Thanh AD tuyệt đối cứng chịu liên kết khớp xoay tại B và được giữ bởi hai thanh AF và CE.. Thanh ABCD tuyệt đối cứng chịu liên kết khớp xoay tại A và được giữ bởi thanh , BF DE như hìn
Trang 1Bài tập sức bền vật liệu trang 1 07/2013
Chương 10
GIẢI HỆ SIÊU TĨNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP LỰC
I TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1 Các khái niệm
Hệ cơ bản là hệ không biến hình được suy ra từ hệ siêu tĩnh bằng cách bỏ đi các liên kết thừa:
Bậc siêu
tĩnh
Hệ siêu tĩnh Hệ cơ bản Điều kiện về biến
dạng
0
A
A
1
X
1
2
X
1
X
2
X
A
A
1
X
1
X A
1
X
1
X
Trang 2Bài tập sức bền vật liệu trang 2 07/2013
2 Hệ phương trình chính tắc
Để hệ cơ bản tương đương với hệ siêu tĩnh thì chuyển vị trong hệ cơ bản i
tại các vị trí và theo các phương siêu tĩnh ( phương của các ẩn số X i ) do các phản
lực X i và do ngoại lực gây ra phải bằng không Vì chuyển vị này phụ thuộc vào
tải trọng P và phụ thuộc vào các ẩn số X nên ta có: i i iX X1, 2, ,X n,P0
Đối với hệ đàn hồi tuyến tính, có thể áp dụng nguyên lý cộng tác dụng của lực:
Trong đó:
- Chuyển vị đơn vị tại vị trí và theo phương lực ik X i do lực đơn vị X k 1 gây ra trong hệ cơ bản
- Chuyển vị tại vị trí và theo phương lực ip X i do tải trọng gây ra trong hệ cơ bản
Cho i = 1, 2, , n ta được hệ phương trình bậc nhất đối với n ẩn số X i như sau:
là hệ số chính: ii ii M i M i N i N i Q i Q i
, với ik i k: là hệ số phụ: ik ki M i M k N i N k Q i Q k
: là số hạng tự do tải trọng: ip 0 0 0
P i P i P i
M i , N i , Q i : là biểu đồ mô men uốn, lực dọc, lực cắt do mô men uốn, lực dọc, lực cắt đơn vị
1
X i gây ra trong hệ cơ bản
M k , N k , Q k : là biểu đồ mô men uốn, lực dọc, lực cắt do mô men uốn, lực dọc, lực cắt đơn vị
X k 1 gây ra trong hệ cơ bản
M P0 , N P0 ,Q P0 : là biểu đồ mô men uốn, lực dọc, lực cắt do tải trọng gây ra trong hệ cơ bản Giải hệ phương trình chính tắc ta tìm được các ẩn số X i
II VÍ DỤ
VD.10.1 Thanh AD tuyệt đối cứng chịu liên kết khớp xoay tại B và được giữ bởi hai thanh AF
và CE Các thanh AF và CE làm cùng vật liệu có ứng suất cho phép 2
19, 5kN cm/
2,1.10 /
E kN cm Hệ chịu lực P250kN và có kích thước như hình V.10.1
a) Xác định ứng lực trong các thanh AF CE,
b) Xác định giá trị ứng suất phát sinh trong hai thanh AF và CE
c) Tính chuyển vị thẳng đứng của điểm D
Trang 3Bài tập sức bền vật liệu trang 3 07/2013
Chọn hệ cơ bản như hình vẽ
Phương trình chính tắc: 1P X1 11 0 (*)
Xét cân bằng thanh AD:
1
0 40 20 40 0
2
m N X P N P X
Khi X1 0 N AF P N, CE 0
2
P X N N
Ta có: 1
1
AF AF
AF AF
P
L
11
1 1
CE CE
AF AF
Từ (*) ta có:
1 1 11
1
8 13
P CE
AF
Ưùng suất phát sinh trong các thanh AF và CE:
P
A
B
C
D
1
X
B
Y
AF
N
P
A
B
C
D
F
2
40 2.10 / 9
P
2
30 12
L cm
F cm
A
B
C
D
E F
2
40
9
L cm
F cm
Hình V.10.1
Trang 4Bài tập sức bền vật liệu trang 4 07/2013
2
2
8 250
13 12,82 / 12
9 250
13 19, 23 / 9
z
CE
z
AF
N
kN cm F
N
kN cm F
Chuyển vị thẳng đứng của điểm D:
9 250 1
40 0, 038 2.10 9
AF AF
AF AF
E F
VD.10.2 Thanh ABCD tuyệt đối cứng chịu liên kết khớp xoay tại A và được giữ bởi thanh ,
BF DE như hình V.10.2a Hai thanh BF và DE làm bằng thép có mô đun đàn hồi
2,1.10 /
E kN cm và ứng suất cho phép 2
18, 5kN cm/
và có diện tích mặt cắt ngang lần lượt là F và 2F Cho: q250kN m a/ ; 2, 5m
a) Xác định ứng lực trong các thanh BF và DE theo q a,
b) Xác định diện tích mặt cắt ngang, F, để các thanh BF và DE cùng bền
c) Với F tìm được, tính chuyển vị thẳng đứng tại D
Chọn hệ cơ bản như hình V.10.2b
Phương trình chính tắc: 1P X1 11 0 (*)
Xét cân bằng thanh ABCD:
0
2
3
2a
q
q
1
X
A
Y
A
X
DE
N
0 45
2a
Hình V.10.2
E
F
q
q
2a
E
F
, 2
q
q
1
X
)
Trang 5Bài tập sức bền vật liệu trang 5 07/2013
Khi X1 0 N DE 1,5qa N, BF 0
3
Ta có:
1
2 1,5
3
DE DE
qa
11
Từ (*) ta có:
1 1 11
1
0, 232
P BF
DE
Ta có: 0, 232 1,39
2
2 max
23, 48
z
F
23,5
Chuyển vị thẳng đứng tại D:
4
1,39 2 1,39 1,39.250.2, 5 10
4, 62
DE DE DE
DE DE
VD.10.3 Thanh gãy khúc ABC tuyệt đối cứng chịu liên kết gối cố định tại B và được giằng bởi
các thanh CE và CD như hình V.10.3a Các thanh CE và CD có cùng diện tích mặt cắt ngang F, môđun đàn hồi E 2.104KN/cm2 và ứng suất cho phép 2
19kN cm/
Cho: P200KN
a) Xác định ứng lực trong các thanh CE và CD
b) Xác định diện tích F các thanh CE và CD bền
c) Tính chuyển vị thẳng đứng tại A
Chọn hệ cơ bản như hình V.10.3b
Phương trình chính tắc: 1P X1 11 0 (*)
Xét cân bằng thanh ABC như hình V.10.3c:
m
P
0
60
C
D E
Hình V.10.3
)
0 45
m
P
0 60
45 1
X
m
2
P
0 60
C
1
X
0 45
CE
N
B
Y
)
c
m
2
B
X
Trang 6Bài tập sức bền vật liệu trang 6 07/2013
0 sin 60 2 cos 45 2 2 0
2
2
Ta có: 1
2 2
CE CE
CE CE
P
L
11
2
Từ (*) ta có:
1 1 11
1
0, 4244
0, 4244 0, 566
P CD
CE
2 max
5,957 19
z
F
6
F cm
Tính chuyển vị thẳng đứng tại A:
Trạng thái “k” như hình V.10.3e
Xét cân bằng thanh ABC như hình V.10.3f:
m N N
Chuyển vị thẳng đứng tại A: . 0,566 13 0,566.200.14 3000 2,83
2.10 6
y
CE CE
CE CE
VD.10.4 Thanh ABCD tuyệt đối cứng chịu liên kết tựa tại A được giữ bởi ba thanh AE BE DF, ,
như hình V.10.4a Các thanh AE BE DF, , làm bằng thép có mô đun đàn hồi 4 2
2,1.10 /
và ứng suất cho phép 2
18, 5kN cm/
và có diện tích mặt cắt ngang lần lượt là ,F F và 2F Cho: q350kN m a/ ; 3m
a) Xác định ứng lực trong các thanh AE BE DF, , theo q a,
m
1
k
P
)
e
m
2
C N CE
B
Y
)
f
m
2
B
X
1
k
P
Hình V.10.3
Trang 7Bài tập sức bền vật liệu trang 7 07/2013
b) Xác định diện tích mặt cắt ngang, F, để các thanh AE BE DF, , cùng bền
c) Với F tìm được, tính chuyển vị thẳng đứng tại G
Chọn hệ cơ bản như hình V.10.4b
Phương trình chính tắc: 1P X1 11 0 (*)
Xét cân bằng thanh ABCD như hình V.10.3c:
0
0
2
3 1
3 2
Khi X1 0 N DF 1,5qa N, AE 1,5qa N, BE 0
Ta có:
2 1
3
2
0,5a
2a
2a
q
Pqa
0,5a
1
X
0
45
AE
N
DF
N
G
A
X
F
0,5a
2a
2a
q
Pqa
A
B
E
,
E F
Hình V.10.4
2a
2a
q
Pqa
E
0,5a
, 2
E F
,
0
45
)
Trang 8Bài tập sức bền vật liệu trang 8 07/2013
11
2 1
2 2
3
a EF
Từ (*) ta có:
1 1 11
1
1
0, 4473
1,5 1,5 0, 4473 1,289
1, 5 1,5 0, 4473 1,395
P BE
DF
AE
2 max
79,176 18,5
z
F
79, 2
Tính chuyển vị thẳng đứng tại G:
Trạng thái “k” như hình vẽ
Xét cân bằng thanh ABCD
5
6 1
6
Tính chuyển vị thẳng đứng tại G:
2
2
4
1, 289 1,395
2 350.3 1000
2,1.10 79, 2
y
mm
0,5a
2a
2a
1
k
P
0,5a
AE
N
DF
N
G
A
X
F
Trang 9Bài tập sức bền vật liệu trang 9 07/2013
VD.10.5 Dầm AC có độ cứng chống uốn EJ const Vẽ biểu đồ nội lực phát sinh trong dầm
Chọn hệ cơ bản như hình )b
Biểu đồ mô men uốn do tải trọng và biểu đồ mô men uốn do lực đơn vị gây ra như hình ), )c d
Phương trình chính tắc: 1P X1 11 0 (*)
3 1
2 2
P
Pa
a a Pa
3 11
2 2 2
a
Từ (*) ta có 1
1 11
7 4
P
Biểu đồ lực cắt, mô men uốn phát sinh trong dầm như hình ),e f)
VD.10.6 Dầm AC có độ cứng chống uốn EJ const Vẽ biểu đồ nội lực phát sinh trong dầm
Chọn hệ cơ bản như hình )b
Biểu đồ mô men uốn do tải trọng và biểu đồ mô men uốn do lực đơn vị gây ra như hình ), )c d
Phương trình chính tắc: 1P X1 11 0 (*)
3 1
2 2
P
Pa
Pa a a
3 11
3 3 3
a
A
a
P
B 2a
)
a
Hình V.10.5
a
P
B
2a
a
B
P
3Pa
0
(M P)
2a
1
(M )
c
f
a
B
2a
7
4P
P
3
4P
P
Pa
0, 5Pa
(Q y)
(M x)
)
a
)
b
)
c
)
d
)
e
)
f
Trang 10Bài tập sức bền vật liệu trang 10 07/2013
Từ (*) ta có 1
1 11
14 27
P
Biểu đồ lực cắt, mô men uốn phát sinh trong dầm như hình ),e f)
VD.10.7 Dầm AC có độ cứng chống uốn EJ const Vẽ biểu đồ nội lực phát sinh trong dầm
Chọn hệ cơ bản như hình )b
Biểu đồ mô men uốn do tải trọng và biểu đồ mô men uốn do lực đơn vị gây ra như hình ), )c d
Phương trình chính tắc: 1P X1 11 0 (*)
1
P
l l
A
Hình V.10.7
l
1
X
2
2
ql
0
(M P)
l
1
(M )
c
f
)
a
)
b
)
c
)
d
)
e
)
f
q
A
q
l
B
B
3
8ql 5
8ql (Q y)
l
(M x)
A
q
l
B
3
8ql
2
1
8ql
2
9
128ql
A
C
a
P
B 2a
A
C
a
B
P
2Pa
0
(M P)
3a
1
(M )
c
f
a
B
27P
P
Pa
12
27Pa (Q y)
(M x)
)
a
)
b
)
c
)
d
)
e
)
f
13
27P
14
27P
14
27Pq
Trang 11Bài tập sức bền vật liệu trang 11 07/2013
3 11
l
l l l
Từ (*) ta có 1
1 11
3 8
P
Biểu đồ lực cắt, mô men uốn phát sinh trong dầm như hình ),e f)
VD.10.8 Dầm AC có độ cứng chống uốn EJ const Vẽ biểu đồ nội lực phát sinh trong dầm
Chọn hệ cơ bản như hình )b
Biểu đồ mô men uốn do tải trọng và biểu đồ mô men uốn do lực đơn vị gây ra như hình ), )c d
Phương trình chính tắc: 1P X1 11 0 (*)
3
1
1
2
i ci P
i
q l
3 11
2 2 2
l
l l l
Từ (*) ta có 1
1 11
17 8
P
Biểu đồ lực cắt, mô men uốn phát sinh trong dầm như hình ),e f)
VD.10.9 Dầm AC có độ cứng chống uốn EJ const Vẽ biểu đồ nội lực phát sinh trong dầm
A
Hình V.10.8
2l
1
X
2
4,5ql
0
(M P)
2l
1
(M )
1
f
)
a
)
b
)
c
)
d
)
e
)
f
q
B
7
8ql (Q y)
(M x)
ql
2
0, 25ql
2
17
128ql
l
C
A
2l
q
B
l
C
f f
2
0,5ql
1
3
17
8 ql
A
2l
B
l
C
q
9
8ql
2
0, 5ql
Trang 12Bài tập sức bền vật liệu trang 12 07/2013
Chọn hệ cơ bản như hình )b
Biểu đồ mô men uốn do tải trọng và biểu đồ mô men uốn do lực đơn vị gây ra như hình ), )c d
Phương trình chính tắc: 1P X1 11 0 (*)
3
1
1
2
i ci P
i
q l
3 11
.2
l
l l l l l l
Từ (*) ta có 1
1
X
Biểu đồ lực cắt, mô men uốn phát sinh trong dầm như hình ),e f)
VD.10.10 Dầm AC có độ cứng chống uốn EJ const Vẽ biểu đồ nội lực phát sinh trong dầm Chọn hệ cơ bản như hình )b
Biểu đồ mô men uốn do tải trọng và biểu đồ mô men uốn do lực đơn vị gây ra như hình ), )c d
Phương trình chính tắc: 1P X1 11 0 (*)
6
1
1
4
3
65
24
i ci
P
i
ql
EJ
3 11
.3
l
l l l l l l
A
Hình V.10.8
2l
1
X
0
(M P)
l
1
(M )
1
f
)
a
)
b
)
c
)
d
)
e
)
f
q
B
13
16ql (Q y)
(M x)
7
8ql
2
169
52 ql
l
C
3
f
2
0,5ql
1
2
3
19
16ql
2
3
8ql
A
2l
q
B
l
C
2
9ql / 32
2
f
/ 8
ql A
2l
q
B
l
C
/ 8
ql
2
124
ql
Trang 13Bài tập sức bền vật liệu trang 13 07/2013
Từ (*) ta có 1
1 11
65 32
X
Biểu đồ lực cắt, mô men uốn phát sinh trong dầm như hình ),e f)
III BÀI TẬP
10.1 Thanh AD tuyệt đối cứng chịu liên kết khớp xoay tại B và được giữ bởi hai thanh AF và
CE Các thanh AF và CE làm cùng vật liệu có ứng suất cho phép 2
19, 5kN cm/
2,1.10 /
E kN cm Hệ chịu lực P và có kích thước như hình 10.1
a) Xác định ứng lực trong các thanh AF CE,
b) Xác định tải trọng cho phép P để hai thanh AF và CE cùng bền
c) Tính chuyển vị thẳng đứng của điểm D
10.2 Khung ABCD tuyệt đối cứng chịu liên kết gối cố định tại A và được giằng bởi thanh ,
BE DF như hình 10.1 Thanh BE DF, làm bằng vật liệu có môđun đàn hồi 2
21000 /
ứng suất cho phép 2
19, 5kN cm/
và có diện tích mặt cắt ngang lần lượt là 2F và F a) Xác định ứng lực trong các thanh BE DF,
b) Xác định diện tích mặt cắt ngang F để các thanh BE DF, bền
c) Tính chuyển vị thẳng đứng tại O
A
Hình V.10.8
3l
1
X
0
(M P)
l
1
(M)
1
f
)
a
)
b
)
d
)
e
)
f
q
B
l
C
3
f
2
ql
1
2
3
2
f
D
3
P qa
l
)
c
A
3l
q
B
l
3
P qa
l
2
3, 5ql
2
2
4
f f 6
4
6
Trang 14Bài tập sức bền vật liệu trang 14 07/2013
10.3 Thanh ABCD tuyệt đối cứng chịu liên kết gối cố định tại C và được giữ bởi hai thanh ,
AE BE như hình 10.3 Các thanh AE BE, làm bằng thép có mô đun đàn hồi 4 2
2,1.10 /
và ứng suất cho phép 2
18, 5kN cm/
và có diện tích mặt cắt ngang lần lượt là 2F và F Cho: q350kN m a/ ; 3m
a) Xác định ứng lực trong các thanh AE BE, theo q a,
b) Xác định diện tích mặt cắt ngang, F, để các thanh AE BE, cùng bền
c) Với F tìm được, tính chuyển vị thẳng đứng t
10.4 Thanh gãy khúc ABC tuyệt đối cứng chịu liên kết gối cố định tại B và được giằng bởi các
thanh CE và AD như hình 10.4 Các thanh CE và AD có cùng diện tích mặt cắt ngang F, môđun đàn hồi E 2.104KN/cm2 và ứng suất cho phép 2
19kN cm/
Cho: P200KN
a) Xác định ứng lực trong các thanh CE và AD
b) Xác định diện tích F để các thanh CE và CD bền
c) Tính chuyển vị thẳng đứng tại A
P
0
60
EF
EF
a
C
Hình 10.4
a
2a
2a
q
Pqa
E
,
E F
Hình 10.3
, 2
E F
25 /
q kN m
, 2
E F
0
60
E
1m
2,5m
2m
Hình 10.2
F EF
1m
1,5m
O
P
2
30 12
L cm
F cm
A
D
E F
2
50
9
L cm
F cm
Hình 10.1
0
60
Trang 15Bài tập sức bền vật liệu trang 15 07/2013
10.5 Khung ABCD tuyệt đối cứng chịu liên kết gối cố định tại A và được giằng bởi thanh ,
BE DE như hình 10.5 Thanh BE DE, làm bằng vật liệu có môđun đàn hồi 2
21000 /
ứng suất cho phép 2
19, 5kN cm/
và có diện tích mặt cắt ngang lần lượt là 2F và F Cho 2
F cm a m
a) Xác định ứng lực trong các thanh BE DE,
b) Xác định tải trọng P để các thanh BE DE, bền
c) Tính chuyển vị thẳng đứng tại D
10.6 Khung AB tuyệt đối cứng chịu liên kết gối cố định tại A và được giằng bởi các thanh ,
CD BD như hình 10.6 Các thanh CD BD, làm bằng vật liệu có môđun đàn hồi
2
21000 /
E KN cm , ứng suất cho phép 2
20, 5kN cm/
và có diện tích mặt cắt ngang lần lượt là
2F và F
a) Xác định ứng lực trong các thanh CD BD,
b) Xác định diện tích mặt cắt ngang F để các thanh CD BD, bền
c) Tính chuyển vị thẳng đứng tại
10.7 Cho hệ thanh liên kết, chịu lực và có kích thước như hình 10.7 Các thanh trong hệ làm
cùng vật liệu có mô đun đàn hồi 4 2
2,1.10 /
E KN cm , ứng suất cho phép 2
17, 5KN cm/
thanh có mặt cắt ngang và kích thước như hình vẽ
a) Xác định ứng lực trong các thanh
b) Xác định tải trọng cho phép để ba thanh cùng bền
c) Tính chuyển vị thẳng đứng của điểm đặt lực P
75
P kN M 15kN m.
25 /
q kN m
0
30
0
30
D
, 2
E F
,
E F
Hình 10.6
C
D
E 600
q
P
,
E F
, 2
E F
Hình 10.5
2a
Trang 16Bài tập sức bền vật liệu trang 16 07/2013
10.8 Dầm AC có độ cứng chống uốn EJ const Vẽ biểu đồ nội lực phát sinh trong dầm
Hình 10.8
a
P
B 3a
M Pa
a
Pqa
B 2a
q
a
B 2a
2
M qa q
a
B 3a
A
2a
q
B
l
C
2
M qa
A
3a
q
B
a
C
2 2
M qa
A
C
a
P
B 2a
M Pa
A
C
a
2
P qa
B 2a
q
12mm12mm
8mm8mm
10
d mm
0
30 450
A
D
P
Hình 10.7
Trang 17Bài tập sức bền vật liệu trang 17 07/2013
10.9 Dầm thép AC có mặt cắt ngang chữ I , liên kết, chịu lực và kích thước như hình 10.9 Ứng
suất cho phép của thép 2 2
20kN cm/ ; 11, 2kN cm/
a) Xác định phản lực liên kết tại C
b) Vẽ biểu đồ lực cắt, mômen uốn phát sinh trong dầm
c) Xác định tải trọng cho phép P theo điều kiện bền ứng suất pháp
d) Với P tìm được, kiểm tra bền dầm theo điều kiện bền ứng suất tiếp
10.10 Dầm thép AC có mặt cắt ngang chữ I 22, liên kết, chịu lực và kích thước như hình 10.10
Ứng suất cho phép của thép 2 2
20kN cm/ ; 11, 5kN cm/
2,1.10 /
E kN cm Cho l6m Người ta đo được biến dạng dài dọc trục ở mặt dưới của dầm của mặt cắt tại C được giá trị z 0, 003 Biết rằng mặt cắt I 22 có:
220 , 5, 4 , x 2550 , x 232 ; x 131
h mm d mm J cm W cm S cm
a) Vẽ biểu đồ lực cắt, mômen uốn phát sinh trong dầm theo q
b) Xác định trị số của tải trọng q
c) Kiểm tra bền cho dầm theo điều kiện bền ứng suất pháp và điều kiện bền ứng suất tiếp
Hình 10.9
a
1, 5a
P
550
260
9
13
)
(mm
a
Pqa
B 3a
2
M qa q
A
C
a
2
P qa
B 2a
q
2
M qa
A
3a
q
B
a
3
P qa
a
A
3a
q
B
a
2
P qa
a
2
A
3a
q
B
a
a
2
P qa
A
3a
q
B
a
a
2