỏ bớt các liên kết thừa HST có thể có nhiều hệ cơ bản (hình 11.2)

Cần chú ý rằng:

⇒ Sau khi bỏ các liên

kết thừa, hệ phải đảm bảo

tính bất biến hình của nó

⇒ Chỉ được phép giảm

bớt các liên kết đơn chứ

không được phép thêm

liên kết đơn vào một mặt

cắt bất kỳ

Ví dụ: hệ trên hình 11.3b, c không phải là hệ cơ bản của hệ trên hình

11.3a, vì nó sẽ biến hình

2 HTĐ tương đương

⇒ HTĐ tương đương với HST đã cho khi biến dạng và chuyển vị của chúng hoàn toàn giống nhau

⇒ HTĐ tương đương là hệ cơ bản chọn của HST: các liên kết thừa biểu diễn phản lực liên kết (hình 11.4) Phản lực liên kết được xác định với điều kiện biến dạng và chuyển vị của HTĐ hoàn toàn giống như HST đã cho

Hình 11.4

3 Thiết lập hệ phương trình chính tắc để xác định các phản lực liên kết

⇒ Với mỗi phản lực liên kết Xi ta có một điều kiện chuyển vị:

l

q

l

Hình 11.2

l

l

Hình 11.3

Gọi Δi là chuyển vị của điểm đặt của Xi theo phương của Xi đó, gây ra do

tải trọng Pi và tất cả các Xj (j = 1, 2, …, n), với n là bậc siêu tĩnh ta có:

Δi = ± δi (i = 1, 2, …, n) (11.1)

Ở đây δi là chuyển vị tại điểm đặt của Xi và theo phương Xi đó do tải trọng

đã cho gây ra trong HST, dấu (+) lấy khi chiều chuyển vị của δi cùng chiều

với chiều của lực Xi và lấy dấu (-)khi chiều chuyển vị của δi ngược chiều với

chiều của lực Xi Trong các trường hợp thường gặp như gối cố định, di động,

ngàm thì ta có δi = 0 Tuy nhiên có những trường hợp δi ≠ 0, chẳng hạn gối

tựa đàn hồi

⇒ Nếu HST có n bậc siêu tĩnh ⇒ n phương trình (11.1) ⇒ hệ phương

trình chính tắc xác định các phản lực liên kết Xi (i = 1, 2, , n):

1 11 1 12 2 1n n 1p

2 21 1 22 2 2 n n 2p

n n1 1 n2 2 nn n np

⎪

⎬

⎪

⎪

trong đó: Δip là chuyển vị theo phương i của hệ cơ bản do tải trọng gây nên

δik là chuyển vị đơn vị theo phương i của hệ cơ bản do lực đơn vị đặt theo

phương k gây nên

⇒ Ta có thể tính được Δip và δik theo công thức Mo sau:

δ =∑n ∫l i +∑n ∫l i + +∑n ∫l i

zi zk xi xk zi zk ik

i 1 0 i 1 0 x i 1 0 p

Δ = ∑n ∫l i +∑n ∫l i + +∑n ∫l i

zi zp xi xp zi zp ip

i 1 0 i 1 0 x i 1 0 p

⇒ Nếu bỏ qua ảnh hưởng của kéo-nén và xoắn so với uốn, thì Δip và δik

tính theo công thức Mo sau (bỏ qua chỉ số x, y trong công thức):

i

l n

i k ik

i 1 0

M M

dz EJ

=

i

l n

i p ip

i 1 0

M M

dz EJ

=

⇒ Sau khi xác định được các phản lực liên kết Xi, đặt các phản lực liên kết

Xi cùng với tải trọng lên hệ cơ bản ⇒ một HTĐ tương đương

⇒ Giải HST bằng phương pháp lực ta có các bước sau:

Bước 1 Xác định bậc siêu tĩnh và chọn hệ cơ bản

Bước 2 Xác định HTĐ tương đương bằng cách đặt vào hệ cơ bản các phản

lực liên kết tương ứng với các liên kết thừa đã bỏ đi

Bước 3 Thiết lập hệ phương trình chính tắc

Ví dụ 11.1: Vẽ biểu đồ nội lực của khung như hình vẽ 11.5a

Giải: Khung có hai bậc siêu tĩnh, hệ cơ bản được chọn như hình 11.5b HTĐ tương đương như trên hình 11.5c Phương trình chính tắc có dạng:

11 1 12 2 1p

21 1 22 2 2p

δ + δ + Δ = ⎫⎪

⎬

δ + δ + Δ = ⎪⎭

Biểu đồ mômen uốn do tải trọng (Mp) như hình 11.5d

Áp dụng phương pháp nhân biểu đồ Verêsaghin ta có:

3 n

1 1 11

i 1 0

=

∑∫l i

3 n

1 2 12

i 1 0

=

∑∫l i

3 n

2 2 22

i 1 0

=

∑∫l i

n

p 1 1p

i 1 0

=

∑∫l i

n

p 2 2p

i 1 0

=

∑∫l i

Hình 11.5

X 2

X 1

(c)

X 2 =1

2

M

(f) a

C

B

A

a

a

(a)

q

(e)

X 1 =1

1

M

a

C

B

A

M P

qa2/2

(d)

(b)

Hệ cơ bản

Thay vào phương trình chính tắc, ta cã:

⎪

⎩

2

3

28

Ðể vẽ biểu đồ M, N, Q ta đặt các lực X1, X2 vào hệ cơ bản với lực X1 có chiều ngược lại vì kết quả mang dấu âm Biểu đồ M, N, Q như hình 11.6

Hình 11.6

III TÍNH HỆ SIÊU TĨNH ÐỐI XỨNG

1 Định nghĩa : ⇒ Hệ đối xứng là hệ khi có ít nhất một trục đối xứng

⇒ Hệ đối xứng chịu tải trọng đối xứng khi tải trọng đặt lên phần này là ảnh của tải trọng đặt lên phần kia qua gương phẳng đặt tại trục đối xứng và vuông góc với mặt phẳng của hệ

⇒ Nếu tải trọng của phần này là ảnh của phần kia nhưng có chiều ngược lại thì ta gọi là hệ đối xứng chịu tải trọng phản đối xứng

Hình (11.7a,b,c) - HST

đối xứng, hệ chịu tải trọng

đối xứng, hệ chịu tải trọng

phản đối xứng

2 Tính chất (mệnh đề)

⇒ Tương tự, nội lực

cũng có tính chất đối xứng

hoặc phản đối xứng

⇒ Trong mặt phẳng: N z , M x có tính

đối xứng, Q y có tính phản đối xứng

⇒ Trong không gian: N z , M x , M y là đối

xứng, Q x , Q y và M z phản đối xứng

Hình 11.7

Mx

Mx

Qy

Qy

Hình 11.8

⇒ Tính chất của HST đối xứng:

Nếu một hệ đối xứng chịu tải trọng

đối xứng thì nội lực phản đối xứng

trên mặt cắt trong mặt phẳng đối

xứng của hệ là bằng không Ngược

lại nếu tải trọng là phản đối xứng thì

nội lực đối xứng phải bằng không

⇒ Chú ý các nhận xét sau: Khi hệ

là đối xứng chịu tải trọng đối xứng

thì biểu đồ mômen là đối xứng, ngược lại nếu tải trọng phản đối xứng thì

biểu đồ mômen là phản đối xứng Phép nhân Vêrêsaghin giữa biểu đồ đối

xứng và phản đối xứng là bằng không

Chứng minh Giả sử có HST đối xứng chịu tải phản đối xứng (hình

11.10b) Chọn hệ cơ bản bằng cách cắt đôi khung Phải chứng minh các

thành phần nội lực đối xứng X1 và X2 trên mặt cắt là bằng không

X1 , X2 , X3 là nghiệm của phương trình chính tắc:

11 1 12 2 13 3 1p

21 1 22 2 23 3 2 p

31 1 32 2 33 3 3p

⎪

⎨

⎩

(11.4)

⇒ Biểu đồ M1, M2 là đối xứng còn biểu đồ M3 là phản đối xứng nên:

δ13 = δ31 = δ23 = δ32 =Δ1p = Δ2p = 0

⇒ Do đó hệ phương trình chính tắc trên thu gọn lại như sau:

11 1 12 2

21 1 22 2

33 3 3p

⎨

⎪δ + Δ =

⎩

(11.5)

⇒ Hai phương trình đầu là một hệ thống phương trình thuần nhất 2 ẩn số

định thức khác không ⇒ X1 = X2 = 0

Mx

Qx

N z

x

y

z y

x

z

My

Qy

Mz

Hình 11.9

X 3

X 3

X 2

X 2

X 1

P k =1

Hình 11.10

(a)

(b)

P

k

Pl

l

⇒ Tương tự, khung chịu lực đối xứng như hình vẽ 11.10a Lúc đó biểu đồ

tải trọng là đối xứng nên: δ13 = δ31 = δ23 = δ32 = Δ3P = 0

⇒ Hệ phương trình chính tắc:

11 1 12 2 1p

21 1 22 2 2p

33 3

⎧

⎪

⎨

⎩

(11.6)

⇒ Từ phương trình thứ 3 ta được X3 = 0 ⇒ đpcm

⇒ Trường hợp hệ đối xứng nhưng tải trọng bất kỳ ⇒ tổng tác dụng của hệ

có tải trọng đối xứng và hệ chịu tải trọng phản đối xứng (hình 11.11)

IV HST CÓ CÁC LIÊN KẾT CHỊU CHUYỂN VỊ CƯỠNG BỨC

Để tính toán những HST có các gối tựa chịu chuyển vị cưỡng bức ta

cũng sẽ sử dụng những lý luận vừa mô tả ở trên Nội lực trong hệ có các

liên kết chịu chuyển vị cưỡng bức là do các gối tựa chịu các chuyển vị

cưỡng bức

Để áp dụng hệ phương trình chính tắc (11.2) vào trường hợp này ta phải

chú ý khi chọn hệ cơ bản, không nên loại bỏ các liên kết có chuyển vị

cưỡng bức mà phải cắt các liên kết ấy Ngoài ra có thể lựa chọn hệ cơ bản

bằng cách loại bỏ các liên kết thừa không có chuyển vị cưỡng bức

Giả sử cho một dầm như hình 11.12a, nếu chọn hệ cơ bản bằng cách loại

bỏ liên kết ở gối tựa B có chuyển vị cưỡng bức thì điều kiện biến dạng

theo phương của ẩn số X1 do các ẩn số Xk nếu có (trên hình 11.12a không

chỉ ra những ẩn số này) và chuyển vị cưỡng bức gây ra sẽ không bằng

không Cụ thể là:

1

X (X ,X , ,X )1 2 n 0

Bây giờ nếu ta chọn hệ cơ bản bằng cách cắt liên kết có chuyển vị cưỡng

bức B thì điều kiện chuyển vị theo phương liên kết ấy vẫn bằng không Vì

lúc này điều kiện vừa nói là điều kiện mô ta chuyển vị tương đối của hai

mặt cắt của liên kết vừa bị cắt:

P/2 P/2

P/2 P/2

P

Hình 11.11

X (X ,X , ,X ) 01 2 n

Nếu chọn hệ cơ bản bằng cách cắt các liên kết thừa có chuyển vị cưỡng

bức thì phương trình thứ k có dạng:

Δ

δk1X1 + δk 2X2 + + δ kkXk + + δ knXn + Δ =k 0 (k=1,n) (11.7)

Các hệ số δkj tính như đối với trường hợp hệ chịu tải trọng

Δ

Δk là chuyển vị theo phương của lực Xk do chuyển vị cưỡng bức gây ra

trong hệ cơ bản Nó được xác định theo công thức sau:

Δ = −k ∑n iΔ −i ∑n iθi

i 1 i 1

Trong đó R ,Mi i là phản lực theo phương liên kết thứ i do lực Xk= 1 gây

ra trong hệ cơ bản ΔiΔ là chuyển vị thẳng theo phương liên kết thứ i và

Δ

θi là góc xoay tại liên kết thứ i trong hệ siêu tĩnh đã cho

Ví dụ 11.2: Tính mômen uốn lớn nhất trong trục được cho trên hình

11.12a, nếu khi chế tạo tâm của ổ đỡ lệch đi một đoạn δ

Giải

Hệ cơ bản chọn như hình 11.12b Phương trình chính tắc có dạng:

Δ

δ11X1 + Δ =1 0

Trong đó Δ = −1Δ R 1 δ = − δ = −δ1

Biểu đồ M1 cho trên hình 11.12c, nhân biểu đồ này với chính nó ta có:

3 11

1 1 1 2 1

EJ 2 2 3 2 6EJ

l

Thay Δ1Δ và δ vừa tìm được vào phương trình chính tắc ta được: 11

1

A

B

g

C

X1

a)

b)

2

3EJ δ

l

d)

1

M

Hình 11.12

1 3

6EJ

l

Biểu đồ mômen uốn và giá trị mômen uốn lớn nhất trên hình 11.12d

IV TÍNH HST CHỊU NHIỆT ĐỘ THAY ĐỔI

Việc tính HST chịu nhiệt độ thay đổi cũng tương tự như tính hệ chịu tác

dụng của tải trọng, chỉ khác ở đây là sự biến thiên của nhiệt độ là nguyên

nhân gây ra nội lực trong hệ Vì thế số hạng Δ thay bằng kp Δ là chuyển kt

vị theo phương Xk do sự biến thiên nhiệt độ gây ra trong hệ cơ bản Cụ thể

là

Δ = δ + δ + + δ + Δ = ⎫

⎪

Δ = δ + δ + + δ + Δ = ⎪

⎬

⎪

⎪

Δ = δ + δ + + δ + Δ = ⎭

1 11 1 12 2 1n n 1t

2 21 1 22 2 2 n n 2 t

n n1 1 n 2 2 nn n nt

(11.9)

Trong đó các hệ số Δ được xác định như sau: kt

2 1

t - t

h

Δ =∑ ∫lα +∑ ∫l α

t - t

h

Trong đó Ω( )Nk và Ω( )Mk là diện tích của biểu đồ lực dọc và mômen

uốn do lực Xk = gây ra trong hệ cơ bản; 1 1 2

c

t + t t

2

= ; α là hệ số dãn nở nhiệt của vật liệu của hệ; h là chiều cao MCN; t1 và t2 là độ biến thiên của

nhiệt độ ở hai phía của MCN

Các hệ số δkj được xác định như trường hợp hệ chịu tải trọng

Sau khi thiết lập và giải hệ phương trình chính tắc ta sẽ tìm được các ẩn

số X1, X2, X3, … Việc vẽ các biểu đồ nội lực được tiến hành theo các

phương pháp đã biết

IV TÍNH DẦM LIÊN TỤC

1 Định nghĩa

⇒ Dầm liên tục là dầm

siêu tĩnh đặt trên nhiều gối

tựa đơn, trong đó có một gối

tựa cố định (hình 11.13a)

Khoảng cách giữa hai gối tựa

gọi là nhịp Bậc siêu tĩnh của

dầm bằng số nhịp trừ một

2 Phương trình ba mômen

⇒ Chọn hệ cơ bản của

dầm bằng cách đặt lên mỗi

gối tựa một khớp để chia

dầm thành nhiều dầm đơn

(h×nh 11.13b)

⇒ Những lực tác dụng lên

một nhịp nào đó chỉ ảnh

hưởng đến chuyển vị của

nhịp bên cạnh ⇒ khi xét

chuyển vị ở một gối tựa bất

kỳ, chỉ cần xét hai nhịp liên

tiếp nhau và các ẩn số chỉ là

các mômen uốn nội lực Mi

(h×nh 11.13c) (Mi>0 làm

căng thớ dưới)

⇒ Phương trình chính

tắc (phương trình ba

mômen) viết theo điều kiện

góc xoay tương đối giữa hai mặt cắt tại gối tựa đó phải bằng không

⇒ Ví dụ tại gối tựa thứ “i”:

δ11M1 + δ12M2 +…+ δi,i-1Mi-1 + δi,iMi + δi,i+1Mi+1 +…+ δ1nMn + Δip = 0

⇒ Các hệ số δi1 = δi2 = …= δi(i-2) = … = 0, do lực tác dụng trên hai nhịp

ở trên hai gối tựa thứ “i” chỉ ảnh hưởng đến góc xoay của gối tựa trên hai nhịp đó Phương trình chính tắc của hệ có dạng sau:

δi,i-1Mi-1 + δi,iMi + δi,i+1Mi+1 + Δip = 0 (11.10)

⇒ Các hệ số và số hạng tự do trong (11.10) tính theo phương pháp nhân biểu đồ Vêrêsaghin, ta có:

1

i

b i+1

a i+1

b i

P

li+1

li

P

M 2

M 1

l

l l

l

q

M 4

M 0

q

M i-1 M i M i M i+1 M i+1

a i

M i-1 =1

M i =1 1

1

Mi+1=1

i 1

M−

i

M

i 1

M+

M p

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

Hình 11.13

i 1

0

−

−

−

i

0

+ +

i 1

0

+

i

0

+ +

trong đú: li, li+1 : độ dài của nhịp thứ i và thứ (i+1) Ωi, Ωi+1: Diện tớch của biểu đồ mụmen do tải trọng gõy nờn trờn hai nhịp thứ i và thứ (i+1) ai, bi+1: Khoảng cỏch từ trọng tõm của cỏc diện tớch đú đến gối tựa thứ (i-1) và (i+1) Thay cỏc trị số đú vào phương trỡnh chớnh tắc, ta cú:

Nếu độ cứng EJ không đổi trên suốt chiều dμi của dầm, ta có :

i i 1 i i 1 i i 1 i 1

+

Vớ dụ :Vẽ biểu đồ lực cắt, mụmen uốn của dầm liờn tục như hỡnh vẽ (11.14a)

l

P=ql

M 2

M 1

l

l

l

q

M 0

a)

b)

l

l

ql2/8 ql2 /4

M p

c)

M 2

M 2

1 M

2 M

M 1

M 1

d)

ql2/40

e)

3ql2/20

ql/40

ql2/20

3ql 2 /20 7ql2 /20

3ql/8

13ql/20

7ql/20

M x

Q y

f)

g)

Giải: Đây là HST bậc 2 Hệ cơ bản như hình 11.14b Biểu đồ mômen uốn

Mp như hình 11.14c

Phương trình ba mômen đối với gối tựa thứ 1, 2 và 3 là:

⎨

⎩

2

l

Trong đó M0 = M3 = 0 (do các khớp không có mômen ngoại lực tập trung) Giải hệ phương trình trên ta được:

M1 =

2

ql 40

− ; M2 = 3ql2

20

Dấu (-) chỉ các m«men có chiều ngược với chiều đã chọn

Cộng các biểu đồ Mp, M1, M2 ta được biểu đồ Mx (hình 11.14f) Sau khi tính phản lực các gối tựa của biểu đồ Mp, M1, M2 và cộng các vectơ phản lực, ta thu được biểu đồ Qy như trên hình 11.14g

3 Trường hợp đặc biệt

⇒ Trường hợp dầm liên tục có đầu thừa và đầu ngàm thì cách giải của chúng ta như sau:

⇒ Tưởng tượng bỏ đầu thừa và thu gọn tất cả ngoại lực đặt trên đoạn đó

về gối tựa cuối cùng Mômen uốn thu gọn có thể xem là mômen liên kết tại mặt cắt của gối tựa cuối cùng (mômen đó có trị số dương khi nó làm căng thớ dưới và có trị số âm khi nó làm căng thớ trên) hoặc được xem là mômen uốn ngoại lực tác động lên dầm Còn liên kết ngàm thì được thay bằng một nhịp đặt trên một gối tựa cố định và một liên kết đơn Ðộ cứng EJx của đoạn nhịp này được xem là lớn vô cùng và chiều dài của nhịp đó được xem là bằng không (hình 11.15)

Hình 11.15

⇒ Phương trình ba mômen được áp dụng đối với từng nhịp cạnh như phần trên

P

P

l

M=P l

Ví dụ: Vẽ biểu đồ nội lực của dầm chịu lực như hình vẽ (11.15a)

Giải: Hệ cơ bản và thứ tự các nhịp, các gối tựa được đánh số như hình

11.15b Biểu đồ Mp do tải trọng gây nên trên hệ cơ bản như hình vẽ (11.15c) Mômen thu gọn ở gối tựa cuối cùng được xem là mômen liên kết trên mặt cắt của gối tựa đó Vì vậy trên biểu đồ mômen Mp không có mômen đó Với các gối tựa (1), (2), ta thiết lập được các phương trình ba mômen như sau:

⎧

⎪⎪

⎨

⎪⎩

l

l

2

2

Giải hệ trên với M0 = 0 và M3 = 0.5Pl = 0.5ql2 ta được:

M 1 = −5ql2

2

3ql

Mômen M1<0, chứng tỏ mômen M1 làm căng thớ trên, mômen M2>0 có nghĩa là M2 làm căng thớ dưới Biểu đồ mômen uốn và lực cắt cho trên hình 11.15f,g

Hình 11.15

0

M 1

l0 =0

M0=0

l/2

M 2

P=ql

M 3=-ql2/2

M 2

l

l

q

a)

b)

l

l

ql2/8

M p

c)

17ql/28

1 M

2 M

M 1

d)

5ql2/28

e)

3ql2/28

11ql/14

2 /2

3ql/14

ql

M x

Qy

f)

g)

3ql2 /28