Bài tập sức bền vật liệu- chương 10 Giải hệ siêu tĩnh bằng phương pháp lực

Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng Bài tập sức bền vật liệu trang 1 07/2013 Chương 10 GIẢI HỆ SIÊU TĨNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP LỰC I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Các khái niệm  Hệ cơ bản là hệ không biến hình được suy ra từ hệ siêu tónh bằng cách bỏ đi các liên kết thừa: Bậc siêu tónh Hệ siêu tónh Hệ cơ bản Điều kiện về biến dạng 1 0 C   1 0 B   0 A   2 0, 0 B C     0, 0 A C     0, 0 A B     A B C 1 X A B C 1 X 2 X 2 X A B C 1 X 2 X A B C A B C 1 X A B C 1 X A B C A B C 1 X A B C 1 X A B C Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng Bài tập sức bền vật liệu trang 2 07/2013 2. Hệ phương trình chính tắc  Để hệ cơ bản tương đương với hệ siêu tónh thì chuyển vò trong hệ cơ bản i  tại các vò trí và theo các phương siêu tónh ( phương của các ẩn số i X ) do các phản lực i X và do ngoại lực gây ra phải bằng không. Vì chuyển vò này phụ thuộc vào tải trọng P và phụ thuộc vào các ẩn số i X nên ta có:   1 2 , , , , 0 i i n X X X P     Đối với hệ đàn hồi tuyến tính, có thể áp dụng nguyên lý cộng tác dụng của lực: 1 1 2 2 0 i iP i i n in X X X            Trong đó:  ik  - Chuyển vò đơn vò tại vò trí và theo phương lực i X do lực đơn vò 1 k X  gây ra trong hệ cơ bản.  ip  - Chuyển vò tại vò trí và theo phương lực i X do tải trọng gây ra trong hệ cơ bản. Cho i = 1, 2, , n ta được hệ phương trình bậc nhất đối với n ẩn số X i như sau: 1 1 11 2 12 1 2 1 21 2 22 2 1 1 2 2 0 0 0 P n n P n n nP n n n nn X X X X X X X X X                                    ii   là hệ số chính:             iiiiiiii QQNNMM    ik  , với k i  : là hệ số phụ:             kikikikiik QQNNMM    ip  : là số hạng tự do tải trọng:             000 PiPiPiiP QQNNMM         iii Q , N , M : là biểu đồ mô men uốn, lực dọc, lực cắt do mô men uốn, lực dọc, lực cắt đơn vò 1 X i  gây ra trong hệ cơ bản.        kkk Q , N , M : là biểu đồ mô men uốn, lực dọc, lực cắt do mô men uốn, lực dọc, lực cắt đơn vò  1 X k  gây ra trong hệ cơ bản.        000 ,, PPP QNM : là biểu đồ mô men uốn, lực dọc, lực cắt do tải trọng gây ra trong hệ cơ bản. Giải hệ phương trình chính tắc ta tìm được các ẩn số i X . II. VÍ DỤ VD.10.1. Thanh AD tuyệt đối cứng chòu liên kết khớp xoay tại B và được giữ bởi hai thanh AF và CE . Các thanh AF và CE làm cùng vật liệu có ứng suất cho phép   2 19,5 / kN cm   , mô đun đàn hồi 4 2 2,1.10 / E kN cm  . Hệ chòu lực 250 P kN  và có kích thước như hình V.10.1. a) Xác đònh ứng lực trong các thanh , AF CE . b) Xác đònh giá trò ứng suất phát sinh trong hai thanh AF và CE . c) Tính chuyển vò thẳng đứng của điểm D . Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng Bài tập sức bền vật liệu trang 3 07/2013 Chọn hệ cơ bản như hình vẽ Phương trình chính tắc: 1 1 11 0 (*) P X     Xét cân bằng thanh AD : 1 1 1 0 .40 .20 .40 0 2 B AF AF m N X P N P X           Khi 1 0 , 0 AF CE X N P N      Khi 1 1 0, 1 , 1 2 AF CE P X N N      Ta có: 1 1 . . 20 2 40 .9 9 AF AF P AF AF AF P N N P L E F E E       11 1 1 . . . 1.1 65 2 2 40 30 .9 .12 18 CE CE AF AF AF CE AF AF CE CE N N N N L L E F E F E E E       Từ (*) ta có: 1 1 11 1 8 13 1 1 8 9 2 2 13 13 P CE AF N X P N P X P P P                      ng suất phát sinh trong các thanh AF và CE : P 40 cm 20 cm 20 cm A B C D 1 X B Y AF N P 40 cm 20 cm 20 cm A B C D F 4 2 2 40 2.10 / 9 L cm E kN cm F cm    1 X P 40 cm 20 cm 20 cm 2 30 12 L cm F cm   A B C D E F 2 40 9 L cm F cm   Hình V.10.1 Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng Bài tập sức bền vật liệu trang 4 07/2013     2 2 8 250 13 12,82 / 12 9 250 13 19, 23 / 9 CE CE z CE AF AF z AF N kN cm F N kN cm F                    Chuyển vò thẳng đứng của điểm D :   1 4 9 .250. 1 . 13 40 0,038 2.10 .9 AF AF P AF AF AF N N L cm E F       VD.10.2. Thanh ABCD tuyệt đối cứng chòu liên kết khớp xoay tại A và được giữ bởi thanh , BF DE như hình V.10.2a. Hai thanh BF và DE làm bằng thép có mô đun đàn hồi 4 2 2,1.10 / E kN cm  và ứng suất cho phép   2 18,5 / kN cm   và có diện tích mặt cắt ngang lần lượt là F và 2 F . Cho: 250 / ; 2,5 q kN m a m   . a) Xác đònh ứng lực trong các thanh BF và DE theo , q a . b) Xác đònh diện tích mặt cắt ngang, F , để các thanh BF và DE cùng bền. c) Với F tìm được, tính chuyển vò thẳng đứng tại D . Chọn hệ cơ bản như hình V.10.2b Phương trình chính tắc: 1 1 11 0 (*) P X     Xét cân bằng thanh ABCD : 0 1 1 2 0 .2 . sin 45 .2 . .2,5 .3 0 1,5 3 A DE DE m q a a X a q a a N a N qa X           2 a 2 a a A B C D q q 1 X A Y A X DE N 0 45 2 a Hình V.10.2 2 a a A B C D E F EF , 2 E F q q 2 a 2 a a A B C D E F , 2 E F q q 1 X ) a ) b Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng Bài tập sức bền vật liệu trang 5 07/2013 Khi 1 0 1,5 , 0 DE BF X N qa N     Khi 1 2 0, 1 , 1 3 DE BF q X N N       Ta có: 2 2 1 2 1,5 . 3 . 2 0,707 2 2 DE DE P DE DE DE qa N N qa qa L a E F E F EF EF               11 2 2 . 3 3 . . 1.1 2 2 2 2 2 2 3,05 2 9 DE DE BF BF DE BF DE DE BF BF N N N N a a L L a a E F E F E F EF EF EF                       Từ (*) ta có: 1 1 11 1 0,232 2 2 1,5 1,5 0,232 1,39 3 3 P BF DE N X qa N qa X qa qa qa                   Ta có:     0,232 1,39 2 BF DE z z qa qa F F      Theo điều kiện bền:     2 max 1,39 1, 39 1,39.250.2,5 23,48 2 2 2.18,5 z qa qa F cm F          Chọn 2 23,5 F cm  Chuyển vò thẳng đứng tại D : 2 2 3 4 . 1,39 .2 1,39 1,39.250.2,5 .10 4,62 2 2.10 .23,5 DE DE DE DE DE N L qa a qa L mm E F E F EF       VD.10.3. Thanh gãy khúc ABC tuyệt đối cứng chòu liên kết gối cố đònh tại B và được giằng bởi các thanh CE và CD như hình V.10.3a. Các thanh CE và CD có cùng diện tích mặt cắt ngang F , môđun đàn hồi 24 /10.2 cmKNE  và ứng suất cho phép   2 19 / kN cm   . Cho: 200 P KN  . a) Xác đònh ứng lực trong các thanh CE và CD . b) Xác đònh diện tích F các thanh CE và CD bền. c) Tính chuyển vò thẳng đứng tại A . Chọn hệ cơ bản như hình V.10.3b Phương trình chính tắc: 1 1 11 0 (*) P X     Xét cân bằng thanh ABC như hình V.10.3c: m2 m2 m1 P 0 60 A B C D E Hình V.10 .3 ) a ) b 0 45 m2 3 m P 0 60 A B C E 0 45 1 X m2 P 0 60 A B C 1 X 0 45 CE N B Y ) c m2 B X Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng Bài tập sức bền vật liệu trang 6 07/2013 0 0 1 1 3 1 0 sin 60 .2 cos 45 .2 .2 0 2 2 B CE CE m P X N N P X          Khi 1 3 0 , 0 2 CE CD X N P N     Khi 1 1 0, 1 , 1 2 CE CD P X N N       Ta có: 1 3 1 . . 3 3 2 2 3 1,837 2 2 CE CE P CE CE CE P N N P P L E F EF EF EF               11 1 1 . . . 1.1 3 1 4,328 2 2 3 2 2 2 2 2 CE CE CD CD CE CD CE CE CD CD N N N N L L E F E F EF EF EF EF                       Từ (*) ta có: 1 1 11 1 0,4244 3 1 3 1 0,4244 0,566 2 2 2 2 P CD CE N X P N P X P P P                   Theo điều kiện bền:     2 max 0,566 0,566 0,566.200 5,957 19 z P P F cm F          Chọn 2 6 F cm  Tính chuyển vò thẳng đứng tại A : Trạng thái “k” như hình V.10.3e Xét cân bằng thanh ABC như hình V.10.3f: 0 1.2 .2 0 1 B CE CE m N N        Chuyển vò thẳng đứng tại A : 4 . 0,566 .1 0,566.200.1 3 3000 2,83 2.10 .6 y CE CE A CE CE CE N N P L mm E F EF      VD.10.4. Thanh ABCD tuyệt đối cứng chịu liên kết tựa tại A được giữ bởi ba thanh , , AE BE DF như hình V.10.4a. Các thanh , , AE BE DF làm bằng thép có mô đun đàn hồi 4 2 2,1.10 / E kN cm  và ứng suất cho phép   2 18,5 / kN cm   và có diện tích mặt cắt ngang lần lượt là , F F và 2 F . Cho: 350 / ; 3 q kN m a m   . a) Xác đònh ứng lực trong các thanh , , AE BE DF theo , q a . m2 3 m 1 k P  A B C E ) e m2 A B C CE N B Y ) f m2 B X 1 k P  Hình V.10.3 Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng Bài tập sức bền vật liệu trang 7 07/2013 b) Xác đònh diện tích mặt cắt ngang, F , để các thanh , , AE BE DF cùng bền. c) Với F tìm được, tính chuyển vò thẳng đứng tại G . Chọn hệ cơ bản như hình V.10.4b Phương trình chính tắc: 1 1 11 0 (*) P X     Xét cân bằng thanh ABCD như hình V.10.3c: 0 1 1 0 1 1 2 0 .2 . sin 45 .2 .2,5 .3 0 1,5 3 1 0 .3 .2 .2 sin 45 . .0,5 0 1,5 3 2 A DF DF F AE AE m q a a X a qa a N a N qa X m N a q a a X a qa a N qa X                            Khi 1 0 1,5 , 1,5 , 0 DF AE BE X N qa N qa N      Khi 1 2 1 0, 1 , , 1 3 3 2 DF AE BE q X N N N         Ta có: 2 1 2 1 1,5 . 1,5 . 3 . . 2 3 2 2 2 2 DF DF AE AE P DF AE DF DF AE AE qa qa N N N N qa L L a a E F E F E F EF EF                      0,5 a 2 a 2 a q P qa  A B C D 0,5 a 1 X 0 45 AE N DF N G A X F 0,5 a 2 a 2 a q P qa  A B C D E , E F Hình V.10.4 0,5 a 0,5 a 2 a 2 a q P qa  A B C D E 0,5 a , 2 E F , E F , 2 E F , E F 1 X 0 45 ) a ) b F F G G Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng Bài tập sức bền vật liệu trang 8 07/2013 11 2 2 1 1 . . 3 3 . . . 1.1 3 2 3 2 2 2 2 2 2 1 2 2 3 DF DF AE AE BE BE DF AE BE DF DF AE AE BE BE N N N N N N L L L a a a E F E F E F E F EF EF a EF                                Từ (*) ta có: 1 1 11 1 1 0,4473 2 2 1,5 1,5 0, 4473 1,289 3 3 1 1 1, 5 1,5 0,4473 1,395 3 2 3 2 P BE DF AE N X qa N qa X qa qa qa N qa X qa qa qa                            Theo điều kiện bền:     2 max 1,395 1,395 1,395.350.3 79,176 18,5 z qa qa F cm F          Chọn 2 79,2 F cm  Tính chuyển vò thẳng đứng tại G : Trạng thái “k” như hình vẽ Xét cân bằng thanh ABCD 5 0 1.2,5 .3 0 6 1 0 .3 1.0,5 0 6 A DF DF F AE AE m a N a N m N a a N                      Tính chuyển vò thẳng đứng tại G : 2 2 4 5 1 1, 289 . 1,395 . . . 6 6 2 2 1,5391 2 350.3 .1000 1,5391 2,9 2,1.10 .79, 2 y DF DF AE AE G DF AE DF DF AE AE qa qa N N N N qa L L a a E F E F E F EF EF mm         0,5 a 2 a 2 a 1 k P  A B C D 0,5 a AE N DF N G A X F Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng Bài tập sức bền vật liệu trang 9 07/2013 VD.10.5. Dầm AC có độ cứng chống uốn EJ const  . Vẽ biểu đồ nội lực phát sinh trong dầm Chọn hệ cơ bản như hình ) b Biểu đồ mô men uốn do tải trọng và biểu đồ mô men uốn do lực đơn vò gây ra như hình ), ) c d Phương trình chính tắc: 1 1 11 0 (*) P X     3 1 1 1 7 14 2 .2 . 2 3 3 P Pa a a Pa EJ EJ      3 11 1 1 2 8 2 .2 2 2 3 3 a a a a EJ EJ    Từ (*) ta có 1 1 11 7 4 P X P      Biểu đồ lực cắt, mô men uốn phát sinh trong dầm như hình ), ) e f VD.10.6. Dầm AC có độ cứng chống uốn EJ const  . Vẽ biểu đồ nội lực phát sinh trong dầm Chọn hệ cơ bản như hình ) b Biểu đồ mô men uốn do tải trọng và biểu đồ mô men uốn do lực đơn vò gây ra như hình ), ) c d Phương trình chính tắc: 1 1 11 0 (*) P X     3 1 1 1 7 14 2 .2 . 2 3 3 P Pa Pa a a EJ EJ      3 11 1 1 2 9 3 .3 3 2 3 a a a a EJ EJ    A C Hình V.10.6 a P B 2 a ) a A C Hình V.10.5 a P B 2 a A C a B 2 a 1 X P 3 Pa 0 ( ) P M 2 a 1 ( ) M  c f A C a B 2 a 7 4 P P 3 4 P P Pa 0,5 Pa ( ) y Q ( ) x M ) a ) b ) c ) d ) e ) f Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng Bài tập sức bền vật liệu trang 10 07/2013 Từ (*) ta có 1 1 11 14 27 P X P      Biểu đồ lực cắt, mô men uốn phát sinh trong dầm như hình ), ) e f VD.10.7. Dầm AC có độ cứng chống uốn EJ const  . Vẽ biểu đồ nội lực phát sinh trong dầm Chọn hệ cơ bản như hình ) b Biểu đồ mô men uốn do tải trọng và biểu đồ mô men uốn do lực đơn vò gây ra như hình ), ) c d Phương trình chính tắc: 1 1 11 0 (*) P X     2 4 1 1 1 3 . . 3 2 4 8 P ql ql l l EJ EJ      A Hình V.10.7 l 1 X 2 2 ql 0 ( ) P M l 1 ( ) M  c f ) a ) b ) c ) d ) e ) f q A q l B B 3 8 ql 5 8 ql ( ) y Q l ( ) x M A q l B 3 8 ql 2 1 8 ql 2 9 128 ql A C a P B 2 a A C a B 2 a 1 X P 2 Pa 0 ( ) P M 3 a 1 ( ) M  c f A C a B 2 a 14 27 P P Pa 12 27 Pa ( ) y Q ( ) x M ) a ) b ) c ) d ) e ) f 13 27 P 14 27 P 14 27 Pq [...]... và điều kiện bền ứng suất tiếp Bài tập sức bền vật liệu trang 17 07/2013 Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng q y h x B A C l/2 x d Hình 10. 10 y l 10. 11 Dầm AC có mặt cắt ngang hình chữ T , liên kết, chòu lực và kích thước như hình 10. 11 Dầm làm bằng vật liệu có  n   3,5kN / cm 2 ;  k   0, 5kN / cm2 ; E  0,8 .10 4 kN / cm 2 Cho q  32kN / m; a  1, 2m a) Vẽ biểu đồ lực cắt, mômen uốn phát sinh trong... kích thước như hình vẽ a) Xác đònh ứng lực trong các thanh b) Xác đònh tải trọng cho phép để ba thanh cùng bền c) Tính chuyển vò thẳng đứng của điểm đặt lực P Bài tập sức bền vật liệu trang 15 07/2013 Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng P A 30 12 mm  12 mm 0 45 0 8 mm  8mm d  10 mm B D C 0,8m 1, 2m Hình 10. 7 10. 8 Dầm AC có độ cứng chống uốn EJ  const Vẽ biểu đồ nội lực phát sinh trong dầm P B A C q C... 3m a) b) c) d) Xác đònh phản lực liên kết tại C Vẽ biểu đồ lực cắt, mômen uốn phát sinh trong dầm Xác đònh tải trọng cho phép P  theo điều kiện bền ứng suất pháp Với P  tìm được, kiểm tra bền dầm theo điều kiện bền ứng suất tiếp 260 (mm) P 9 A C B 1, 5a 550 13 a Hình 10. 9 10. 10 Dầm thép AC có mặt cắt ngang chữ I  22 , liên kết, chòu lực và kích thước như hình 10. 10 Ứng suất cho phép của thép...  200 KN a) Xác đònh ứng lực trong các thanh CE và AD b) Xác đònh diện tích F để các thanh CE và CD bền c) Tính chuyển vò thẳng đứng tại A Bài tập sức bền vật liệu trang 14 07/2013 Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng 10. 5 Khung ABCD tuyệt đối cứng chòu liên kết gối cố đònh tại A và được giằng bởi thanh BE, DE như hình 10. 5 Thanh BE, DE làm bằng vật liệu có môđun đàn hồi E  2100 0 KN / cm 2 , ứng suất... kiện bền ứng suất pháp 2b q 5b A C B b 5b a 6a Hình 10. 11 10. 12 Dầm AB có mặt cắt ngang hình chữ T , liên kết, chòu lực và kích thước như hình 10. 12 Dầm làm bằng vật liệu có  n   3,5kN / cm 2 ;  k   0, 5kN / cm2 ; E  0,85 .10 4 kN / cm 2 Cho q  55kN / m; l  6m a) Vẽ biểu đồ lực cắt, mômen uốn phát sinh trong dầm b) Xác đònh kích thước của mặt cắt ngang  b  của dầm theo điều kiện bền ứng... Viết biểu thức xác đònh các thành phần nội lực trong đoạn BC c) Vẽ biểu đồ nội lực Qy , M x phát sinh trong dầm Bài tập sức bền vật liệu trang 18 07/2013 Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng d) Bỏ qua ảnh hưởng lực cắt, xác đònh tải trọng cho phép, q , theo điều kiện bền e) Đặt thêm gối di động tại C như hình b) , xác đònh phản lực liên kết tại C và vẽ biểu đồ lực cắt, mô men uốn phát sinh trong dầm M ... a 2a Hình 10. 13 a 10. 14 Dầm AD có mặt cắt ngang không đổi, liên kết, chòu lực và kích thước như hình 10. 14 Dầm làm bằng vật liệu có ứng suất cho phép    17,5kN / cm 2 , mô đun đàn hồi E  2,1 .104 kN / cm 2 Cho b  3cm; a  1, 2m a) Xác đònh phản lực liên kết tại A, C b) Vẽ biểu đồ lực cắt, mômen uốn phát sinh trong dầm c) Xác đònh tải trọng cho phép  q  theo điều kiện bền ứng suất pháp d) Thay... giằng bởi thanh BE, DF như hình 10. 1 Thanh BE, DF làm bằng vật liệu có môđun đàn hồi E  2100 0 KN / cm 2 , ứng suất cho phép    19,5kN / cm 2 và có diện tích mặt cắt ngang lần lượt là 2F và F a) Xác đònh ứng lực trong các thanh BE, DF b) Xác đònh diện tích mặt cắt ngang F để các thanh BE, DF bền c) Tính chuyển vò thẳng đứng tại O Bài tập sức bền vật liệu trang 13 07/2013 Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng...  2 3 2 3  3EJ Bài tập sức bền vật liệu trang 12 07/2013 Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng Từ (*) ta có X 1   1 P 65ql  11 32 Biểu đồ lực cắt, mô men uốn phát sinh trong dầm như hình e), f ) M  qa2 A B X1 c ) ql P  3qa q A B D C l f) l 3l M  qa2 e) D C l b) P  3qa q a) l 3l 2 0 (M P ) 1 2 3 d) 4 5 6 3, 5ql 2 ( M1 ) f c1 l fc 2 fc3 fc 4 Hình V .10. 8 fc5 fc6 III BÀI TẬP 10. 1 Thanh AD tuyệt... đàn hồi E  2100 0 KN / cm 2 , ứng suất cho phép    20,5kN / cm 2 và có diện tích mặt cắt ngang lần lượt là 2F và F a) Xác đònh ứng lực trong các thanh CD, BD b) Xác đònh diện tích mặt cắt ngang F để các thanh CD, BD bền c) Tính chuyển vò thẳng đứng tại 10. 7 Cho hệ thanh liên kết, chòu lực và có kích thước như hình 10. 7 Các thanh trong hệ làm cùng vật liệu có mô đun đàn hồi E  2,1 .104 KN / cm . Bài tập sức bền vật liệu trang 1 07/2013 Chương 10 GIẢI HỆ SIÊU TĨNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP LỰC I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Các khái niệm  Hệ cơ bản là hệ không biến hình được suy ra từ hệ. Bài tập sức bền vật liệu trang 2 07/2013 2. Hệ phương trình chính tắc  Để hệ cơ bản tương đương với hệ siêu tónh thì chuyển vò trong hệ cơ bản i  tại các vò trí và theo các phương siêu. Cơ Học Ứng Dụng Bài tập sức bền vật liệu trang 18 07/2013 10. 11. Dầm AC có mặt cắt ngang hình chữ T , liên kết, chòu lực và kích thước như hình 10. 11. Dầm làm bằng vật liệu có     2