Bồi dưỡng học sinh giỏi giải toán trên máy tính cầm tay

giải toán trên máy tính cầm tay là một môn học có tính sáng tạo cao. Vì vậy, mỗi bài toán sẽ có thể có rất nhiều cách giải, trong phạm vi của bài viết, tôi sẽ chỉ trình bày những cách giải mà bản thân tôi cho là hiệu quả cao. về đối tượng nghiện cứu : học sinh lớp 9 trường ThCS Long Kiến

Mục lục

Phầ n m ở đ ầ u 1

I ) Bố i cả n h củ a đề t à i 1

I I ) Lý d o ch ọ n đ ề t à i 1

I I I ) Phạ m v i n g h iê n cứ u 1

I V ) Đ iể m m ớ i t r on g k ế t q u ả n g h iê n cứ u 2

Phầ n n ộ i d u n g 2

I ) Cơ sở lý lu ậ n 2

I I ) Th ự c t r ạ n g củ a v ấ n đề 2

I I I ) Cá c b iệ n p h á p t iế n hà n h để g iả i q u y ế t v ấ n đ ề 3

I V ) H iệ u q u ả củ a sá n g k iế n k in h n g h iệ m 2 1 Phầ n k ế t lu ậ n 2 2

I ) N hữ n g bà i h ọ c k in h n g h iệ m 2 2

I I ) Ý n g hĩa củ a SKKN 2 3

I I I ) Khả n ă n g ứ n g d ụ n g, t r iể n k h a i 2 3

I V ) N hữ n g k iế n n g h ị , đ ề x u ấ t 2 4

Danh mục chữ cái viết tắt:

- Máy tính cầm tay : MTCT

- Trung học cơ sở: THCS

- Sáng kiến kinh nghiệm : SKKN

- Giáo viên: GV

- Học sinh: HS

Phầ n m ở đầ u

I ) Bố i cả n h củ a đề tà i

Năm học 2012-2013 là năm học thứ ba liên tiếp, học sinh trường THCSLong Kiến đạt giải thủ khoa trong kỳ thi giải toán trên MTCT do Phòng GiáoDục và Đào Tạo Huyện Chợ Mới tổ chức và những học sinh này cũng đạt giảicao khi tham dự kỳ thi giải toán trên MTCT do Sở Giáo Dục và Đào Tạo AnGiang tổ chức

Như vậy, phong trào giải toán trên MTCT hiện nay được sự quan tâm rấtnhiều từ các cấp lãnh đạo Sở, Phòng, Trường và đây cũng là một môn học đượcxem là mới và nó tạo được sự ham muốn, hứng thú học toán của rất nhiều họcsinh

I I ) Lý do ch ọ n đề tà i

- Khi tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi thấy học sinh khi được giáoviên hướng dẫn sử dụng máy tính cầm tay thì học ngày càng tiến bộ, yêu thíchhọc toán, thấy máy tính cầm tay thật sự cần thiết trong học tập Từ việc chỉ biết

sử dụng máy tính để thực hiện các phép tính đơn giản như cộng, trừ, nhân, chia,lũy thừa thì sau quá trình bồi dưỡng các em đã nắm được rất nhiều kỹ năng sửdụng máy, các em có thể viết được quy trình cho máy để giải toán, tạo niềm đam

mê học tập, nghiên cứu những ứng dụng của máy tính cầm tay trong học tậpphục vụ cho việc học tập môn toán và một số môn học khác như vật lý, sinh học,hóa học

- Giúp cho tất cả đối tượng học sinh (giỏi, khá, trung bình, yếu) biết cáchdùng MTCT để kiểm tra kết quả một bài toán Chẳng hạn, kiểm tra kết quả rútgọn của một biểu thức số, bài toán chứng minh đẳng thức, nghiệm của mộtphương trình, hệ phương trình, Điều nầy rất có ích khi học sinh tham gia làmbài kiểm tra, cũng như tham dự các kỳ thi học kỳ, tuyển sinh Giúp các em địnhhướng và tự tin hơn khi làm bài

- Muốn chia sẽ với quí đồng nghiệp những kinh nghiệm thực tế qua nhiềunăm bồi dưỡng học sinh giỏi giải toán trên MTCT mà bản thân đã rút ra được vàhọc hỏi từ bạn bè

I I I ) Phạ m v i n gh iê n cứ u

Do khuôn khổ của bài viết, tôi xin đề xuất một số dạng toán thường dùngMTCT hỗ trợ giải mà nhiều năm nay tôi đã áp dụng cho học sinh trường THCSLong Kiến

Không trình bày cách sử dụng MTCT (phần này xem ở Sách hướng dẫn

sử dụng máy tính kèm theo khi mua máy)

Những bài toán trình bày trong bài viết này được áp dụng minh họa chomáy tính casio fx 570ES plus

Giải toán trên MTCT là một môn học có tính sáng tạo rất cao Vì vậy, mỗibài toán sẽ có thể có rất nhiều cách giải, trong phạm vi của bài viết, tôi sẽ chỉtrình bày những cách giải mà bản thân tôi cho là có hiệu quả cao.

Về đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp 9 của trường THCS Long Kiếntrong suốt mười một năm từ năm 2001 đến hiện nay

I V ) Đ iể m m ớ i t r on g k ế t qu ả n gh iê n cứ u

Hiện nay, nếu lên google để search, bạn sẽ tìm được rất nhiều đề tài sángkiến kinh nghiệm giải toán trên MTCT, tuy vậy mỗi đề tài đều có những nétriêng độc đáo của nó, đề tài mà tôi chia sẽ với quí đồng nghiệp cũng khôngngoại lệ, cụ thể như sau:

Vận dụng sáng tạo việc giải toán trên MTCT qua một dạng toánđiển hình

Đầu tư nghiên cứu sâu các chức năng của từng loại MTCT để khaithác tối đa tính ưu việt của chún g, từ đó giúp GV, HS có thể giảiquyết nhanh chóng, chính xác cho từng dạng toán

Nêu những lỗi thường gặp của HS khi làm các bài toán MTCT vànêu các biện pháp khắc phục

Nghiên cứu sâu một số thủ thuật để giải nhanh, chính xác một sốdạng toán thường gặp trong các kỳ thi học sinh giỏi giải toán trênMTCT, từ đó giúp học sinh có thể giành thắng lợi trong các kỳ thicác cấp

Phầ n nộ i du n g

I ) Cơ sở lý lu ậ n

Thực tế, không chỉ học sinh trung bình mà cả học sinh giỏi khi gặp mộtbài toán cần có kỹ năng tính toán và phải hoàn thành trong một khoảng thời giannhất định, chắc chắc các em căng thẳng và ngại kiểm tra, tính toán (chẳng hạn,kiểm tra xem số 2013 có là số nguyên tố không ?) Vì vậy, để giúp học sinh có

kỹ năng tính toán tốt và đỡ tốn nhiều thời gian, tôi khuyên các em nên dùngMTCT để kiểm tra, với cách này các em thích thú và không ngán ngại làm toán,tạo nên sự đam mê học toán

I I ) Thự c t r ạ n g củ a v ấ n đề

- Được sự động viên, khích lệ to lớn của Ban Giám Hiệu, đặc biệt là sự giúp

đỡ tân tình của các anh em tron g tổ toán ủng hộ tôi trong công tác bồidưỡng học sinh giỏi giải toán trên MTCT

- Trong những năm gần đây, Sở Giáo Dục, Phòng Giáo Dục đã phát độngmạnh mẽ phong trào thi giải toán trên MTCT Điều này đã làm dấy lênphong trào bồi dưỡng học sinh giỏi giải toán trên MTCT, đồng thời thúcđẩy giáo viên nghiên cứu nhiều dạng toán phục vụ cho công tác bồi dưỡnghọc sinh giỏi Và sức nóng của phong trào này tiếp thêm sức mạnh cho tôithực hiện đề tài này.

- Đội tuyển Học sinh giỏi MTCT đa số là những em trong đội t uyển họcsinh giỏi của nhà trường , vì vậy các em có khả năng tư duy rất tốt, rất phùhợp để chọn bồi dưỡng giải toán trên MTCT

Tuy nhiên, khi tiến hành công tác bồi dưỡng, bản thân tôi cũng gặp một sốkhó khăn nhất định như sau:

- Đây là bộ môn chưa đưa vào giảng dạy chính thức trên lớp, chưa có mộttài liệu chính thức về bộ môn Đa số các dạng toán bồi dưỡng là do bảnthân tự tìm tòi là chính

- Một số phụ huynh chưa quan tâm đến việc học của con em Họ cho rằngđây không phải là bộ môn chính khóa, không cần đầu tư, và việc lĩnh hộitốt kiến thức của bộ môn là dễ dàng , không có gì khó khăn

I I I ) Cá c biệ n ph á p t iế n h à n h để giả i quy ế t v ấ n đề

Với thực trạng được phân tích như trên , để đạt được mục tiêu đề ra, tôiđưa ra các giải pháp thực hiện như sau:

- Đầu tiên, tôi chọn học sinh giỏi ở khối lớp 8, mở một cuộc họp, tư vấn,giới thiệu chiếc MTCT và lợi ích của nó mang lại khi tham gia lớp bồidưỡng học sinh giỏi giải toán trên MTCT

- Phân loại các dạng toán rõ ràng, đầy đủ Định hướng, dẫn dắt cho học sinh

tự tìm ra phư ơng pháp giải cho từng dạng toán đó Để làm được điều này,tôi luôn hướng học sinh phải bắt nguồn từ nền tảng toán học mà các em đãđược học tại lớp Đây là khâu then chốt trong quá trình bồi dưỡng

- Định hướng ôn tập cho học sinh Tôi cung cấp cho học sinh một hệ thốngcác chuyên đề và các bài tập thuộc các dạng toán theo thứ tự từ dễ đếnkhó Tôi cũng trích các bài toán liên quan trong các đề thi các cấp Tôi yêucầu học sinh mỗi bài giải đều phải trình bày lời giải rõ ràng và ghi quytrình ấn phím nộp cho tôi, sau đó mỗi học sinh sẽ trình bày bài giải củamình, những học sinh còn lại phân tích, so sánh với cách giải của bản thânrồi nhận xét, và cuối cùng tôi chốt lại vấn đề

Sau đây tôi trình bày cụ thể cách thực hiện giải pháp của mình khi dạy một

số chuyên đề về MTCT:

Chuyên đề 1: Các phép tính về số dư của phép chia A cho B

a) Số dư của A A B

Ví dụ: Tìm số dư của phép chia 9124565217 cho 123456

Ghi vào màn hình 9124565217 123456 , ấn =, máy hiện thương số là

73909, 45128

Đưa con trỏ lên dòng biểu thức sửa lại là: 9124565217 123456 73909 và

ấn=, ta được số dư cần tìm là: 55713

b) Khi đề b ài cho số lớn hơn 10 chữ số:

b1) Nếu số bị chia là số tự nhiên lớn hơn 10 chữ số:

Cắt ra thành nhóm đầu 9 chữ số (kể từ bên trái), tìm số dư như phần a) Viết liên tiếp sau số dư phần còn lại khi đã bỏ 9 chữ số của số bị chia rồi tìm số

dư lần 2 Nếu còn nữa t hì tính liên tiếp như vậy

Ví dụ: Tìm số dư của phép chia 1357924680135791 cho 24680

Trước tiên, ta tìm dư của phép chia 135792468 cho 24680 , ta được dư là

3108 Tìm tiếp số dư của phép chia 31080135791 cho 24680 , ta được số dưcuối cùng là 19471

b2) Nếu số bị chia được cho bằng dạng lũy thừa quá lớn:

Khi đó ta dùng phép đồng dư (mod) theo công thứ c:

(mod )

(mod ) ; (mod )(mod )

c) Ứng dụng tìm n chữ số tận cùng của một lũy thừa:

Để tìm n chữ số tận cùng của lũy thừa x a , ta tìm dư của lũy thừa đó khi n chia cho 10 n

B cho ra kết quả dưới dạng phân số tối giản hoặc cho ra kết

quả dưới dạng số thập phân mà c ó thể đưa về dạng phân số tối giản a

b ( a , b là các số nguyên dương) thì: UCLN( , )A B A a: B b ;:

( , )A B

2. Thương A

B cho ra kết quả là số thập phân mà không thể đổi về dạng

phân số tối giản thì ta làm như sau:

Tìm số dư của phép chia B

A Giả sử số dư đó là R ( R là số nguyên dương nhỏ hơn A ) thì: UCLN( , )B A UCLN( , )A R (chú ý:

( , )B A ( , )A B

Đến đây ta quay về giải bài toán tìm UCLN của hai số A và R.

Tiếp tục xét thương A

R và làm theo từng bước như đã nêu trên.

Sau khi tìm được UCLN( , )A B , ta tìm BCNN( , )A B bằng đẳngthức:

được kết quả: UCLN = 101

Đưa con trỏ lên dòng biểu thức sửa thành: 220887 16807 và ấn =, tađược kết quả: 3712447809

(3995649,3872428) (3872428,123221)

3872428 19076.Suy ra:

Ví dụ 3: Tìm UCLN và BCNN của 51712, 73629 và 134431

Ta tìm UCLN(51712,73629) bằng phương pháp đã nêu ở trên

Kết quả UCLN(51712,73629) 101vàUCLN(101,134431) 101Suy ra: UCLN(51712,73629,134431) 101

Chuyên đề 3: Biểu diễn số hữu tỉ và liên phân số

Biểu diễn các phân số a b 0

b về dạng sau:

1 1

2 2

, với q0 , ,q q q1 2, 3, q n , q n 1

Khi đó, kí hiệu: a q q q0; ,1 2, ,q n

b gọi là một liên phân số hữu hạn cấp

n Cách biểu diễn như trên được gọi là biểu diễn về dạng liên phân số.

Ngược lại, ta cũng có thể biểu diễn liên phân số về dạng phân số

38

38

38

38

38

38

18

1 x

Ta có quy trình ấn phím liên tục như sau:

381978 : 382007 0.9999240852

ấn tiếp X*3-8 và ấn ==…= (9 lần dấu =)

Ta được: K= 1

1 x Tiếp tục ấn X-1 và ấn =

Kết quả : x 1,119632981

Chuyên đề 4: Tính chính xác giá trị biểu thức

Ví dụ 1: Tính toán trên máy kết hợp trên giấy

Tính chính xác giá trị của các biểu thức sau:

b) Nếu kết quả từ 15 chữ số trở lên, ta sử dụng cách giải sau:

Ấn 123456789987654321* 41976 = (kết quả:

215.182222217 10 )

Do kết quả có 22 chữ số nên máy sẽ không tính chính xác được Ta

99990 ;1998

0,00(1998)

999900

2 9999 2 99990 2 999900 2 9999

1 10 100 1111

E

Chuyên đề 5: Các bài toán liên quan đến số nguyên tố

Để phân tích một số ra tích các thừa số nguyên tố thì ta tìm tất cả các ướcnguyên tố của số đó Tuy nhiên vấn đề khó khăn ở đây là việc tìm ước nguyên tốtiếp theo nhưng chúng ta không biết đó là số nguyên tố nào, khi đó bắt buộc taphải kiểm tra những số tiếp theo là số nguyên tố hay là hợp số để tiếp tục phântích

Phương pháp kiểm tra một số tự nhiên a có nguyên tố hay không?

Định lý: Nếu số tự nhiên a > 1 không có một ước nguyên tố nào

trong khoảng từ 1 đến a thì a là số nguyên tố.

Quy trình bấm phím: (nên chuyển chế độ hiển thị ở dạng LineIO – bấm

Gán số a vào biến A trong máy: a !'A

Ghi vào màn hình công thức: A (A Ans 2)

Kiểm tra cho tới khi kết quả hạ xuống a thì ngưng

Ví dụ: Kiểm tra xem số 2003 có nguyên tố không.

2003 !'A 2003 (gán số 2003 cho biến A trong

máy)Ghi vào màn hình:

44,5xxx 2003 44,755 2003 44Dừng lại và khẳng định 2003 là số nguyên tố

Phân tích số tự nhiên a ra tích các thừa số nguyên tố

** Phương pháp: Thực hiện phép chia a lần lượt cho các số nguyên tố từ

nhỏ tới lớn cho tới khi thương số là một số nguyên tố

Ví dụ: Phân tích số 202521 ra thừa số nguyên tố

202521 !'A/ 3 = 67507 (không chia tiếp được cho 3)

/ 7 = 9643,85 (không nhận 7)

* 7 = 67507/ 11 = 6137 (không chia tiếp được cho 11)/ 13 = 472,076 (không nhận 13)

* 13 = 6137

= 21,2352 (không nhận 17)

* 17 = 361/ 19 = 19 (đã là số nguyên tố dừng)Vậy 202521 3 11 17 192

Chuyên đề 6: Tính tổng hữu hạn

Nguyên tắc chung: nên xét số hạng tổng quát và tìm cách phân tích chúngcho hợp lý để triệt tiêu hoặc đơn giản Trong một số trường hợp, ta có thể dùngchức năng tính tổng của dòng máy Casio fx- 570ES Plus , tuy nhiên thời

gian xử lý của máy khá lâu

Dạng 1: Các số hạng của tổng có dạng phân số, trong đó mẫu là các tích có

1 1 1 1

1.2 2.3 3.4 n n( 1)với n = 1 999Ghi vào màn hình biểu thức:

999

1

1( 1)

x X X , sau đó ấn = Kết quả:

9991000

Dạng 2: Tổng của các tích có qui luật

Tuy nhiên, ta dễ dàng nhận thấy được:

1 2 3

Ghi vào màn hình biểu thức:

2012 2

Chuyên đề 7: Các bài toán về đa thức

1 – Tính giá trị đa thức : Tính giá trị P(xo) của đa thức (hoặc biểu thức bất kì)

Ấn - Máy hỏi X? Ta khai báo x = 1,8165 và bấm =

Máy hiện kết quả: 1.498465582

Tiếp tục ấn - một lần nữa và thực hiện tương tự như trên để tiếp tụctính giá trị của biểu thức tại các giá trị biến khác nhau

Phím - (calculate – tính) trên fx – 570 ES rất hay, nó cho phép tính giátrị của biểu thức theo giá trị bất kì của biến số sau khi khai báo biểu thức Như ví

dụ trên, bây giờ muốn tính thêm giá trị của A tại x = 2,0112012 ta chỉ cần bấm

tiếp -, máy hỏi X? Ta khai báo biến mới là 2.0112012 và bấm phím =,máy cho ngay kết quả:

2 – Tìm dư trong phép chia đa thức cho đơn thức :

*) Cơ sở lý luận:

Thực hiện phép chia P(x) cho (x – a) ta được:

( ) ( ) ( )

P x x a Q x r với r là số dư trong phép chia.

Cho x = a , ta có: P a( ) (a a Q a) ( ) r Suy ra r = P(a)

*) Kết luận

Dư của phép chia đa thức P(x) cho x – a bằng chính giá trị của đa thức

đó khi x lấy giá trị là a.

Chia đa thức P x( ) a x o 3 a x1 2 a x2 a3 cho (x – c) ta sẽ được

thương là đa thức bậc hai 2

1 2( ) o

Với a b 1thì dãy Lucas trở thành dãy Fibonaci.

(Các kỹ thuật ấn phím sau dựa theo máy tính Casio fx 570ES PLUS )

Ví dụ: Với u1 1; u2 2; u3 3; u n1 2u n 3u n 1 4u n 2 với mọi3

n Ta lần lượt nhận được các giá trị như sau: 1, 2, 3, 16, 49, 158,527,…

Dạng 6 :Tính số hạng thứ n của dãy số Fibonaci theo công thức nghiệm tổng quát.

Chuyên đề 9: Tìm số hoặc cặp số (x;y) thỏa điều kiện cho trước

Ví dụ 1: Tìm cặp số (x; y) nguyên dương sao cho: x2 37y2 1 với y nhỏ

nhất

Giải:

Quy trình bấm phím như sau:

1 Lưu 0 vào Y: Bấm 0 !'Y

2 Ghi vào màn hình: Y 1 Y: 37Y 1

3 Bấm =…= cho đến khi phép khăn căn là số nguyên thì dừng lại,

khi đó x đạt giá trị của phép khai căn, còn y là giá trị của Y ứng với giá trị

3 Bấm =…= cho đến khi phép khai căn lớn hơn 31,6227766

( 1000 ) thì dừng lại, chú ý sau mỗi lần bấm “=” thì dừng lại xem kết quả

khai căn có là số nguyên không, nếu nguyên thì nhận X ứng với giá trị đó.

Sau 1 tháng thì số tiền cả gốc lẫn lãi là: a + a.m% = a.(1 + m%)

Sau 2 tháng thì số tiền cả gốc lẫn lãi là: a.(1 + m%) + a.(1 + m%).m% =

Dạng 2 :

Một người gửi hàng tháng vào ngân hàng một số tiền là a đồng với lãi suất là m% một tháng Biết rằng người đó không rút tiền lãi ra Hỏi cuối tháng thứ n người ấy nhận được bao nhiêu tiền cả gốc lẫn lãi?

Giải

Ta có:

Sau 1 tháng thì số tiền cả gốc lẫn lãi là: a + a.m% = a.(1 + m%)

Sau 2 tháng thì số tiền cả gốc lẫn lãi là: a.(2 + m%)+ a(2 + m%).m%