THPT Nguy ễ n Du Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giácRÈN LUYỆN KỶ NĂNG BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC A- CÁC VẤN ĐỀ VỀ LÍ THUYẾT.. I- TÓM TẮC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC HỆ THỐNG CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG
Trang 1THPT Nguy ễ n Du Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác
RÈN LUYỆN KỶ NĂNG BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC A- CÁC VẤN ĐỀ VỀ LÍ THUYẾT
I- TÓM TẮC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
HỆ THỐNG CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC:
I- GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC:
1 Công thức quy đổi độ – Rađian: 180a
( a tính bằng độ, tính bằng rad)
2 Số đo góc và cung lượng giác theo độ và radian.
sđ(Ox, Ot) = a0 + k3600 hoặc sđ(Ox, Ot) = + k2, k Z (với 00 a0 < 3600 , 00 < 2)
0
6
4
3
2
2 3
3 4
5
3
2 2
2
3
2
2 2
1
2
2 2
1
2 0 1
2
2
2
3
3 0 3
Trang 2sđAB = a0 + k3600 hoặc sđAB = + k2, k Z ( với 00 a0 < 3600 , 00 < 2)
3 Công thức tính độ dài cung: l = .R ( tính bằng rad)
II.NHÓM CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1:
1 Hằng đẳng thức lượng giác:
sin2x + cos2x = 1
sin x 1 cos x cos x 1 sin x
2
2
1 1
sin cos cos sin
1+ tan2x =cos x12 cos2x =
2
1
1 tan x cosx =
2
1
1 tan x
1+ cot2x =sin x12 sin2x =
2
1
1 cot x sinx =
2
1
1 cot x
tanx.cotx = 1 tanx = sin x 1
cos x cot x cotx = cos x 1
sin x tan x
Chú ý: Trong các công thức có chứa dấu () , việc chọn dấu (+) hoặc dấu (–) cần nhận xét giá trị của
cung x trên đường tròn lượng giác
2 Cung liên kết:
–x π – x π
2– x π+ x
π
2 + x sin –sinx sinx cosx –sinx cosx
cos cosx –cosx sinx –cosx –sinx
tan –tanx –tanx cotx tanx –cotx
cot –cotx –cotx tanx cotx –tanx
3 Chú ý:
a + b = 1800 cosb = –cosa sinb = sina
a + b = 2 900 cosb = sina sinb = cosa
ABC
sin(B + C) = sinA cos(B + C) = –cosA tan(B + C) = – tanA
sin cos
cos sin
tan cot
sin(x + k2) = sinx cos(x + k2) = cosx
tan(x + k) = tanx cot(x + k) = cotx
III NHÓM CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 2:
1.Công thức cộng:
cos(a b) = cosa.cosb sina.sinb sin(a b) = sina.cosb sinb.cosa
tan(a b) =
tana tanb
1 tana.tanb
2.Công thức nhân:
cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1 = 1 – 2sin2a =
2 2
1 tan a
1 tan a
sin2a = 2sina.cosa =
2
2 tana
1 tan a ; tan2a =
2
2 tana
1 tan a
3.Công thức hạ bậc:
2 1 cos2a sin a
2 ; cos a2 1 cos2a
2 1 cos2a tan a
1 cos2a
4.Công thức tính theo t : t tan a
2
Trang 3THPT Nguy ễ n Du Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác
2
2t sina
1 t
2 2
1 t cos a
2t tana
1 t
5 Công thức biến đổi tích thành tổng:
2cosa.cosb = cos(a + b) + cos(a – b) 2sina.sinb = –[ cos(a + b) – cos(a – b) ]
2sina.cosb = sin(a + b) + sin(a – b)
6 Công thức biến đổi tổng thành tích:
cos a cosb 2cos cos
cos a cosb 2 sin sin
2 2 tana + tanb = a b
sin( ) cos cos
sina sinb 2 sin cos
sina sinb 2cos sin
2 2 tana – tanb = a b
sin( ) cos cos
Hệ quả: cosx + sinx = 2 sin( x) 2 cos( x)
cosx – sinx = 2 sin( x) 2 cos( x)
III HỆ THỨC LƯỢNG TRONG ABC:
1 Định lý hàm số sin và cos:
sinA sinB sinC
a b c 2bc.cos A
b a c 2ac.cosB
c a b 2ab.cosC
2 Chuyển cạnh sang góc:
a = 2RsinA b = 2RsinB c = 2RsinC
3 Chuyển góc sang cạnh: sinA a
2R
cos A b2 c2 a2
2bc
4 Công thức diện tích: S 1a.ha 1b.hb 1c.hc 1bc sinA 1ac sinB 1ab sinC
S pr abc p(p a)(p b)(p c)
4R
, với p a b c
2
R: Bán kính đường tròn ngoại tiếp, r: Bán kính đường tròn nội tiếp ABC
5 Công thức đường trung tuyến và phân giác trong các góc của ABC:
2
m
2
m
2
m
2 4 (m a, mb, mc độ dài trung tuyến)
a 2bc A
b c 2 b
2ac B
a c 2 c
2ab C
a b 2 (l a , l b , l c độ dài phân giác)
B BÀI TẬP
VẤN ĐỀ 1 CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN VỀ BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC.
1 Tính giá trị lượng giác của cung sau.
1) sina = 3
5 với 0 < a < 2
2) tana = - 2 với < a < 3) cosa =
5
1
với -2
< a < 0 4) sina = 31 với a (
2
, ) 5) tana = 2 với a (,
2
3 )
2 Chứng minh các đẳng thức sau:
1) sin2x + tan2x = 12
cos x - cos
2x 2) tan2x - sin2x = tan2xsin2x 3)
2 2
tan 3 3 tan
4)
2
2 2
1
cos
1 tan
x
x x
= 1 6) cosx + cos(2/3 - x) + cos(2/3 - x) = 0 7) sin(a + b)sin(a - b) = sin2a -sin2b = cos2b - cos2a
Trang 48)
1 tan tan
= tan(a +b)tan(a - b) 9) cos3xsinx - sin3xcosx = 1
4sin4x 10) coscosx x sinsinx x
= cos 2x - tan2x1 11) sin 2sin 2x x 2sin2sinx x
= -tan22
x
12) sin3xcos3x + sin3xcos3x = 3
4sin4x 13) sinx - sin2x +sin3x = 4cos
3 2
x
cosxsin
2
x
14) sinx +2sin3x + sin5x = 4sin3xcos2x 15)
2 2
cos
x
3 Rút gọn các biểu thức sau:
1) A = sin(x + 5
2
) - 3cos(x - 7
2
) + 2sin(x + ) 2) B= sin cos 5sin 11
2
C c c c
2
- a)
5) cos( - a) - 2sin(3/2 + a) + tan(3
2
- a ) + cot(2 - a)
4 Chứng minh rằng các biểu thức sau không phụ thuộc vào a.
1) A = cos4a + cos2asin2a +sin2a 2) B = cos4a - sin4a + 2sin2a
3) C = 2(sin6a + cos6a) - 3(sin4a + cos4a) 4) D = 1 cot
1 cot
a a
tana 1 5) E = sin 4a4cos2a + cos4a4sin2a 6) F = cos2a + sin(300 + a)sin(300- a)
7) G = sin6a + cos6a + 3sin2acos2a 8) H =
9) m là mọt số cho trước, chứng minh rằng nếu: m.sin(a + b) = cos(a - b)
Trong đó a - b k và m 1 thì biểu thức:
A = 1
1 msin 2a + 1
1 msin 2b (m là hằng số không phụ thuộc vào a, b )
5 Tính các biểu thức đại số.
1) Tính sin3a -cos3a biết sina -cosa = m
2) Biết sina + cosa = m hãy tính theo m giá trị của biểu thức: A =
1 cos 2 cot tan
a
3) Biết cos( )
a b
a b
= p
q Tính tana.tanb
4) Biết sina + sinb = 2sin(a + b) với (a + b) k2 tính tan
2
a
.tan 2
b
5) Tính sin2x nếu: 5tan2x - 12tanx - 5 = 0 (
4
< x <
2
)
Trang 5THPT Nguy ễ n Du Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác
6 Không dùng máy tính hãy tính giá trị các biểu thức :
1) A = cos200cos400cos600cos800 2) B = cos
7
.cos4 7
.cos5 7
3) C = sin60.sin420.sin660.sin780 4) Tính: E = sin50.sin150sin250.sin350 sin850
5) Tính: F = sin
18
.sin3 18
.sin5 18
.sin7 18
sin9 18
6) A = sin370.cos530 + sin1270.cos3970
7) A = tan1100 + cot200 8) Tính sin150 và cos150
8) A = tan20o.tan40o.tan60o.tan80o b) B = 1
2sin10o - 2sin70o , M = cos
5
- cos2
5
c) C = sin416
+ sin4
3 16
+ sin4
5 16
+ sin4
7 16
d) D = tan2
12
+ tan2
3 12
+ tan2
5 12
e) E = tan9o - tan27o - tan63o + tan81o f) F = cos616
+ cos6
3 16
+ cos6
5 16
+cos6
7 16
g) G1 = sin18o.cos18o; G2 = sin36o.cos36o h) H = cos2
7
+ cos4
7
+ cos6
7
i) I = sin
5
+ sin23
5
+ sin 6
+ cos13
5
k) K = cos
5
+ cos2
5
+ cos3
5
+ cos4
5
9 Với a ≠ k (k Z) chứng minh:
a) cosa.cos2a.cos4a cos16a = sin 32
32.sin
a
a b) cosa.cos2a.cos4a cos2
na =
1 1
sin 2
2 sin
n n
a a
10 Tính: A = cos20o.cos40o.cos60o 11 Tính: A = sin6o.sin42o.sin66o.sin78o
12 Tính: A = cos
7
cos4 7
cos5 7
13 Tính: cos
65
cos2 65
cos4 65
cos8 65
cos16 65
cos32 65
14.Tính: sin
18
.sin3 18
.sin5 18
sin7 18
sin9 18
15 Tính: cos
15
.cos2 15
.cos3 15
.cos4 15
cos7 15
16 Tính: sin5o sin15o sin25o sin85o 17 Tính: 96 3 sin
48
.cos 48
cos 24
cos 12
cos 6
18 Tính: 16.sin10o.sin30o.sin50o.sin70o 19 Tính: sin10o.sin20o.sin30o sin80o
20 Tính: cos9o cos27o cos45o cos63o cos81o cos99o cos117o cos135o cos153o cos171o
21 Tính: A = cos
5
5
B = cos
5
5
7 Chú ý các công thức sau:
1) 4sinx.sin(
3
- x)sin(
3
+ x) = sin3x 2) 4cosx.cos(
3
- x)cos(
3
+ x) = cos3x
3) tanx.tan(
3
- x)tan(
3
+ x) = tan3x 4) cosa.cos2a.cos4a cos2na =
1 1
sin 2
2 sin
n n
a a
5) Để tính S = cosa - cos(a + x) + cos(a +2x) + +(-1)n cos(a +nx)
thì nhân 2 vế với 2cos
2
x
nếu cos
2
x
0
Trang 68.Các bài tập khác:
1 Chứng minh rằng :
a) cos15 sin15
cos15 sin15
o o
cos75 sin 75
3
2 Rút gọn các biểu thức sau:
a) A = sin3x.sin3x + cos3x.cos3x b) B = 1 cos
sin
x x
[1 +
2 2
(1 cos ) sin
x x
] c) C = cos3x.cos3x - sin3x.sin3x
3 Chứng minh rằng :
a) 4.cosx.cos(
3
- x).cos(
3
+ x) = cos3x b) 4.sinx.sin(
3
- x).sin(
3
+ x) = sin3x
c) tanx.tan(
3
- x).tan(
3
+ x) = tan3x Áp dụng tính:
A = sin20o.sin40o.sin80o B = cos10o.cos20o.cos30o cos80o C = tan20o.tan40o.tan60o.tan80o
4 Chứng minh rằng :
a) sin6x + cos6x =
5
8 +
3
8 cos2x b) tanx =
1 cos 2 sin 2
x x
Áp dụng tính:
A = sin6(
24
) + cos6(
24
12
) + tan2(3
12
) + tan2(5
12
)
5 Chứng minh rằng:
a) sin4x = 3 1cos 2 1cos 4
8x + cos8x = 35 7 cos 4 1 cos
Áp dụng tính A = sin8(
24
) + cos8(
24
) B = sin4(
16
) + sin4(3
16
) + sin4(5
16
) + sin4(7
16
)
6 Tính: cos(2
7
) + cos(4
7
) + cos(6
7
) 22 Tính cos(
5
) + cos(2
5
) + cos(3
5
) + cos(4
5
)
7 Cho: sin2a + sin2b = 2sin2(a + b) Tính: tana.tanb 24 CMR:
sin 75 cos75 sin 75 cos75
3
VẤN ĐỀ 2 BÀI TOÁN LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC.
I CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
+ A + B + C = + a b < c < a + b + a2 = b2 + c2 - 2a.b.cosC
R
abc
R
S = p p a p b p c( )( )( ) Trong đó: p =
2
a b c
r: bán kính đường tròn nội tiếp ra: bán kính đường tròn bàng tiếp trong góc A
+ Đường trung tuyến :
ma2 =
b c a
mb2 =
a c b
b a c
Trang 7THPT Nguy ễ n Du Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác
+ Đường phân giác:
la = 2 cos 2
A bc
b c
lb = 2 cos 2
B ac
a c
la = 2 cos2
C ab
a b + Mở rộng định lí sin và cosin:
cotA =
4
s
cotB =
4
s
cotC =
4
s
II-BÀI TẬP : CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC CƠ BẢN TRONG TAM GIÁC.
1 sinA + sinB + sinC = 4cos
2
A
.cos 2
B
.cos 2
C
2 sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA.sinB.sinC
3 sin3A+sin3B+sin3C = -4cos3
2
A
cos3 2
B
cos3 2
C
4 sin4A+sin4B+sin4C = -4sin2A.sin2B.sin2C
5 cosA + cosB + cosC = 1+ 4sin
2
A
.4sin
2
B
.4sin
2
C
6 cos2A+cos2B+cos2C = -1-4cosA.cosB.cosC
7 cos3A+cos3B+cos3C =1- 4sin3
2
A
sin3 2
B
sin3 2
C
8 tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC
9 cos4A+cos4B+cos4C = -1+ 4cos2Acos2Bcos2C 10 tan2A +tan2B + tan2C = tan2A.tan2B.tan2C
11 cotA.cotB + cotB.cotgC + cotC.cotA = 1 12 tan
2
A
tan 2
B
+ tan 2
B
tan 2
C
+ tan 2
C
tan 2
A
=1
13 cot
2
A
+cot
2
B
+ cot
2
C
= cot
2
A
cot
2
B
cot
2
C
14 cos2A + cos2B + cos2C = 1 - 2cosA.cosB.cosC
15 cos22A + cos22B + cos22C = 1 + 2cos2A.cos2B.cos2C 16 m + a2 2
b
m + 2
c
m = 3
4(a
2 + b2 + c2)
17 la = 2 cos2
A bc
b c
= 2
bc b c p p a .( ) . 18 r = p.tan 2
A
tan 2
B
tan 2
C
=
sin sin
cos 2
a
4.cos cos cos
p
2
A
cos 2
B
cos 2
C
III CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC.
1 Chứng minh rằng diện tích tam giác có thể tính theo các công thức sau:
S =
( ).sin sin
2.sin( )
A B
4(a
2sin2B + b2sin2A) = p2.tan
2
A
tan 2
B
tan 2
C
= 2R2.sinA.sinB.sinC
2 Chứng minh các đẳng thức sau:
a) a.sin(B - C) + b.sin(C - A) + c.sin(A - B) = 0 b) (b - c)cot
2
A
+(c - a)cot
2
B
+ (a - b)cot
2
C
= 0 c) (b2 - c2)cotA +(c2 - a2)cotB+(a2 - b2)cotC = 0 d) 2p = (a + b)cosC + (a + c)cosB+(a + b)cosC e) sin
2
B C
= b c
a
cos 2
A
f) cos
2
B C = b c
a
sin 2
A
g) b.cosB + c.cosC = a.cos(B - C) h) cosA + cosB = 2a b c sin2 2
C
i) 1r =
1
a
h +
1
b
h +
1
c
h
Trang 83 Tam giác ABC có 2a = b + c chứng minh rằng:
a) 2sinA = sinB + sinC b) tan
2
B
tan 2
C
= 1
3.
4 Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC R, r là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp
của tam giác Chứng minh rằng:
a) r = 4R.cos
2
A
cos 2
B
cos 2
C
b) IA.IB.IC = 4Rr2 c) cosA + cosB + cosC = 1 + r
R
5 Các cạnh a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng Chứng minh rằng công sai của cấp số cộng
đó được xác định theo công thức sau: d = 3
2r(tan 2
C
- tan 2
A
)
6 Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN vuông góc CMR : b2 + c2 = 5a2
7 Chứng minh rằng: cos 2
a
A
l +
cos 2
b
B l
cos 2
c
C
l =
1
a +
1
b +
1
c .
8 Ch minh rằng các trung tuyến AA' và BB' vuông góc với nhau khi: cotC = 2(cotA + cotB).
9 Cho c
b =
b c
m
m ≠ 1 chứng minh rằng : 2cotA = cotB + cotC.
10 Cho tam giác ABC và AM là trung tuyến gọi = AMB Chứng minh rằng:
a) cot =
4
s
b) cot = cotC - cotB c) cot = 2sin( )
2sin sin
B c
11 Chứng minh rằng c
b là nghiệm của phương trình:
(1 + x2 -2xcosA)(b2 - bc) = a2(1 - x)
12 Tam giác có 3 cạnh lần lượt là: (x2 +2); (x2 - 2x +2);
(x2 + 2x + 2) Với giá trị nào của x (dương) thì tam giác đó tồn tại.
13 Cho ma = c Chứng minh rằng:
a) bcosC = 3cosB b) tanB = 3tanC c) sinA = 2sin(B - C)
14 Gọi H là trực tâm tam giác ABC H chia đường cao xuất phất từ A theo tỉ số k cho trước
CMR :a) tanB.tanC = 1 + k b) tanB + tanC = ktanA c) cos(B - C) = (1+2
k )cosA.
15 Cho tam giác ABC có các cạnh a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng
Chứng minh rằng : cot
2
A
cot 2
C
= 3
16 Tam giác ABC thỏa mãn điều kiện: tanA.tanB = 6; tan
tan
A
C =3 Chứng tỏ rằng: tanA, tanB, tanC
theo thứ tự đó lập 1 cấp số cộng
17 Tam giác ABC có cot
2
A
, cot 2
B
, cot 2
C
theo thứ tự lập một cấp số cộng CMR : a, b, c theo thứ
tự cũng lập một cấp số cộng
18 Tam giác ABC có: cotA, cotB, cotC hteo thứ tự lập một cấp số cộng Chứng minh rằng a2,
b2, c2 theo thứ tự đó cũng lập một cấp số cộng
19 Cho tam giác ABC thỏa mãn: 2tanA = tanB + tanC Chứng minh rằng :
IV – ĐỊNH DẠNG TAM GIÁC CÂN.
A Chứng minh rằng tam giác cân khi và chỉ khi:
Trang 9THPT Nguy ễ n Du Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác
1 atanA+btanB =(a+b)tan
2
A B
2 2tanB + tanC = tan2B.tC 3 sin sin 1(tan tan )
4
C
6 sin cos3 sin cos3
p
9 a2sin2B +b2sin2A=c2cot
2
C
10 a.sin(B - C)+b.sin(C - A) = 0
B Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu :
1
2
2
2 + c2)sin(C-B) = (C2 - B2)sin(B- C)
3
2 2
2
1 cos 2
2
a
V NHẬN DẠNG TAM GIÁC VUÔNG.
A Chứng minh điều kiện cần và đủ để tam giác vuông là :
1 cos2a + cos2B + cos2C = -1 2 tan2A + tan2B + tan2C = 0
3 sinA + sinB + sinC = 1 + cosA + cosB + cosC
B Chứng minh tam giác vuông khi:
1
B
= a c
b
sin
a
A c b
4 1
cot sin
b c A
(cot cot )
cos( )
tan
B C
B
7 sin cos
sin cos
tgA
8 sin
2
B
=
2
a c a
9 cos
a
2
c a
11 cos(B - C) = 2bc2
a 12 S =
2
1 sin 2
sin sin
sin cos cos
Trang 1014 1 + cot(450 - B) = 2
1 cot A 15 sin4C + 2sin4A + 2sin4B = 2sin2C(sin2A + sin2B)
16 3(cosB + 2sinC) + 4(sinB + 2cosC) = 15 17 cos2A + cos2B + cos2C + 1 = 0
C Tam giác ABC có đặc điểm gì khi thỏa mãn các điều kiện sau.
1 sin3A + sin3B + sin3C = 0 2 sin4A + sin4B + sin4C = 0
3 sin5A + sin5B + sin5C + sin2A + sin2B = 4sinA.sinB
4 a3 = b3 + c3 5 c = Ccos2B + Bsin2B 6 (1+cotA)(1 + cotB) = 2
7 sin2A + sin2B =5sin2C 8 1 1 1
a
b c l 9 sin2A + sin2B + sin2C 2
10 cos2A + cos2B + cos2C 1
11 Ch.minh nếu ABC có: sin
2
A
= sin 2
B
.sin 2
C
thì tan
2
B
tan 2
C
= 1
2 và ngược lại.
12 Chứng minh rằng nếu a = 2c thì a2 = bc + c2
13 Trong tam giác ABC có đường cao CB cắt đường cao AD tại trung điểm H của AD Chứng
minh rằng tanB.tanC = 2
14 Cho tam giác ABC vuông tại A cạnh huyền có độ dài bằng a.
Chứng minh rằng: sin
2
B
.sin 2
C
= lb 2 4
c l
a
15 Cho tam giác vuông ABC tại A Gọi là góc giữa đường cao và đường trung tuyến ứng với
cạnh huyền Chứng minh rằng: tan
2
= tan
2
B C