Hàm số mũ và logarit Bài tốn 1: Dùng cơng thức tính các biểu thức có chứa hàm số mũ hoặc hàm số logarit a − n = n a 1 ; a 0 = 1 ; m m n n a a = ( m; n nguyên dương , n > 1) • Các quy tắc: a x .a y = a x+y (a.b) x =a x .b x x a x y a y a − = x x a a x b b = ÷ ( ) ( ) x y y x.y x a a a = = • Hàm số mũ : y = x a với a > 0 ; a ≠ 1 TXĐ : D = R MGT : (0; +∞ ) * a > 1 ; h/s đồng biến : x 1 > x 2 ⇔ 1 x a > 2 x a * 0 < a < 1 ; h/s nghòch biến : x 1 > x 2 ⇔ 1 x a < 2 x a * Hàm số logarit: α = log a N ⇔ a α = N log a x = b ⇔ x= a b • Đặc biệt : x a a log = x ; log a x a = x ; log a 1 = 0 • Các qui tắc biến đổi : với a , B , C > 0 ; a ≠ 1 ta có: log a (B.C) = log a B + log a C log a B C ÷ = log a B − log a C log α a B β = β α log a B • Công thức đổi cơ số : với a , b , c > 0 ; a , c ≠ 1 ta có : log c a.log a b = log c b ⇔ log b c log b a log a c = 0 < a, b ≠ 1 : log a b = 1 log a b Chú ý : log 10 x = lg x ; log e x = ln x • Hàm số Logarit: y = log a x với a > 0 ; a ≠ 1 TXĐ : D = (0 ; +∞ ) MGT : R * a > 1 ; h/s đồng biến : x 1 > x 2 > 0 ⇔ log a x 1 > log a x 2 * 0 < a < 1;h/s ngh biến: x 1 > x 2 > 0 ⇔ log a x 1 <log a x 2 Bài tốn 2: giải phương trình mũ và logarit : • Dạng cơ bản: * f (x) a = g(x) a ⇔ f(x) = g(x) * f (x) a = b ( với b > 0 ) ⇔ f(x) = log a b * log a f(x) = log a g(x) ⇔ f (x) 0 g(x) 0 f (x) g(x) > > = * dạng: log f (x) b a 0 a 1 = < ≠ ⇔ f(x) = b a hoặc * log v(x) u(x) = b ⇔ [ ] v(x) 0 ; u(x) 0 ; u(x) 1 b v(x) u(x) > > ≠ = • Đặt ẩn phụ : * α. 2f (x) a +β. f (x) a + γ = 0 ; Đặt : t = f (x) a Đk t > 0 * α. b f(x) a + +β. b f (x) a − + γ = 0 ; Đặt : t = f (x) a Đk t > 0 * α. f (x) a +β. f (x) b + γ = 0 và a.b = 1; Đặt: t = f (x) a ; 1 t = f (x) b * α. 2f (x) a +β. ( ) f (x) a.b + γ. 2f (x) b = 0 ; Đặt t = f (x) a b ÷ • Logarit hoá hai vế : Bài tập 1. xx 52 3 = + §s: 5log1 3 2 +− =x 2. 5,13.2 2 2 = − xxx §s: x = 1, 3log1 2 −=x 3. xxx 964 =+ §s: ) 2 51 (log 3 2 +− =x 4. xxx 543 =+ §s: x = 2 5. 132 2 += x x 6. 082.34.38 1 =+−− +xxx 7. 1)7(log)1(log)1(log 2 1 2 1 2 1 =−−++− xxx §s: x = 3 8. 3 4 1 3 4 1 2 4 1 )6(log)4(log3)2(log 2 3 ++−=−+ xxx §s: x = 2, 331−=x 9. 6)33(log).13(log 1 33 =−− +xx §s: 27 28 log 3 =x , 10log 3 =x 10. 4)32()32( =++− xx §s: x = - 2, x = 2 11. 3 2)537(7)537( + =−++ xxx §s: x = 0, 7log 2 537+ =x I. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ: 1/ NÕu hµm sè ( )u u x= ®¬n ®iƯu vµ cã ®¹o hµm liªn tơc trªn ®o¹n [ ] ;a b sao cho ' ( ) ( ( )) ( ) ( )f x dx g u x u x dx g u du= = th× ( ) ( ) ( ) ( ) u b b a u a I f x dx g u du= = ∫ ∫ . NÕu hµm sè ( )u u x= ®¬n ®iƯu vµ cã ®¹o hµm liªn tơc trªn ®o¹n [ ] ;a b sao cho ' ( ) ( ( )) ( ) ( )f x dx g u x u x dx g u du= = th× ( ) ( ) ( ) ( ) u b b a u a I f x dx g u du= = ∫ ∫ . B ài tập 1. 2 3 2 3 sin xcos xdx π π ∫ 2. 2 2 3 3 sin xcos xdx π π ∫ 3. 2 0 sin 1 3 x dx cosx π + ∫ 3. 4 0 tgxdx π ∫ 4. 4 6 cot gxdx π π ∫ 5. 6 0 1 4sin xcosxdx π + ∫ 6. 1 2 0 1x x dx+ ∫ 7. 1 2 0 1x x dx− ∫ 8. 1 3 2 0 1x x dx+ ∫ 9. 1 2 3 0 1 x dx x + ∫ 10. 1 3 2 0 1x x dx− ∫ 11. 2 3 1 1 1 dx x x + ∫ 12. 1 2 0 1 1 dx x+ ∫ 13. 1 2 1 1 2 2 dx x x − + + ∫ 14. 1 2 0 1 1 dx x + ∫ 15. 1 2 2 0 1 (1 3 ) dx x+ ∫ 16. 2 sin 4 x e cosxdx π π ∫ 17. 2 4 sin cosx e xdx π π ∫ 18. 2 1 2 0 x e xdx + ∫ 19. 2 3 2 3 sin xcos xdx π π ∫ 20. 2 sin 4 x e cosxdx π π ∫ 21. 2 4 sin cosx e xdx π π ∫ 22. 2 1 2 0 x e xdx + ∫ 23. 2 3 2 3 sin xcos xdx π π ∫ 24. 2 2 3 3 sin xcos xdx π π ∫ 25. 2 0 sin 1 3 x dx cosx π + ∫ 26. 4 0 tgxdx π ∫ 27. 4 6 cot gxdx π π ∫ 28. 6 0 1 4sin xcosxdx π + ∫ 29. 1 2 0 1x x dx+ ∫ 30. 1 2 0 1x x dx− ∫ 31. 1 3 2 0 1x x dx+ ∫ 32. 1 2 3 0 1 x dx x + ∫ 33. 1 3 2 0 1x x dx− ∫ 34. 2 3 1 1 1 dx x x + 35. 1 1 ln e x dx x + 36. 1 sin(ln ) e x dx x 37. 1 1 3ln ln e x x dx x + 38. 2ln 1 1 e x e dx x + 39. 2 2 1 ln ln e e x dx x x + 40. 1 sin(ln ) e x dx x 41. 1 1 3ln ln e x x dx x + 4. 2ln 1 1 e x e dx x + 43 2 2 1 ln ln e e x dx x x + 44. 2 2 1 (1 ln ) e e dx cos x+ 45. 1 2 3 0 5+ x x dx 46. ( ) 2 4 0 sin 1 cos+ x xdx 47. 4 2 0 4 x dx 2/Nếu hàm số dới dấu tích phân có chứa căn dạng 2 2 2 2 ,a x a x+ và 2 2 x a (trong trong đó a là hằng số dơng) mà không có cách biến đổi nào khác thì nên đổi sang các hàm số lợng giác để làm mất căn thức, cụ thể là: Với 2 2 a x , đặt sin , ; 2 2 x a t t = hoặc [ ] cos , 0;x a t t = . Với 2 2 a x+ , đặt , ; 2 2 x atgt t = ữ hoặc ( ) , 0;x acotgt t = . Với 2 2 x a , đặt { } , ; \ 0 sin 2 2 a x t t = hoặc ; cos a x t = [ ] 0; \ 2 t . B i tp : Hãy tính các tích sau: a) 4 2 0 4 x dx b) 1 2 0 1 dx x+ c) 9 2 0 9 x dx d) 2 2 0 4 dx x+ e) 2 2 2 2 0 x dx 1 x− ∫ f) ∫ + 32 5 2 4xx dx g) 1 2 0 1 x dx− ∫ h) 3 5 2 0 1x x dx+ ∫ II. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN: Công thức tích phân từng phần : u( )v'(x) x ( ) ( ) ( ) '( ) b b b a a a x d u x v x v x u x dx= − ∫ ∫ Tích phân các hàm số dễ phát hiện u và dv @ Dang 1̣ sin ( ) ax ax f x cosax dx e β α ∫ t Đặ ( ) '( ) sin sin cos ax ax u f x du f x dx ax ax dv ax dx v cosax dx e e = = ⇒ = = ∫ @ Dang 2̣ : ( )ln( )f x ax dx β α ∫ t Đặ ln( ) ( ) ( ) dx du u ax x dv f x dx v f x dx = = ⇒ = = ∫ @ Dang 3̣ : sin . cos ax bx e dx bx β α ∫ Đặt: 1 cos sin ax ax du ae dx u e dv bxdx v bx b = = ⇒ = = Bài tập 1) ∫ 1 0 3 . dxex x 2) ∫ − 2 0 cos)1( π xdxx 3) ∫ − 6 0 3sin)2( π xdxx 4) ∫ 2 0 2sin. π xdxx 5) ∫ e xdxx 1 ln 6) ∫ − e dxxx 1 2 .ln).1( 7) ∫ 3 1 .ln.4 dxxx 8) ∫ + 1 0 2 ).3ln(. dxxx 9) ∫ + 2 1 2 .).1( dxex x 10) ∫ π 0 .cos. dxxx 11) ∫ 2 0 2 .cos. π dxxx 12) ∫ + 2 0 2 .sin).2( π dxxxx 13) 2 5 1 lnx dx x ∫ 14) 2 2 0 xcos xdx π ∫ 15) 1 x 0 e sinxdx ∫ 16) 2 0 sin xdx π ∫ 17) e 2 1 xln xdx ∫ 18) 3 2 0 x sinx dx cos x π + ∫ 19) 2 0 xsinxcos xdx π ∫ 20) 4 2 0 x(2cos x 1)dx π − ∫ III.TÝch ph©n mét sè hµm sè thêng gÆp 1. TÝch ph©n hµm sè ph©n thøc a)TÝnh tÝch ph©n d¹ng tæng qu¸t sau: ( ) 2 0 dx I a ax bx c = + + . (trong đó 2 0ax bx c + + với mọi [ ] ;x ) Xét 2 4b ac = . +)Nếu 0 = thì 2 2 dx I b a x a = ữ tính đợc. +)Nếu 0 > thì ( ) ( ) 1 2 1 dx I a x x x x = , (trong đó 1 2 ; 2 2 b b x x a a + = = ) ( ) 1 1 2 2 1 ln x x I a x x x x = . +) Nếu 0 < thì 2 2 2 2 2 4 = = + + + + ữ ữ dx dx I ax bx c b a x a a Đặt ( ) 2 2 2 1 1 2 4 2 + = = + b x tgt dx tg t dt a a a , ta tính đợc I. b) Tính tích phân: ( ) 2 , 0 mx n I dx a ax bx c + = + + . (trong đó 2 ( ) mx n f x ax bx c + = + + liên tục trên đoạn [ ] ; ) +) Bằng phơng pháp đồng nhất hệ số, ta tìm A và B sao cho: cbxax B cbxax baxA cbxax nmx ++ + ++ + = ++ + 222 )2( +)Ta có I= dx cbxax B dx cbxax baxA dx cbxax nmx ++ + ++ + = ++ + 222 )2( . Tích phân dx cbxax baxA ++ + 2 )2( = cbxaxA ++ 2 ln Tích phân 2 dx ax bx c + + tính đợc. c) Tính tích phân ( ) ( ) b a P x I dx Q x = với P(x) và Q(x) là đa thức của x. Nếu bậc của P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của Q(x) thì dùng phép chia đa thức. Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x) thì có thể xét các trờng hợp: + Khi Q(x) chỉ có nghiệm đơn 1 2 , , , n thì đặt 1 2 1 2 ( ) ( ) n n A A AP x Q x x x x = + + + . + Khi ( ) ( ) 2 2 ( ) , 4 0Q x x x px q p q = + + = < thì đặt 2 ( ) . ( ) P x A Bx C Q x x x px q + = + + + + Khi ( ) ( ) 2 ( )Q x x x = với thì đặt ( ) 2 ( ) ( ) AP x B C Q x x x x = + + . Bi tp a/ 1 2 0 4 11 5 6 x dx x x + + + b/ 1 2 0 1 dx x x+ + c/ 1 2 3 2 0 1 x dx x d/ + + 0 2 2 32 22 dx xx x e/ ++ 1 1 2 52xx dx f/ + 5 3 2 23 12 dx xx x g/ ++ b a dx bxax ))(( 1 h/ + ++ 1 0 3 1 1 dx x xx i/ ++ 1 0 2 34xx dx k/ + ++ 3 2 3 2 23 333 dx xx xx l/ + 3 2 1 2 dx x x m/ dx x xx + ++ 1 0 2 3 32 IV.Tích phân hàm vô tỉ .Dạng 1: Biến đổi về tích phân vô tỉ cơ bản Ví dụ : Tính tích phân: 1 0 1 dx I x x = + + . .Dạng 2: Biến đổi về tích phân hàm lợng giác Dạng 3: Biến đổi làm mất căn Gồm: Đổi biến số t là toàn bộ căn thức Viết biểu thức trong căn dới dạng bình phơng đúng VÝ dô :TÝnh ∫ −= 1 0 23 1 dxxxI Bài tập: a/ x 2 5 2 dx x 2+ + − ∫ b/ ∫ −+ 2 1 11 dx x x c/ ∫ ++ 1 0 311 x dx d/ 2 2 2 1 x 4 x dx− ∫ e/ 2 2 2 2 0 x dx 1 x− ∫ f/ ∫ + 32 5 2 4xx dx V. TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI: 1. ∫ − − 3 3 2 1dxx 2. ∫ +− 2 0 2 34 dxxx 3. dxxx ∫ − 2 0 2 4. 4 2 1 x 3x 2dx − − + ∫ 5. 3 1 2x dx− ∫ 6. 2 2 2 1x dx − − ∫ . phân có chứa căn dạng 2 2 2 2 ,a x a x+ và 2 2 x a (trong trong đó a là hằng số dơng) mà không có cách biến đổi nào khác thì nên đổi sang các hàm số lợng giác để làm mất căn thức, cụ thể là: . ∫ @ Dang 2̣ : ( )ln( )f x ax dx β α ∫ t Đặ ln( ) ( ) ( ) dx du u ax x dv f x dx v f x dx = = ⇒ = = ∫ @ Dang 3̣ : sin . cos ax bx e dx bx β α . (trong đó 2 0ax bx c + + với mọi [ ] ;x ) Xét 2 4b ac = . +)Nếu 0 = thì 2 2 dx I b a x a = ữ tính đợc. +)Nếu 0 > thì ( ) ( ) 1 2 1 dx I a x x x x = , (trong