BT (đầy đủ) về hàm số liên tục

HÀM SỐ LIÊN TỤC HÀM SỐ LIÊN TỤC A.XÉT LIÊN TỤC TẠI 1 ĐIỂM (DẠNG 1) Bài 1: Xét tính liên tục của hàm số sau đây tại điểm 0 x đã chỉ ra: 1) neáu neáu 2 0 9 10 1 , 1 1 5 6 1 x x x y x x x x ì ï + - ï ¹ ï ï = = í - ï ï + = ï ï î 2) neáu neáu 2 0 3 4 1 2 , 2 4 3 12 2 x x y x x x x ì ï - + ï ï ¹ ï = = í - ï ï - = ï ï î 3) neáu neáu 0 2 1 1 , 1 1 1 3 2 x y x x x x x ì ï - = ï ï ï = = í - ï ¹ ï ï - + ï î 4) 8 neáu neáu 3 0 2 , 2 8 2 2 x y x x x x ì ï = ï ï ï = = í - ï ¹ ï ï - ï î 5) neáu 11 neáu 3 3 2 0 6 2 2 , 2 2 x x x x x y x x ì ï - - ï ¹ ï ï ï - - = = í ï ï = ï ï ï î 6) neáu neáu 0 1 2 3 2 , 2 2 1 2 x x y x x x ì ï - - ï ï ¹ ï = = í - ï ï = ï ï î 7) neáu neáu 2 2 0 2 ( 1) 1 , 1 1 2 1 1 x x y x x x x ì ï - ï ¹ ï ï = = í - ï ï - = ï ï î 8) neáu neáu 3 2 0 1 cos 0 sin , 0 1 0 6 x x x y x x ì ï - ï ï ¹ ï ï = = í ï ï = ï ï ï î 9) neáu neáu 2 0 1 cos 0 sin , 0 1 0 4 x x x y x x ì ï - ï ï ¹ ï ï = = í ï ï = ï ï ï î 10) neáu neáu 2 0 1 sin 0 , 0 0 0 x x y x x x ì ï ï ¹ ï ï = = í ï ï = ï ï î 11) neáu neáu 0 sin 1 , 1 1 1 x x y x x x p p ì ï ï ¹ ï ï = = í - ï ï - = ï ï î 12) neáu neáu 2 2 0 3 2 4 2 1 3 2 , 1 1 1 2 x x x x x x y x x ì ï - - - - ï ï ¹ ï ï - + = = í ï ï ï = ï ï î 13) neáu neáu 2 0 1 1 1 , 1 1 x x y x x a x ì ï - - ï ï ¹ ï = = í ï ï = ï ï î 14) neáu neáu ; 0 neáu ; 2 0 1 2 1 1 0, 1 1 0 0 1 1 x x x x x y x x x x ì ï + - ï ï ¹ ¹ ï ï - ï í = - = = ï ï ï ï = = ï ï î 15) neáu neáu 3 0 1 1 1 , 1 sin 1 x x x y x x x x p ì ï - ï ï ¹ ï ï - = = í ï ï ï = ï ï î 16) neáu neáu 0 2 1 1 , 1 2 5 2 1 x x y x x x ì ï + - ï ï -¹ ï = = - í - + ï ï = - ï ï î 17) neáu neáu 3 0 1 1 0 , 0 1 0 6 x x x x y x x ì ï + - + ï ï ¹ ï ï = = í ï ï = ï ï ï î 18) neáu 3 neáu 0 5 5 , 5 2 1 3 12 5 x x y x x x x ì ï - ï ¹ ï ï = = í - - ï ï - = ï ï î Bài 2: Tìm tham số để mỗi hàm số sau đây liên tục tại điểm 0 x đã chỉ ra: 1) neáu neáu 2 0 2 1 , 1 1 1 x x x y x x m x ì ï + - ï ¹ ï ï = = í - ï ï = ï ï î 2) neáu neáu 0 2 2 0 , 0 1 0 x x y x x m x ì ï + - ï ï ¹ ï = = í ï ï + = ï ï î Dương Phước Sang HÀM SỐ LIÊN TỤC 3) neáu neáu 2 0 7 10 2 , 2 2 4 2 x x x y x x m x ì ï - + ï ¹ ï ï = = í - ï ï - = ï ï î 4) neáu neáu 3 2 0 2 3 1 , 1 1 1 x x x y x x a x ì ï + - ï ¹ ï ï = = í - ï ï = ï ï î 5) neáu neáu 0 2 2 2 2 , 2 7 3 3 2 x x y x x x mx x ì ï + - ï ï ¹ ï = = í + - ï ï - = ï ï î B.XÉT LIÊN TỤC TẠI 1 ĐIỂM (DẠNG 2) Bài 3: Xét tính liên tục của hàm số sau đây tại điểm 0 x đã chỉ ra: 1) neáu neáu 2 0 3 4 1 , 1 2 3 1 x x x y x x x ì ï - + < ï ï = = í ï - ³ ï ï î 2) neáu neáu 2 0 4 2 , 2 2 1 2 2 x x y x x x x ì ï - ï < ï ï = = í - ï ï - ³ ï ï î 3) neáu neáu 2 2 0 3 2 1 1 , 1 1 2 x x x x y x x x ì ï - + ï ³ ï ï ï - = = í ï ï - < ï ï ï î 4) neáu neáu 0 3 3 0 2 , 0 1 1 0 1 1 x x y x x x x ì ï ï + £ ï ï ï = = í + - ï ï ³ ï ï + - ï î 5) neáu neáu 0 1 cos 6 0 sin 2 , 0 0 1 x x x x y x x a x x ì ï - ï ï < ï ï = = í ï + ï ³ ï ï + ï î 6) neáu neáu 0 sin , cos 1 2 x x x y x x x p p p p ì ï ï < - ï ï ï + = = - í ï ï + -³ ï ï ï î 7) neáu neáu 0 2 1 2 1 0 , 0 sin 2 4 1 0 x x y x x x x x ì ï - + ï ï < ï = = í ï ï - + ³ ï ï î 8) neáu neáu 2 2 1 cos2 sin [ ; ]\ {0} sin 2 0 x x x y x x p p ì ï - ï ï + -Î ï = í ï ï = ï ï î 9) neáu neáu neáu 3 0 4 1 1 2 1 2 1, 1 1 1 1 x x x y x x x x x ì ï - ï ï < ï ï - + ï ï í = = = ï ï ï - ï ï > ï ï - î 10) neáu neáu 0 1 1 1 1 , 1 1 1 1 x y x x x x ì ï ï + -¹ ï ï = = - í + ï ï = - ï ï î 11) neáu neáu 0 1 0 , 0 2 0 x x y x x x ì ï ï + ¹ ï ï = = í ï ï = ï ï î Bài 4: Tìm tham số để mỗi hàm số sau đây liên tục tại điểm 0 x đã chỉ ra: 1) neáu neáu 2 0 3 2 1 1 , 1 2 1 x x x y x x a x ì ï + - < ï ï = = í ï + ³ ï ï î 2) neáu neáu 0 1 cos 4 0 .sin 2 , 0 0 1 x x x x y x x a x x ì ï - ï ï < ï ï = = í ï + ï ³ ï ï + ï î 3) neáu neáu 0 1 1 0 , 0 4 0 2 x x x x y x x a x x ì ï - - + ï ï < ï ï = = í ï - ï + ³ ï ï + ï î 4) neáu neáu 2 2 0 3 2 2 , 2 2 1 2 x x x y x x x mx m x ì ï - + ï < ï ï = = í - ï ï + + ³ ï ï î Dương Phước Sang HM S LIấN TC C.XẫT LIấN TC TRấN 1 KHONG, ON Bi 5: Xột tớnh liờn tc ca hm s sau õy trờn tp xỏc nh ca nú 1) neỏu neỏu 2 2 10 2 2 4 4 17 2 x x x y x x x ỡ ù - + + ù < - ù ù = ớ + ù ù + - ù ù ợ 2) neỏu neỏu 2 7 6 1 1 2 1 1 x x x y x a x ỡ ù + + ù -ạ ù ù = ớ + ù ù - = - ù ù ợ 3) neỏu neỏu 4 8 2 2 1 2 x x x y x ax x ỡ ù - ù < ù ù = ớ - ù ù + ù ù ợ 4) neỏu 8 neỏu 2 16 4 4 4 x x y x x ỡ ù - ù ạ ù ù = ớ - ù ù = ù ù ợ 5) neỏu neỏu 2 3 7 2 1 2 x x x y x x ỡ ù - - < - ù ù = ớ ù - - ù ù ợ 6) neỏu neỏu 2 0 4 2 , 2 2 1 2 x x y x x x ỡ ù + < ù ù = = ớ ù + ù ù ợ 7) neỏu neỏu sin 3 1 2 cos 3 3 x x y x a x p p p ỡ ổ ử ù ữ ù ỗ ữ - ù ỗ ữ ỗ ù ố ứ ù ạ ù = ớ - ù ù ù ù = ù ù ợ 8) neỏu neỏu neỏu 2 2 3 10 2 4 3 4 5 2 3 2 5 2 x x x x y x x x x x ỡ ù + - ù < ù ù - ù ù ù = - > ớ ù ù + ù ù Ê Ê ù ù + ù ợ 9) neỏu neỏu 0 1 1 0 , 0 4 0 2 x x x x y x x a x x ỡ ù - - + ù ù < ù ù = = ớ ù - ù + ù ù + ù ợ 10) neỏu neỏu 0 1 cos 4 0 sin 2 , 0 0 1 x x x x y x x a x x ỡ ù - ù ù < ù ù = = ớ ù + ù ù ù + ù ợ 11) neỏu neỏu 2 sin 0 0 ax x y x ax b x ỡ ù ù > ù ù = ớ ù ù + Ê ù ù ợ 12) neỏu neỏu 3 3 2 2 2 2 4 2 x x y x ax x ỡ ù + - ù ù > ù = ớ - ù ù + Ê ù ù ợ Bi 6: Tỡm tham s hm s sau õy liờn tc trờn Ă 1) neỏu neỏu neỏu 3 2 8 2 2 2 20 8 2 5 52 2 x x x y x x m m x ỡ ù - ù > ù ù ù + - ù ớ = + < ù ù ù ù - + = ù ù ợ 2) neỏu neỏu 3 3 2 2 2 2 1 2 4 x x x y ax x ỡ ù + - ù ù > ù ù - = ớ ù ù + Ê ù ù ù ợ 3) neỏu neỏu 3 8 2 2 3 2 x x y x a x ỡ ù - ù ạ ù ù = ớ - ù ù - = ù ù ợ 4) neỏu neỏu neỏu 2 1 1 3 4 3 x x y ax b x x x ỡ ù < ù ù ù = + ÊÊ ớ ù ù - > ù ù ợ 5) neỏu neỏu neỏu 2 sin 2 sin 2 2 cos 2 x x y a x b x x x p p p p ỡ ù ù - < - ù ù ù ù ù ù = + - ÊÊ ớ ù ù ù ù ù > ù ù ù ợ 6) neỏu neỏu 2 sin 0 cos 5 0 x x y x a x x ỡ ù ù > ù ù = ớ ù ù - Ê ù ù ợ E.XẫT TNH LIấN TC BNG TP XC NH Bi 7: Xột xem mi hm s sau õy cú liờn tc trờn ton trc s hay khụng. Nu chỳng khụng liờn tc trờn ton trc s hóy ch ra cỏc im x m ti ú hm s giỏn on 1) 3 2 ( ) 2 3 1f x x x x= - + + 2) 2 2 1 ( ) 3 2 x f x x x + = - + 3) 2 3 5 6 ( ) 2 x x f x x x - + = - 4) 4 3 2 2 1 ( ) 3 2 x f x x x x + = - + Dng Phc Sang HÀM SỐ LIÊN TỤC 5) 3 tan ( ) x f x x x = + 6) 5 2 4 3 2 2 8 11 ( ) 4 8 8 4 x x f x x x x x - + = + + + + 7) 3 2 2 sin cos 1 ( ) 4 cos 2 x x f x x + + = - 8) tan cot 1 ( ) sin sin 2 sin 3 x x f x x x x + - = + + 9) 2 sin ( ) sin 3 cos x f x x x = - 10) 4 2 4 sin 2cos ( ) 5 4 x x f x x x - = - + 11) neáu neáu 3 1 1 1 ( ) 1 1 3 x x x f x x ì ï - ï ï ¹ ï ï - = í ï ï = ï ï ï î 12) neáu neáu 1 cos 0 ( ) 0 0 x x f x x x ì ï ï ¹ ï ï = í ï ï = ï ï î 13) neáu neáu 2 2 1 1 0 ( ) 3 3cos2 0 x x x f x x x x x ì ï + + - ï ï ¹ ï = í ï ï + - = ï ï î F.CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM Bài 8: Chứng minh phương trình có nghiệm (trên khoảng đã chỉ ra) 1) 4 3 0x x- - = có ít nhất 1 nghiệm phân biệt thuộc khoảng (1;2). 2) 4 3 2 3 2 1 0x x x- + - = có ít nhất 2 nghiệm phân biệt thuộc khoảng ( 1;1)- 3) 5 3 1 0x x- - = có ít nhất 2 nghiệm phân biệt thuộc đoạn [ 1;2]- 4) 4 2 4 2 3 0x x x+ - - = có ít nhất 2 nghiệm phân biệt thuộc khoảng ( 1;1)- 5) 3 2 6 1 0x x- + = có đúng 3 nghiệm phân biệt thuộc đoạn [ 2;2]- . 6) 3 2 3 3 0x x- + = có đúng 3 nghiệm phân biệt thuộc khoảng (–1;3) 7) 3 2 6 1 0x x- + = có đúng 3 nghiệm phân biệt thuộc khoảng (–2;2) 8) 3 2 3 3 0x x+ - = có đúng 3 nghiệm phân biệt thuộc khoảng (– 3;1) 9) 3 2 3 1 0x x- + = có đúng 3 nghiệm phân biệt thuộc khoảng (–1;3) 10) 3 2 6 1 3x x+ - = có ít nhất 3 nghiệm phân biệt thuộc khoảng ( 7;9)- 11) 2 cos sin 1 0x x x x+ + = có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (0; ) p Bài 9: Chứng minh phương trình có nghiệm (chưa chỉ rõ khoảng chứa nghiệm) 1) 5 3 5 4 1 0x x x- + - = có đúng 5 nghiệm phân biệt. HD: ( ) ( ) 3 1 2 2 ( 5), , (0), , (1), (4)f f f f f f- - 2) 3 2 4 2 0x x+ - = có ít nhất 2 nghiệm. 3) 5 3 10 100 0x x- + = có ít nhất 1 nghiệm âm. 4) 3 3 1 0x x- + = có 3 nghiệm phân biệt. 5) 3 2 6 9 1 0x x x+ + + = có 3 nghiệm phân biệt 6) 3 2 6 1 3 0x x+ - - = có 3 nghiệm phân biệt. Bài 10: Chứng minh rằng các phương trình sau đây có nghiệm 1) 3 2 7 0x x- - = 2) 5 3 1 0x x+ - = 3) 3 2 3 3 3 2 0x x x+ + + = 4) 3 2 6 9 10 0x x x- + - = 5) cos 1 0x x- + = 6) 7 5 3 2 0x x+ - = Bài 11: Chứng minh rằng phương trình 5 2 0x x- - = có nghiệm 3 0 ( 2;2)x Î Bài 12: Chứng minh rằng phương trình 3 2 2 3 1 0x x- - = có nghiệm 3 0 ( 4;2)x Î Bài 13: Chứng minh rằng phương trình 3 1 0x x+ - = có nghiệm 1 0 2 (0; )x Î Bài 14: Chứng minh rằng phương trình 4 3 0x x- - = có nghiệm 7 0 ( 12;2)x Î Bài 15: Chứng minh rằng với mọi giá trị của m các phương trình sau đây luôn có nghiệm Dương Phước Sang HÀM SỐ LIÊN TỤC 1) 2 ( 1) ( 2) 2 3 0m x x x- + + + = 2) 4 2 2 2 0x mx mx+ - - = 3) 3 ( 1) ( 2) 2 3 0m x x x- - + - = 4) 3 ( 1) ( 2) 2 3 0m x x x- + + + = 5) 2 4 ( 1) 2 2 0m m x x+ + + - = 6) 3 2 1 0x mx+ - = 7) 3 ( 1) 1x mx m- + = + 8) 3 2 3 4( 2) 1 0x mx m x m- + - + - = 9) 4 2 2 0mx x x m+ - - = (2 nghiệm trái dấu) 10) 5 2 ( 1) 8 0x m x x+ - - = (ít nhất 3 nghiệm) 11) 2 cos cos2 1 0x m x+ - = 12) 2 sin sin 2 1 0x m x+ + = 13) 1 1 cos sin m x x - = 14) 2 sin cos 1 0x x x x+ + = 15) cos .cos2 0x m x+ = 16) sin 2 2(sin cos ) 0m x x x+ - = Bài 16: Cho 3 số a,b,c khác nhau .Chứng minh rằng phương trình sau đây có 2 nghiệm phân biệt ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0x a x b x b x c x c x a- - + - - + - - = Bài 17:Chứng minh rằng phương trình ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0ab x a x b bc x b x c ca x c x a- - + - - + - - = luôn có nghiệm với mọi a,b,c HD: ( ). ( ). ( ) 0 ( ) 0f a f b f c f a£ Þ $ £ và (0) 0f ³ Bài 18: CMR, phương trình ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0a x b x c b x c x a c x a x b- - + - - + - - = có 2 nghiệm phân biệt Bài 19: Cho bốn số , , ,a b c d sao cho a b c d< < < . Chứng minh rằng với mọi m, phương trình sau đây luôn có nghiệm: ( )( ) ( )( ) 0x a x c m x b x d- - + - - = Bài 20:Cho phương trình sin 3 cos2 cos sin 0a x b x c x x+ + + = . Tính ( ) ( ) 3 2 2 (0) ( )f f f f p p p + + + . Từ đó chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm. Bài 21:Cho phương trình cos sin 2 cos 3 0a x b x c x x+ + - = . Tính ( ) ( ) 3 2 2 (0) ( )f f f f p p p + + + . Từ đó chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm. Bài 22: Chứng minh rằng phương trình 2 0ax bx c+ + = luôn có nghiệm trong các trường hợp: a) 5 4 6 0a b c+ + = có nghiệm thuộc nửa khoảng [0;2) HD: 5 4 (0). ( )f f b) 2 6 21 0a b c+ + = có nghiệm thuộc 1 3 [0; ] HD: 1 3 (0). ( )f f c) 3 4 6 0a b c+ + = có nghiệm thuộc [0;1) HD: 3 4 (0). ( )f f d) 0 ( 0) 2 1 a b c m m m m + + = > + + có nghiệm thuộc khoảng (0;1) HD: ( ) 1 2 (0). m m f f + + e) 2 0 0 m n p a b c m n p n mp ì ï > > > ï ï ï ï ï + + = í ï ï ï ï > ï ï î có nghiệm thuộc khoảng (0;1) HD: (0). ( ) n m f f Bài 23: Cho 3 số a,b,c thoả mãn 5 4 6 0a b c+ + = và 2 ( )f x ax bx c= + + . Tính 1 2 (0) 4. ( ) (2)f f f+ + , từ đó chứng minh rằng phương trình ( ) 0f x = có nghiệm. Bài 24: Cho 2 ( )f x ax bx c= + + thoả mãn 2 3 6 0a b c+ + = a) Chứng minh rằng 1 2 (0), (1), ( )f f f không thể cùng dấu. b) Chứng minh rằng phương trình 2 0ax bx c+ + = có nghiệm trong khoảng (0;1) Bài 25: Cho a,b,c thoả 0 7 6 5 a b c + + = . Chứng minh rằng phương trình cos2 2 cos 2 0a x b x c a+ + + = có nghiệm 2 ( 2 ; 2 )x k k p p p +Î Bài 26: Cho hàm số ( )y f x= liên tục trên đoạn [ ; ]a b thoả mãn ( ) [ ; ], [ ; ]f x a b x a b"Î Î . Chứng minh rằng phương trình ( )f x x= có nghiệm trên đoạn [ ; ]a b Dương Phước Sang HÀM SỐ LIÊN TỤC Bài 27: Cho hàm số ( )y f x= liên tục trên đoạn [ ; ]a b và , a b là hai số dương bất kỳ. Chứng minh rằng phương trình ( ) ( ) ( ) f a f b f x a b a b + = + có nghiệm trên đoạn [ ; ]a b Bài 28: Cho phương trình sinx a x b= + với 0 1; 0a b< < > . Chứng minh rằng phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm dương không vượt quá a b+ Bài 29: Cho a,b,c là những số dương. Chứng minh rằng phương trình 1 1 1 0 x x a x b + + = - - có 2 nghiệm 1 2 ,x x thoả mãn 1 2 2 2 , 3 3 3 a a b b x x a < < - < < - HD: 1 2 (0; ), ( ;0)x a x b-Î Î Bài 30: Cho phương trình 3 3 1 0x x- + = . Chứng minh rằng phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt thuộc khoảng ( 2;2)- , từ đó giải phương trình 3 3 1 0x x- + = HD: đặt 2 sinx t= Bài 31: Cho phương trình: 3 2 8 4 4 1 0x x x- - + = . Chứng minh rằng phương trình có 3 nghiệm phân biệt trong khoảng ( 1;1)- , từ đó giải phương trình này. HD: đặt cosx t= Bài 32: Cho phương trình: 3 2 3 1 0x mx- + = a) Giải phương trình khi 2 3 m = b) Chứng minh rằng với mọi m > 1, phương trình đã cho luôn có 4 nghiệm phân biệt. Bài 33: Cho phương trình 3 2 2 2 0x mx- + = . Chứng minh rằng với mọi m > 2, phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt. Bài 34: Cho phương trình 3 2 ( 1) 2 0x mx m x- + + - = a) Giải phương trình với m = 1. b) Chứng minh rằng với mọi m phương trình đã cho luôn có ít nhất hai nghiệm phân biệt. Bài 35: Cho phương trình 12 4 1 4 1 n x x x+ = - . Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho phương trình đã cho có nghiệm HD giải Điều kiện 1 0 n x - ³ . Nếu n lẻ thì 1x ³ , còn n chẵn thì phương trình nếu có nghiệm sẽ có 2 nghiệm đối nhau do đó phải có nghiệm 1x ³ . Vậy, không mất tính tổng quát ta xét 1x ³ . Áp dụng BĐT CauChy 12 4 8 4 4 4 4 2 2 4 4 4 1 ( 1)( 1) ( 1) ( 1) 1 2 .2 1 4 1x x x x x x x x x x x x é ù + = + - + = + - + - = -³ ë û Do đó, nếu n < 5 chắc chắn phương trình vô nghiệm. Ta chứng minh phương trình có nghiệm với n = 5 trên khoảng 6 5 (1; ) Dương Phước Sang . HÀM SỐ LIÊN TỤC HÀM SỐ LIÊN TỤC A.XÉT LIÊN TỤC TẠI 1 ĐIỂM (DẠNG 1) Bài 1: Xét tính liên tục của hàm số sau đây tại điểm 0 x đã chỉ ra: 1) neáu. có nghiệm trên đoạn [ ; ]a b Dương Phước Sang HÀM SỐ LIÊN TỤC Bài 27: Cho hàm số ( )y f x= liên tục trên đoạn [ ; ]a b và , a b là hai số dương bất kỳ. Chứng minh rằng phương trình (. 2 x x y x x x mx x ì ï + - ï ï ¹ ï = = í + - ï ï - = ï ï î B.XÉT LIÊN TỤC TẠI 1 ĐIỂM (DẠNG 2) Bài 3: Xét tính liên tục của hàm số sau đây tại điểm 0 x đã chỉ ra: 1) neáu neáu 2 0 3 4 1 ,