PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Tài liệu ôn tập thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán – Đại số HÀM SỐ y=ax 2 (a ≠ 0) A/ LÝ THUYẾT CƠ BẢN: I/ Tính chất của hàm số y=ax 2 (a ≠ 0): 1/ TXĐ: ∀ x ∈ R 2/ Tính chất biến thiên: * a>0 thì hàm số y=ax 2 đồng biến khi x>0 và nghịch biến khi x<0. * a<0 thì hàm số y=ax 2 đồng biến khi x<0 và nghịch biến khi x>0. 3/ Tính chất về giá trị: * Nếu a>0 thì y min = 0 ⇔ x=0 * Nếu a<0 thì y max = 0 ⇔ x=0 II/ Đồ thị của hàm số y=ax 2 (a ≠ 0): 1/ Đồ thị của hàm số y=ax 2 (a ≠ 0): - Đỉnh O(0;0) - Nhận Oy làm trục đối xứng - Nếu a>0 thì đồ thị nằm phía trên trục hồnh Ox; Nếu a<0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hồnh Ox 2/ Các bước vẽ đồ thị của hàm số y=ax 2 (a ≠ 0): - Lập bảng giá trị tương ứng: x x 1 x 2 0 x 4 x 5 y=ax 2 y 1 y 2 0 y 4 y 5 - Biểu diễn các điểm có tọa độ (x;y) vừa xác định ở trên lên trên mặt phẳng tọa độ. - Vẽ (P) đi qua các điểm đó. III/ Quan hệ giữa (P): y=ax 2 (a ≠ 0) và đường thẳng (d): y=mx+n: Phương trình hồnh độ giao điểm của (P): y=ax 2 và đường thẳng (d): y=mx+n là: ax 2 = mx+n ⇔ ax 2 - mx-n=0 (*) 1/(P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt ⇔ phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ >0 (hoặc '∆ >0) 2/(P) tiếp xúc (d) ⇔ phương trình (*) có nghiệm kép ⇔ ∆ =0 (hoặc '∆ =0) 3/(P) và (d) khơng có điểm chung ⇔ phương trình (*) vơ nghiệm ⇔ ∆ <0 (hoặc '∆ <0) B/ BÀI TẬP: Dạng 1: Xác định hệ số a và vẽ đồ thị hàm số y=ax 2 (a ≠ 0) Bài 1: a) Vẽ đồ thị hàm số y=x 2 và y= 1 2 − x 2 trên cùng một mặt phẳng tọa độ. b) Cho hàm số y=ax 2 . Xác định hệ số a, biết đồ thị của hàm số đó đi qua điểm A(1;-1). Vẽ đồ thị của hàm số trong trường hợp đó. Dạng 2: Quan hệ giữa (P): y=ax 2 (a ≠ 0) và đường thẳng (d): y=mx+n: Bài 2: Cho hàm số y=x 2 (P) và y=3x-2 (d) a) Vẽ (P) và (d) trên cùng một mặt phẳng tọa độ b) Xác định tọa độ của (P) và (d) bằng phương pháp đại số. c) Lập phương trình của đường thẳng (d’), biết (d’)// (d) và (d’) cắt (P) tại điểm có hồnh độ bằng 3. Bài 3: Cho hàm số y= 2 6 x (P) và y=x+m (d) a) Vẽ (P). b) Tìm m để (P) và (d): - Cắt nhau tại hai điểm phân biệt. - Tiếp xúc nhau. - Khơng có điểm chung. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN SỐ A/ LÝ THUYẾT CƠ BẢN: Tài liệu ôn tập thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán – Đại số I/ Khái niệm phương trình bậc hai một ẩn số: Phương trình bậc hai một ẩn số (x) là phương trình có dạng: ax 2 + bx + c = 0 (với a, b, c ∈ R và a ≠ 0) II/ Cách giải phương trình bậc hai một ẩn số: 1. Dạng khuyết c (c=0) – Dạng ax 2 + bx = 0: ax 2 + bx = 0 ⇔ x.(ax+b)=0 ⇔ 0 0 0 x x b ax b x a =  =   ⇔   + = = −   2. Dạng khuyết b (b=0) – Dạng ax 2 + c = 0: * Trường hợp c>0: phương trình vơ nghiệm (vì khi đó ax 2 + c > 0 ∀ x ) * Trường hợp c<0, ta có: ax 2 + c = 0 ⇔ 2 2 ax c x c a c x a c x a  = −   =− ⇔ = − ⇔  = − −   3. Dạng đầy đủ – Dạng ax 2 + bx + c = 0 (với a, b, c ≠ 0 : - Bước 1: Xác định hệ số a,b,c. - Bước 2: Lập ∆ = b 2 - 4ac (hoặc ∆' = b' 2 – ac) rồi so sánh với 0 (Trong trường hợp ∆>0 (hoặc ∆'>0) ta tính ∆ (hoặc tính '∆ ) - Bước 3: Xác định và kết luận nghiệm theo bảng sau: C«ng thøc nghiƯm tổng qt C«ng thøc nghiƯm thu gän ∆ = b 2 - 4ac -NÕu ∆ > 0 : Ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm ph©n biƯt: a b x 2 1 ∆+− = ; a b x 2 2 ∆−− = - NÕu ∆ = 0 : Ph¬ng tr×nh cã nghiƯm kÐp : a b xx 2 21 − == - NÕu ∆ < 0 : Ph¬ng tr×nh v« nghiƯm ∆' = b' 2 - ac (víi b’ = 2 b 2b') - NÕu ∆' > 0 : Ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm ph©n biƯt: a b x '' 1 ∆+− = ; a b x '' 2 ∆−− = - NÕu ∆' = 0 : Ph¬ng tr×nh cã nghiƯm kÐp: a b xx ' 21 − == - NÕu ∆' < 0 : Ph¬ng tr×nh v« nghiƯm * Chú ý: Nếu a.c < 0 thì phương trình bậc hai ln có hai nghiệm phân biệt (trái dấu) III/ Định lí Vi-ét: 1/ Vi-ét thuận: NÕu x 1 , x 2 lµ nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh bËc hai ax 2 + bx + c = 0 (a≠0) th×: 1 2 1 2 . b S x x a c P x x a −  = + =     = =   2/ Vi-ét đảo: Hai sè u vµ v thỏa mãn u + v = S; u.v = P thì u,v là nghiệm của ph¬ng tr×nh: x 2 - Sx + P = 0 (§iỊu kiƯn: S 2 - 4P ≥ 0) 3/ NhÈm nghiƯm cđa ph ¬ng tr×nh bËc hai ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0): */ NÕu a + b + c = 0 th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm: x 1 = 1 ; x 2 = c a */ NÕu a - b + c = 0 th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm: x 1 = -1 ; x 2 = c a − * Chú ý: NÕu x 1 , x 2 lµ nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh bËc hai ax 2 + bx + c = 0 (a≠0) th×: ax 2 + bx + c = a(x-x 1 )(x-x 2 ) Tài liệu ôn tập thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán – Đại số IV/ Giải các phương trình quy được về phương trình bậc hai: 1/ Phương trình tích: ( ) 0 ( ). ( ) 0 ( ) 0 A x A x B x B x =  = ⇔  =  2/ Phương trình chứa ẩn ở mẫu: - Bước 1: Tìm ĐKXĐ của phương trình (là ĐK của ẩn để tất cả các mẫu đều khác 0) - Bước 2: Qui đồng và khử mẫu hai vế - Bước 3: Giải phương trình nhận được trong bước 2 - Bước 4: Đối chiếu giá trị ẩn vừa tìm được với ĐKXĐ và kết luận nghiệm 3/ Phương trình trùng phương: ax 4 + bx 2 + c = 0 ( a ≠ 0 ) + Đặt : x 2 = y ≥ 0 , ta có PT đã cho trở thành : ay 2 + by + c = 0 (*) + Giải phương trình (*) + Chọn các giá trị y thỏa mãn y ≥ 0 thay vào: x 2 = y ⇔ x= y± + Kết luận nghiệm của phương trình ban đầu 4/ Phương trình sau khi đặt ẩn phụ quy về phương trình bậc hai: + Đặt ẩn phụ, đặt điều kiện của ẩn phụ nếu có. + Giải phương trình ẩn phụ. + Chọn các giá trị ẩn phụ thỏa mãn điều kiện thay vào chỗ đặt để suy ra giá trị ẩn ban đầu. + Kết luận nghiệm của phương trình ban đầu. V/ Cách giải một số dạng tốn về phương trình bậc hai: Bµi to¸n 1: T×m ®iỊu kiƯn cđa tham sè m ®Ĩ ph¬ng tr×nh bËc hai ax 2 + bx + c = 0 ( trong ®ã a, b, c phơ thc tham sè m ) cã nghiƯm.  Cã hai kh¶ n¨ng ®Ĩ ph¬ng tr×nh bËc hai ax 2 + bx + c = 0 cã nghiƯm: 1. Hc a = 0 vµ b ≠ 0 2. Hc a ≠ 0 vµ ∆ ≥ 0 (∆' ≥ 0) TËp hỵp c¸c gi¸ trÞ m lµ toµn bé c¸c gi¸ trÞ m tho¶ m·n ®iỊu kiƯn 1 hc ®iỊu kiƯn 2. Bµi to¸n 2: T×m ®iỊu kiƯn cđa tham sè m ®Ĩ ph¬ng tr×nh bËc hai ax 2 + bx + c = 0 ( a, b, c phơ thc tham sè m ) cã 2 nghiƯm ph©n biƯt.  §iỊu kiƯn cã hai nghiƯm ph©n biƯt    >∆ ≠ 0 0a (hc    >∆ ≠ 0 0 ' a ) Bµi to¸n 3: T×m ®iỊu kiƯn cđa tham sè m ®Ĩ ph¬ng tr×nh bËc hai ax 2 + bx + c = 0 ( trong ®ã a, b, c phơ thc tham sè m ) cã 1 nghiƯm.  §iỊu kiƯn cã mét nghiƯm:    ≠ = 0 0 b a hc    =∆ ≠ 0 0a (    =∆ ≠ 0 0 ' a ) Bµi to¸n 4: T×m ®iỊu kiƯn cđa tham sè m ®Ĩ ph¬ng tr×nh bËc hai ax 2 + bx + c = 0 ( trong ®ã a, b, c phơ thc tham sè m ) cã nghiƯm kÐp.  §iỊu kiƯn cã nghiƯm kÐp:    =∆ ≠ 0 0a (hc    =∆ ≠ 0 0 ' a ) Bµi to¸n 5: T×m ®iỊu kiƯn cđa tham sè m ®Ĩ ph¬ng tr×nh bËc hai ax 2 + bx + c = 0 ( trong ®ã a, b, c phơ thc tham sè m ) v« nghiƯm.  §iỊu kiƯn v« nghiƯm: a 0 b 0 c 0 =   =   ≠  hc    <∆ ≠ 0 0a (    <∆ ≠ 0 0 ' a ) Bµi to¸n 6: T×m ®iỊu kiƯn cđa tham sè m ®Ĩ ph¬ng tr×nh bËc hai ax 2 + bx + c = 0 ( a, b, c phơ thc tham sè m ) cã hai nghiƯm cïng dÊu.  §iỊu kiƯn cã hai nghiƯm cïng dÊu:      >= ≥∆ 0 0 a c P hc      >= ≥∆ 0 0 ' a c P Bµi to¸n 7 : T×m ®iỊu kiƯn cđa tham sè m ®Ĩ ph¬ng tr×nh bËc hai ax 2 + bx + c = 0 (a, b, c phơ thc tham sè m) cã 2 nghiƯm d¬ng.  §iỊu kiƯn cã hai nghiƯm d¬ng: Tài liệu ôn tập thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán – Đại số          >−= >= ≥∆ 0 0 0 a b S a c P hc          >−= >= ≥∆ 0 0 0 ' a b S a c P Bµi to¸n 8 : T×m ®iỊu kiƯn cđa tham sè m ®Ĩ ph¬ng tr×nh bËc hai ax 2 + bx + c = 0 ( trong ®ã a, b, c phơ thc tham sè m ) cã 2 nghiƯm ©m.  §iỊu kiƯn cã hai nghiƯm ©m:          <−= >= ≥∆ 0 0 0 a b S a c P hc          <−= >= ≥∆ 0 0 0 ' a b S a c P Bµi to¸n 9 : T×m ®iỊu kiƯn cđa tham sè m ®Ĩ ph¬ng tr×nh bËc hai ax 2 + bx + c = 0 ( a, b, c phơ thc tham sè m) cã 2 nghiƯm tr¸i dÊu.  §iỊu kiƯn cã hai nghiƯm tr¸i dÊu: P < 0 (hc a.c<0). Bµi to¸n 10: T×m ®iỊu kiƯn cđa tham sè m ®Ĩ ph¬ng tr×nh bËc hai ax 2 + bx + c = 0 (*) ( a, b, c phơ thc tham sè m) cã mét nghiƯm x = x 1 . TÝnh nghiƯm x 2 ?  C¸ch gi¶i: - Thay x = x 1 vµo ph¬ng tr×nh (*) ta cã: ax 1 2 + bx 1 + c = 0 → m - Thay gi¸ trÞ cđa m vµo (*) → x 2 (hc x 2 = S - x 1 hc x 2 = 1 x P ) Bµi to¸n 11 : T×m ®iỊu kiƯn cđa tham sè m ®Ĩ ph¬ng tr×nh bËc hai ax 2 + bx + c = 0 ( a, b, c phơ thc tham sè m) cã 2 nghiƯm x 1 , x 2 tho¶ m·n c¸c ®iỊu kiƯn: a. γβα =+ 21 xx b. kxx =+ 2 2 2 1  §iỊu kiƯn chung: ∆ ≥ 0 (hc ∆' ≥ 0) (*) Theo ®Þnh lÝ Viet ta cã:        == = − =+ )2(. )1( 21 21 P a c xx S a b xx a. Trêng hỵp: γβα =+ 21 xx Gi¶i hƯ      =+ − =+ γβα 21 21 xx a b xx Thay x 1 , x 2 vµo (2) → m Chän c¸c gi¸ trÞ cđa m tho¶ m·n (*) b. Trêng hỵp: 2 2 2 1 2 1 2 1 2 x x k (x x ) 2x x k+ = ⇔ + − = Thay x 1 + x 2 = S = a b− vµ x 1 .x 2 = P = a c vµo ta cã: S 2 - 2P = k → T×m ®ỵc gi¸ trÞ cđa m tho¶ m·n (*) B/ BÀI TẬP: Dạng 1: Giải phương trình: Bài 1: Giải phương trình a) 2x 2 + 5x = 0 b) x - 6x 2 = 0 c) 2x 2 + 3 = 0 d) 4x 2 -1 = 0 e) 2x 2 + 5x + 2 = 0 f) 6x 2 + x + 5 = 0 g) 2x 2 + 5x + 3 = 0 h) 2 25x 20x 4 0− + = i) 2 3x 2 3x 2 0− − = j) ( ) 2 3x 3 2 x 2 0+ − − = k) ( ) 2 x 2 3 x 2 3 0− + + = Bài 2: Giải phương trình x 1 , x 2 Tài liệu ôn tập thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán – Đại số a) 3x 4 + 2x 2 – 5 = 0 b) 2x 4 + x 2 – 7 = 0 c) 4 2 3x 5x 2 0− − = Bài 3: Giải phương trình a) 16 x 3 – 5x 2 – x = 0 b) ( ) ( ) 2 2 2 2 x 3x 5 2x 1 0+ − − − = c) − + = − − + 3x 2 6x 5 x 5 x 5 4 d) ( ) ( ) 2 x 3x 5 1 x 3 x 3 x 2 − + = − − + e) 7 16 2 1 2 1 = − − + xx Bài 4: Giải phương trình a) x – 7 x 1 0− = b) x 5 5 x 1 0+ − − = c) ( ) ( ) 2 2 2 2x x 13 2x x 12 0+ − + + = d) ( ) ( ) 2 2 2 8x 2x 11 2 8x 2x 11 3 0− + + − − + + − = e) ( x – 6) 4 + (x – 8) 4 = 16 f) (x 2 – 3x – 1 ) 4 – 13x 2 (x 2 – 3x – 1) 2 + 36x 4 = 0 Dạng 2: Khơng giải phương trình tính tổng, tích hai nghiệm; tính nghiệm còn lại khi biết trước một nghiệm của PTBH: Bài 1: Cho phương trình: 2 x 8x 15 0− + = , khơng giải phương trình hãy tính: a) 1 2 x x+ b) 1 2 .x x c) 2 2 1 2 x x+ d) ( ) 2 1 2 x x+ e) 1 2 1 1 x x + f) 1 2 2 1 x x x x + Bài 2: Cho phương trình: 2 x 3x 15 0+ + = , khơng giải phương trình hãy tính: a) 1 2 x x+ b) 1 2 .x x Bài 3: a) Cho phương trình: 2 x 2mx 5 0− + = có một nghiệm bằng 2, hãy tìm m và tính nghiệm còn lại. b)Cho phương trình: 2 x 5x q 0+ + = có một nghiệm bằng 5, hãy tìm q và tính nghiệm còn lại. Dạng 3: Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm: Bài 1: Tìm hai số u và v biết: a) u+v=3 và u.v=2 b) u+v= -3 và u.v=6 c) u-v=5 và u.v=36 d) u 2 +v 2 =61 và u.v=30 Bài 2: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là: a) 1 8x = và 2 3x = b) 1 5x = và 2 7x = − c) 1 1 2x = + và 2 1 2x = − Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để thỏa mãn về sự có nghiệm của phương trình bậc hai: Bài 1: Cho phương trình: 2 x 2x m 1 0− + − = , tìm m để phương trình: a) Có hai nghiệm phân biệt. b) Có nghiệm kép. c) Vơ nghiệm. d) Có hai nghiệm trái dấu. e) Có hai nghiệm x 1 và x 2 thỏa mãn 2 2 1 2 5x x+ = Bài 2: Cho phương trình: 2 3x 2x m 1 0− − + = , tìm m để phương trình: a) Có nghiệm . b) Có hai nghiệm trái dấu. c) Có hai nghiệm dương. Dạng 5: Chứng minh phương trình bậc hai ln có hai nghiệm phân biệt (có nghiệm kép; vơ nghiệm) với mọi tham số: Bài 1: a) Chứng minh rằng phương trình: 2 2 x 2x m 4 0− − − = ln có hai nghiệm phân biệt ∀ m. b) Chứng minh rằng phương trình: ( ) 2 x 2 m 1 x m 4 0− + + − = ln có hai nghiệm phân biệt ∀ m. c) Chứng minh rằng phương trình: ( ) 2 x 2 m 2 x 4m 12 0+ + − − = ln có nghiệm ∀ m. d) Chứng minh rằng phương trình: ( ) 2 2 2 2 2 2 c x a b c x b 0+ − − + = vơ nghiệm với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Dạng 6: Tốn tổng hợp: Bài 1: Cho phương trình: ( ) 2 x 2 m 1 x 4m 0− + + = . Tài liệu ôn tập thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán – Đại số a) Xác định m để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó. b) Xác định m để phương trình có một nghiệm bằng 4. Tính nghiệm còn lại. c) Xác định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu. d) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x 1 và x 2 thỏa mãn: x 1 = 2x 2 . e) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x 1 và x 2 thỏa mãn: 2 2 1 2 5x x+ = . f) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x 1 và x 2 sao cho A= 2 2 1 2 1 2 2 2 .x x x x+ − đạt giá trị nhỏ nhất. . Khái niệm phương trình bậc hai một ẩn số: Phương trình bậc hai một ẩn số (x) là phương trình có dạng: ax 2 + bx + c = 0 (với a, b, c ∈ R và a ≠ 0) II/ Cách giải phương trình bậc hai một ẩn số: 1 các phương trình quy được về phương trình bậc hai: 1/ Phương trình tích: ( ) 0 ( ). ( ) 0 ( ) 0 A x A x B x B x =  = ⇔  =  2/ Phương trình chứa ẩn ở mẫu: - Bước 1: Tìm ĐKXĐ của phương trình. của phương trình bậc hai: Bài 1: Cho phương trình: 2 x 2x m 1 0− + − = , tìm m để phương trình: a) Có hai nghiệm phân biệt. b) Có nghiệm kép. c) Vơ nghiệm. d) Có hai nghiệm trái dấu. e) Có hai