Rèn luyện kĩ năng biến đổi lượng giác lớp 10

Lê Trinh Tường THPT Tr ưng Vương QN RÈN LUYỆN KỶ NĂNG BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC A- CÁC VẤN ĐỀ VỀ LÍ THUYẾT . I- TÓM TẮC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC HỆ THỐNG CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC: I- GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC: 1. Công thức quy đổi độ – Rađian: 180 a α π = ( a tính bằng độ, α tính bằng rad) 2. Số đo góc và cung lượng giác theo độ và radian. sđ(ox, ot) = a 0 + k360 0 hoặc sđ(ox, ot) = α + k2 π , k ∈ Z. (với 0 0 ≤ a < 360 0 , 0 0 ≤ α < 2π) Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác dùng cho HS khá giỏi 10NC 1 0 π 6 π 4 π 3 π 2 π2 3 π3 4 π π3 2 π2 sin 0 1 2 2 2 3 2 1 3 2 2 2 0 –1 0 cos 1 3 2 2 2 1 2 0 − 1 2 − 2 2 –1 0 1 tan 0 3 3 1 3 P − 3 –1 0 P 0 cot P 3 1 3 3 0 − 3 3 –1 P 0 P Lê Trinh Tường THPT Tr ưng Vương QN sđ AB = a 0 + k360 0 hoặc sđ AB = α + k2 π , k ∈ Z. ( với 0 0 ≤ a < 360 0 , 0 0 ≤ α < 2π) 3. Công thức tính độ dài cung: l = α .R ( α tính bằng rad) II.NHÓM CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1: 1. Hằng đẳng thức lượng giác:  sin 2 x + cos 2 x = 1⇔  = −  = −   2 2 2 2 sin x 1 cos x cos x 1 sin x ⇔ 2 2 1 1  = ± −   = ± −  x x x x sin cos cos sin  1+tan 2 x = 2 1 cos x ⇔ cos 2 x = + 2 1 1 tan x ⇔ cosx = ± + 2 1 1 tan x  1+cot 2 x = 2 1 sin x ⇔ sin 2 x = + 2 1 1 cot x ⇔ sinx = ± + 2 1 1 cot x  tanx.cotx = 1 ⇔ tanx = = sin x 1 cos x cot x ⇔ cotx = = cos x 1 sin x tan x  Chú ý: Trong các công thức có chứa dấu (±) , việc chọn dấu (+) hoặc dấu (–) cần nhận xét giá trị của cung x trên đường tròn lượng giác. 2. Cung liên kết: –x π – x π 2 – x π + x π 2 + x sin –sinx sinx cosx –sinx cosx cos cosx –cosx sinx –cosx –sinx tan –tanx –tanx cotx tanx –cotx cot –cotx –cotx tanx cotx –tanx 3. Chú ý: a + b = π ≡ 180 0 cosb = –cosa sinb = sina a + b = π 2 ≡ 90 0 cosb = sina sinb = cosa ∆ABC sin(B + C) = sinA cos(B + C) = – cosA tan(B + C) = – tanA + = B C A sin cos 2 2 + = B C A cos sin 2 2 + = B C A tan cot 2 2 sin(x + k2π) = sinx cos(x + k2π) = cosx tan(x + kπ) = tanx cot(x + kπ) = cotx III. NHÓM CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 2: 1.Công thức cộng: cos(a ± b) = cosa.cosb m sina.sinb sin(a ± b) = sina.cosb ± sinb.cosa tan(a ± b) = ± m tana tanb 1 tana. tanb 2.Công thức nhân: cos2a = cos 2 a – sin 2 a = 2cos 2 a – 1 = 1 – 2sin 2 a = − + 2 2 1 tan a 1 tan a sin2a = 2sina.cosa = + 2 2 tana 1 tan a ; tan2a = − 2 2 tana 1 tan a 3.Công thức hạ bậc: Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác dùng cho HS khá giỏi 10NC 2 Lê Trinh Tường THPT Tr ưng Vương QN − = 2 1 cos2a sin a 2 ; + = 2 1 cos2a cos a 2 ; − = + 2 1 cos2a tan a 1 cos2a 4.Công thức tính theo t : = a t tan 2 = + 2 2t sina 1 t − = + 2 2 1 t cos a 1 t = − 2 2t tana 1 t 5. Công thức biến đổi tích thành tổng: 2cosa.cosb = cos(a + b) + cos(a – b) 2sina.sinb = –[ cos(a + b) – cos(a – b) ] 2sina.cosb = sin(a + b) + sin(a – b) 6. Công thức biến đổi tổng thành tích: + − + = a b a b cosa cosb 2cos cos 2 2 + − − =− a b a b cosa cosb 2 sin sin 2 2 tana + tanb = a b a b sin( ) cos .cos + + − + = a b a b sina sinb 2 sin cos 2 2 + − − = a b a b sina sinb 2cos sin 2 2 tana – tanb = a b a b sin( ) cos .cos − Hệ quả: cosx + sinx = 2 sin( x) 2 cos( x) 4 4 π π + = − cosx – sinx = 2 sin( x) 2 cos( x) 4 4 π π − = + III. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG ∆ ABC: 1. Định lý hàm số sin và cos: a b c 2R sinA sinB sinC = = = 2 2 2 a b c 2bc.cos A= + − 2 2 2 b a c 2ac.cosB= + − 2 2 2 c a b 2ab.cosC= + − 2. Chuyển cạnh sang góc: a = 2RsinA b = 2RsinB c = 2RsinC 3. Chuyển góc sang cạnh: a sinA 2R = 2 2 2 b c a cos A 2bc + − = 4. Công thức diện tích: = = = = = = a b c 1 1 1 1 1 1 S a.h b.h c.h bc sin A a c sinB ab sinC 2 2 2 2 2 2 abc S pr p(p a)(p b)(p c) 4R = = = − − − , với + + = a b c p 2 R: Bán kính đường tròn ngoại tiếp, r: Bán kính đường tròn nội tiếp ∆ABC 5. Công thức đường trung tuyến và phân giác trong các góc của ∆ ABC: + = − 2 2 2 2 a b c a m 2 4 + = − 2 2 2 2 b a c b m 2 4 + = − 2 2 2 2 c a b c m 2 4 (m a , m b , m c − độ dài trung tuyến) = + a 2bc A l cos b c 2 = + b 2ac B l cos a c 2 = + c 2ab C l cos a b 2 (l a , l b , l c − độ dài phân giác) B. BÀI TẬP . VẤN ĐỀ 1. CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN VỀ BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC. 1. Tính giá trị lượng giác của cung sau. 1) sina = 3 5 với 0 < a < 2 π 2) tana = - 2 với < a < π 3) cosa = 5 1 với - 2 π < a < 0 4) sina = 3 1 với a ∈ ( 2 π , π ) 5) tana = 2 với a∈ (π, 2 3π ) 2. Chứng minh các đẳng thức sau: 1) sin 2 x + tan 2 x = 2 1 cos x - cos 2 x 2) tan 2 x - sin 2 x = tan 2 xsin 2 x 3) 2 2 tan3 3 tan tan 1 3tan x x x x − = − Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác dùng cho HS khá giỏi 10NC 3 Lê Trinh Tường THPT Tr ưng Vương QN 4) 2 2 2 2 cos sin cot tan x x x x − − = sin 2 xcos 2 x 5) 2 2 2 1 (1 cot )( 1) cos 1 tan x x x + − + = 1 6) cosx + cos(2π/3 - x) + cos(2π/3 - x) = 0 7) sin(a + b)sin(a - b) = sin 2 a -sin 2 b = cos 2 b - cos 2 a 8) 2 2 2 2 tan tan 1 tan tan a b a b − − = tan(a +b)tan(a - b) 9) cos 3 xsinx - sin 3 xcosx = 1 4 sin4x 10) cos sin cos sin x x x x − + = 1 cos2x - tan2x 11) sin 2 2sin sin 2 2sin x x x x − + = -tan 2 2 x 12) sin3xcos 3 x + sin 3 xcos3x = 3 4 sin4x 13) sinx - sin2x +sin3x = 4cos 3 2 x cosxsin 2 x 14) sinx +2sin3x + sin5x = 4sin3xcos 2 x 15) 4 4 2 2 2 sin cos cos cos 2(1 cos ) 2 x x x x x − + = − 3. Rút gọn các biểu thức sau: 1) A = sin(x + 5 2 π ) - 3cos(x - 7 2 π ) + 2sin(x + π ) 2) B= ( ) 11 sin cos 5sin 2 2 x x x π π π     − + − − +  ÷  ÷     3) ( ) ( ) ( ) os os 2 sin os 2 C c c c π α π α π α π α   = + + − + − + +  ÷   4) D= 2cosa-3cos(π+a)-5sin(π/2-a)+cot( 3 2 π - a) 5) cos(π - a) - 2sin(3π/2 + a) + tan( 3 2 π - a ) + cot(2π - a) 4. Chứng minh rằng các biểu thức sau không phụ thuộc vào a. 1) A = cos 4 a + cos 2 asin 2 a +sin 2 a 2) B = cos4a - sin4a + 2sin 2 a 3) C = 2(sin 6 a + cos 6 a) - 3(sin 4 a + cos 4 a) 4) D = 1 cot 1 cot a a + − - 2 tan 1a − 5) E = 2 sin 4 4cosa a+ + 4 2 cos 4sina a+ 6) F = cos 2 a + sin(30 0 + a)sin(30 0 - a) 7) G = sin 6 a + cos 6 a + 3sin 2 acos 2 a 8) H = 4 4 6 6 sin cos 1 sin cos 1 a a a a + − + − 9) m là mọt số cho trước, chứng minh rằng nếu: m.sin(a + b) = cos(a - b) Trong đó a - b ≠ kπ và m ≠ ± 1 thì biểu thức: A = 1 1 sin 2m a− + 1 1 sin 2m b− (m là hằng số không phụ thuộc vào a, b ). 5. Tính các biểu thức đại số. 1) Tính sin 3 a -cos 3 a biết sina -cosa = m 2) Biết sina + cosa = m hãy tính theo m giá trị của biểu thức: A = 1 cos2 cot tan 2 2 a a a + − 3) Biết cos( ) cos( ) a b a b + − = p q . Tính tana.tanb 4) Biết sina + sinb = 2sin(a + b) với (a + b) ≠ k2π tính tan 2 a .tan 2 b Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác dùng cho HS khá giỏi 10NC 4 Lê Trinh Tường THPT Tr ưng Vương QN 5) Tính sin2x nếu: 5tan 2 x - 12tanx - 5 = 0 ( 4 π < x < 2 π ) 6. Không dùng máy tính hãy tính giá trị các biểu thức : 1) A = cos20 0 cos40 0 cos60 0 cos80 0 2) B = cos 7 π .cos 4 7 π .cos 5 7 π 3) C = sin6 0 .sin42 0 .sin66 0 .sin78 0 4) Tính: E = sin5 0 .sin15 0 sin25 0 .sin35 0 . sin85 0 5) Tính: F = sin 18 π .sin 3 18 π .sin 5 18 π .sin 7 18 π . sin 9 18 π 6) A = sin37 0 .cos53 0 + sin127 0 .cos397 0 7) A = tan110 0 + cot20 0 8) Tính sin15 0 và cos15 0 8) A = tan20 o .tan40 o .tan60 o .tan80 o b) B = 1 2sin10 o - 2sin70 o , M = cos 5 π - cos 2 5 π c) C = sin 4 16 π + sin 4 3 16 π + sin 4 5 16 π + sin 4 7 16 π d) D = tan 2 12 π + tan 2 3 12 π + tan 2 5 12 π e) E = tan9 o - tan27 o - tan63 o + tan81 o . f) F = cos 6 16 π + cos 6 3 16 π + cos 6 5 16 π + cos 6 7 16 π g) G 1 = sin18 o .cos18 o ; G 2 = sin36 o .cos36 o h) H = cos 2 7 π + cos 4 7 π + cos 6 7 π i) I = sin 5 π + sin 23 5 π + sin 6 π + cos 13 5 π k) K = cos 5 π + cos 2 5 π + cos 3 5 π + cos 4 5 π 9. Với a ≠ kπ (k ∈ Z) chứng minh: a) cosa.cos2a.cos4a cos16a = sin32 32.sin a a b) cosa.cos2a.cos4a cos2 n a = 1 1 sin 2 2 sin n n a a + + 10. Tính: A = cos20 o .cos40 o .cos60 o . 11. Tính: A = sin6 o .sin42 o .sin66 o .sin78 o . 12. Tính: A = cos 7 π . cos 4 7 π . cos 5 7 π . 13. Tính: cos 65 π . cos 2 65 π . cos 4 65 π . cos 8 65 π . cos 16 65 π . cos 32 65 π . 14.Tính: sin 18 π .sin 3 18 π .sin 5 18 π .sin 7 18 π . sin 9 18 π . 15. Tính: cos 15 π .cos 2 15 π .cos 3 15 π .cos 4 15 π cos 7 15 π . 16. Tính: sin5 o . sin15 o .sin25 o sin85 o . 17. Tính: 96 3 .sin 48 π .cos 48 π . cos 24 π . cos 12 π . cos 6 π . 18. Tính: 16.sin10 o .sin30 o .sin50 o .sin70 o . 19. Tính: sin10 o .sin20 o .sin30 o sin80 o . 20. Tính: cos9 o . cos27 o . cos45 o . cos63 o . cos81 o . cos99 o . cos117 o . cos135 o . cos153 o . cos171 o . 21. Tính: A = cos 5 π + cos 2 5 π B = cos 5 π + cos 3 5 π 7. Chú ý các công thức sau: 1) 4sinx.sin( 3 π - x)sin( 3 π + x) = sin3x 2) 4cosx.cos( 3 π - x)cos( 3 π + x) = cos3x 3) tanx.tan( 3 π - x)tan( 3 π + x) = tan3x 4) cosa.cos2a.cos4a cos2na = 1 1 sin 2 . 2 sin n n a a + + 5) Để tính S = cosa - cos(a + x) + cos(a +2x) + +(-1) n . cos(a +nx). Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác dùng cho HS khá giỏi 10NC 5 Lê Trinh Tường THPT Tr ưng Vương QN thì nhân 2 vế với 2cos 2 x nếu cos 2 x ≠ 0. 8.Các bài tập khác: 1. Chứng minh rằng : a) cos15 sin15 cos15 sin15 o o o o + − = 3 b) sin 75 cos75 cos75 sin75 o o o o − + = 1 3 2. Rút gọn các biểu thức sau: a) A = sin3x.sin 3 x + cos3x.cos 3 x b) B = 1 cos sin x x + [1 + 2 2 (1 cos ) sin x x − ] c) C = cos3x.cos 3 x - sin3x.sin 3 x 3. Chứng minh rằng : a) 4.cosx.cos( 3 π - x).cos( 3 π + x) = cos3x. b) 4.sinx.sin( 3 π - x).sin( 3 π + x) = sin3x. c) tanx.tan( 3 π - x).tan( 3 π + x) = tan3x. Áp dụng tính: A = sin20 o .sin40 o .sin80 o . B = cos10 o .cos20 o .cos30 o cos80 o . C = tan20 o .tan40 o .tan60 o .tan80 o . 4. Chứng minh rằng : a) sin 6 x + cos 6 x = 5 8 + 3 8 cos2x b) tanx = 1 cos2 sin 2 x x − Áp dụng tính: A = sin 6 ( 24 π ) + cos 6 ( 24 π ) B = tan 2 ( 12 π ) + tan 2 (3. 12 π ) + tan 2 (5. 12 π ) 5. Chứng minh rằng: a) sin 4 x = 3 1 1 cos2 cos4 8 2 8 x x− + b) sin 8 x + cos 8 x = 35 7 1 cos4 cos 64 16 16 x x+ + Áp dụng tính A = sin 8 ( 24 π ) + cos 8 ( 24 π ) B = sin 4 ( 16 π ) + sin 4 (3. 16 π ) + sin 4 (5. 16 π ) + sin 4 (7. 16 π ) 6. Tính: cos( 2 7 π ) + cos( 4 7 π ) + cos( 6 7 π ) 22. Tính cos( 5 π ) + cos( 2 5 π ) + cos( 3 5 π ) + cos( 4 5 π ) 7. Cho: sin2a + sin2b = 2sin2(a + b). Tính: tana.tanb. 24. CMR: 0 0 0 0 sin 75 cos75 sin 75 cos75 − + = 1 3 VẤN ĐỀ 2. BÀI TOÁN LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC. I. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN. + A + B + C = π + a b− < c < a + b + a 2 = b 2 + c 2 - 2a.b.cosC + 2 sin sin sin a b c R A B C = = = + S = 1 1 . .sin ( ) . 2 2 4 a a abc a h ab C pr p a r R = = = = − S = ( )( )( )p p a p b p c− − − Trong đó: p = 2 a b c+ + r: bán kính đường tròn nội tiếp r a : bán kính đường tròn bàng tiếp trong góc A. + Đường trung tuyến : Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác dùng cho HS khá giỏi 10NC 6 Lê Trinh Tường THPT Tr ưng Vương QN m a 2 = 2 2 2 2 4 b c a+ − m b 2 = 2 2 2 2 4 a c b+ − m c 2 = 2 2 2 2 4 b a c+ − + Đường phân giác: l a = 2 .cos 2 A bc b c+ l b = 2 .cos 2 B ac a c+ l a = 2 .cos 2 C ab a b+ + Mở rộng định lí sin và cosin: cotA = 2 2 2 4 b c a s + − cotB = 2 2 2 4 a c b s + − cotC = 2 2 2 4 a b c s + − II-BÀI TẬP : CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC CƠ BẢN TRONG TAM GIÁC. 1. sinA + sinB + sinC = 4cos 2 A .cos 2 B .cos 2 C . 2. sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA.sinB.sinC. 3. sin3A+sin3B+sin3C = -4cos 3 2 A cos 3 2 B cos 3 2 C . 4. sin4A+sin4B+sin4C = -4sin2A.sin2B.sin2C. 5. cosA + cosB + cosC = 1+ 4sin 2 A .4sin 2 B .4sin 2 C . 6. cos2A+cos2B+cos2C = -1-4cosA.cosB.cosC. 7. cos3A+cos3B+cos3C =1- 4sin 3 2 A sin 3 2 B sin 3 2 C . 8. tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC. 9. cos4A+cos4B+cos4C = -1+ 4cos2Acos2Bcos2C. 10. tan2A +tan2B + tan2C = tan2A.tan2B.tan2C. 11. cotA.cotB + cotB.cotgC + cotC.cotA = 1 12. tan 2 A tan 2 B + tan 2 B tan 2 C + tan 2 C tan 2 A =1 13. cot 2 A +cot 2 B + cot 2 C = cot 2 A cot 2 B cot 2 C . 14. cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C = 1 - 2cosA.cosB.cosC. 15. cos 2 2A + cos 2 2B + cos 2 2C = 1 + 2cos2A.cos2B.cos2C. 16. 2 a m + 2 b m + 2 c m = 3 4 (a 2 + b 2 + c 2 ). 17. la = 2 .cos 2 A bc b c+ = 2 bc . . .( )b c p p a− . 18. r = p.tan 2 A tan 2 B tan 2 C = sin sin 2 2 cos 2 B C a A . 19. R = C 4.cos .cos .cos 2 2 2 p A B . 20. r = 4R.cos 2 A . cos 2 B . cos 2 C . III. CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC. 1. Chứng minh rằng diện tích tam giác có thể tính theo các công thức sau: S = 2 2 ( ).sin .sin 2.sin( ) a b A B A B − − = 1 4 (a 2 sin2B + b 2 sin2A) = p 2 .tan 2 A tan 2 B tan 2 C = 2R 2 .sinA.sinB.sinC. 2. Chứng minh các đẳng thức sau: a) a.sin(B - C) + b.sin(C - A) + c.sin(A - B) = 0 b) (b - c)cot 2 A +(c - a)cot 2 B + (a - b)cot 2 C = 0. c) (b 2 - c 2 )cotA +(c 2 - a 2 )cotB+(a 2 - b 2 )cotC = 0. d) 2p = (a + b)cosC + (a + c)cosB+(a + b)cosC. e) sin 2 B C− = b c a − cos 2 A . f) cos 2 B C − = b c a + sin 2 A . g) b.cosB + c.cosC = a.cos(B - C). Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác dùng cho HS khá giỏi 10NC 7 Lê Trinh Tường THPT Tr ưng Vương QN h) cosA + cosB = 2 a b c + sin 2 2 C . i) 1 r = 1 a h + 1 b h + 1 c h . 3. Tam giác ABC có 2a = b + c chứng minh rằng: a) 2sinA = sinB + sinC. b) tan 2 B . tan 2 C = 1 3 . 4. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. R, r là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp của tam giác. Chứng minh rằng: a) r = 4R.cos 2 A . cos 2 B . cos 2 C . b) IA.IB.IC = 4Rr 2 . c) cosA + cosB + cosC = 1 + r R 5. Các cạnh a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng minh rằng công sai của cấp số cộng đó được xác định theo công thức sau: d = 3 2 r(tan 2 C - tan 2 A ) 6. Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN vuông góc. CMR : b 2 + c 2 = 5a 2 . 7. Chứng minh rằng: cos 2 a A l + cos 2 b B l cos 2 c C l = 1 a + 1 b + 1 c . 8. Ch. minh rằng các trung tuyến AA' và BB' vuông góc với nhau khi: cotC = 2(cotA + cotB). 9. Cho c b = b c m m ≠ 1 chứng minh rằng : 2cotA = cotB + cotC. 10. Cho tam giác ABC và AM là trung tuyến. gọi α = AMB . Chứng minh rằng: a) cotα = 2 2 4 b c s − . b) cotα = cotC - cotB. c) cotα = 2sin( ) 2sin sin B c B C − 11. Chứng minh rằng c b là nghiệm của phương trình: (1 + x 2 -2xcosA)(b 2 - bc) = a 2 (1 - x). 12. Tam giác có 3 cạnh lần lượt là: (x2 +2); (x 2 - 2x +2); (x 2 + 2x + 2). Với giá trị nào của x (dương) thì tam giác đó tồn tại. 13. Cho m a = c. Chứng minh rằng: a) bcosC = 3cosB. b) tanB = 3tanC. c) sinA = 2sin(B - C). 14. Gọi H là trực tâm tam giác ABC. H chia đường cao xuất phất từ A theo tỉ số k cho trước. CMR :a) tanB.tanC = 1 + k. b) tanB + tanC = ktanA c) cos(B - C) = (1+ 2 k )cosA. 15. Cho tam giác ABC có các cạnh a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng minh rằng : cot 2 A cot 2 C = 3. 16. Tam giác ABC thỏa mãn điều kiện: tanA.tanB = 6; tan tan A C =3. Chứng tỏ rằng: tanA, tanB, tanC theo thứ tự đó lập 1 cấp số cộng. 17. Tam giác ABC có cot 2 A , cot 2 B , cot 2 C theo thứ tự lập một cấp số cộng. CMR : a, b, c theo thứ tự cũng lập một cấp số cộng. 18. Tam giác ABC có: cotA, cotB, cotC hteo thứ tự lập một cấp số cộng. Chứng minh rằng a 2 , b 2 , c 2 theo thứ tự đó cũng lập một cấp số cộng. 19. Cho tam giác ABC thỏa mãn: 2tanA = tanB + tanC. Chứng minh rằng : a) tanB.tanC = 3. b) cos(B- C) = 2cosA. Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác dùng cho HS khá giỏi 10NC 8 Lê Trinh Tường THPT Tr ưng Vương QN IV – ĐỊNH DẠNG TAM GIÁC CÂN. A. Chứng minh rằng tam giác cân khi và chỉ khi: 1. atanA+btanB =(a+b)tan 2 A B+ 2. 2tanB + tanC = tan 2 B.tC. 3. sin sin 1 (tan tan ) cos cos 2 A B A B A B + = + + 4. 2 2 2 2 2 2 cos cos 1 (cot cot ) sin sin 2 A B A B A B + = + + 5. 2sin .sin cot 2 sin C A B C = 6. sin 3 3 .cos sin .cos 2 2 2 2 A B B A = 7. (p - b)cot .tan 2 2 C B p= 8. 2 2 1 cos 2 sin 4 B a c B a c + + = − 9. a 2 sin2B +b 2 sin2A=c 2 cot 2 C 10. a.sin(B - C)+b.sin(C - A) = 0 11. sin 3 3 .cos sin .cos 2 2 2 2 A B B A = 12. a = 2b.cosC. Chứng minh ∆ ABC cân tại A. B. Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu : 1. 2 2 sin tan sin tan B B C C = 2. (b 2 + c 2 )sin(C-B) = (C 2 - B 2 )sin(B- C) 3. 2 2 ( ) 1 cos( ) 2. 1 cos2 b c B C b B − − − = − 4. sin(B - C)= 2 2 2 b c a − V. NHẬN DẠNG TAM GIÁC VUÔNG. A. Chứng minh điều kiện cần và đủ để tam giác vuông là: 1. cos2a + cos2B + cos2C = -1 2. tan2A + tan2B + tan2C = 0 3. sinA + sinB + sinC = 1 + cosA + cosB + cosC B. Chứng minh tam giác vuông khi: 1. cos cos sin .sin b c a B C B C + = 2. cot 2 B = a c b + 3. 1 cot ( ) sin a A c b A c b + = ≠ − 4. 1 cot sin b c A A a + + = 5. cot2C = 1 (cot cot ) 2 C B− 6. cos( ) tan sin sin( ) B C B A C B − = + − 7. sin cos sin cos A B tgA B A + = + 8. sin 2 B = 2 a c a − 9. cos 2 2 B c a a + = 10. tan 2 B c a c a − = + Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác dùng cho HS khá giỏi 10NC 9 Lê Trinh Tường THPT Tr ưng Vương QN 11. cos(B - C) = 2 2bc a 12. S = 2 1 sin 2 4 a B 13. sin sin sin .cos .cos 1 1 cos cos B C A B C B C + = + 14. 1 + cot(45 0 - B) = 2 1 cot A− 15. sin 4 C + 2sin 4 A + 2sin 4 B = 2sin 2 C(sin 2 A + sin 2 B) 16. 3(cosB + 2sinC) + 4(sinB + 2cosC) = 15 17. cos2A + cos2B + cos2C + 1 = 0 C. Tam giác ABC có đặc điểm gì khi thỏa mãn các điều kiện sau. 1. sin3A + sin3B + sin3C = 0 2. sin4A + sin4B + sin4C = 0 3. sin5A + sin5B + sin5C + sin2A + sin2B = 4sinA.sinB 4. a 3 = b 3 + c 3 5. c = Ccos2B + Bsin2B 6. (1+cotA)(1 + cotB) = 2 7. sin 2 A + sin 2 B =5sin 2 C 8. 1 1 1 a b c l + = 9. sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C ≤ 2 10. cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C ≤ 1 11. Ch.minh nếu ∆ ABC có: sin 2 A = sin 2 B .sin 2 C thì tan 2 B . tan 2 C = 1 2 và ngược lại. 12. Chứng minh rằng nếu a = 2c thì a 2 = bc + c 2 13 Trong tam giác ABC có đường cao CB cắt đường cao AD tại trung điểm H của AD. Chứng minh rằng tanB.tanC = 2. 14. Cho tam giác ABC vuông tại A cạnh huyền có độ dài bằng a. Chứng minh rằng: sin 2 B .sin 2 C = l b . 2 4 c l a Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác dùng cho HS khá giỏi 10NC 10 [...]... = 17 4 Hỏi tam giác ABC là tam giác gì? Chứng minh 22 Các góc của tam giác ABC thỏa mãn: cotA + cotB + cotC = tan A B C + tan + tan 2 2 2 Chứng minh tam giác ABC đều 23 CMR,tam giác ABC có 3 góc thỏa mãn điều kiện: sinA+ inB+sinC =sin2A+sin2B+sin2C thì tam giác ABC là tam giác đều 25 Tam giác nhọn ABC có các góc thỏa mãn: Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác dùng cho HS khá giỏi 10NC 14 THPT Trưng... phương trình: 1 (4cos x − 1)(7sin 2 x − sin 2 x − 6) = 0 2 Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác dùng cho HS khá giỏi 10NC 15 Lê Trinh Tường Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác THPT Trưng Vương QN dùng cho HS khá giỏi 10NC 16 ... = tanA + tanB + tanC 2 2 2 18 Cho tam giác ABC có các góc thỏa mãn: cot A B C + cot cot = 9 Chứng minh ∆ ABC là 2 2 2 tam giác đều 19 Cho tam giác ABC thỏa mãn: a.cos A + b.cos B + c.cos C 1 = a+b+c 2 (A, B, C là các góc của tam giác a = BC, b = CA, c = AB) Chứng minh tamgiác ABC là tam giác đều 20 Chứng minh để tam giác đều, điều kiện cần và đủ là: 21 Cho tam giác ABC thỏa mãn: 2cosA.sinB.sinC + p... bất đẳng thức sau: 1 sinA + sinB +sinC ≤ 3 3 2 Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác 2 1 < sin A B C 3 + sin + sin ≤ 2 2 2 2 dùng cho HS khá giỏi 10NC 11 THPT Trưng Vương QN Lê Trinh Tường 3 1 < cosA + cosB + cosC ≤ 3 2 4 Sin2A + Sin2B + Sin2C ≥ A B C 9 2 2 2 2 2 2 5 2 < cos + cos + cos ≤ 4 7 sin A B C 1 sin sin ≤ 2 2 2 8 9 cosA.cosB.cosC ≤ 10 cos 11 1 + cosA.cosB.cosC ≥ 1 13 1 1 14 12 1 1 1 + +... C sin A sin B sin C Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều 2 2 2 26 CMR, nếu ∆ ABC thỏa mãn điều kiện: sin2A + sin2B + sin2C thì tam giác ABC đều 27 Cho tam giác ABC có các góc A, B, C thỏa mãn: 1 2 + 1 2 + 1 2 sin 2 A sin 2 B sin 2C = 1 2.cos A.cos B.cos C Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều 28 Tính các góc của tam giác ABC nếu các góc A, B, C của tam giác đó thỏa mãn hệ thức: cos2A + 3... sinA + sinB + sinC = sin2A + sin2B + sin2C 10 cosA + cosB + cos2C + cos2A + cos2b + cos2C = 0 11 cot2A + cot2B + cot2C = 1 sin A + sin B ≥ 2sin C cos A + cos B ≥ 2cos C 12 a cos A + b cos B + c.cos C 1 = a+b+c 2 14 cos A + cos B + cos C = 3.cotA.cotB.cotC, với ∆ABC nhọn sin A + sin B + sin C Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác 13  dùng cho HS khá giỏi 10NC 13 THPT Trưng Vương QN Lê Trinh Tường... ≤ ab + bc + ca ≤ 9R2 25 ha + hb + hc ≥ 9r ( A B C 17 tan2 2 + tan2 2 + tan2 2 ≥ 1 1 1 1 1 = + + ) ha hb hc r Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác 9 1 + (cos3A + cos3B + cos3C) 4 4 24 (a + b + c)(ha + hb + hc) ≥ 18S 26 (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b) ≤ abc dùng cho HS khá giỏi 10NC 12 THPT Trưng Vương QN Lê Trinh Tường 27 a (b+c-a)+ b (a+c-b)+c (a+b- c) ≤ 3abc 28 a(b +c -a )+b(a +c -b )+c2(a2+b2-c2)... cos2C) + 5 =0 2 29 Cho tam giác ABC thỏa : sin(A + B).cos(A - B) = 2sinA.sinB CMR, ∆ ABC vuông 30 Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn bán kính bằng 1 Gọi ma, mb, mc lần lượt là độ dài các đường trung tuyến kẻ từ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều khi và chỉ khi: sin A sin B sin C + + = 3 ma mb mc 31 CMR, không tồn tại tam giác mà cả 3 góc trong của...THPT Trưng Vương QN Lê Trinh Tường 15 Cho tam giác vuông ABC tại A Gọi α là góc giữa đường cao và đường trung tuyến ứng với cạnh huyền Chứng minh rằng: tan α B −C = tan 2 2 16 Cho tam giác ABC có trung tuyến AM = BA chứng minh rằng: a) tgB = 3tgC b) sin A = 2sin(B - C) 17 Cho A, B, C là 3 góc nhọn của một tam giác Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác ABC đều là có hệ thức 1 1 1 + + − (cot... kiện cần và đủ để tam giác ABC đều là có hệ thức 1 1 1 + + − (cot A + cot B + cot C ) = 3 sin a sin B sin C 18 Cho tam giác ABC với 3 góc đều nhọn CMR: (sinA)2sinB + (sinB)2sinC + (sinC)2sinA > 2 Bất đẳng thức trên có đúng không nếu tam giác ABC vuông, vì sao? VI BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC A CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN Hàm lồi lõm ( Không có trong chương trình HS dùng tham khảo) + Tính chất hàm lồi: + tính . 4sin 2 A .4sin 2 B .4sin 2 C . 6. cos2A+cos2B+cos2C = -1-4cosA.cosB.cosC. 7. cos3A+cos3B+cos3C =1- 4sin 3 2 A sin 3 2 B sin 3 2 C . 8. tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC. 9. cos4A+cos4B+cos4C = -1+ 4cos2Acos2Bcos2C. 10. . sin2B + sin2C. 10. cosA + cosB + cos2C + cos2A + cos2b + cos2C = 0 11. cot 2 A + cot 2 B + cot 2 C = 1 12. cos cos .cosa A b B c C a b c + + + + = 1 2 13. sin sin 2sin cos cos 2cos A B C A B. tan2A.tan2B.tan2C. 11. cotA.cotB + cotB.cotgC + cotC.cotA = 1 12. tan 2 A tan 2 B + tan 2 B tan 2 C + tan 2 C tan 2 A =1 13. cot 2 A +cot 2 B + cot 2 C = cot 2 A cot 2 B cot 2 C . 14. cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C