Ôn tập tốt nghiệp môn toán lớp 12 trường THPT Chu Văn An

Tài liệu tham khảo - 2 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán Đồ thị hàm số trùng phương luôn nhận trục tung làm trục đối xứng b Viết phương trình tiếp tuyến pttt dạng 1 - biết toạ độ tiếp điểm

Trang 1

T TỐN

GV: Dương Phước Sang GV: Dương Phước Sang

Môn Toán Môn Toán

2013

Ôn tập Tốt nghiệp

Trang 2

Dương Phước Sang - 1 - THPT Chu Văn An

Ph n

Ph n IIII KH O SÁT KH O SÁT KH O SÁT HÀM SHÀM SHÀM S VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUANVÀ BÀI TOÁN LIÊN QUANVÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN

1 Hàm số bậc ba, hàm số trùng phương và bài toán có liên quan

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

1 Tập xác định: D = R

2 Tính y′

3 Cho y′= để tìm các nghiệm 0 x0 (nếu có)

4 Tính hai giới hạn: lim ; lim

5 Vẽ bảng biến thiên của hàm số

6 Nêu sự đồng biến, nghịch biến và cực trị (nếu có) của hàm số

7 Tìm điểm uốn (đối với hàm số bậc ba)

Trang 3

Tài liệu tham khảo - 2 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán

Đồ thị hàm số trùng phương luôn nhận trục tung làm trục đối xứng

b) Viết phương trình tiếp tuyến (pttt) (dạng 1 - biết toạ độ tiếp điểm M0)

1 Chỉ rõ x0 và y0 (hoành độ & tung độ của điểm M0)

3 Có x0, tìm y0 và dùng công thức viết phương trình tiếp tuyến

Lưu ý: Tiếp tuyến song song với y = ax + b có hệ số góc k = a

Tiếp tuyến vuông góc với y = ax + b (a ≠ 0) có hệ số

3 Kết quả: (*) có 4 nghiệm ⇔ (C ) và d có 4 điểm chung ⇔ …

(*) có 3 nghiệm ⇔ (C) và d có 3 điểm chung ⇔ …

(*) có 2 nghiệm ⇔ (C) và d có 2 điểm chung ⇔ …

Trang 4

e) Sự tương giao giữa đồ thị (C ):y = f (x ) và đường thẳng d:y = ax + b

1 Phương trình hoành độ giao điểm của (C ) và d:f (x) = ax + b (*)

2 Lập luận: số giao điểm của (C ) và d bằng với số nghiệm của (*)

3 Đếm số nghiệm của (*) suy ra số giao điểm của (C ) và d

f) Tính diện tích hình phẳng: (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường:

y = f (x ) , y = g(x ) , x = a và x = b Khi đó, hình (H) có diện tích: b ( ) ( )

a

S =∫ f x −g x dx

VÍ DỤ MINH HOẠ

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) tại giao điểm của (C) với

Giới hạn: lim ; lim

Hàm số đồng biến trên các khoảng (–∞;1) và (3;+∞)

Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;3)

Đồ thị hàm số là một đường cong nhận điểm

I(2;3) làm tâm đối xứng như hình vẽ bên đây:

Trang 5

b)Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) tại các giao điểm của (C)

Trang 6

2

x = Giao điểm của ( )C với trục hoành là: O(0;0) và 3

2

:

d y= − a ta có, (*) có 3 nghiệm ⇔ (C) và d có 3 điểm chung

1

00

a a

1

00

a a

b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( )C biết tiếp tuyến song

song với đường thẳng 3x – 2y = 0

c) Tìm toạ độ các giao điểm của ( )C với đường thẳng 3

y= x+ Bài giải

Trang 7

−

−∞

Trang 8

b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C ) tại điểm trên (C)

có hoành độ x là nghiệm của phương trình ( ) f x′′ =20

c) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau đây có nhiều

hơn hai nghiệm: x4 – 2x2 +m = 0

Phương trình (*) có nhiều hơn 2 nghiệm khi và chỉ khi đồ thị (C)

và đường thẳng d:y = –m – 3 có nhiều hơn 2 giao điểm (3 hoặc 4

giao điểm) ⇔ –4 <–m –3 ≤ –3 ⇔ 0 ≤ m < 1

Vậy với m ∈[0;1) thì phương trình đã cho có nhiều hơn 2 nghiệm

x y

Trang 9

Bài tập về hàm số bậc ba và hàm số trùng phương

b) Viết pttt với (C ) tại điểm thuộc (C) có hoành độ bằng 2

c) Viết pttt với (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9

d) Tìm điều kiện của m để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:

b) Viết pttt của (C ) tại điểm trên (C) có tung độ bằng –2

c) Viết pttt với (C ) song song với đường thẳng d: 9

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Viết pttt với (C ) tại giao điểm của (C) với trục hoành

c) Viết pttt với (C ) biết tiếp tuyến song song với d:y = 12x – 1

d) Biện luận theo m số nghiệm phương trình: 2x3 + 3x2 + 2m = 0

3

y = x3 – x2

b) Viết pttt của (C ) tại điểm trên (C) có tung độ bằng 0

c) Viết pttt của (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 8

d) Tìm toạ độ các giao điểm của (C )với đường thẳng d:y = 3x – 9

e) Tìm điều kiện của tham số k để đường thẳng qua gốc toạ độ có

hệ số góc k cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)

b) Tìm a để phương trình 4x3 – 3x + a = 0 có đúng 3 nghiệm

c) Viết pttt với (C ) tại giao điểm của (C) với trục hoành

d) Viết pttt với (C) biết tiếp tuyến vuông góc với 1

72

:

d y= x

b) Biện luận theo m số giao điểm của (C ) và d m : y = mx – 2

c) Viết pttt của (C)biết tiếp tuyến song song với d:9x – 4y – 4 = 0

d * )Xác định toạ độ các điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến

của (C ) tại điểm M đi qua điểm A(0;–3)

Trang 10

3

y = − x3 + 3

2x2 5 2

− có đồ thị là (C)

b) Viết pttt với (C ) tại điểm trên (C ) có hoành độ x thoả y′′= 1

c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C ) và d:y – 2 = 0

d) Xác định các điểm trên (C) có tung độ bằng 5

b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình 4x3 – 6x2 – m = 0

c) Tìm toạ độ các giao điểm của đồ thị (C ) và đường thẳng d

d * )Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ), d và Ox

2

y = (x3 + 3x2 + 3x)

b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C ), Ox , x = 1 và x = –2

a)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Viết pttt của (C ) biết tiếp tuyến vuông góc với d1:16x – 3y =0

c) Tìm k để đường thẳng y = 4k cắt (C) tại ba điểm phân biệt

d * )Dùng đồ thị (C) hãy xác định điều kiện cần và đủ của tham số

a để phương trình sau đây có đúng hai nghiệm: x2 12−x2 = a

e * )Gọi d là tiếp tuyến của (C ) tại điểm A(6;9) thuộc (C).Tính diện

tích hình phẳng giới hạn bởi (C ), d và tia Ox

f * )Tìm điểm M trên đường thẳng x + y = 3 để tổng khoảng cách từ điểm M đến hai điểm cực trị của (C) đạt giá trị nhỏ nhất

b) Viết pttt với (C ) tại điểm trên (C) có hoành độ bằng − 2

c) Viết pttt với (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 24

d) Với m nào thì phương trình sau có 4 nghiệm: x4 – 2x2 + m = 0

b) Viết pttt của (C ) tại điểm trên (C) có tung độ bằng 5

c) Tìm điều kiện của m để phương trình sau đây có đúng 2 nghiệm:

x4 + 2x2 + 3 + 2m = 0

Trang 11

2

y = x4 – 3x2 + 5

2 có đồ thị (C)

b) Viết pttt với (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng –4

c) Tìm b để phương trình sau có 4 nghiệm: x4 – 6x2 + logb = 0

b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x4 – 2x2 = m

c) Viết pttt của (C ) biết tiếp tuyến vuông góc với d:x + 24y = 0

4

y = − x4 +2x2 –1

b) Tìm m để phương trình x4 – 8x2 + m = 0 có nhiều hơn 2 nghiệm

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C ) tại điểm trên (C) có hoành độ là nghiệm của phương trình ( ) 2y x′′ + = 0

3

y = x4 –2x2 +1

b) Tìm m để phương trình x4– 6x2+2m=0 có 4 nghiệm phân biệt

c) Viết pttt của (C ) song song với d1:y = 24x + 2013

d) Gọi d2 là tiếp tuyến của (C)tại điểm 5

b) Viết pttt của (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 16

c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành

d) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, đồ thị (C m) không thể cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số khi 2

3

m =

b) Biện luận theo a số nghiệm của phương trình x 4 – 6x 2 + 2a = 0

c) Tìm điều kiện của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại bốn

điểm phân biệt

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C0)

b) Tìm m để (C m) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành

độ đều lớn hơn – 2

Trang 12

2 Hàm số nhất biến và bài toán có liên quan

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (c ≠0,ad−cb≠0)

ax b y

cx d

+

=+

= và lim

→+∞

a c

Đồ thị hàm số nhất biến gồm hai nhánh riêng biệt

luôn đối xứng nhau qua giao điểm của hai đường tiệm cận

b) Các dạng toán có liên quan: (xem lại trang 2 và trang 3)

Viết phương trình tiếp tuyến (dạng 1 và dạng 2)

Biện luận sự tương giao giữa hai đường,…

Diện tích hình phẳng, …

Trang 13

x y

-2

3 2 -1

x

−

=

−

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số

b) Viết pttt của ( )C tại điểm trên ( ) C có tung độ bằng –2

c) Viết pttt của ( )C biết tiếp tuyến song song với d: y = –x

d) Tìm toạ độ các giao điểm của ( )C với đường thẳng y = –2x + 6

e) Tìm các giá trị của m để đường thẳng d m : y = mx + m cắt đồ thị

( )C tại 2 điểm phân biệt

f) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( )C , đường thẳng x = 1

Trang 14

2 0

1

1(2 x )

−

2 0

2

x

x x

x

mx m x

m m

thẳng d m : y = mx + m cắt nhau tại 2 điểm phân biệt

đồ thị ( )C , đường thẳng x = 1 và hai trục toạ độ là:

Trang 15

Bài tập về hàm số nhất biến

1

x y x

+

=

−

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số

b) Viết pttt với ( )C biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng –3

c) Viết pttt với ( )C tại điểm trên ( )C có tung độ bằng 7

2

d) Tìm toạ độ các giao điểm của ( )C với đường thẳng y = 3x – 1

e) Tìm m để d m : y = m(x + 1) + 2 cắt ( ) C tại hai điểm phân biệt

3

x y x

+

=

− có đồ thị ( )C

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số

b) Viết pttt với ( )C tại điểm trên ( )C có hoành độ bằng 1

c) Viết pttt với ( )C tại điểm trên ( )C có tung độ bằng 6

d) Viết pttt với ( )C biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 5

+

=+

b) Viết pttt với (C ) tại điểm trên (C) có hoành độ bằng –3

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất

d) Tìm m để đường thẳng y = mx + 1 cắt (C) tại 2 điểm phân biệt

2

x y

x

−

=

−

b) Viết pttt với ( )C biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 3

4

c) Chứng minh rằng đường thẳng y=m – x luôn cắt đồ thị ( ) C tại

hai điểm phân biệt với mọi giá trị của tham số m

b) Viết pttt với đồ thị (C ) tại giao điểm của (C) với trục hoành

c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và hai trục toạ độ

d * )Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C ), tiếp tuyến của (C) tại điểm 3

2

(0; )

A và trục hoành

Trang 16

1

y x

=+ có đồ thị là (C)

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( )C tại các giao điểm

của (C ) với đường thẳng d: y = 2x – 1

c) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [0;2]

d) Viết pttt của (C ) biết tiếp tuyến song song với d: x + 2y – 3 = 0

e) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục hoành và hai

đường thẳng x = 0, x = 2

1

x y

x

+

=

−

b) Viết pttt với (C ) tại giao điểm của (C) với trục tung

c) Viết pttt với (C ) tại các giao điểm của (C ) với d: y = 2x + 4

d) Tìm a để đường thẳng ∆:y =ax – 3 và (C) không giao nhau

e * )Tìm tất cả các điểm trên (C) có toạ độ đều là các số nguyên

1

x y x

−

=

−

b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C ), Ox và x = 2

c) Viết phương trình các đường thẳng song song với đường thẳng

d: y = x + 3 đồng thời tiếp xúc với đồ thị (C)

d * )Tìm các giá trị của k để đường thẳng d:y = kx – k + 2 cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ x x1, 2 thoả 2

−

=

− có đồ thị (C)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b) Viết pttt của (C ) tại điểm trên (C) có tung độ bằng 1

c * )Tìm các điểm M trên trục hoành sao cho từ điểm M có thể kẻ được tiếp tuyến với (C ) song song với đường thẳng y = –4x

d * )Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C),đường thẳng

d: 4x + y = 10, tiệm cận ngang của (C) và trục tung

e * )Tìm điều kiện của tham số k để đường thẳng y = kx + 1 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh

f * )Tìm điểm trên đồ thị có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận đạt giá trị nhỏ nhất

Trang 17

3 Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x ) trên đoạn [a;b ]

1 Hàm số y = f (x ) liên tục trên đoạn [a;b]

2 Tính y′=f x′( )

3 Cho y ′= để tìm các nghiệm 0 x i ∈[ ; ]a b (nếu có) và các số

x j ∈[ ; ]a b làm cho y′ không xác định (nhớ loại các số xl ∉[ ; ]a b )

4 Tính các giá trị ( ) , ( )f x i f x j và f (a ) , f (b)

(không được tính f của các xl đã bị loại)

5 Chọn kết quả lớn nhất và nhỏ nhất từ bước 4 để kết luận

về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [a;b]

4 Điều kiện đủ để hàm số có cực trị (tóm tắt)

Nếu 0

0

( ) 0( ) 0

Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠0) nghịch biến trên ℝ

00,

Hàm số y ax b

cx d

+

=+ luôn đồng biến trên các khoảng xác định

y′ x D ad cb

⇔ < ∀ ∈ ⇔ − < (không có dấu “=”)

Trang 18

4 [1; 3] ( )[1; 3] ( )

x x

Trang 19

a) Đồng biến trên R b) Có cực đại và cực tiểu

Đạo hàm: y′ =3x2 +2mx+4 có biệt thức △y′ =′ m2−12

Hàm số (*) đồng biến trên R⇔y′≥ ∀ ∈ ℝ 0, x

2 2

3 00

Vậy, với m∈ − 2 3;2 3 thì hàm số (*) đồng biến trên R

biệt ⇔△y′′> ⇔0 m2−12> ⇔0 m ∈ −∞ −( ; 2 3) (2 3;∪ +∞) Vậy m∈ −∞ −( ; 2 3) (2 3;∪ +∞ )

Vậy với m = 11 thì hàm số (*) đạt cực đại tại x0 = 2

Trang 20

Bài tập về các vấn đề khác liên quan đến hàm số

Trang 21

y = x3−(sinα−cos )α x2+( 3 cos 2α−1).x+3

Trang 22

n n

i

a) Phương trình mũ cơ bản: với a > 0 và a ≠ 1, ta có

a x = b vô nghiệm nếu b ≤ 0

Phương pháp giải chung:

0 Biến đổi phương trình theo luỹ thừa a f x( ), chẳng hạn:

t =a (kèm điều kiện cho t) và thay vào phương trình

2 Giải phương trình mới theo t để tìm nghiệm t0 (nếu có)

3 Đối chiếu nghiệm t0 tìm được với điều kiện ở bước 1 rồi tìm x

Lưu ý 1: với a > 0 ta có ( ) 1( )

f x

f x a

a− = Lưu ý 2: gặp dạng 2 ( )f x ( )f x( ) 2 ( )f x 0

m a +n ab +pb = , ta chia 2 vế phương trình cho 2 ( )f x

Trang 23

2 Phương trình lôgarit

Phương pháp chung: Đặt điều kiện xác định của phương trình

Biến đổi phương trình để tìm x (nếu có) Đối chiếu x tìm được với điều kiện để kết luận

Các công thức và quy tắc tính lôgarit: với 0< ≠ và b > 0, a 1 α≠ : 0

log 1 0a = log (n ) log

a n

b) Phương pháp đưa về cùng cơ số: với a> và 0 a ≠ , ta có 1

log ( )a f x =loga g x( )⇔ f x( )=g x( ) (kèm điều kiện ( )f x > ) 0

log ( ) ( ) b

a f x = ⇔b f x =a

Lưu ý: Nếu đã có ( )f x > thì 0 logaf x( ) =2n 2 log ( )n a f x

Nếu chỉ có ( )f x ≠ thì 0 logaf x( ) =2n 2 logn a f x( ) Biến đổi sau đây rất dễ sai sót (không nên sử dụng): Đưa α ra ngoài: logaf x( )α

Trang 24

1 Đặt t=loga f x( ) và thay vào phương trình

2 Giải phương trình mới theo t để tìm nghiệm t0 (nếu có)

3 Từ t = ta giải phương trình lôgarit cơ bản tìm x t0

d) Phương pháp mũ hoá: với 0< ≠ và 0a 1 < ≠ , ta có b 1

log ( ) log ( )

log ( ) log ( ) a f x b g x

a f x = a g x ⇔a =a

e) Phương pháp khác: dùng tính đơn điệu của hàm số, bất đẳng thức,…

3 Bất phương trình mũ – lôgarit (đơn giản)

Hàm số mũ x

y =a và hàm số lôgarit y =loga x đều có tính chất:

“đồng biến khi a > 1 và nghịch biến khi 0< < ” a 1

c) Phương pháp đặt ẩn phụ

Cách đặt ẩn phụ và đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu có) hoàn toàn tương

tự như cách đặt khi giải phương trình mũ, phương trình lôgarit

d) Phương pháp khác: dùng bảng xét dấu, tính đơn điệu hàm số,…

Trang 25

VÍ DỤ MINH HOẠ

2 3

(1, 5)x− x+

= c) 2x+ 1.5x =200Bài giải

Vậy, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất: x = 2

t = t > Đáp số: x = ± 1

Trang 26

So với điều kiện x > 4 ta chỉ nhận nghiệm x = 5

Vậy, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 5

So với điều kiện (I) ta nhận x = 3 và x = +3 2

Vậy phương trình (3) có tập nghiệm: S ={3; 3+ 2}

Trang 27

Với t = 2 thì log x = 2 ⇔ x = 100 (thoả điều kiện (I))

Vậy, tập nghiệm của phương trình (6) là: S = {100;1000}

Trang 28

2

t t

x

x x

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: S = (0;1)

0,5

log (x −5x+6)≥ − 1Bài giải

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là: S = [1;2)∪(3;4]

Trang 29

Trang 30

Bài tập về phương trình lôgarit

i) log (2x+ −1) log (22 x−7)= 1 j) log (2 )2 x −log4x =log (4 )0,5 x

k)logx4 +log(4 )x = +2 logx3 l) 2

log (4 )x +2 log x−log x =9

2

ln log (x x −2 )x =3 lnx n)log 5x+log5x−log0,2x =2

k)log3x+log 9x = 3 l) 2 log 2x +log 10 log2 x = 5

a) log (5x+ =2) log (45 x+5) b)log 2x+4 log4x+log (4 )2 x =12

Trang 31

Bài tập về bất phương trình mũ và lôgarit

x

−

a)log (4 x+7)>log (1 – )4 x b)log (2x+5)≤log (3 – 2 ) – 42 x

Trang 32

Lưu ý: Các nguyên hàm của f(x ) trên K sai khác nhau 1 hằng số C

Họ các nguyên hàm của f(x ) trên K ký hiệu là ∫ f x dx( )

udv=uv− vdu

Trang 33

I = ∫ f t dt và tính tích phân mới này (biến t)

Vài dạng tích phân đổi biến thông dụng:

∫ t =x α x n α− 1dx đi kèm biểu thức theo x α

Đôi khi thay cách đặt t =t x( ) bởi t =m t x ( )+n ta sẽ gặp thuận lợi hơn

Trang 34

Vài dạng tích phân đổi biến thông dụng:

Với ( )P x là một đa thức, ta cần chú ý các dạng tích phân sau đây

a O

x y

y = g (x)

y = f(x)

b a

Trang 35

1

f x

x

=+ trên R

x x

F x = x − + là nguyên hàm của hàm số ( ) 4 3

x x

Trang 36

0

31

x

π π

0

31

3 2

1 2

Trang 37

11

Trang 38

Trang 39

O

x

y

2 -1O

Trang 40

a) (H) giới hạn bởi:y =sinx ,Ox, x = và 0 3

3 2

Định dạng
Số trang	81
Dung lượng	1,58 MB