Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Tốn năm học 2010 - 2011 - Giáo viên : Nguyễn Việt Khoa CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG Tuần Nội dung - Mục tiêu cần đạt Ơn tập thức : thành thạo phép biến đổi thức, rút gọn thức tổng hợp tập liên quan sau rút gọn Ơn tập Hệ thức lượng tam giác vng , Tỉ số lượng giác góc nhọn : Thành thạo việc áp dụng hệ thức lượng tam giác vng, giải tam giác vng, tập chứng minh chương I Ơn tập hàm số bậc : thành thạo dạng tập liên quan đến hàm số y = ax + b Ơn tập đường tròn : nắm định lí chương II đường tròn, trọng tâm tập tiếp tuyến đường tròn, tương giao hai đường tròn Ơn tập Hệ phương trình : thành thạo giải hệ phương trình phương pháp, hệ phương trình chứa tham số Ơn tập Góc đường tròn : nắm định lí loại góc đường tròn, trọng tâm chứng minh tứ giác nội tiếp, sử dụng tứ giác nội tiếp để chứng minh yếu tố khác Ơn tập Hàm số bậc 2, phương trình bậc : thành thạo tập hàm số bậc 2, tương giao đường thẳng parabol, giải phương trình bậc tập phương trình bậc chứa tham số, trọng tâm định lí Viet ứng dụng 10 11 12 13 14 Tổng ơn Hình học : trọng tâm tập đường tròn, tiếp tuyến, tứ giác nội tiếp Bất đẳng thức - Cực trị : sử dụng thành thạo BĐT Cơ - si , Bunhiacopxki BĐT thơng dụng khác chứng minh BĐT tìm cực trị Tổng ơn Hình học : trọng tâm tập đường tròn, tiếp tuyến, tứ giác nội tiếp Phương trình nghiệm ngun : nắm số phương pháp giải phương trình nghiệm ngun Ơn tập tổng hợp : Luyện số đề thi HSG -1- Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Tốn năm học 2010 - 2011 - Giáo viên : Nguyễn Việt Khoa TUẦN BUỔI Ngày dạy : ./ /2010 ƠN TẬP CĂN THỨC I MỤC TIÊU - Thành thạo phép biến đổi thức, rút gọn thức tổng hợp tập liên quan sau rút gọn II CHUẨN BỊ Thầy : Giáo án Trò : SGK + SBT Tốn T1, nhớ định lí biến đổi thức III TIẾN TRÌNH DẠY HỌC Giáo viên dạy tồn định lí phép biến đổi thức chương I tập minh họa Ra tập hướng dẫn HS a a : Bài Cho biểu thức: P a a a a a 1 a a Rút gọn P b Tìm a cho P>1 c Cho a 19 Tính P Hướng dẫn: a P a a 1 24 ; b a ; c P a 1 3 Bài Cho biểu thức P x x 26 x 19 x x2 x 3 x 1 x 3 x3 b Tính giá trị P x a Rút gọn P c Với giá trị x P đạt giá trị nhỏ tính giá trị nhỏ Hướng dẫn: a P x 16 x 3 2 x b P x 103 3 22 c Pmin=4 x=4 4x x x 3 : Bài Cho biểu thức P 2 x x x x x x a Rút gọn P b Tìm giá trị x để P>0 c Tìm giá trị x để P= -1 d Với giá trị x P P 4x b x>9 c x 16 x 3 x 1 x x Bài Cho biểu thức P : 1 x x x 9x Hướng dẫn: a P a Rút gọn P b Tìm giá trị x để P x 4; Hướng dẫn: a P 25 x x : 1 Bài Cho biểu thức P x x x x x x -2- x x x 1 b Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Tốn năm học 2010 - 2011 - Giáo viên : Nguyễn Việt Khoa a Rút gọn P b Tìm giá trị x để P1 1 x x x x 3 x2 x2 : (VN ) Bài Cho biểu thức P x x x x x a Rút gọn P b Tìm giá trị x để P x 1 a a 1 a a Bài Cho biểu thức P a . a a a a Rút gọn P b Tính a để P Hướng dẫn: a P 1 a b a 1; a Bài Cho biểu thức P x 9 x 3 x 1 x5 x 6 x 2 3 x a Rút gọn P có giá trị ngun b Tìm giá trị x để P BC= BC 32,67 ( cm ) sin 40 0,6428 BC sin C 400 B 50 B 250 c, Phân giác DB : Có C AB 21 21 AB BD 23,17 (cm) Xét vuongABD có cosB1 cosB1 cos25 0,9063 BD Bài Hãy tìm độ dài cạnh đáy tam giác cân, đường cao kẻ xng đáy có độ dài đường cao kẻ xng cạnh bên có độ dài Giải : A Có AH.BC = BK.AC = 2.SABC hay 5.BC = AC K BC BC AC HC AC 5 2 Xét tam giác vng AHC có AC - HC = AH ( đ/l Pytago) B H C 16 AC2 - AC =52 AC 52 25 5 4 25 AC AC = : 6,25 5 6 25 BC = AC 7,5 Độ dài cạnh đáy tam giác cân 7,5 5 Bài Cho tam giác ABC có ba góc nhọn có độ dài cạnh BC, AC, AB a, b, c Chứng minh rằng: a SinA b SinB c SinC (a b c)( SinA SinB SinC ) Gợi ý giải: AH AH b c ; SinC HB HC SinB SinC a b c abc Tương tự, suy ra: k0 SinA SinB SinC SinA SinB SinC Vẽ đường cao AH Ta có Sin B Vậy aSinA bSinB cSinC (SinA SinB SinC ) k (1) Và (a + b + c) = (SinA + Sin B + SinC).k Suy ra: (a b c)( SinA SinB SinC ) (SinA SinB SinC ) k (2) Từ (1) (2) ta có đ.p.c.m Hướng dẫn học nhà - Làm tập * SBT -7- Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Tốn năm học 2010 - 2011 - Giáo viên : Nguyễn Việt Khoa TUẦN BUỔI Ngày dạy : ./ /2010 ƠN TẬP HÀM SỐ BẬC NHẤT I MỤC TIÊU - Thành thạo dạng tập liên quan đến hàm số y = ax + b II CHUẨN BỊ Thầy : Giáo án Trò : SGK + SBT Tốn T1, nhớ kiến thức hàm đồng biến, nghịch biến, đường song2 , cắt, trùng, vng, lập PT đt III TIẾN TRÌNH DẠY HỌC Giáo viên dạy tồn kiến thức hàm bậc chương II tập minh họa Ra tập hướng dẫn HS Bài Cho hàm số bậc y = ax + Xác định hệ số a, biết đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm có hồnh độ HD: Đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm có hồnh độ a.(1 )+1 = đồ thị hàm số qua điểm ( ;0) a 1 1 1 Bài 2: Cho hàm số y = 2x -4 có đồ thị đường thẳng (d) a) Điểm M ( ;-1) có nằm ( d) khơng? Vì sao? b) Vẽ ( d) c) Tính khoảng cách từ O ( gốc toạ độ) đến đường thẳng (d) Hướng dẫn giải: a) Điểm M ( ;-1) có nằm ( d) y = 2x -4 : - = 2.2 - b) Vẽ (d) y = 2x -4 *Bảng giá trị: x y = 2x - -4 *Vẽ : c) Gọi giao điểm (d) với hai trục toạ độ A B Kẻ OH vng góc (d) 1 Tính OH Dùng cơng thức: 2= + OH OA OB2 -1 Bài 3: Cho hàm số y = x -2 có đồ thị đường thẳng (d) a) Vẽ (d) b) Gọi giao điểm (d) với hai trục A B.Tính diện tíc tam giác OAB c)Kẻ OH vng góc với AB.Xác định toạ độ H -8- Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Tốn năm học 2010 - 2011 - Giáo viên : Nguyễn Việt Khoa Hướng dẫn giải: c)Gọi H(x0;y0) ta có : x02 + y02 = OH2 1 16 Dùng cơng thức: OH2 =OA2 +OB2 Tính OH2 = 16 Suy : x02 + y02 = (1) -1 Mặt khác : H (d) => y0 = x0 -2 (2) Từ (1) (2) tìm x0, y0 => Toạ độ H cần tìm Bài 4: Cho hàm số y = ( m-2)x + 3m - ( m 2) a) Tìm giá trị m để hàm số nghịch biến R b) Tìm m biết đồ thị hàm số qua điểm A( ; -1) c) Tìm m biết đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm có hồnh độ d) Tìm m biết đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = -x + điểm Oy Hướng dẫn giải : a) Hàm số y nghịch biến R m - < m < b)Đồ thị hàm số y = (m-2)x + 3m - qua điểm A(2,-1) nên ta có : -1 = (m-2).2 + 3m -1 = 2m -4 +3m - 5m = m = c) Đồ thị hàm số y = (m-2)x + 3m - cắt trục hồnh điểm có hồnh độ => x = 3;y=0 Do : : = (m-2) + 3m-5 Giải tìm m d) (d) cắt đường thẳng y = -x + điểm Oy m 1 m m=3 3m m Bài : a) Vẽ hai đường thẳng (d1) y = -2x + (d2) y = 3x- lên mặt phẳng Oxy tìm toạ độ giao điểm M chúng b) Tìm giá trị m để đường thẳng (d3) y = mx + m2 - hai đường thẳng (d1) , (d2) đồng qui điểm Hướng dẫn giải : a) Toạ độ (x;y) M nghiệm hệ phương trình: y 2 x y 3x b) (d3) hai đường thẳng (d 1), (d2) đồng qui (d3) qua M Bài : Cho hàm số bậc y = (m-3)x + có đồ thị đường thẳng (d) a) Tìm giá trị m để hàm số y đồng biến R b) Tìm m biết (d) song song với đường thẳng x- 2y = Vẽ (d) với m vừa tìm c) Tìm giá trị m để khoảng cách từ O đến (d) Hướng dẫn giải : -9- Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Tốn năm học 2010 - 2011 - Giáo viên : Nguyễn Việt Khoa b) Đường thẳng x - 2y = y = x - có hệ số a= b = c) (d) y = (m-3)x + (m 3) Gọi A = (d) Oy => A ( ;4) => OA = -4 -4 B=(d) Ox => B ( m-3 ; 0)=> OB =|m-3 | (vẽ hình minh hoạ) 1 Kẻ OH vng góc AB => OH2 =OA2 +OB2 Thay OH = OA,OB vào giải tìm m Kq: m = Bài : Cho hàm số y = ( m+2)x + n-1 ( m -2) có đồ thị đường thẳng (d) a) Tìm m,n biết (d) cắt trục tung điểm có tung độ cắt trục hồnh điểm -3 có hồnh độ Vẽ (d) với m , n vừa tìm b) Cho n= 5,Gọi giao điểm (d) với hai trục toạ độ A, B.Tìm m để tam giác ABC có diện tích Hướng dẫn giải : b) Khi n = Ta có (d) y = ( m + 2)x + ( m -2) Gọi A = (d) Oy => A ( ;4) => OA = -4 -4 B=(d) Ox => B ( m+2 ; 0)=> OB =|m+2 | SABC = OA.OB (*) -4 Thay SABC = , OA = , OB =|m+2 | vào (*) giải tìm m Bài : Cho hàm số y = mx + - m ( m 0) có đồ thị đường thẳng (d) a)Cho m = Vẽ (d) b) Chứng tỏ (d) ln ln qua điểm A(1 ;2) với m c)Tìm m để khoảng cách từ O ( gốc toạ độ) đến (d) lớn Hướng dẫn giải : b) Thay x = ; y=2 vào phương trình(d) ta : = m (-1) + - m (*) Ta thấy đẳng thức (*) với m => (d)ln ln qua điểm A(1 ;2) với m c) (d) y = mx + - m ( m 0) Gọi B = (d) Oy => B ( ;2-m) => OC = | 2-m| m-2 m-2 C=(d) Ox => C ( m ; 0)=> OC =| m | Kẻ OH (d) , ta có : OH OA = khơng đổi Nên maxOH = OA = H trùng A Đến làm tương tự câu 6c ta tìm m - 10 - Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Tốn năm học 2010 - 2011 - Giáo viên : Nguyễn Việt Khoa Bài 1 1 , x y z (x , y Z ) *Nếu x,y,z âm suy vơ nghiệm *Nếu x,y,z dương giải bình thường *Do vai trò x,y,z giả sử x ≤ y ≤ z x y +Nếu y < , z > 0, mà 1 1 suy vơ nghiệm x y z z +Nếu x < , y > 1 1 1 1 , mà suy vơ nghiệm z x y x y z 1 -Xét y = z > x z x z -Xét y = z =1 x 1 -xét ≤ y ≤ z Bài 1+x+ x2 + x3 + x4 = y4 (x , y Z ) Ta thấy: : x = y 1 ; x =-1 y 1 nghiệm *Với x>0 ta có: x4 < y4 < (x+1)4 x y x vơ lí * với x0 ta có: (x3+1)2= x6 + 2x3 + < x6 + 3x3 + < (x 3+2)2= x6 + 4x3 + 4 (x +1) < y < (x +2) 3 (x +1) < y < (x +2) vơ lí Với x ≤ -2 ta có: (x3+2)2= x6 + 4x3 + < x6 + 3x3 + < (x 3+1)2= x6 + 2x3 + (x +2) < y < (x +1) x +2 y x3 vơ lí Suy : x =-1 y4 =-1 vơ nghiệm x =0 y4 =1 y 1 pt cho có hai nghiệm: (0;1) , (0;-1) Bài (x , y Z ) x y 1960 Lg: x y 1960 x y 14 10 - 85 - Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Tốn năm học 2010 - 2011 - Giáo viên : Nguyễn Việt Khoa vế phải số vơ tỉ nên x , y số vơ tỉ phải đồng dạng với 10 x a 10, y b 10 a, b Z Suy a + b = 14 Suy tốn có 15 nghiệm (x , y Z ) AD: x y 1980 Bài y2 - 2x = 153 (x , y Z+ ) * Nếu x chẵn x =2k 2 y - k = 153 =1.153=3.51=9.17 suy hệ suy ta nghiệm ( ;13) * Nếu x lẻ x≥ 2x chia cho dư mà y2 chia cho dư x y - chia cho dư -1 mà 153 chia hết cho suy (vơ lí) Với x =1 y2 =155 (loại) Vậy pt cho có nghiệm ( ;13) Bài Tìm số n ngun dương cho số n+26 n-11 số lập phương n 26 a suy (a-b)(a2+ab+b2)=37 Gợi ý : theo ta có n 11 b Vì a , b ngun suy hệ Bài 10 x3 y z Tìm x,y,z ngun dương thoả mãn: 3 xy z z 3 x y z 3 xyz z z 1 x y z ( x y z ) x y 2 y z 2 z x 2 2 3 xy z z 3 xy z z x y z * 3 xy z z x y z ( I * *) 3 xy z z Giải (*) ta có để hệ có nghiệm z2≥4xy suy hệ z x y z z xy z xy suy ra: x+y≥xy ( x 1)( y 1) x , y ngun dương suy - 86 - Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Tốn năm học 2010 - 2011 - Giáo viên : Nguyễn Việt Khoa x x y y z x y 0( I ) y ( II ) x Vai trò (I) , (II) *Giải (I) suy x=1 thay lại z2 –z - 3xy = ta x y x x z có: z y z y x y ( y 2) y y y 3y y z Giải tiếp (**)loại Vậy nghiệm hệ là: (1;2;3) ; (2;1;3) ; (2;2;4) Bài 11: Tìm số ngun tố liên tiếp cho tổng bình phương chúng số ngun tố Gợi ý: ta thấy ba số 3,5.7 thoả mãn Ta có số ngun tố khác có dạng 3k+1, 3k+2 TH1: ba số : 3k+1,3k+1,3k+1 suy tổng bình phương chia hết cho TH2: ba số : 3k+2,3k+2,3k+2 suy tổng bình phương chia hết cho TH3: ba số : 3k+1,3k+1,3k+2 suy tổng bình phương chia hết cho TH1: ba số : 3k+1,3k+1,3k+2 suy tổng bình phương chia hết cho TH1: ba số : 3k+1,3k+2,3k+2 suy tổng bình phương chia hết cho Vậy có số , , thoả mãn Bài 12: Tìm x , y Z+ để (x2 + 2) chia hết cho xy + Lg: x 2 xy y ( x 2) xy yx x x y xy x( xy 2) 2( x y ) xy 2( x y ) xy 2( x y ) k ( xy 2) Nếu k ≥ suy ra: 2( x y) 2( xy 2) x y xy x 11 y - 87 - Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Tốn năm học 2010 - 2011 - Giáo viên : Nguyễn Việt Khoa (vơ lí x , y Z+) Do k =1 x y xy giải pt ta : (x;y) = (3; 2) , (4 ;3) Bài 13: Tìm nghiệm ngun pt: x14 x24 x34 x44 x54 x64 x74 1992 Lg: *Trước hết ta chưng minh: x4 :16 ln dư +Nếu x = 2k x 16 +Nếu x = 2k +1 x4- = (x2+1)(x-1)(x+1) Vì x-1 x+1 hai số chẵn liên tiếp nên chia hết cho Mà x2+1 chia hết cho2 x 4- chia hết cho 16 Vậy tổng x14 x24 x34 x44 x54 x64 x74 chia cho 16 có số dư khơng vượt q Mà 1992 : 16 dư Vậy pt cho vơ nghiệm Bài 14: Tìm nghiệm ngun dương pt: x3 + 7y = y3+7x Lg: x y x + xy + y -7 *TH1 : x=y suy pt có vơ số nghiệm *TH2: x + xy + y -7 x + xy + y =7 x y 3xy Suy xy mà x , y Z+ x=1 y =2 x =2 y =1 Vậy nghiệm pt: (1;2) , ( 2;1) ,(n ,n) Bài 15: Tìm nghiệm ngun hệ pt: x y z 3 x y z Lg: Từ hệ ta có: (x+y+z)3- (x3+y3 +z3) =24 (x+y)(y+z)(z+x) =8 Vì AD: HĐT (x+y+z)3 = x3+y3 +z3 +3(x+y)(y+z)(z+x) Suy : (3-z)(3-x)(3-y) =8 Mà x , y ,z Z Ta giải hệ tìm x,y,z - 88 - Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Tốn năm học 2010 - 2011 - Giáo viên : Nguyễn Việt Khoa TUẦN 14 BUỔI 12 Ngày dạy : ./ /2010 ƠN TẬP TỔNG HỢP I MỤC TIÊU - Ơn tập tổng hợp : Luyện số đề thi HSG II CHUẨN BỊ Thầy : Giáo án Trò : SGK + SBT Tốn T1,2 III TIẾN TRÌNH DẠY HỌC GV đề hướng dẫn HS làm Đề số Bài 1: (3đ) Chứng minh với số tự nhiên n thì: n4 6n3 11n 30n 24 chia hết cho 24 Bài 2: (3đ) Xác định hệ số a b để đa thức A = x x3 3x ax b bình phương đa thức Bài (3đ) a) Chứng minh rằng: Với số thực a, b, c, d ta có: ab cd a c b d b) Với a c; b c; c > Chứng minh rằng: c a c c b c ab Bài 4) (4đ): a) Rú t gọn B 10 10 b) Tìm x để biểu thức sau có giá trị nhỏ nhất, tìm gi trị nhỏ C x x 2009 Bài 5) (3đ) Cho tam giác ABC (AB < AC), M điểm cạnh BC vẽ BI AM, CK AM Xác định vị trí điểm M cạnh BC để tổng BI + CK lớn Bài 6: (4đ)Cho hình vng ABCD cạnh a Đường thẳng qua đỉnh C cắt cạnh AB AD kéo dài F E a/ Chứng minh rằng: Tích DE.BF khơng đổi b/ Chứng minh rằng: DE AE BF AF - 89 - Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Tốn năm học 2010 - 2011 - Giáo viên : Nguyễn Việt Khoa HD Giải : Bài 1: n4 6n3 11n2 30n 24 = n4 6n3 11n2 6n 24n 24 n n3 6n2 11n 24 n 1 = n n3 n 5n 5n 6n 24 n 1 n n 1 n 5n 24 n 1 = n n 1 n n 24 n 1 (2đ) Vì n; n + 1; n + 2; n + 3; n + bốn số tự nhiên liên tiếp nên tích chúng chia hết cho 2.3.4 = 24 24 (n - 1) chia hết cho 24 nên n4 6n3 11n2 30n 24 chia hết cho 24 (1đ) Bài 2: Ta có A bình phương đa thức thì: A = x cx d = x 2cx3 c 2d x 2cdx d (0,5đ) Mà: A = x x3 3x ax b Do ta có hệ phương trình: 2c 2 a 2 c 2d b Do đó: a = - ; b = Vậy: A = x x3 x x (2,5đ) cd a c d b d Bài 3: a/ Ta có: ab cd a c b d 2 2 2 ab 2abcd cd ab ad bc cd ad 2adbc bc ad bc Bất đẳng thức ln với số thực a, b, c Vậy: ab cd a c b d ; với số thực a, b, c, d.(1,5đ) b / Ta có: c a c c b c c a c b c c c b c a c c ab (1,5đ) Bài 4: (4đ): a) Rútgọ n B 10 10 B2 10 10 B2 16 10 4 10 10 B2 B2 1 8 1 B2 B B - 90 - Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Tốn năm học 2010 - 2011 - Giáo viên : Nguyễn Việt Khoa b)C x x 2009 điềukiệ n x 2009 1 3 C x 2009 x 2009 2008 x 2009 2008 2008 4 2 4 Dấu " " xảy x 2009 x 2009 2 x 2009 x 2009 2 Vậy giá trị nhỏ C 2008 x 2009 4 Bài 5: (3đ): Vẽ đường cao AH ta có: SABM SACM SABC 1 AM.BI AM.CK SABC 2 S AM BI CK SABC BI CK ABC 2 AM m AM AH BI CK 2SABC BC AH Vậy Max BI CK BC Khi AM BC M l chn đường cao vẽ từ A đến cạnh BC Bài 6: F C B A E D a/ Chứng minh rằng: Tích DE.BF khơng đổi ED CD ED AE (1) (0,75đ) EA AF CD AF AE AF AE BC (2) (0,75đ) AFE BFC (G G ) BC BF AF BF ED BC ED.BF CD.BC a (khơng đổi) (0,5đ) Từ (1) (2) suy ra: CD BF DCE AFE (G G ) - 91 - Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Tốn năm học 2010 - 2011 - Giáo viên : Nguyễn Việt Khoa Vậy: Tích DE.BF khơng đổi b/ Chứng minh rằng: DE AE BF AF Nhân (1) (2) vế theo vế , ta có: Vì CD = BC nên ED BC EA2 CD BF AF DE AE (2đ) BF AF Đề số Bài 1: (3 điểm) 3x3 3x 3x 3x x 3x 3x Rút gọn biểu thức A Tìm giá trị ngun x để biểu thức A nhận giá trị ngun 6x Cho biểu thức: A Bài 2: (4,0 điểm) Với giá trị m (P) d có điểm chung? Khi d gọi tiếp Cho parabol (P): y x đường thẳng d : y 2 x m ( m tham số) tuyến parabol (P), vẽ tiếp tuyến Vẽ parabol (P) đường thẳng d : y 2 x m đồ thị Từ đồ thị suy ra, tập giá trị m để d cắt (P) điểm có hồnh độ dương Tìm giá trị m để phương trình x x 2m có nghiệm phân biệt Tính nghiệm theo m Bài 3: (3,5 điểm) Tìm số có hai chữ số biết phân số có tử số số đó, mẫu số tích hai chữ số có phân số tối giản 16 hiệu số cần tìm với số có chữ số với viết theo thứ tự ngược lại 27 Hãy tìm chữ số a, b, c, d biết số a, ad , cd , abcd số phương Bài 4: (4,5 điểm) Cho đường tròn (O; R) đường thẳng d khơng qua O cắt đường tròn (O) hai điểm A B Từ điểm M tùy ý đường thẳng d ngồi đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến MN MP với đường tròn (O) (M, N hai tiếp điểm) Chứng minh MN MP MA.MB Dựng vị trí điểm M đường thẳng d cho tứ giác MNOP hình vng Chứng minh tâm đường tròn nội tiếp tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP chạy hai đường cố định M di động đường thẳng d Bài 5: (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ cho ba điểm A(1;0), B(0; 2), C (3; 0) Điểm D đoạn BC cho DA = DC E điểm tùy ý đoạn AC, đường thẳng d qua E song song với đường thẳng AD cắt đường thẳng BA F Đoạn BE cắt đoạn DA G Chứng minh tia CG CF đối xứng với qua CA - 92 - Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Tốn năm học 2010 - 2011 - Giáo viên : Nguyễn Việt Khoa Bài 6: (3,0 điểm) 1) Trong bìa trình bày đây, có mặt ghi chữ mặt ghi số: A M + Chứng tỏ để kiểm tra câu sau có khơng: "Nếu bìa mà mặt chữ ngun âm mặt số chẵn", cần lật mặt sau tối đa bìa, bìa ? 2) Để thành lập đội tuyển học sinh giỏi khối 9, nhà trường tổ chức thi chọn mơn Tốn, Văn Ngoại ngữ tổng số 111 học sinh Kết có: 70 học sinh giỏi Tốn, 65 học sinh giỏi Văn 62 học sinh giỏi Ngoại ngữ Trong đó, có 49 học sinh giỏi mơn Văn Tốn, 32 học sinh giỏi mơn Tốn Ngoại ngữ, 34 học sinh giỏi mơn Văn Ngoại ngữ Hãy xác định số học sinh giỏi ba mơn Văn, Tốn Ngoại ngữ Biết có học sinh khơng đạt u cầu ba mơn - 93 - Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Tốn năm học 2010 - 2011 - Giáo viên : Nguyễn Việt Khoa Bµi HD Giải : Néi dung ý §iĨ m (2 ®iĨm) 1.1 (2 ®) 6x 3x3 3x 3x A 3 x x x x Ta cã: 3x 3x 3x 1 0;1 3x 0, x , nªn ®iỊu kiƯn ®Ĩ A cã nghÜa lµ 3x A 8 3x 6x 3x x 3x 3x 3x 3x x x x 0, x x x 0,25 x 3x 3x A 3x 3x 3x 3x 3x A 3x 3x 3x A 0,50 3x 3x 3x 3x 3x 0,50 3x 0,25 (0 x ) 3x 0,50 1.2 (1,0 ®) A 3x 3x 3x 3x 3x 3x 3x 0,50 Víi x lµ sè nguyªn kh«ng ©m, ®Ĩ A lµ sè nguyªn th× 3x 3x x 1 x (v× x vµ x ) 3x 3x Khi ®ã: A - 94 - 0,50 Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Tốn năm học 2010 - 2011 - Giáo viên : Nguyễn Việt Khoa Ph¬ng tr×nh cho hoµnh ®é giao ®iĨm cđa (P) vµ d lµ: 2.1 (1,5®) x 2 x m x x 2m (1) 0,25 Ph¬ng tr×nh (1) lµ ph¬ng tr×nh bËc hai nªn ®Ĩ (P) vµ d chØ cã mét ®iĨm chung th× ph¬ng tr×nh (1) cã nghiƯm kÐp, t¬ng ®¬ng víi: 0,50 ' 2m m 0,25 Khi ®ã ®êng th¼ng d lµ tiÕp tun cđa (P) cã ph¬ng tr×nh y 2 x VÏ ®óng tiÕp tun + VÏ ®óng (P) + §êng th¼ng d : y 2 x m song song víi ®êng th¼ng y 2 x vµ c¾t trơc Oy t¹i ®iĨm B(0; m) + Dùa vµo ®å thÞ ta cã: §Ĩ d c¾t (P) t¹i hai ®iĨm cã hoµnh ®é d¬ng th× 2.2 (1,25 ®) 0,25 0,25 0,25 0,50 0,50 0m2 2.3 (1,25 ®) x x 2m (2) X X 2m vµ ( X x 0) (3) §Ĩ ph¬ng tr×nh (2) cã nghiƯm ph©n biƯt th× ph¬ng tr×nh (3) ph¶i cã nghiƯm d¬ng ph©n biƯt Tõ c©u vµ ta suy m Khi ®ã nghiƯm cđa (2) lµ: x1,2 2m vµ x3,4 2m 3.1 (1,25 ®) Gäi sè cÇn t×m lµ xy víi x, y ;1 x, y 10 x y 16 x y 3 xy Theo gi¶ thiÕt: 90 x y 16 xy 10 x y 10 y x 27 Gi¶i hƯ ta cã x1 9; x2 3.2 (2,25 ®) 0,25 0,50 0,50 0,25 0,50 (lo¹i) Suy y 16 V©þ sè cÇn t×m lµ 96 a lµ sè chÝnh ph¬ng, nªn a 1, 4,9 Ta cã 92 81; 102 100 nªn kh«ng cã sè 9x nµo lµ sè chÝnh ph¬ng Do ®ã a chØ cã thĨ lµ hc ad lµ sè chÝnh ph¬ng nªn ad chØ cã thĨ lµ 16, hc 49 Nªn d chØ cã thĨ lµ hc 0,50 cd lµ sè chÝnh ph¬ng nªn cd chØ cã thĨ lµ 16, hc 36, hc 49 0,25 - 95 - 0,50 0,25 Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Tốn năm học 2010 - 2011 - Giáo viên : Nguyễn Việt Khoa Nªn Nªn c chØ cã thĨ lµ 1, hc 3, hc NÕu a th× d vµ c hc c , ®ã abcd 1b16 hay 1b36 vµ 0,25 1bc x hay x6 Ta cã: 262 676; 342 1156; 362 1296; 442 1936; 462 2126 ChØ chän ®ỵc 1936 2 NÕu a th× d vµ c , ®ã abcd 4b49 x3 hay x7 Ta cã: 632 3969; 67 4489; 732 5329 Kh«ng chän ®ỵc sè nµo VËy chØ cã c¸c ch÷ sè a 1, b 9, c 3, d tháa m·n ®iỊu kiƯn bµi to¸n 0,25 0,25 0,25 0,25 4.1 (1,25 ®) Ta cã: MN = MP (TÝnh chÊt cđa tiÕp tun c¾t nhau) Chøng minh ®ỵc tam gi¸c MAN vµ MNB ®ång d¹ng Suy ra: 4.2 (1,25 ®) 4.3 (2,0 ®) MA MN MN MP MA.MB MN MB §Ĩ MNOP lµ h×nh vu«ng th× ®êng chÐo OM ON R Dùng ®iĨm M: Ta dùng h×nh vu«ng OACD, dùng ®êng trßn t©m O ®i qua ®iĨm D, c¾t (d) t¹i M Chøng minh: Tõ M vÏ tiÕp tun MN vµ MP Ta cã MN MO ON R , nªn Tam gi¸c ONM vu«ng c©n t¹i N T¬ng tù, tam gi¸c OPM còng vu«ng c©n t¹i P Do ®ã MNOP lµ h×nh vu«ng Bµi to¸n lu«n cã nghiƯm h×nh v× OM R R + Ta cã: MN vµ MP lµ tiÕp tun cđa (O), nªn MNOP lµ tø gi¸c néi tiÕp ®êng trßn ®êng kÝnh OM T©m lµ trung ®iĨm H cđa OM Suy tam gi¸c c©n MPQ néi tiÕp ®êng trßn ®êng kÝnh OM, t©m lµ H + KỴ OE AB , th× E lµ trung ®iĨm cđa AB (cè ®Þnh) KỴ HL (d ) th× HL // OE, nªn HL lµ ®êng trung b×nh cđa tam gi¸c OEM, suy 0,25 0,50 0,50 0,25 0,25 0,50 0,25 0,25 ra: HL OE (kh«ng ®ỉi) 0,5 + Do ®ã, M ®i ®éng trªn (d) th× H lu«n c¸ch dỊu (d) mét ®o¹n kh«ng ®ỉi, nªn H ch¹y trªn ®êng th¼ng (d') // (d) vµ (d') ®i qua trung ®iĨm cđa ®o¹n OE 0,25 - 96 - Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Tốn năm học 2010 - 2011 - Giáo viên : Nguyễn Việt Khoa (tÝnh chÊt hai tiÕp tun + Ta cã: OM lµ ph©n gi¸c gãc NMP c¾t ®êng trßn (O) t¹i c¾t nhau) KỴ tia ph©n gi¸c gãc PNM FP (øng víi gãc néi tiÕp vµ gãc t¹o bëi tiÕp ®iĨm F, ®ã NF tun vµ d©y cung b»ng nhau) + Suy F ë trªn OM, ®ã F lµ t©m ®êng trßng néi tiÕp tam gi¸c MNP + VËy M ®i ®éng trªn (d) th× t©m ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c MNP ch¹y trªn ®êng trßn (O) 0,5 0,25 0,25 (2,0 ®) + §êng th¼ng BC cã ph¬ng tr×nh d¹ng: y ax (®i qua B(0; 2) vµ qua C(-3; 0) nªn a Do ®ã ph¬ng tr×nh cđa ®êng th¼ng BC lµ: y x DCA , suy hƯ sè gãc + Tam gi¸c ADC c©n t¹i D (gt), nªn CAD cđa AD lµ sè ®èi cđa hƯ sè gãc cđa BC, nªn ph¬ng tr×nh cđa AD 0,25 cã d¹ng y x b Mµ AD ®i qua A(1; 0) nªn b , suy ra, 2 3 + Gäi E( m ; 0) thc ®o¹n CA th× (3 m 1) §êng th¼ng d song 2 2m song víi AD nªn d: y x b , d ®i qua E nªn: d : y x 3 + Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng BE: y ax BE ®i qua E(m; 0) nªn m ; cßn nÕu m th× BE Oy Do ®ã ph¬ng tr×nh a m cđa BE lµ: y x ( m ) vµ x (m = 0) m ph¬ng tr×nh cđa ®êng th¼ng AD lµ: y x 0,25 0,25 + Ph¬ng tr×nh cho hoµnh ®é giao ®iĨm G cđa BE vµ AD lµ: 2 2 m 2(m 1) x2 x x ; suy tung ®é cđa G: y m 3 m3 m 3 m 0; m 3 + Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng CG: y ax b , CG ®i qua C vµ G nªn ta cã - 97 - 0,25 Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Tốn năm học 2010 - 2011 - Giáo viên : Nguyễn Việt Khoa 2(m 1) 3a b a m 9 hƯ ph¬ng tr×nh: 2ma 2(m 1) 6( b b m 1) m3 m m9 2(m 1) Suy hƯ sè gãc cđa ®êng th¼ng CG lµ a 0,25 m9 + Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng AB: y 2 x +Ph¬ng tr×nh cho hoµnh ®é giao ®iĨm F cđa AB vµ d lµ: 2m 3m ; suy tung ®é cđa F lµ: y m 2 x x x 3 + Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng CF cã d¹ng: y a ' x b ' , CF ®i qua C vµ F nªn: 2( m 1) 3a ' b ' a' 9m 3 m a ' 6(m 1) b ' m 1 b' 9m Suy hƯ sè gãc cđa ®êng th¼ng CF lµ: a ' 2( m 1) a 9m + Hai ®êng th¼ng CG vµ CF ë vỊ hai phÝa ®èi víi CA vµ cã hƯ sè gãc ®èi nhau, nªn cïng t¹o víi CA (trơc Ox) mét gãc nhän b»ng nhau, suy ra: CG vµ CF ®èi xøng qua CA 0,25 0,25 + Trêng hỵp m : BE: x =0, nªn G 0; , hƯ sè gãc cđa CG lµ 3 2 ; ®êng th¼ng d: y x , täa ®é ®iĨm F ; 1 , hƯ sè gãc 2 cđa CF lµ a ' , bµi to¸n vÉn cßn ®óng a 0,25 6.1 (1,25 ®) + C©u: "NÕu mçi tÊm b×a mµ mỈt ch÷ c¸i lµ nguyªn ©m th× mỈt lµ sè ch½n" ®óng kiĨm tra c¸c tÊm b×a ë mỈt ch÷ c¸i nÕu lµ nguyªn ©m th× mỈt sau ph¶i lµ sè ch½n, cßn tÊm b×a nµo cã mỈt ch÷ c¸i lµ phơ ©m th× mỈt sè lµ sè ch½n hc lỴ ®Ịu kh«ng ¶nh hëng Do ®ã nÕu lËt tÊm b×a ch÷ A mµ mỈt sau lµ sè lỴ, th× kh¼ng ®Þnh c©u trªn kh«ng ®óng, ngỵc l¹i mỈt sau lµ sè ch½n th× ph¶i lËt tiÕp mỈt sau cđa tÊm b×a cã ch÷ sè 3, nÕu mỈt ®ã lµ phơ ©m th× c©u trªn hoµn toµn ®óng, ngỵc l¹i lµ sai Cßn mỈt sau tÊm b×a ch÷ M cã thĨ sè ch½n hc lỴ ®Ịu ®ỵc, còng nh mỈt sau tÊm b×a sè lµ nguyªn ©m hc phơ ©m ®Ịu ®ỵc, c©u trªn ®Ịu ®óng VËy chØ cÇn lËt tèi ®a tÊm b×a ch÷ A vµ sè lµ cã thĨ kiĨm chøng ®ỵc c©u trªn lµ ®óng - 98 - 0,50 0,25 0,25 0,25 Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Tốn năm học 2010 - 2011 - Giáo viên : Nguyễn Việt Khoa + Gäi x lµ sè häc sinh giái c¶ m«n V¨n, To¸n, Ngo¹i ng÷ (x > 0), dùa vµo biĨu ®å ta cã: Sè häc sinh chØ giái mét m«n To¸n lµ: 6.2 (1,75 ®) 70 49 32 x Sè häc sinh chØ giái mét m«n V¨n lµ: 65 49 34 x Sè häc sinh chØ giái mét m«n Ngo¹i ng÷ lµ: 62 34 32 x 0,25 0,25 0,25 0,25 + Cã häc sinh kh«ng ®¹t yªu cÇu nªn: 111 70 49 32 x 65 49 34 x 62 34 32 x 49 32 x 34 x 0,50 82 x 105 x 23 VËy cã 23 häc sinh giái c¶ m«n 0,25 ==========================HẾT============================= - 99 - [...]... của 2 tiếp tuyến cắt nhau) Chứng minh được 2 tam giác MAN và MNB đồng dạng Suy ra: MA MN MN 2 MP 2 MA.MB MN MB Để MNOP là hình vuông thì đường chéo OM ON 2 R 2 Dựng điểm M: Ta dựng hình vuông OACD, dựng đường tròn tâm O đi qua điểm D, cắt (d) tại M Chứng minh: Từ M vẽ 2 tiếp tuyến MN và MP Ta có MN MO 2 ON 2 R , nên Tam giác ONM vuông cân tại N Tương tự, tam giác OPM cũng vuông cân... Ngày dạy : ./ /2010 TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN, TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN I MỤC TIÊU - Ôn tập đường tròn : nắm chắc các định lí chương II về đường tròn, trọng tâm là các bài tập về tiếp tuyến của đường tròn, tương giao của hai đường tròn II CHUẨN BỊ Thầy : Giáo án Trò : SGK + SBT Toán 9 T1, nhớ các kiến thức về tiếp tuyến của đường tròn, tương giao của hai đường tròn III TIẾN TRÌNH DẠY HỌC 1 Giáo... tại E Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng AB với CD; AD và CE a Chứng minh rằng DE// BC b Chứng minh tứ giác PACQ nội tiếp c Gọi giao điểm của các dây AD và BC là F Chứng minh hệ thức: Giải a Sđ CDE = 1 1 Sđ DC = Sđ BD = BCD 2 2 => DE// BC (2 góc vị trí so le) b APC = 1 sđ (AC - DC) = AQC 2 => Tứ giác APQC nội tiếp (vì APC = AQC cùng nhìn đoan AC) c.Tứ giác APQC nội tiếp... không đổi, nên H chạy trên đường thẳng (d') // (d) và (d') đi qua trung điểm của đoạn OE (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Kẻ tia + Ta có: OM là phân giác trong góc NMP cắt đường tròn (O) tại điểm F, khi đó NF FP (ứng với góc phân giác trong góc PNM nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng nhau) + Suy ra F ở trên OM, do đó F là tâm đường tròng nội tiếp tam giác MNP + Vậy khi M đi... Ra bài tập hướng dẫn HS Bài 1 Cho nửa đường tròn tâm O , đường kính BC Điểm A thuộc nửa đường tròn đó Dưng hình vuông ABED thuộc nửa mặt phẳng bờ AB, không chứa đỉnh C Gọi F là giao điểm của AE và nửa đường tròn (O) Gọi Klà giao điểm của CFvà ED a chứng minh rằng 4 điểm E,B,F,K nằm trên một đường tròn b Tam giác BKC là tam giác gì ? Vì sao D Giải K a Ta có KEB= 900 mặt khác BFC= 90 0( góc nội tiếp... AD tại M cắt tia AC tại N C b) Do MâN = 900 nên MN là đường kính Vậy I là trung điểm của MN I b) Kẻ MK // AC ta có : ÄINC = ÄIMK (g.c.g) K => CN = MK = MD (vì ÄMKD vuông cân) O B A Vậy AM +AN= AM+CN+CA=AM+MD+CA => AM = AN = AD + AC không đổi M c) Ta có IA = IB = IM = IN - 24 - D Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 năm học 2010 - 2011 - Giáo viên : Nguyễn Việt Khoa Vậy đường tròn ngoại tiếp ÄAMN đi qua... Nguyễn Việt Khoa 2 Tìm quĩ tích của các điểm E và G khi C di chuyển trên nửa đường tròn đã cho 3 Tìm quĩ tích của các điểm D và F khi C di chuyển trên nửa đường tròn đã cho Giải : Gọi K là giao điểm của Ax và GF, I là giao điểm của By và ED Ta có: BCA 900 BEI CBA (góc có các cạnh tương ứng EBI vuông góc) BE BC , Do đó: BEI BCA BI BA mà By cố định, suy ra điểm I cố định + Tương... Phương trình cho hoành độ giao điểm của d1 và (P) là: 1 2 x ax 2a 1 x 2 3ax 6 a 3 0 3 Để d1 là tiếp tuyến của (P) thì cần và đủ là: a 2 ' 9a 24a 12 0 a 2 3 2 Vậy từ A(2; 1) có hai tiếp tuyến đến (P) là: d1 : y 2 x 3; d 2 : y 2 1 x 3 3 Phương trình đường thẳng d đi qua A(2; 1) có hệ số góc m là: y mx 1 2m Phương trình cho hoành độ giao điểm của d và (P)... (1) có nghiệm kép, tương đương với: ' 4 2m 0 m 2 Khi đó đường thẳng d là tiếp tuyến của (P) có phương trình y 2 x 2 Vẽ đúng tiếp tuyến 2) + Vẽ đúng (P) + Đường thẳng d : y 2 x m song song với đường thẳng y 2 x 2 và cắt trục Oy tại điểm B(0; m) + Dựa vào đồ thị ta có: Để d cắt (P) tại hai điểm có hoành độ dương thì 0 m 2 3) x 4 4 x 2 2m 0 (2) X 2 4 X 2m 0 và... 1 và 2 ta suy ra 0 m 2 Khi đó 4 nghiệm của (2) là: x1,2 2 4 2m và x3,4 2 4 2m Bài 3 Trong (Oxy) cho đường thẳng (d1): y = 3 - m(x -2) ; (d2): y + 3 - m(x + 2) = 0 (2,0 điểm) a.Tìm điểm cố định A của (d1), B của (d2) Viết phương trình đường thẳng AB (1,0 điểm) b.Tìm quỹ tích giao điểm M của (d1) và (d2) (0 ,5 điểm) Xác định m để điểm M trùng điểm A Giải : a Tìm điểm cố định A của ... 3,6 c, CAN Giải : B C N D a, CN ? CN = AC2 – AN ( Đ/l Pytago ) CN 6,42 3,62 5,292 ? b, ABN = sin ABN 3,6 23034' 0,4 ABN ? c, CAN = 3,6 0,5625 CAN 550 46' cos CAN 6,4... C AM MC Trong tam giác ABC có AB BC AB.MC 6.8 = 4,8 cm AM = BC 10 Tính AN ? Ta có BN BM ( T/c đường pg đường phân giác góc kề bù ) BNM vuông B, có BA đường cao BA2 = AN. AM ( Theo... CHUẨN BỊ Thầy : Giáo án Trò : SGK + SBT Toán T1,2 III TIẾN TRÌNH DẠY HỌC GV giới thi u BĐT thông dụng cho thi HSG PP tìm cực trị chọn lọc để hướng dẫn cho HS làm quen yêu cầu HS nhà tự học *A