Lê Trinh Tường THPT Tr ưng Vương QNRÈN LUYỆN KỶ NĂNG BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC I- TÓM TẮC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC HỆ THỐNG CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC: I- GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC: 1.. Số đo góc và cu
Trang 1Lê Trinh Tường THPT Tr ưng Vương QN
RÈN LUYỆN KỶ NĂNG BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC
I- TÓM TẮC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
HỆ THỐNG CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC:
I- GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC:
1 Công thức quy đổi độ – Rađian: απ =180a ( a tính bằng độ, α tính bằng rad)
2 Số đo góc và cung lượng giác theo độ và radian.
sđ(ox, ot) = a0 + k3600 hoặc sđ(ox, ot) = α + k2π, k ∈ Z (với 00≤ a < 3600 , 00 ≤ α < 2π)
4
π
2
π 2
3 3 π
4 π 3π
2 2 π
Trang 2sđ AB = a + k360 hoặc sđ AB = α + k2π, k ∈ Z ( với 0 ≤ a < 360 , 0 ≤ α< 2π)
3 Công thức tính độ dài cung: l = α .R ( α tính bằng rad)
II.NHÓM CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1:
1 Hằng đẳng thức lượng giác:
sin2x + cos2x = 1 ⇔ = −
= −
sin x 1 cos x cos x 1 sin x ⇔ 1 22
1
= ± −
= ± −
sin cos cos sin
1+tan2x = 2
1 cos x ⇔ cos2x = + 2
1
1 tan x⇔ cosx = ± + 2
1
1 tan x
1+cot2x = 2
1 sin x⇔ sin2x = + 2
1
1 cot x⇔ sinx = ± + 2
1
1 cot x
tanx.cotx = 1 ⇔ tanx = sin x = 1
cos x cot x⇔ cotx = cos x = 1
sin x tan x
Chú ý: Trong các công thức có chứa dấu ( ± ) , việc chọn dấu (+) hoặc dấu (–) cần nhận xét giá trị của cung x trên đường tròn lượng giác.
2 Cung liên kết:
2– x π+ x π
2 + x
3 Chú ý:
∆ ABC sin(B + C) = sinA cos(B + C) = – cosA tan(B + C) = – tanA
+ =
sin cos
2 2 cosB C+ =sinA
2 2 tanB C+ =cotA
sin(x + k2 π ) = sinx cos(x + k2 π ) = cosx
tan(x + k π ) = tanx cot(x + k π ) = cotx
III NHÓM CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 2:
1.Công thức cộng:
cos(a ± b) = cosa.cosb m sina.sinb sin(a ± b) = sina.cosb ± sinb.cosa
tan(a ± b) = 1 tana.tanbtana tanbm ±
2.Công thức nhân:
cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1 = 1 – 2sin2a = −
+
2 2
1 tan a
1 tan a sin2a = 2sina.cosa = + 2
2 tana
1 tan a ; tan2a = − 2
2 tana
1 tan a
3.Công thức hạ bậc:
Trang 3Lê Trinh Tường THPT Tr ưng Vương QN
−
=
2 1 cos2a sin a
2 ; cos a2 = 1 cos2a+
+
2 1 cos2a tan a
1 cos2a
4.Công thức tính theo t : t tan = a
2
= + 2
2t sina
1 t
−
= +
2 2
1 t cos a
− 2
2t tana
1 t
5 Công thức biến đổi tích thành tổng:
2cosa.cosb = cos(a + b) + cos(a – b) 2sina.sinb = –[ cos(a + b) – cos(a – b) ]
2sina.cosb = sin(a + b) + sin(a – b)
6 Công thức biến đổi tổng thành tích:
+ − + = a b a b
cos a cosb 2 cos cos
2 2
+ −
− = − a b a b cos a cosb 2 sin sin
2 2 tana + tanb = a b
sin( ) cos cos +
+ − + = a b a b
sin a sinb 2 sin cos
2 2
+ −
− = a b a b sin a sinb 2 cos sin
2 2 tana – tanb = a b
sin( ) cos cos
−
Hệ quả: cosx + sinx = 2 sin( x) 2 cos( x)
π+ = π− cosx – sinx = 2 sin( x) 2 cos( x)
π− = π+
III HỆ THỨC LƯỢNG TRONG ∆ ABC:
1 Định lý hàm số sin và cos:
sinA = sinB = sinC =
2 2 2
a = b + c − 2bc.cos A
2 2 2
b = a + c − 2ac.cosB
2 2 2
c = a + b − 2ab.cosC
2 Chuyển cạnh sang góc:
a = 2RsinA b = 2RsinB c = 2RsinC
3 Chuyển góc sang cạnh: sinA a
2R
= cos A b2 c2 a2
2bc
+ −
=
4 Công thức diện tích: S= 1a.ha = 1b.hb = 1c.hc = 1bc sinA = 1ac sinB= 1ab sinC
S pr abc p(p a)(p b)(p c)
4R
= = = − − − , với p = a b c+ +
2 R: Bán kính đường tròn ngoại tiếp, r: Bán kính đường tròn nội tiếp ∆ABC
5 Công thức đường trung tuyến và phân giác trong các góc của ∆ ABC:
+
2
m
+
2
m
+
2
m
2 4 (m a , m b , m c− độ dài trung tuyến)
=
+
2ac B
2ab C
a b 2 (l a , l b , l c− độ dài phân giác)
VẤN ĐỀ 1 CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN VỀ BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC.
1 Tính giá trị lượng giác của cung sau.
1) sina = 3
5 với 0 < a < 2
π
2) tana = - 2 với < a < π
3) cosa =
5
1
với
-2
π
< a < 0 4) sina =
3
1
với a ∈ (
2
π
, π ) 5) tana = 2 với a∈ (π,
2
3 π
)
2 Chứng minh các đẳng thức sau:
1) sin2x + tan2x = 12
cos x - cos
2x 2) tan2x - sin2x = tan2xsin2x 3)
2 2
−
=
−
Trang 44)
−
2xcos2x 5)
2
2 2
1
cos
1 tan
x
x x
6) cosx + cos(2π/3 - x) + cos(2π/3 - x) = 0 7) sin(a + b)sin(a - b) = sin2a -sin2b = cos2b - cos2a 8)
−
3xsinx - sin3xcosx = 1
4sin4x 10) coscosx x−sinsinx x
1
sin 2 2sin sin 2 2sin
− + = -tan22
x
12) sin3xcos3x + sin3xcos3x = 3
4sin4x 13) sinx - sin2x +sin3x = 4cos
3 2
x
cosxsin
2
x
14) sinx +2sin3x + sin5x = 4sin3xcos2x 15)
2 2
cos
x
−
3 Rút gọn các biểu thức sau:
1) A = sin(x + 5
2
π
) - 3cos(x - 7
2
π
) + 2sin(x + π ) 2) B= sin cos( ) 5sin 11
2
C c= π α+ ÷+c π α− + π α− +c π α+
3 2
π
- a)
5) cos(π - a) - 2sin(3π/2 + a) + tan(3
2
π
- a ) + cot(2π - a)
4 Chứng minh rằng các biểu thức sau không phụ thuộc vào a.
1) A = cos4a + cos2asin2a +sin2a 2) B = cos4a - sin4a + 2sin2a
3) C = 2(sin6a + cos6a) - 3(sin4a + cos4a) 4) D = 1 cot
1 cot
a a
+
2 tana−1 5) E = sin 4a+4cos2a + cos4a+4sin2a 6) F = cos2a + sin(300 + a)sin(300- a)
7) G = sin6a + cos6a + 3sin2acos2a 8) H = sin46 cos46 1
9) m là mọt số cho trước, chứng minh rằng nếu: m.sin(a + b) = cos(a - b)
Trong đó a - b ≠kπ và m ≠ ±1 thì biểu thức:
A = 1
1−msin 2a +
1
1−msin 2b (m là hằng số không phụ thuộc vào a, b ).
5 Tính các biểu thức đại số.
1) Tính sin3a -cos3a biết sina -cosa = m
2) Biết sina + cosa = m hãy tính theo m giá trị của biểu thức: A =
1 cos 2
a
+
−
3) Biết cos( )
a b
a b
+
p
q Tính tana.tanb
4) Biết sina + sinb = 2sin(a + b) với (a + b) ≠k2π tính tan
2
a
.tan 2
b
Trang 5Lê Trinh Tường THPT Tr ưng Vương QN
5) Tính sin2x nếu: 5tan2x - 12tanx - 5 = 0 (
4
π
< x <
2
π
)
6 Không dùng máy tính hãy tính giá trị các biểu thức :
1) A = cos200cos400cos600cos800 2) B = cos
7
π
.cos4 7
π
.cos5 7
π
3) C = sin60.sin420.sin660.sin780 4) Tính: E = sin50.sin150sin250.sin350 sin850
5) Tính: F = sin
18
π
.sin3 18
π
.sin5 18
π
.sin7 18
π
sin9 18
π
6) A = sin370.cos530 + sin1270.cos3970 7) A = tan1100 + cot200 8) Tính sin150 và cos150
8) A = tan20o.tan40o.tan60o.tan80o b) B = 1
2sin10o - 2sin70o , M = cos
5
π
- cos2
5
π
c) C = sin416
π
+ sin4
3 16
π
+ sin4
5 16
π
+ sin4
7 16
π
d) D = tan2
12
π
+ tan2
3 12
π
+ tan2
5 12
π
e) E = tan9o - tan27o - tan63o + tan81o f) F = cos616
π
+ cos6
3 16
π
+ cos6
5 16
π
+cos6
7 16
π
g) G1 = sin18o.cos18o; G2 = sin36o.cos36o h) H = cos2
7
π
+ cos4
7
π
+ cos6
7
π
i) I = sin
5
π
+ sin23
5
π
+ sin 6
π
+ cos13
5
π
k) K = cos
5
π
+ cos2
5
π
+ cos3
5
π
+ cos4
5
π
9 Với a ≠ kπ (k ∈ Z) chứng minh:
a) cosa.cos2a.cos4a cos16a = sin 32
32.sin
a
na =
1 1
sin 2
2 sin
n n
a a
+ +
10 Tính: A = cos20o.cos40o.cos60o 11 Tính: A = sin6o.sin42o.sin66o.sin78o
12 Tính: A = cos
7
π
cos4 7
π
cos5 7
π
13 Tính: cos
65
π
cos2 65
π
cos4 65
π
cos8 65
π
cos16 65
π
cos32 65
π
14.Tính: sin
18
π
.sin3 18
π
.sin5 18
π
.sin7 18
π
sin9 18
π
15 Tính: cos
15
π
.cos2 15
π
.cos3 15
π
.cos4 15
π
cos7 15
π
16 Tính: sin5o sin15o sin25o sin85o 17 Tính: 96 3 sin
48
π
.cos 48
π
cos 24
π
cos 12
π
cos 6
π
18 Tính: 16.sin10o.sin30o.sin50o.sin70o 19 Tính: sin10o.sin20o.sin30o sin80o
20 Tính: cos9o cos27o cos45o cos63o cos81o cos99o cos117o cos135o cos153o cos171o
21 Tính: A = cos
5
π
+ cos2
5
π
B = cos
5
π
+ cos3
5
π
7 Chú ý các công thức sau:
1) 4sinx.sin(
3
π
- x)sin(
3
π
3
π
- x)cos(
3
π
+ x) = cos3x
3) tanx.tan(
3
π
- x)tan(
3
π
+ x) = tan3x 4) cosa.cos2a.cos4a cos2na =
1 1
sin 2
2 sin
n n
a a
+ +
5) Để tính S = cosa - cos(a + x) + cos(a +2x) + +(-1)n cos(a +nx)
Trang 6thì nhân 2 vế với 2cos
2
x
nếu cos
2
x ≠ 0
8.Các bài tập khác:
1 Chứng minh rằng :
a) cos15 sin15
+
sin 75 cos75 cos75 sin 75
−
1 3
2 Rút gọn các biểu thức sau:
a) A = sin3x.sin3x + cos3x.cos3x b) B = 1 cos
sin
x x
+
[1 +
2 2
(1 cos ) sin
x x
−
] c) C = cos3x.cos3x - sin3x.sin3x
3 Chứng minh rằng :
a) 4.cosx.cos(
3
π
- x).cos(
3
π
+ x) = cos3x b) 4.sinx.sin(
3
π
- x).sin(
3
π
+ x) = sin3x
c) tanx.tan(
3
π
- x).tan(
3
π
+ x) = tan3x Áp dụng tính:
A = sin20o.sin40o.sin80o B = cos10o.cos20o.cos30o cos80o C = tan20o.tan40o.tan60o.tan80o
4 Chứng minh rằng :
a) sin6x + cos6x = 58 +
3
8 cos2x b) tanx = 1 cos 2−sin 2x x
Áp dụng tính:
A = sin6(
24
π
) + cos6(
24
π
12
π
) + tan2(3
12
π
) + tan2(5
12
π
)
5 Chứng minh rằng:
a) sin4x = 3 1cos 2 1cos 4
8 2− x+8 x b) sin8x + cos8x = 35 7 cos 4 1 cos
Áp dụng tính A = sin8(
24
π
) + cos8(
24
π
) B = sin4(
16
π
) + sin4(3
16
π
) + sin4(5
16
π
) + sin4(7
16
π
)
6 Tính: cos(2
7
π
) + cos(4
7
π
) + cos(6
7
π
5
π
) + cos(2
5
π
) + cos(3
5
π
) + cos(4
5
π
)
7 Cho: sin2a + sin2b = 2sin2(a + b) Tính: tana.tanb 24 CMR:
sin 75 cos75 sin 75 cos75
−
1 3
VẤN ĐỀ 2 BÀI TOÁN LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC.
I CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
+ A + B + C = π + a b− < c < a + b + a2 = b2 + c2 - 2a.b.cosC
R
abc
R
S = p p a p b p c( − )( − )( − ) Trong đó: p =
2
a b c+ +
r: bán kính đường tròn nội tiếp ra: bán kính đường tròn bàng tiếp trong góc A
+ Đường trung tuyến :
Trang 7Lê Trinh Tường THPT Tr ưng Vương QN
ma2 =
b +c −a
mb =
a +c −b
mc2 =
b +a −c
+ Đường phân giác:
la = 2 cos 2
A bc
b = 2 cos 2
B ac
a = 2 cos2
C ab
a b+
+ Mở rộng định lí sin và cosin:
cotA =
4
b c a s
+ −
cotB =
4
a c b s
+ −
cotC =
4
a b c s
+ −
II-BÀI TẬP : CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC CƠ BẢN TRONG TAM GIÁC.
1 sinA + sinB + sinC = 4cos
2
A
.cos 2
B
.cos 2
C
2 sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA.sinB.sinC
3 sin3A+sin3B+sin3C = -4cos3
2
A
cos3 2
B
cos3 2
C
4 sin4A+sin4B+sin4C = -4sin2A.sin2B.sin2C
5 cosA + cosB + cosC = 1+ 4sin
2
A
.4sin 2
B
.4sin 2
C
6 cos2A+cos2B+cos2C = -1-4cosA.cosB.cosC
7 cos3A+cos3B+cos3C =1- 4sin3
2
A
sin3 2
B
sin3 2
C
8 tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC
9 cos4A+cos4B+cos4C = -1+ 4cos2Acos2Bcos2C 10 tan2A +tan2B + tan2C = tan2A.tan2B.tan2C
11 cotA.cotB + cotB.cotgC + cotC.cotA = 1 12 tan
2
A
tan 2
B
+ tan 2
B
tan 2
C
+ tan 2
C
tan 2
A
=1
13 cot
2
A
+cot 2
B
+ cot 2
C
= cot 2
A
cot 2
B
cot 2
C
14 cos2A + cos2B + cos2C = 1 - 2cosA.cosB.cosC
15 cos22A + cos22B + cos22C = 1 + 2cos2A.cos2B.cos2C 16 m + a2 2
b
m + 2
c
m = 3
4(a
2 + b2 + c2)
17 la = 2 cos 2
A bc
b c+
= 2
bc b c p p a .( − ) 18 r = p.tan
2
A
tan 2
B
tan 2
C
=
sin sin
cos 2
a
A .
p
2
A
cos 2
B
cos 2
C
III CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC.
1 Chứng minh rằng diện tích tam giác có thể tính theo các công thức sau:
S =
2 2
A B
−
1
4(a
2sin2B + b2sin2A) = p2.tan
2
A
tan 2
B
tan 2
C
= 2R2.sinA.sinB.sinC
2 Chứng minh các đẳng thức sau:
a) a.sin(B - C) + b.sin(C - A) + c.sin(A - B) = 0 b) (b - c)cot
2
A
+(c - a)cot
2
B
+ (a - b)cot
2
C
= 0 c) (b2 - c2)cotA +(c2 - a2)cotB+(a2 - b2)cotC = 0 d) 2p = (a + b)cosC + (a + c)cosB+(a + b)cosC e) sin
2
B C−
= b c
a
−
cos 2
A
f) cos
2
B C−
= b c
a
+
sin 2
A
g) b.cosB + c.cosC = a.cos(B - C)
Trang 8h) cosA + cosB = 2
a b c
+
sin2 2
C
i)
1
r =
1
a
h +
1
b
h +
1
c
h
3 Tam giác ABC có 2a = b + c chứng minh rằng:
2
B
tan 2
C
= 1
3.
4 Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC R, r là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp
của tam giác Chứng minh rằng:
a) r = 4R.cos
2
A
cos 2
B
cos 2
C
b) IA.IB.IC = 4Rr2 c) cosA + cosB + cosC = 1 + r
R
5 Các cạnh a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng Chứng minh rằng công sai của cấp số cộng
đó được xác định theo công thức sau: d = 3
2r(tan 2
C
- tan 2
A
)
6 Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN vuông góc CMR : b2 + c2 = 5a2
7 Chứng minh rằng: cos 2
a
A
l +
cos 2
b
B l
cos 2
c
C
l =
1
a +
1
b +
1
c .
8 Ch minh rằng các trung tuyến AA' và BB' vuông góc với nhau khi: cotC = 2(cotA + cotB).
9 Cho c
b =
b c
m
m ≠ 1 chứng minh rằng : 2cotA = cotB + cotC.
10 Cho tam giác ABC và AM là trung tuyến gọi α = AMB Chứng minh rằng:
a) cotα =
2 2 4
b c s
−
b) cotα = cotC - cotB c) cotα = 2sin( )
2sin sin
B c
−
11 Chứng minh rằng c
b là nghiệm của phương trình:
(1 + x2 -2xcosA)(b2 - bc) = a2(1 - x)
12 Tam giác có 3 cạnh lần lượt là: (x2 +2); (x2 - 2x +2);
(x2 + 2x + 2) Với giá trị nào của x (dương) thì tam giác đó tồn tại.
13 Cho ma = c Chứng minh rằng:
a) bcosC = 3cosB b) tanB = 3tanC c) sinA = 2sin(B - C)
14 Gọi H là trực tâm tam giác ABC H chia đường cao xuất phất từ A theo tỉ số k cho trước
CMR :a) tanB.tanC = 1 + k b) tanB + tanC = ktanA c) cos(B - C) = (1+2
k )cosA.
15 Cho tam giác ABC có các cạnh a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng
Chứng minh rằng : cot
2
A
cot 2
C
= 3
16 Tam giác ABC thỏa mãn điều kiện: tanA.tanB = 6; tan
tan
A
C =3 Chứng tỏ rằng: tanA, tanB, tanC
theo thứ tự đó lập 1 cấp số cộng
17 Tam giác ABC có cot
2
A
, cot 2
B
, cot 2
C
theo thứ tự lập một cấp số cộng CMR : a, b, c theo thứ
tự cũng lập một cấp số cộng
18 Tam giác ABC có: cotA, cotB, cotC hteo thứ tự lập một cấp số cộng Chứng minh rằng a2,
b2, c2 theo thứ tự đó cũng lập một cấp số cộng
19 Cho tam giác ABC thỏa mãn: 2tanA = tanB + tanC Chứng minh rằng :
Trang 9Lê Trinh Tường THPT Tr ưng Vương QN
IV – ĐỊNH DẠNG TAM GIÁC CÂN.
A Chứng minh rằng tam giác cân khi và chỉ khi:
1 atanA+btanB =(a+b)tan
2
A B+
2 2tanB + tanC = tan2B.tC 3 sin sin 1(tan tan )
+
4
2sin sin cot
C
=
6 sin cos3 sin cos3
p
4
−
9 a2sin2B +b2sin2A=c2cot
2
C
10 a.sin(B - C)+b.sin(C - A) = 0
11 sin cos3 sin cos3
A B = B A 12 a = 2b.cosC Chứng minh ∆ ABC cân tại A
B Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu :
1
2
2
C = C 2 (b2 + c2)sin(C-B) = (C2 - B2)sin(B- C)
3
2 2
2
1 cos 2
2 2 2
b c a
−
V NHẬN DẠNG TAM GIÁC VUÔNG.
A Chứng minh điều kiện cần và đủ để tam giác vuông là :
1 cos2a + cos2B + cos2C = -1 2 tan2A + tan2B + tan2C = 0
3 sinA + sinB + sinC = 1 + cosA + cosB + cosC
B Chứng minh tam giác vuông khi:
1
2
B
= a c
b
+
sin
a
A+ = c b ≠
−
sin
b c A
+ + = 5 cot2C = 1(cot cot )
B C
B
7 sin cos
tgA
B
=
2
a c a
9 cos
a
+
2
c a
−
= +
Trang 1011 cos(B - C) = 2bc2
2 1 sin 2
sin cos cos
+
14 1 + cot(450 - B) = 2
1 cot A− 15 sin4C + 2sin4A + 2sin4B = 2sin2C(sin2A + sin2B)
16 3(cosB + 2sinC) + 4(sinB + 2cosC) = 15 17 cos2A + cos2B + cos2C + 1 = 0
C Tam giác ABC có đặc điểm gì khi thỏa mãn các điều kiện sau.
3 sin5A + sin5B + sin5C + sin2A + sin2B = 4sinA.sinB
4 a3 = b3 + c3 5 c = Ccos2B + Bsin2B 6 (1+cotA)(1 + cotB) = 2
7 sin2A + sin2B =5sin2C 8 1 1 1
a
b c+ =l 9 sin2A + sin2B + sin2C ≤ 2
10 cos2A + cos2B + cos2C ≤ 1
11 Ch.minh nếu ∆ ABC có: sin
2
A
= sin 2
B
.sin 2
C
thì tan
2
B
tan 2
C
= 1
2 và ngược lại.
12 Chứng minh rằng nếu a = 2c thì a2 = bc + c2
13 Trong tam giác ABC có đường cao CB cắt đường cao AD tại trung điểm H của AD Chứng
minh rằng tanB.tanC = 2
14 Cho tam giác ABC vuông tại A cạnh huyền có độ dài bằng a.
Chứng minh rằng: sin
2
B
.sin 2
C
= lb 2 4
c l
a
Trang 11Lê Trinh Tường THPT Tr ưng Vương QN
15 Cho tam giác vuông ABC tại A Gọi α là góc giữa đường cao và đường trung tuyến ứng với
cạnh huyền Chứng minh rằng: tan
2
α
= tan
2
B C−
16 Cho tam giác ABC có trung tuyến AM = BA chứng minh rằng:
17 Cho A, B, C là 3 góc nhọn của một tam giác Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam
18 Cho tam giác ABC với 3 góc đều nhọn CMR: (sinA)2sinB + (sinB)2sinC + (sinC)2sinA > 2
Bất đẳng thức trên có đúng không nếu tam giác ABC vuông, vì sao?
VI BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC.
A CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN.
Hàm lồi lõm ( Không có trong chương trình HS dùng tham khảo)
+ Tính chất hàm lồi: ( )1 ( )2
f
, ∀x, y ∈ R
+ tính chất hàm lõm: ( )1 ( )2
f
, ∀x, y ∈ R
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1 sinA + sinB +sinC ≤ 3 3
2 2 1 < sin 2
A
+ sin 2
B
+ sin 2
C
≤ 3
2