Biến đổi lượng giác

Các tốn biến đổi lượng giác Trường THPT Quế Võ số SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC NINH TRƯỜNG THPT QUẾ VÕ SỐ Lượng giác Quế võ, tháng năm 2009 Các tốn biến đổi lượng giác Trường THPT Quế Võ số Biến đổi lượng giác nội dung quan trọng q trình học tập lượng giác Thành thạo phép biến đổi lượng giác hành trang tốt tạo cho bạn tự tin linh hoạt học tập phần khác chương trình lượng giác, bạn thấy tinh thần phương pháp lượng giác vận dụng tốn bạn thấy tồn nét đặc trưng vẻ đẹp lượng giác Để giúp bạn có tài liệu tương đối đầy đủ để học lượng giác,chúng tơi tập hợp tài liệu để biên soạn chun đề này.Chúng tơi tham khảo biên tập hệ thống tập đa dạng phong phú.Các tập biên soạn theo hướng Một số tập chúng tơi cung cấp ln lời giải Tất nhiên lời giải đưa khơng phải cách giải hay Đối với bạn cần suy nghĩ theo hướng mở sau: • • • • • Giải thích phép biến đổi lập luận lời giải Tìm lời giải khác Lí giải xem lại giải Tìm cách vận dụng tốn Nêu tập tương tự Một số tập chúng tơi khơng cung cấp lời giải.Những tập thuộc dạng bản, dễ tương tự, đề nghị bạn suy nghĩ tự giải Chú ý: Đối với tốn có phần hướng dẫn kèm,các hướng dẫn có tính chất giúp bạn phát vấn đề khơng phải cách trình bày Các tốn biến đổi lượng giác Trường THPT Quế Võ số A TĨM TẮTGIÁO KHOA I Đơn vị đo góc cung: Độ: Góc 10 = góc bẹt 180 Radian: (rad) 180 o x O y 1800 = π rad Bảng đổi độ sang rad ngược lại số góc (cung ) thơng dụng: 00 Độ Radian 300 450 π π 600 900 π π 1200 2π 1350 3π 1500 1800 π 5π II Góc lượng giác & cung lượng giác: Định nghĩa: y (điểm ngọn) + B x (Ox, Oy ) = α + k 2π (k ∈ Z) + α O (tia gốc) t M α t O 2π y (tia ngọn) α 3600 x A (điểm gốc) AB = α + k 2π Đường tròn lượng giác: Số đo số cung lượng giác đặc biệt: A → B → C → D → A, C → B, D → y 2kπ π + 2kπ π + 2kπ - π + 2kπ kπ π + kπ B C x A O D + − Các tốn biến đổi lượng giác Trường THPT Quế Võ số y t u B + III Định nghĩa hàm số lượng giác: u' Đường tròn lượng giác: • A: điểm gốc • x'Ox : trục cơsin ( trục hồnh ) • y'Oy : trục sin ( trục tung ) • t'At : trục tang • u'Bu : trục cotang x' −1 C R =1 O A − −1 D y' x t' Định nghĩa hàm số lượng giác: a Định nghĩa: Trên đường tròn lượng giác cho AM= α Gọi P, Q hình chiếu vng góc M x'Ox y'Oy T, U giao điểm tia OM với t'At u'Bu Ta định nghĩa: y t t Trục sin Trục cotang U B u' M Q t x' α O Trục cosin P + T α x t' − Trục tang b Các tính chất : • Với α ta có : −1 ≤ sin α ≤ hay sinα ≤ −1 ≤ cosα ≤ hay cosα ≤ π + kπ cotgα xác đònh ∀α ≠ kπ • tgα xác đònh ∀α ≠ • c Tính tuần hồn sin(α + k 2π ) cos(α + k 2π ) tg(α + kπ ) cot g(α + kπ ) = sin α = cosα = tgα = cot gα cos α = OP sin α = OQ A −1 y' u (k ∈ Z ) tgα = AT cot gα = BU Các tốn biến đổi lượng giác Trường THPT Quế Võ số IV Giá trị hàm số lượng giác cung (góc ) đặc biệt: Ta nên sử dụng đường tròn lượng giác để ghi nhớ giá trị đặc biệt y t - - /3 -1 u' B 2π/3 π u π/4 /2 5π/6 π/6 1/2 - /2 - /2 -1/2 /2 /2 -π/6 -1 y' sin α cos α tg α cotg α kx đ π 3 3 π 2 2 t' 900 1200 600 π 3 2 π 3 kx đ - 1350 1500 2π 3 − 3π 2 − 5π π 2π 0 -1 − -1 0 3 -1 3 − − kxđ kxđ − -1 -π/3 -π/2 300 450 − - /3 -π/4 - /2 x O - /2 Hslg + A (Điểm gốc) -1/2 00 /3 1/2 -1 Góc π/3 /2 3π/4 x' /3 π/2 − 1800 3600 Các tốn biến đổi lượng giác Trường THPT Quế Võ số V Hàm số lượng giác cung (góc) có liên quan đặc biệt: Đó cung : Cung đối : α -α Cung bù : α π -α Cung phụ : α Cung (tổng 0) π −α ( tổng π ) (Vd: π ) (Vd: ( tổng π π : α + α 2 Cung π : α π + α Cung đối nhau: cos(−α ) = cosα sin(−α ) = − sin α tg(−α ) = −tgα cot g(−α ) = − cot gα π π & − ,…) 6 π 5π & ,…) 6 π π & ,…) (Vd: π 2π & ,…) (Vd: π 7π & ,…) 6 Cung bù : Đối cos Bù sin Cung phụ : π cos( − α ) = sin α π sin( − α ) = cosα π tg( − α ) = cotgα π cot g( − α ) = t gα (Vd: cos(π − α ) = − cosα sin(π − α ) = sin α tg(π − α ) = −tgα cot g(π − α ) = − cot gα Cung Phụ chéo π sin cos cos trừ sin Hơn Cung π : π π cos( + α ) = − sin α π sin( + α ) = cosα π tg( + α ) = −cotgα π cot g( + α ) = − t gα Các tốn biến đổi lượng giác cos(π + α ) = − cosα sin(π + α ) = − sin α tg(π + α ) = tgα cot g(π + α ) = cot gα Trường THPT Quế Võ số Hơn π tang , cotang VI Cơng thức lượng giác: Các hệ thức bản: cos2α 1 + cotg2α = sin α tgα cotgα = cos2α + sin α = sinα tgα = cosα cosα cotgα = sinα + tg2α = Cơng thức cộng : cos(α + β ) = cos α cos β − sin α sin β cos(α − β ) = cos α cos β + sin α sin β sin(α + β ) = sin α cos β + sin β cos α sin(α − β ) = sin α cos β − sin β cosα tgα +tgβ tg(α +β ) = − tgα tg β tgα − tgβ tg(α − β ) = + tgα tg β Cơng thức nhân đơi: cos 2α = cos2 α − sin α = cos2 α − = − 2sin α = cos4 α − sin α sin 2α = 2sin α cos α 2tgα tg2α = − tg2α Cơng thức nhân ba: cos α = cos 3α + cos α Các tốn biến đổi lượng giác Trường THPT Quế Võ số cos 3α = cos α − 3cos α sin 3α = 3sin α − 4sin α Cơng thức hạ bậc: cos α = + cos 2α − cos 2α ; sin α = ; 2 6.Cơng thức tính sin α ,cos α ,tgα theo t = tg sin α = α 2t 1− t2 2t ; cos α = ; tgα = 2 1+ t 1+ t 1+ t2 Cơng thức biến đổi tích thành tổng : [ cos(α + β ) + cos(α − β )] sin α sin β = [ cos(α − β ) − cos(α + β )] sin α cos β = [ sin(α + β ) + sin(α − β )] cos α cos β = Cơng thức biến đổi tổng thành tích : α+β α −β cos 2 α+β α −β cos α − cos β = −2sin sin 2 α+β α−β sin α + sin β = 2sin cos 2 α+β α −β sin α − sin β = cos sin 2 sin(α + β ) tgα + tgβ = cosα cos β sin(α − β ) tgα − tg β = cosα cos β cos α + cos β = cos Các cơng thức thường dùng khác: sin α = sin α − sin 3α tg 2α = − cos 2α + cos 2α Các tốn biến đổi lượng giác π π cos α + sin α = cos(α − ) = sin(α + ) 4 π π cos α − sin α = cos(α + ) = − sin(α − ) 4 Trường THPT Quế Võ số + cos 4α cos α + sin α = + cos 4α cos α + sin α = B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN Phần Đẳng thức lượng giác khơng điều kiện 1: Đẳng thức với biến Trong phần ta xét đẳng thức lượng giác mà biến khơng bị ràng buộc điều kiện nào.Khi chứng minh đẳng thức khơng có điều kiện kèm theo này,chúng ta thường vận dụng cơng thức lượng giác, đẳng thức lượng giác bản.Tuy nhiên số luợng cơng thức lượng giác nhiều nên bạn gặp khó khăn việc lựa chọn cơng thức cho hợp lí.Vì u cầu đặc biệt quan thực phép biến đổi bạn cần phảp có định hướng rõ ràng để tránh việc lúng túng lựa chon cơng thức Các tốn chứng minh đẳng thức Khi gặp tốn dạng có thuận lợi kết có đề bài.Từ dẫn đến hướng để giải quyết: • Hướng 1: Biến đổi vế trái cho vế phải.Thơng thường ta dựa vào vế phải,từ trái ta tìm cách phân tích,tách.ghép,biến đổi làm xuất biểu thức vế phải Bài 1: sin x − sin y x+y = −cotg( ) Chứng minh cos x − cos y Hướng dẫn: x+y cos  ÷ x+y   Bởi cotg  Nên ta biến đổi vế trái cho tử thức mẫu thức xuất ÷=   sin  x + y   ÷   x+y x+y cos  ÷,sin  ÷     Khi ta có: x+y x−y 2cos sin sin x − sin y 2 = −cotg x + y = cos x − cos y −2sin x + y sin x − y 2 Các tốn biến đổi lượng giác Trường THPT Quế Võ số • Hướng 2:Biến đổi vế phải cho vế trái.Ta xuất phát từ VP tìm cách làm xuất biểu thức vế trái.Các bạn lấy ví dụ để thực theo hướng theo dõi ví dụ sau: Bài 2: cos x + sin x cos2x = Chứng minh rằng: cos x − sin x − sin 2x Hướng dẫn: cos2x cos x − sin x ( cos x + sin x ) ( cos x − sin x ) = cos x + sin x = = − sin 2x cos x + sin x − 2sinxcosx cos x − sin x ( cos x − sin x ) Nhận xét: Cũng nhân tử mẫu VT với ( cos x − sin x ) để làm theo hướng thứ nhất.Nhưng thơng thường việc tách dễ việc thêm vào • Hướng thứ 3: biến đổi vế trái vế phải biểu thức trung gian Bài 3: Chứng minh rằng: n  tgα + cosα  tg nα + cos nα (n ∈ Z+ )  + cotgα cosα ÷ = n n + cotg α cos α   n   n   tgα + cosα  tgα + cosα ÷ n = Ta có  ÷ = ( tgα ) ÷  + cotgα cosα   + cosα ÷  ÷ tgα   tg nα + cos nα tg nα + cos nα n = = ( tgα ) n n + cotg α cos α + cos nα ( tgα ) n Từ (1) (2) ta điều phải chứng minh sin x + cos x − = Bài 4: chứng minh: sin x + cos x − Hướng dẫn: Ta có sin a + cos a − = − 2sin acos a − = −2sin acos a 4 2 sin a + cos a − = (sin a + cos a)3 − 3sin acos a(sin a + cos a) − = −3sin acos a sin x + cos x − −2sin acos a = = Do sin x + cos x − −3sin acos a Bài 5: Chứng minh rằng: + 4tan π π π π + 2tan + tan = cot (*) 16 32 32 10 (1) (2) Các tốn biến đổi lượng giác Trường THPT Quế Võ số 0 Bài 2: Chứng minh 16sin10 sin30 sin50 sin70 = Acos100 = (sin100 cos100 )sin300sin500sin700 Ta có A = 0 cos10 cos10 1 ⇔ A= (8sin200 )( )cos400cos200 cos100 ⇔ A= (4sin 200 cos200 ).cos400 cos10 ⇔ A= (2sin400 )cos400 cos100 cos100 ⇔ A= sin80 = =1 0 cos10 cos10 Bài Tính tổng sau: π 3π 5π a A = cos + cos + cos 7 2π 4π 6π 8π b B = cos + cos + cos + cos 5 5 π π π 7π c C = sin + sin + sin + sin 16 16 16 16 π 3π 5π 7π d D = cos6 + cos6 + cos6 + cos 16 16 16 16 π 13π 23π π e E = sin + sin + sin + sin 5 π 5π 7π f F = cos + cos + cos 9 Hướng dẫn: π ta được: π π π 3π π 5π π 2sin A = 2cos sin + 2cos sin + 2cos sin 7 7 7 2π  4π 2π   6π 4π  = sin +  sin − sin − sin ÷+  sin ÷  7   7  6π π = sin = sin 7 π Chia vế cho sin thu A = a.Nhân vế với 2sin 21 Các tốn biến đổi lượng giác Trường THPT Quế Võ số Nhận xét •Đối với biểu thức tổng,thường tạo hiệu hàm sin hàm cosin để giản ước dần số hạng giống •Nếu số hạng có dạng lũy thừa nên hạ bậc để dễ biến đổi Bài Tính tổng sau: b.B = sin10° sin 50° sin 70° π 2π 3π 4π 5π 6π 7π c.C = cos cos cos cos cos cos cos 15 15 15 15 15 15 15 0 0 d.D = sin sin15 sin 25 sin85 Hướng dẫn: b/Ta có: B = sin10° sin 50° sin 70° = cos80°cos40°cos20° Nhân vế B với 8sin 20° ta được: 8sin20°.B=8cos80°cos40°cos20°.sin 20° = 4cos80°cos40° sin 40° = 2cos80° sin80° = sin160° = sin 20° Từ suy B = D = sin 50.sin150.sin 250 sin850 = ( sin 5° sin85° ) ( sin 35° sin 55° ) sin 45° = cos80°cos60°cos40°cos20° 25 cos80°cos40°cos20° sin 20° sin160° = = = sin 20° 2 sin 20° Nhận xét: •Đối với biểu thức dạng tích ta thường đưa dạng tích hàm số lượng giác góc,mà góc sau gấp đơi(hoặc nửa) góc trước •Sử dụng cơng thức góc nhân đơi Bài Chứng minh 8π 12π 18π π π cos + cos + cos = cos + sin 35 35 35 5 Bài Chứng minh 1 + + =8 2π 4π 6π sin sin sin 7 Bài Tính giá trị: A = tg110 + cotg200 Bài Chứng minh a tg200 + tg400 + 3tg200 tg400 = π 2π 3π π 3π 5π   + cos = ⇔  cos + cos + cos = ÷ b cos − cos 7  7 2 22 Các tốn biến đổi lượng giác Bài Trường THPT Quế Võ số Chứng minh rằng: a 8cos200 tg30 + tg40 + tg50 + tg60 = b sin 47 + sin 610 − cos790 − cos650 = cos7 f c cos200 + 2sin 550 = + sin 650 0 0 g d tg90 − tg27 − tg630 + tg810 = Bài 10 Chứng minh rằng: a tg20 tg400.tg600.tg800 = b Bài 11 e h tg10.tg190.tg210.tg390.tg410.tg590.tg610.tg790.tg810 = Tính tổng: A = tg π 3π 5π + tg + tg 12 12 12 π 2π − cos = 5 sin 90 sin120 = sin 480 sin 810 − 2sin 700 = 2sin10 sin 330 + cos630 = cos30 cos ( + 1)(4 − 10 + ) C Hệ thức Viet ứng dụng để tính giá trị biểu thức Chúng ta q quen thuộc với định lí Viet ứng dụng tốn phương trình bậc 2,hay biểu thức nghiệm đối xứng.Trong phần bạn tiếp tục thấy vẻ đẹp tính ứng dụng rộng rãi tính giá trị biểu thức lượng giác Bài Chứng minh rằng: π 5π 7π a.cos cos cos = 9 π 5π 5π 7π 7π π b.cos cos + cos cos + cos cos = − 9 9 9 c.sin 20° sin 40° sin80° = 1 d + + =8 2π 4π 6π sin sin sin 7 Hướng dẫn: π 5π 7π a.Nhận thấy , , nghiệm phương trình cos3x= ,suy 9 π 5π 7π cos ,cos ,cos nghiệm phương trình 4t − 3t − = 9 Áp dụng định lí Viet ta điều phải chứng minh: 23 Các tốn biến đổi lượng giác Trường THPT Quế Võ số 2π 4π 6π , , nghiệm phương trình sin x = sin 3x (*) 7 Đặt t = sin x ,và đưa phương trình(*) dạng 64t − 112t + 56t − = (**) Theo nhận xét phương trình(**) có nghiệm là: 2π 4π 6π t1 = sin , t = sin , t = sin 7 56 t t +t t +t t 1 + + = 2 3 = 64 = Do đó: 2π 4π 6π t1t t sin sin sin 7 64 d.Nhận thấy: 2π 4π 8π − 3 + cos + cos = 7 Bài Chứng minh rằng: Bài Tính giá trị biểu thức π 9π 9π 17π 17π π P = cos cos + cos cos + cos cos 12 12 12 12 12 12 2 a/Chứng minh tg 20 , tg 40 , tg 80 nghiệm phương trình Bài cos x − 33x + 27x − = b/Tính tổng sau: A = tg 200 + tg 400 + tg 800 1 + + c/Đặt M = Chứgn minh rằng: 2 cos 20° cos 60° cos 80° 36 + 2 2sin 26 A+C A−C B B cos = 4sin cos 2 2 Các tốn biến đổi lượng giác A−C B A−C A+C B ⇒ cos = 2sin ⇒ cos = cos + sin 2 2 A C B ⇒ 2sin sin = sin ⇒ = B A C 2 sin sin sin 2 B A+C 2cos sin B A A 2 ⇒ = ⇒ cot = cot + cot B A C 2 sin sin sin 2 Cách A S p( p − a) Trường THPT Quế Võ số A = cot Có r = ( p − a) tan = p ⇒ S a + c =2b => p – a + p – c = 2(p – b ) ⇒ p ( p − a ) p ( p − c ) p ( p − b) A C B + = ⇒ cot + cot = cot s s s 2 Bài 3: (CĐSP Vĩnh Phúc năm 2005) A Cho tam giác ABC thoả mãn điều kiện sin sin A B B C B = 2sin (*) 2 C = Chứng minh rằng: tan tan + tan tan Giải: C A+C A C A C = cos = 2cos cos − 2sin sin 2 2 2 A C A C A C ⇒ 3sin sin = 2cos cos ⇒ tan tan = 2 2 2 A B B C C A Mà với tam giác ta có: tan tan + tan tan + tan tan = 2 2 2 B C A B ⇒ tan tan + tan tan = − = 2 2 3 A Từ (*) ⇒ sin sin Bài sin Cho ∆ABC Chứng minh rằng: A sin B C cos cos 2 + C A cos cos 2 Hướng dẫn: 27 B sin + C A B cos cos 2 = Các tốn biến đổi lượng giác B+ C C+ A A+ B cos cos 2 + + = + + B C C A A B B C C A A B cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos 2 2 2 2 2 2 sin cos = A sin B Trường THPT Quế Võ số sin C cos B C B C C A C A A B A B cos - sin sin cos cos - sin sin cos cos - sin sin 2 2 + 2 2 + 2 2 B C C A A B cos cos cos cos cos cos 2 2 2 ỉ B C C A A Bư = 3- ç tg tg + tg tg + tg tg ÷ ÷ ç ÷ ç 2 2ø è 2 Mặt khác: B C + t g A B+ C 2 Þ tg B tg C + tg C tg A + tg A tg B = cot g = t g Þ = 2 A B C 2 2 2 tg - tg tg 2 A B C sin sin sin 2 + + = Vậy B C C A A B cos cos cos cos cos cos 2 2 2 tg Bài 5: (ĐH khối A 2004) Cho tam giác ABC khơng tù, thoả mãn điều kiện: cos2 A + 2 cos B + 2 cos C = Tính ba góc tam giác ABC Giải: Cách 1: M = cos2 A + 2 cos B + 2 cos C − B+C B −C = 2cos A − + 2.2cos cos −3 2 A B −C = 2cos A + sin cos −4 2 A B −C A ≤ nên M ≤ 2cos A + sin − Do sin > 0, cos 2 Mặt khác tam giác ABC khơng tù nên > cos A ≥ 0, cos A ≤ cos A A A A M ≤ 2cosA + sin − = 2(1 − 2sin ) + sin − 2 Suy A A A = −4sin + sin − = −2( sin − 1) ≤ 2 Vậy M ≤ 28 Các tốn biến đổi lượng giác  cos A = cos A  B−C   A = 90 ⇔ c os = ⇔ Theo giả thiết: M =    B = C = 45   A sin =  Trường THPT Quế Võ số Cách 2: Từ đề ta có cos2 A + 2(cosB+ cos C ) − = B+C B −C A B −C cos − = ⇔ sin A − 2 sin cos +1 = 2 2 A π Vì tam giác ABC khơng tù nên < ≤ A  sin > A A A ⇒ ⇒ sin A = 2sin cos ≥ sin 2 cos A ≥  2 A A B −C +1 Như vế trái (*) ≥ 2sin − 2 sin cos 2 A B −C B −C = ( sin − cos ) + sin ≥0 2 A B −C B−C =0 Vậy từ (*) ta có: sin = cos sin 2 B C A = Suy sin = Vậy A = 900 , B = C = 450 2 2 ⇔ − 2sin A + 2cos Cách (Ước lượng + phép tính đạo hàm) Đặt M = cos2 A + 2 cos B + 2 cos C − A B−C A A cos − ≤ 2(1 − 2sin ) + sin − 2 2 A A A = 8sin − 8sin + sin − 2 2 A = 8t − 8t + 2t − 2, t = sin ∈ (0; ] 2 Đặt f (t ) = 8t − 8t + 2t − 2, t ∈ (0; ] f '(t ) = 32t − 16t + M = 2cos A − + sin f ''(t ) = 96t − 16 f ''(t ) = ⇔ t = 16 = 96 Sự biến thiên f’(t) 29 (*) Các tốn biến đổi lượng giác t f''(t) Trường THPT Quế Võ số 6 - 2 + f'(t) f'( ) 6 16 )=− +4 >0 Vậy f '(t ) > 0, ∀t ∈ (0; ] 2 Suy f(t) đồng biến (0; ] 2 ⇒ f (t ) ≤ f ( ) = Vậy M ≤ B −C  cos =  A = 900 ⇔ Dấu đẳng thức xảy ⇔   B = C = 45 sin A =  2 Ta có m inf '(t ) = f '( Nhận xét: Cách phức tạp, rườm rà cách khơng sử dụng ước lượng cos A ≤ cos A A khơng tù ( tới hàm bậc t = sin Cách 4: (Ứng dụng tích vơ hướng véc tơ) Từ điểm O thuộc ∆ABC vẽ véc tơ ur uur ur đơn vị e1 , e2 , e3 theo thứ tự vng góc với cạnh BC, AC, AB hướng ngồi ∆ABC , ur uur ur e1 = e2 = e3 = ur uur ur Ta có ≤ (2e1 + e2 + e3 ) ur2 uur2 ur2 ur uur ur ur uur ur = 4e1 + 2e2 + 2e3 + e1.e2 + e1.e3 + 4e2 e3 A e3 e2 O B ( ) A ) ( ) u·r uur u·r uur Để ý e1 , e2 = π − C ⇒ cos e1 , e2 = − cos C 30 e1 Các tốn biến đổi lượng giác u·r ur cos e1 , e3 = − cos B Tương tự có Trường THPT Quế Võ số ( ) u·r uur cos ( e , e ) = − cos A Ta ≤ + + − cos C − cos B − cos A ⇔ cos A + 2 cos B + 2 cos C ≤ ⇔ cos A − + 2 cos B + 2 cos C ≤ ( 1) π nên cos A ≤ cos A Suy cos2 A = 2cos A − ≤ cos A − Bởi từ (1) kéo theo cos2 A + 2 cos B + 2 cos C ≤ cos A = cos A uur ur Dấu đẳng thức xảy ⇔  ur 2e1 + e2 + e3 = 0 cos A =  A = 90 ur ur ⇔  ⇔  uur ur ur  e2 = −(2e1 + e3 )  = + + e1.e3  A = 900  A = 900   A = 90 ⇔ ⇔ ⇔  B = C = 45 cos B = 2 = − cos B  Theo giả thiết < A ≤ Bài Bài Bài Bài Bài 10 Bài 11 Bài 12 Cho cos(x + y) = Tính tgx.tgy cos(x − y) Tính tg2x 3tg x − 8tgx − = Tính sin x + cos x biết sin2x = Cho sin2a + sin2b = 2sin2(a + b) Tính tga tgb Cho sin a − cos a = Tính sin2a a Cho (1 + a cos x)(1 − a cos y) = − a (a ≠ 0;1) x tg 2 = + a (x ≠ (2k + 1)π ; y ≠ k2π ) Chứng minh: y 1− a tg 2 4 sin α cos α b.Cho (a,b>0) + = a b a+b sin8 α co s8 α Chứngminh: + = a b ( a + b) Cho x = cos2a (0 ≤ a ≤ π ) Tính giá trị biểu thức: y= + x(1 − x) 2x − 31 Các tốn biến đổi lượng giác Trường THPT Quế Võ số sin a + sin b + sin c = tgb cosa + cosb + cos c Bài 14 Chứng minh ta có msin(a +b) = cos(a – b) với a − b ≠ kπ 1 + m ≠ ±1 A = khơng phụ thuộc a,b − m sin 2a − m sin 2b Bài 15 1− k (k ≠ −1) a Cho cos(α + β ) = k cos(α − β ) Chứng minh rằng: tgα tgβ = 1+ k 1− k (k ≠ − 1) b Cho cos(α + β ) = k cos(α ) Chứng minh rằng: tg(α + β ).tgβ = 1+ k a sin(x − α ) A cos(x − α ) aA + bB ; = = cos(α − β ) Bài 16 Cho = Chứng minh: b sin(x − β ) B cos(x − β ) aB + bA Bài 17 Cho tg a.tg 2b + tg 2b.tg c + tg c.tg a + 2.tg a.tg 2btg 2c = Bài 13 Bài 18 Bài 19 Bài 20 Bài 21 Bài 22 Bài 23 Bài 25 Bài 26 Bài 27 Chứng minh có a + c = 2b Chứng minh rằng: sin a + sin b + sin c = Chứng minh ta có: 1+ y + 1− y tg x = (−1 ≤ y ≤ 1; y ≠ 0) y = sin x 1+ y − 1− y Cho sinx + cosx = a Tính sin n x + cos n x theo a với n = 1, 2, , sin y n tgx + tgy = Tính A = Cho sin(2x + y) m tgx(1 − tgx.tgy) π Chứng minh a + b = + kπ (tga + 1)(tgb + 1) = Chứng minh tam giác ABC có a + c = 2b cosB ≥ ⇒ B ≤ 600 1 Chứng minh tam giác ABC có A = 120 ⇔ b + c = l a Chứng minh có tga = 2tgb sin(a + b) = 3sin(a - b) Tìm mối liên hệ a, b, c cho: a sin a + sin b − sin c = 2sin a sin bsin c b tg(a + b)sin c = cosc c sin(a − b) = sin a − sin b Cho tgα , tg β nghiệm phương trình: ax + bx + c = Tính theo a, b, c giá trị biểu thức: A = a.sin (α + β ) + b sin(α + β )cos(α + β ) + ccos (α + β ) 32 Các tốn biến đổi lượng giác Trường THPT Quế Võ số 2 r −1 + 2r cos B + r = + 2r cos A + r r2 −1 2 A B  r +1 tg = Chứng minh: tg ÷ 2  r −1 Bài 29 Cho ba số a, b, c đơi khác góc α , A, B,C thoả a b c = = mãn: tg(α + A) tg(α + B) tg(α + C) a+b b+c c+a sin (A − B) + sin (B − C) + sin (C − A) = Chứng minh: a−b b−c c−a Bài 30 Cho biết cosα + cosβ + cosγ = Chứng minh: cosα cosβ cosγ = (cos3α + cos3β + cos3γ ) 12 Bài 31 Cho a b hai góc nhọn π Chứng minh rằng: sin a + sin b = sin(a + b) ⇔ a + b = sin x sin 3x sin 5x a +c b−a = = = Bài 32 Cho Chứng minh: a b c b a Bài 33 Cho tg (a + b) = 3tga Chứng minh: sin(2a + 2b) + sin 2a = 2sin 2b Bài 34 Chứng minh : a+b b+c c+a sin a + sin b + sin c = sin(a + b + c) + 4sin( )sin( )sin( ) 2 Bài 35 Chứng minh rằng: tg(x − y) + tg(y − z) + tg(z − x) = tg(x − y).tg(y − z).tg(z − x) Bài 36 Cho biết tgα1 , tgα , tgα ba nghiệm phương trình x + ax + bx + c = tgβ1 , tgβ , tgβ ba nghiệm phương trình x + cx + bx + a = Chứng minh: tg(α1 + β1 ) + tg(α + β ) + tg(α + β3 ) = tg(α1 + β1 ).tg(α + β ).tg(α + β3 ) Bài 28 Cho MỘT SỐ BÀI TỐN KHÁC Như ta thấy phép biến đổi lượng giác thật linh hoạt, mềm dẻo Vì mà ta đưa số tốn Đại số dạng lượng giác để khai thác phép biến đổi đó, 33 Các tốn biến đổi lượng giác Trường THPT Quế Võ số tốn trở nên đơn giản Chẳng hạn kì thi tuyển sinh Đại học năm 2008 vừa qua đề thi khối B có áp dụng phương pháp này: Bài 1: (ĐH khối B 2008) Cho hai số thực x, y thay đổi thoả mãn hệ thức x + y = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = 2( x + xy ) + xy + y Giải: Từ giả thiết x + y = ta đặt x = sint, y = cost, t ∈ [0; 2π ] 2 2(sin t + 6sin t cos t ) − cos2t + 6sin 2t − cos2t + 6sin 2t = = + 2sin t cos t + 2cos t + sin 2t + + cos2t + sin 2t + cos2t ⇔ P (2 + sin 2t + cos2t ) = − cos2t + 6sin 2t ⇔ ( P − 6)sin 2t + ( P + 1)cos2t = − P (1) Để (1) có nghiệm ( P − 6)2 + ( P + 1) ≥ (1 − P) Khi P = ⇔ P − 12 P + 36 + P + P + ≥ − P + P ⇔ P + 3P − 18 ≤ ⇔ −6 ≤ P ≤ Vậy giá trị nhỏ P -6 giá trị lớn P Bài 2: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: a) y = 2sin8x + cos42x b) y = sin x − cos x Hướng dẫn: − cos2 x ) + cos x Đặt t = cos2x với −1 ≤ t ≤ 1 Khi y = (1 − t ) + t 1 ⇒ y ' = − (1 − t )3 + 4t , y ' = ⇔ (1 − t )3 = 8t ⇔ − t = 2t ⇔ t = 1 Ta có y (1) = 1; y (−1) = 3; y ( ) = 27 Do max y = 3; y = 27 x∈R x∈R s inx ≥ 0, cos x ≥ nên miền xác định b) Do điều kiện π D = [k 2π , + k 2π ], k ∈ Z Đặt t = cos x , ≤ t ≤ t = cos x = − sin x ⇒ s inx = − t a) Ta có y = 2( Vậy y = 1− t − t, ≤ t ≤ y'= −t (1 − t ) − < 0, ∀t ∈ [0;1) Nên y giảm (0; 1) 34 Các tốn biến đổi lượng giác Vậy max y = y (0) = 1, y = y (1) = −1 x∈D Trường THPT Quế Võ số x∈D Cách khác: y = sin x − cos x ≤ sin x ≤ Dấu “=” chẳng hạn x = π Suy maxy = y = sin x − cos x ≥ − cos x ≥ −1 Dấu “=” chẳng hạn x = Suy mixy = -1 Bài 3: Cho hàm số y = sin x + cos x − 2m sin x cos x Tìm m để y xác định với x, Hướng dẫn: Xét f ( x) = sin x + cos x − 2m sin x cos x = (sin x + cos x ) − m sin x − 2sin xcos x = − sin 2 x − m sin x Đặt t = sin2x với t ∈ [ − 1;1] Y xác định với x f ( x) ≥ 0, ∀∈ R ⇔ − t − mt ≥ 0, ∀t ∈ [ − 1;1] ⇔ g (t ) = t + 2mt − ≤ 0, ∀t ∈ [ − 1;1] ⇔ max g (t ) ≤ ⇔ max{g (−1); g (1)} ≤ t∈[ −1;1] ⇔ max{−2m − 1; − 2m + 1} ≤  m ≥ − 1 ⇔ ⇔− ≤m≤ 2 m ≤  35 ...Các tốn biến đổi lượng giác Trường THPT Quế Võ số Biến đổi lượng giác nội dung quan trọng q trình học tập lượng giác Thành thạo phép biến đổi lượng giác hành trang tốt tạo cho... TỐN KHÁC Như ta thấy phép biến đổi lượng giác thật linh hoạt, mềm dẻo Vì mà ta đưa số tốn Đại số dạng lượng giác để khai thác phép biến đổi đó, 33 Các tốn biến đổi lượng giác Trường THPT Quế Võ... thức hạ bậc để thực phép biến đổi dễ dàng • Ngun tắc chung để chứng minh tổng khơng phụ thuộc vào biến ta biến đổi hàm số lượng giác( để giá trị giản ước hết).Trong phép biến đổi ta tìm cách ghép