Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi: Cấu trúc dữ liệu heap và ứng dụng
MỤC LỤC A. Phần mở đầu 1 I. Lý do chọn đề tài 1 II. Mục đích của đề tài 1 III. Nhiệm vụ và phương pháp nghiên cứu 1 VI. Điểm mới trong kết quả nghiên cứu 1 B. Nội dung 2 MỤC LỤC 1 Khái niệm 3 Các thao tác thường dùng đối với Heap Max 3 Khai báo 3 UpHeap 4 DownHeap 4 Push 6 Pop 6 Dijkstra Heap 6 Một số bài tập ứng dụng 8 1.Bài tập 1: Thả xốp 8 2. Bài tập 2: PILOT 10 3. Bài tập 3: Tiểu thuyết trinh thám 13 4.Bài tập 4: BASE3 17 Tài liệu tham khảo 21 A. PHẦN MỞ ĐẦU I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Công tác bồi dưỡng học sinh giỏi (HSG) là một công tác mũi nhọn trong việc nâng cao chất lượng giáo dục, tạo nguồn lực, bồi dưỡng nhân tài cho nhà trường nói riêng, cho địa phương nói chung. Bồi dưỡng HSG là một công việc khó khăn và lâu dài, đòi hỏi nhiều công sức của thầy và trò. Trong quá trình bồi dưỡng HSG môn Tin học ở bậc THPT thì cấu trúc dữ liệu heap là cấu trúc dữ liệu đặc biệt quan trọng. Từ lí do trên, tôi xin trình bày sáng kiến kinh nghiệm “CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG : CẤU TRÚC DỮ LIỆU HEAP VÀ ỨNG DỤNG”, để học sinh dễ dàng tiếp thu kiến thức mới. Do lần đầu tiên thực hiện làm sáng kiến kinh nghiệm, nên không tránh khỏi những thiếu sót. Mong quý thầy cô góp ý để lần sau làm tốt hơn. II. MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI Heap là một trong những cấu trúc dữ liệu đặc biệt quan trọng, nó giúp ta có thể giải được nhiều bài toán trong thời gian cho phép. Độ phức tạp thông thường khi làm việc với Heap là O(logN). Khi được học chuyên đề này học sinh sẽ lập trình thành thạo với các bài toán ứng dụng của heap. III. NHIỆM VỤ VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Viết sáng kiến kinh nghiệm thường xuyên liên tục cũng là nhiệm vụ chính trị của mỗi giáo viên, nhưng cần phải lựa chọn phương pháp nghiên cứu đúng đắn và phù hợp với nhà trường trung học phổ thông. Sáng kiến kinh nghiệm đang trình bày của tôi dựa theo các luận cứ khoa học hướng đối tượng, cụ thể: thuyết trình, quan sát, điều tra cơ bản, phân tích kết quả thực nghiệm sư phạm,v.v… phù hợp với bài học và môn học thuộc lĩnh vực cấu trúc dữ liệu. IV. ĐIỂM MỚI TRONG KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Giúp học sinh hiểu rõ về cấu trúc dữ liệu heap và sử dụng thành thạo trong lập trình. Ngoài ra, tôi mạnh dạn trình bày sáng kiến kinh nghiệm này còn để phục vụ cho những năm dạy tiếp theo. 2 B. PHẦN NỘI DUNG Cấu trúc dữ liệu HEAP Khái niệm Heap là một trong những cấu trúc dữ liệu đặc biệt quan trọng, nó giúp ta có thể giải được nhiều bài toán trong thời gian cho phép. Độ phức tạp thông thường khi làm việc với Heap là O(logN). Heap thực chất là một cây cân bằng thỏa mãn các điều kiện sau: • Một nút có không quá 2 nút con. • Với Heap Max thì nút gốc là nút lớn nhất, mọi nút con đều không lớn hơn nút cha của nó. Với Heap Min thì ngược lại. Mặc dù được mô tả như cây nhưng Heap có thể được biểu diễn bằng mảng. Nút con của nút i là 2*i và 2*i+1. Do Heap là cây cân bằng nên độ cao của 1 nút luôn <= logN. Ứng dụng chủ yếu của Heap là tìm Min, Max trong 1 tập hợp động (có thể thay đổi, thêm, bớt các phần tử) nhưng như vậy đã là quá đủ. (Mô hình biểu diễn Heap bằng cây nhị phân và bằng mảng) Các thao tác thường dùng đối với Heap Max Khai báo Ở ví dụ này, Heap sẽ là mảng một chiều kiểu LongInt, nHeap là số phần tử của mảng. 3 Const maxn = 100000; Var nHeap : LongInt; Heap : array[0 maxn] of LongInt; UpHeap Nếu 1 nút lớn hơn nút cha của nó thì di chuyển nó lên trên: Procedure UpHeap(i : LongInt); Begin if (i = 1) or (Heap[i] < Heap[i div 2]) then exit; // Nếu i là nút gốc hoặc nhỏ hơn nút cha thì không làm việc swap(Heap[i] , Heap[i div 2]); // Đổi chỗ 2 phần tử trong Heap; UpHeap(i div 2); // Tiếp tục di chuyển lên trên end; DownHeap Nếu 1 nút nhỏ hơn nút con thì đẩy nó xuống dưới: 4 Procedure DownHeap(i : LongInt); Var j : LongInt; Begin j := i*2; if j > nHeap then exit; // Nếu i không có nút con thì không làm việc if (j < nHeap) and (Heap[j] < Heap[j+1]) then Inc(j); // Nếu i có 2 nút con thì chọn nút ưu tiên hơn if Heap[i] < Heap[j] then // Nếu nút cha nhỏ hơn nút con begin swap(Heap[i] , Heap[j]); // Đổi chỗ 2 phần tử trong Heap DownHeap(j); // Tiếp tục di chuyển xuống dưới end; end; 5 Push Đưa 1 phần tử mới vào Heap: Thêm 1 nút vào cuối Heap và tiến hành UpHeap từ đây: Procedure Push(x : LongInt); Begin Inc(nHeap); // Tăng số phần tử của Heap Heap[nHeap] := x; // Thêm x vào Heap UpHeap(nHeap); End; Pop Rút ra 1 phần tử ở vị trí v trong Heap: Gán Heap[v] := Heap[nHeap] rồi tiến hành chỉnh lại Heap: Function Pop(v : LongInt) : LongInt; Begin Pop := Heap[v]; // Lấy phần tử ở vị trí v ra khỏi Heap Heap[v] := Heap[nHeap]; // Đưa phần tử ở cuối Heap vào vị trí v Dec(nHeap); // Giảm số phần tử của Heap đi 1 {Chỉnh lại Heap} UpHeap(v); DownHeap(v); End; Ngoài ra, khi sử dụng thuật toán Dijkstra/Prim kết hợp cấu trúc Heap, bạn còn có thể sử dụng cách Push và Pop khác thuận lợi hơn so với cách trình bày ở trên: Dijkstra Heap 1/ Update – Dijkstra: Procedure Update(v : LongInt); // Đỉnh v vừa được sửa nhãn, cần chỉnh lại Heap var child , parent : LongInt; begin child := pos[v]; // child là vị trí của đỉnh v trong Heap if child = 0 then // Nếu đỉnh v chưa có trong Heap 6 begin Inc(nHeap); // Tăng số phần tử của Heap child := nHeap; // Đưa v vào cuối Heap end; parent := child div 2; // parent là nút cha của child while (parent > 0) and (d[Heap[parent]] > d[v]) do // Nếu đỉnh ở nút parent kém ưu tiên hơn v thì bị “kéo xuống” nút child begin Heap[child] := Heap[parent]; // Đẩy đỉnh được lưu trong nút cha xuống nút con pos[Heap[child]] := child; // Ghi nhận lại vị trí mới của đỉnh đó child := parent; // Tiếp tục di chuyển lên parent := child div 2; end; Heap[child] := v; // Thao tác “kéo xuống” ở trên sẽ tạo ra 1 ô trống ở nút child để đặt v vào pos[v] := child; // Ghi nhận vị trí mới của đỉnh v trong Heap end; 2/ Pop – Dijkstra: Function Pop : LongInt; // Lấy từ Heap đỉnh có nhãn tự do nhỏ nhất var r , v , c : LongInt; begin Pop := Heap[1]; // Nút gốc là nút có nhãn tự do nhỏ nhất v := Heap[nHeap]; // v là đỉnh ở nút lá cuối Heap, sẽ được đảo lên đầu và vun đống Dec(nHeap); // Giảm số phần tử của Heap r := 1; // Bắt đầu từ nút gốc while r*2 <= nHeap do // Chừng nào r chưa phải là lá begin c := r*2; // c là nút con của r if (c < nHeap) and (d[Heap[c]] > d[Heap[c+1]]) then Inc(c); // Trong 2 nút con chọn nút con chứa đỉnh ưu tiên hơn if d[Heap[c]] >= d[v] then break; // Nếu v ưu tiên hơn thì không làm việc nữa Heap[r] := Heap[c]; // Chuyển đỉnh lưu ở nút con lên nút cha pos[Heap[r]] := r; // Cập nhật lại vị trí mới trong Heap của đỉnh đó r := c; // Tiếp tục di chuyển xuống dưới end; Heap[r] := v; // Đỉnh v được đặt vào vị trí r để đảm bảo cấu trúc Heap pos[v] := r; // Ghi nhận vị trí mới của đỉnh v trong Heap end; 7 Một số bài tập ứng dụng 1. Bài tập 1: Thả xốp Có N hạt xốp, hạt thứ i có khối lượng , được thả lần lượt xuống một ống nước đặc biệt được thiết kế sao cho tại mỗi thời điểm chỉ có một hạt xốp nhẹ nhất nổi lên trên bề mặt. Trước mỗi lần thả, hạt xốp đang nổi trên bề mặt sẽ bị ngấm nước và tăng gấp đôi khối lượng. Hỏi sau khi thả hạt xốp cuối cùng vào ống thì khối lượng xốp tăng so với tổng khối lượng ban đầu là bao nhiêu ? Dữ liệu: Vào từ file văn bản SPONGE.INP • Dòng 1: Số nguyên dương N • Dòng 2: N số nguyên dương Kết quả: Ghi ra file văn bản SPONGE.OUT • Ghi 1 số duy nhất là đáp án của bài toán Ví dụ: SPONGE.INP SPONGE.OUT 3 2 1 3 3 Thuật toán : Dễ thấy đây là một danh sách động (giá trị phần tử thay đổi), vì vậy ta xây dựng một heapmin để lấy ra hạt xốp nhỏ nhất, tăng gấp đôi khối lượng rồi cập nhật lại heapmin. Const tfi='sponge.inp'; tfo='sponge.out'; Type arr1=array[0 100001] of longint; Var fi,fo : text; w,heap,head,ke,d,c,dd,cost : arr1; n,nheap,delta : longint; {==================================} Procedure nhap; Var i : longint; Begin Assign(fi,tfi);Reset(fi); read(fi,n); For i := 1 to n do read(fi,w[i]); cost := w; Close(fi); 8 End; {==================================} Procedure doicho(var x,y : longint); var tmp : longint; Begin tmp := x; x := y; y := tmp; End; {==================================} Procedure upheap(i : longint); Var j : longint; Begin While (i <> 1) and (heap[i] < heap[i div 2]) do Begin doicho(heap[i],heap[i div 2]); i := i div 2; End; End; {=============================} Procedure downheap(i : longint); Var j : longint; Begin While (2*i <= nheap) do Begin j := 2*i; If (heap[j] > heap[j+1]) and (j <nheap) then inc(j); If heap[i] > heap[j] then Begin doicho(heap[i],heap[j]); i :=j; End else exit; End; End; {=============================} Procedure push(x : longint); Begin inc(nheap); heap[nheap] := x; upheap(nheap); End; {=============================} Procedure xuly; Var i1 : longint; Begin For i1 := 1 to n-1 do Begin push(w[i1]); delta := delta + heap[1]; heap[1] := heap[1]*2; downheap(1); End; End; 9 BEGIN Assign(fo,tfo);Rewrite(fo); nhap; xuly; write(fo,delta); Close(fo); END. 2. Bài tập 2: PILOT HT AIRLINE là một hãng hàng không danh tiếng ở Việt Nam, tuy nhiên, để tồn tại trong cơn bão suy thoái kinh tế, Ban giám đốc quyết định giảm chi phi tiền lương cho phi công càng nhiều càng tốt. HT airline có tất cả N phi công (N là số chẵn), các phi công được đánh số từ 1 đến N (Phi công 1 là phi công trẻ nhất, phi công i là phi công có tuổi cao thứ i,… phi công n là phi công cao tuổi nhất). HT airline cần chính xác 2 N phi hành đoàn, mỗi phi hành đoàn gồm 2 phi công (một lái chính và một lái phụ), lái chính phải nhiều tuổi hơn lái phụ. Hợp đồng mà công ty kí với các phi công có 2 điều khoản rõ ràng: tiền lương khi là lái chính và tiền lương khi là lái phụ. Rõ ràng, đối với 1 phi công, tiền lương lái chính bao giờ cũng cao hơn tiền lương khi lái phụ. Tuy nhiên, với một phi hành đoàn, có thể tiền lương của lái chính lại thấp hơn lái phụ. Để giảm chi phí trả tiền lương, HT phải xác định một cách phân chia tối ưu 2 N phi hành đoàn. Bạn hãy giúp HT viết chương trình xác định số tiền tối thiểu để trả lương cho N phi công. Dữ liệu : Vào từ file văn bản PILOT.INP • Dòng 1 : Số nguyên dương N, là số phi công ở HT airline. • N dòng tiếp theo, dòng thứ i là thông tin về phi công i : gồm hai số a và c viết cách nhau 1 dấu cách trống, tương ứng là tiền lương khi lái chính và tiền lương khi lái phụ. Kết quả: Dữ liệu ra ghi vào file PILOT.OUT Một số nguyên duy nhất là tiền lương tối thiểu phải trả cho N phi công. Hạn chế : 2 ≤ N ≤ 10000; N là số chẵn. 10 [...]... close(fi); close(fo) ; end C PHẦN KẾT LUẬN Cấu trúc dữ liệu heap đóng vai trò hết sức quan trọng trong lập trình, nó giúp ta có thể giải được nhiều bài toán trong thời gian cho phép Độ phức tạp thông thường khi làm việc với Heap là O(lgN) Học sinh hiểu được bản chất của cấu trúc dữ liệu heap sẽ giúp cho học sinh yêu thích môn học và ham học hỏi, tìm tòi, sáng tạo Đề tài này đã mang tính thực tiễn rất cao,... trọng trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi Kết quả là có rất nhiều học sinh đã làm được các bài tập có ứng dụng của heap Tài liệu tham khảo 1 Giải thuật và lập trình – T.S Lê Minh Hoàng – ĐHSP Hà Nội 2 Website: www.infoarena.ro XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 19 tháng 5 năm 2013 Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác (Ký và ghi rõ họ tên) Nguyễn... thuộc vào chu kỳ sinh học của anh Hai anh em phân tích bảng chu kỳ sinh học của Alexei và thấy rằng trong thời gian tới Alexei sẽ nghĩ được n chủ đề mới, chủ đề thứ i sẽ được nghĩ ra ở ngày ri Trong cùng một ngày có thể Alexei nghĩ ra tới vài câu chuyện Với mỗi chủ đề, Ivan thời lượng cần thiết để hoàn thành tác phẩm và tính được rằng chủ đề thứ i cần có pi ngày để viết Ivan có trí nhớ cực tốt, vì vậy... ngày thứ 7 chuyện thứ nhất hoàn thành Tổng các thời điểm hoàn thành là 3+7 = 10 Yêu cầu: Cho n, ri và pi Hãy xác định tổng thời gian ngắn nhất hoàn thành tất cả các truyện Dữ liệu: Vào từ file văn bản PULP.INP: • Dòng 1: Chứa số nguyên n (1 ≤ n ≤ 100.000), • Mỗi dòng trong n dòng sau chứa 2 số nguyên ri và pi Kết quả: Ghi ra file PULP.OUT • Một số nguyên – tổng thời gian ngắn nhất tìm được Ví dụ: PULP.INP... Ivan Nó dễ hiểu và giúp người ta thư giản sau một ngày lao động mệt nhọc Thực ra, bí mật sự thành công của Ivan là ở chổ không phải chính anh nghĩ ra các tình huống mà là người em trai Alexei Ivan có nhiệm vụ viết nó thành các bestsellers Dĩ nhiên hai anh em chia nhau hợp lý số tiền kiếm được Điều đáng tiếc là khả năng sáng tạo các tình huống ly kỳ của Alexei lại phụ thuộc vào chu kỳ sinh học của anh Hai... 5000 1000 11000 5000 9000 3000 7000 3000 8000 6000 8000 6000 Time limits / test: 1s Thuật toán: Ta có nhận xét sau: Theo thứ tự i nhập vào từ 1 đến N, thì cứ i lẻ thì phải có 1 lái phụ Vì vậy, ta xây dựng một heap max, lần lượt cho vào heap, khi i lẻ thì ta lấy trong heap ra một nút, đây chính là lái phụ CONST tfi tfo max = = = 'pilot.inp'; 'pilot.out'; 100000; TYPE Arr1 = array[1 max] of longint; VAR... 3 (viết bởi 3 số 0, 1, 2) Hãy tìm một chữ số N ở hệ cơ số 3 sao cho N có một số lẻ chữ số và số 1 nằm ở chính giữa số N Số N phải thu được từ việc liên kết 3 số cho trước, mỗi số trong 3 số có thể được sử dụng 0 hoặc nhiều lần: Yêu cầu: Xác định số lượng nhỏ nhất các chữ số của N thỏa mãn tính chất đầu bài Dữ liệu: BASE3.INP Gồm 3 dòng, mỗi dòng là một số ở hệ cơ số 3 Kết quả: BASE3.OUT Số lượng chữ... bằng cách thêm từng xâu vào trái hoặc phải (phần L là trái, ký tự 1 ở giữa, phần R là phải) Ta sẽ xây dựng xâu đến khi thì dừng lại (yêu cầu đề bài) Dễ thấy, ta chỉ quan tâm tới ghi nhận kết quả Tức là nếu tồn tại cách xây dựng L’, R’ mà thỏa mãn cũng sử dụng cách xây dựng đó được với các cặp với , chỉ cần lưu 1 cặp có Quy hoạch động = cách xếp có Nếu mỗi lần ta luôn nắp xâu (do vào nửa ngắn hơn thì luôn... -*} procedure upheap(i : longint); begin if (i = 1) or (h[i] < h[i div 2]) then exit; if h[i div 2] < h[i] then begin doicho(h[i div 2],h[i]); upheap(i div 2); end; end; {* -*} procedure downheap(i : longint); var j : longint; begin j := 2 *i; if j > nh then exit; if (j < nh) and (h[j] < h[j+1]) then inc(j); if h[i] < h[j] then begin doicho(h[i],h[j]); downheap(j); end;... *} procedure upheap(i : longint); begin if (i = 1) or (h[i] > h[i div 2]) then exit; if h[i div 2] > h[i] then begin doicho(h[i div 2],h[i]); upheap(i div 2); end; end; {* *} procedure downheap(i : longint); var j : longint; begin j := 2 * i; if j > nh then exit; if (j < nh) and (h[j] > h[j+1]) then inc(j); if h[i] > h[j] then begin doicho(h[i],h[j]); downheap(j); end; end; . chung. Bồi dưỡng HSG là một công việc khó khăn và lâu dài, đòi hỏi nhiều công sức của thầy và trò. Trong quá trình bồi dưỡng HSG môn Tin học ở bậc THPT thì cấu trúc dữ liệu heap là cấu trúc dữ liệu. phạm,v.v… phù hợp với bài học và môn học thuộc lĩnh vực cấu trúc dữ liệu. IV. ĐIỂM MỚI TRONG KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Giúp học sinh hiểu rõ về cấu trúc dữ liệu heap và sử dụng thành thạo trong lập. trọng. Từ lí do trên, tôi xin trình bày sáng kiến kinh nghiệm “CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG : CẤU TRÚC DỮ LIỆU HEAP VÀ ỨNG DỤNG”, để học sinh dễ dàng tiếp thu kiến thức mới. Do lần đầu tiên thực hiện