Phương trình bậc 2 có chứa tham số

III/ Cơ sở thực tiễn: 1/ Về kiến thức: - Kiến thức cơ bản trong sách giáo khoa toán 9 để vận dụng giải dạng toán phương trình bậc hai có chứa tham số là không nhiều gồm 2 đơn vị kiến

Chủ đề: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CÓ CHỨA THAM SỐ

I/ Đặt vấn đề:

Trong các kỳ thi học kỳ 2, thi vào lớp 10 hầu như dạng toán phương trình bậc hai có chứa tham số luôn luôn có mặt, đề thi thường phong phú và đa dạng, nhưng trong sách giáo khoa Toán 9, dạng toán phương trình bậc hai có chứa tham số thì quá ít, học sinh hay lúng túng không biết trình bày như thế nào, thường trình bày thiếu căn cứ, lập luận không chặt chẻ Với những lý do trên, tôi chọn chủ đề phương trình bậc hai có chứa tham số, nhằm giúp các em phần nào tháo gỡ được những khó khăn, vướng mắc trong quá trình giải toán

II/ Cơ sở lý luận:

Một định hướng quan trọng của việc đổi mới giáo dục nước nhà là tăng cường hơn

nữa tính “phân hóa” trong giáo dục Sự khẳng định này dựa trên cơ sở về sự tồn tại khách quan những khác biệt của người học về thể chất, năng lực, tâm lý và những yêu cầu điều kiện về kinh tế, xã hội, văn hóa của các vùng dân cư khác nhau Vì vậy dạy học tự chọn là một phần không thể thiếu của quá trình dạy học

Kế hoạch giáo dục của trường THCS ban hành kèm theo Quyết định số 03/2002/QĐ-BGD&ĐT ngày 24/01/2002 của Bộ trưởng Bộ GD & ĐT Dành 2 tiêt trên tuần cho việc dạy học các chủ đề tự chọn BộGD & ĐT cũng đã nêu: “…Đưa vào các tiết tự chọn, một phần cho việc bám sát, nâng cao kiến thức, kĩ năng các môn phân hoá, phần khác dành cho cung cấp một số nội dung kiến thức mới theo nhu cầu của người học và nhu cầu của cộng đồng”

Như vậy việc dạy học tự chọn đã trở thành hình thức dạy có tính pháp qui, cần được nghiên cứu và thực hiện rộng khắp ở tất cả các khối lớp ở trường THCS Từ những cơ sở đó, đề tài “ Phương trình bậc hai có chứa tham số” dành cho tự chọn nâng cao được thai nhén và hình thành

III/ Cơ sở thực tiễn:

1/ Về kiến thức:

- Kiến thức cơ bản trong sách giáo khoa toán 9 để vận dụng giải dạng toán phương trình bậc hai có chứa tham số là không nhiều gồm 2 đơn vị kiến thức cơ bản là:

+ Công thức nghiệm phương trình bậc hai

+ Hệ thức Vi - Ét

- Kiến thức hệ quả từ hai kiến thức cơ bản trên và kiến thức các lớp dưới để vận dụng giải dạng toán phương trình bậc hai có chứa tham số là phong phú và phần nhiều chưa được chứng minh, nên việc vận dụng những kiến thức đó vào giải toán phương trình bậc hai có chứa tham số gặp không ít khó khăn chẳng hạn như:

+ Để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi ac

< 0

+ Để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm đối nhau khi và chỉ khi ac< 0 và b = 0

+ Để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm cùng dấu khi và chỉ khi

∆> 0 và ac > 0

+ Để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm cùng âm khi và chỉ khi

∆> 0, ac > 0 và ab > 0

khi ∆> 0, ac > 0 và ab < 0…

2/ Về học sinh:

- Rất lúng túng trước đề bài toán “Phương trình bậc hai có chứa tham số”, không biết làm gì, bắt đầu từ đâu? Thậm chí không nắm được kiến thức cần và đủ để giải dạng toán phương trình bậc hai có chứa tham số, nên không biết cách làm

- Lập luận thì không chặt chẻ, suy luận thường thiếu căn cứ, không chính xác, không nắm được phương pháp cơ bản để giải dạng toán phương trinh bậc hai có chứa tham số Không biết rút kinh nghiệm về bài toán vừa giải, nên rất lúng túng trước những bài toán khác tương tự với bài toán vừa giải

- Trình bày bài giải thường cẩu thả, không có căn cứ, lập luận thiếu chính xác, tuỳ tiện không có cơ sở khoa học

3/ Về giáo viên:

- Hiện nay giáo viên chúng ta cơ bản đủ chuẩn và trên chuẩn, được bồi dưỡng thường xuyên theo chu kỳ, bên cạnh đó sách bổ trợ kiến thức thì không thiếu đủ loại: Sách giáo khoa, sách giáo viên, sách bài soạn, sách bài tập, sách chuẩn kiến thức, sách nâng cao, … Vậy mà theo suy nghĩ chủ quan của tôi và một số giáo viên có kinh nghiệm và tâm huyết nhận thấy giáo viên chúng ta còn có một số thiếu sót sau đây:

- Nặng về cung cấp bài giảng, chưa chú trọng thật sự trong việc dạy cho học sinh giải toán

- Thường bằng lòng và kết thúc công việc giải một bài toán phương trình bậc hai

có chứa tham số khi tìm ra được một cách giải nào đó, chưa chú ý hướng dẫn học sinh cách tìm ra con đường giải, cách giải khác, cách giải tối ưu nhất

- chưa chú ý khai thác bài toán vừa giải để phát huy tư duy linh hoạt và sáng tạo của học sinh, thường chú ý đến số lượng hơn là chất lượng bài giải

- Đối với lớp 9 nặng về luyện thi, thường chú trọng về mặt đề cao và coi nhẹ mặt đảm bảo tính cơ bản

* Qua thực tiễn đã nêu, việc xây dựng một chủ đề tự chọn nâng cao “Phương trình bậc hai có chứa tham số” là hết sức cần thiết và thiết thực, nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy và học

IV/ Nội dung nghiên cứu:

A/Mục tiêu của chủ đề :

1/Kiến thức:

- Giúp học sinh nắm vững các dạng toán phương trình bậc hai có chứa tham số và

phương pháp giải của từng dạng

2/Kỹ năng:

- Giúp học sinh có:

* kỹ năng giải thành thạo các dạng toán phương trình bậc hai có chứa tham số

* kỹ năng tính toán chính xác

* kỹ năng lập luận lô gíc

* kỹ năng nhận dạng các dạng toán phương trình bậc hai có chứa tham số

3/Thái độ:

- Tạo cho học sinh có thái độ:

* Làm việc nghiêm túc, khoa học, yêu thích môn toán

* thấy được cái đẹp, thẩm mỹ toán trong dạng toán phương trình bậc hai có chứa tham số

B/ Kiến thức:

- Để giải được dạng toán phương trình bậc hai có chứa tham số cần nắm vững một số kiến thức cụ thể sau:

1) Công thức giải phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0, với biệt thức Δ = b2 - 4ac

- Nếu Δ < 0 thì phương trình vô nghiệm

- Nếu Δ = 0 thì phương trình có nghiệm kép x1= x2 = -b/2a

- Nếu Δ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

2) Hệ thức Vi-Ét: Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có 2 nghiệm x1, x2

thì

x1 + x2 = -b/a và x1x2 = c/a

3) Đặt S = x1 + x2 và P = x1x2 thì x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình: x2 - Sx + p = 0 4) Hằng đẳng thức đáng nhớ (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, (a - b)2 = a2 -2ab + b2

5) Bình phương của mọi số đều không âm

C/ Các dạng toán và phương pháp giải:

Dạng 1: Giải phương trình khi cho biết một giá trị của tham số.

Ví dụ: Giải các phương trình sau khi m = -2:

2/ x2 - (m +2)x +2m = 0

4/ 2x2 +8x +3m =0

Hướng dẫn :

Ta được: x2 +2(-2 +3)x +2(-2) +5 =0

x2 +2x +1 =0

Và tiếp tục giải theo công thức nghiệm của phương trình bậc 2 hoặc áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ đưa về giải phương trình tích

Dạng 2 : Tìm tham số m khi cho biết một nghiệm của phương trình, tìm nghiêm còn lại

Ví dụ : Tìm m để các phương trình sau có một nghiệm bằng 2.Tìm nghiệm còn

lại :

1/ x2 +x +3m =0

2/ x2 –mx +3m =0

Hướng dẫn :

4 +2 +3m =0

3m = -6 => m = -2

Vậy m = -2 thì phương trình có một nghiệm bằng 2

Nghiệm còn lại là:

Theo hệ thức Vi-Ét ta có x1 + x2 = -b/a hay 2 +x2 =-1/1 =-1 =>x2 =-3

nghiệm)

Dạng3: :Tìm m để phương trình có nghệm kép Tìm nghiệm kép đó:

Ví dụ: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm kép Tìm nghiệm kép đó

1/ x2 -2mx -3m +4 =0

2/ (1 +m)x2 -2mx +m-1 =0

3/ 4x2-2mx +m -1 =0

Hướng dẫn :

1/ Lập Δ hoặc Δ’ = b’ – ac = m2 + 3m – 4

Để phương trình có nghiệm kép khì Δ’ = 0

là: m1 = 1, m2 = c/a =-4

Vậy m = 1, -4 thì phương trình có nghiệm kép

(nếu phương trình không có dạng a+b+c=0 hoặc a-b+c=0 thì ta lập Δ giải theo công thức nghiệm của phương trình bậc 2)

Nghiệm kép đó là : x1 = x2 = -b’/a = m/1 = m

-/ m = 1 => x1 = x2 = 1

-/ m = -4 => x1 = x2 = -4

2/Trường hợp bài 2 hệ số a có chứa tham số Ta cần phân biệt:

- Tìm m để phương trình có nghiệm kép khì : a ≠ 0 và Δ = 0

- Tìm m để phương trình có 1 nghiệm thì xãy ra 2 trường hợp:

+ trường hợp 1: a ≠ 0, Δ = 0

+ trường hợp 2: hệ số a = 0 và b ≠ 0 thì nghiệm sẽ là x = -c/b ≠ 0

Hướng dẫn bài 2:

Lập Δ‘ = b’2 – ac = m2 – (1+m)(m-2)

= m2 – m + 2 – m2 + 2m

= m + 2

Để phương trình có nghiệm kép khì a ≠ 0 và Δ‘ = 0

-/ a ≠ 0 hay 1 + m ≠ 0 => m ≠ -1

-/ Δ = 0 hay m+2 = 0 => m = -2 (thỏa mãn để a ≠ 0) Vậy m = -2 thì phương trình

có nghiệm kép

Dạng 4: Tìm m để phương trình có nghiệm:

Ví dụ: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm

1/ mx2 + 2(m+1)x + m – 2 = 0

2/ (m-1)x2 – 2mx + m +2 = 0

Hướng dẫn:

1/ Lập Δ‘ = b’2 – ac = (m+1)2 – m(m-2)

= m2 + 2m +1 – m2 +2m

= 4m + 1

Để phương trình có nghiệm khì Δ‘≥ 0

Hay 4m + 1 ≥ 0  4m ≥ -1  m ≥ -1/4

Vậy m ≥ -1/4 thì phương trình có nghiệm

Dạng 5: Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Ví dụ: Tìm m để các phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt:

1/ x2 + x – m + 2 = 0

2/ (m – 3)x2 – 2x -1 = 0

Bài 1: trường hợp a = 1, nên để phương trình có 2 nghiệm phân biệt khì Δ > 0

Bài 2: trường hợp a có chứa tham số, nên để phương trình có 2 nghiệm phân biệt

khì a ≠ 0 và Δ > 0

Hướng dẫn:

Lập Δ‘ = b’2 – ac = 1 + m -3 = m – 2

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt khì a ≠ 0 và Δ‘>0

-) a ≠ 0 hay m – 3 ≠ 0 => m ≠ 3

-) Δ‘ > 0 hay m – 2 > 0 => m > 2

Vậy m > 2 và m ≠ 3 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Dạng 6: Tìm m để phương trình không có nghiệm:

Ví dụ: tìm m để các phương trình sau không có nghiệm( vô nghiệm )

1/ x2 + 2x – 2m + 4 = 0

2/ mx2 – 2(m - 1) x + m – 3

Hướng dẫn:

Để phương trình vô nghiệm khì Δ hay Δ‘< 0 nên b’2 – ac< 0 => ac >b’2 ≥ 0 do đó

ac ≠ 0

Vì vậy ta không yêu cầu a ≠ 0

2/ Lập Δ‘ = (m-1)2 – m(m – 3)

= m2 – 2m + 1 –m2 + 3m

= m + 1

Để phương trình vô nghiệm khi Δ‘ < 0, hay m+1< 0 => m < -1

Vậy m < -1 thì phương trình vô nghiệm

Dạng 7: Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu:

Ví dụ : Tìm m để các ph/ trình sau có 2 nghiệm trái dấu

1/ x2 -2(m+2)x + m + 1 = 0

2/ (m – 5)x2 + 3x + 7 = 0

* Hướng dẫn: Theo hệ thức Vi-Ét ta có x1x2 = c/a, mà x1 và x2 trái dấu => c/a < 0 hay ac < 0 => -4ac > 0

Vì vậy Δ = b2 – 4ac > 0 => Phương trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt

Bài 1: Để ph/ trình có 2 nghiệm trái dấu khi ac < 0 <=> 1(m+1) < 0 => m < -1

Vậy m < -1 thì ph/ trình có 2 nghiệm trái dấu

Dang 8: Tìm m dể ph/ trình có 2 nghiệm đối nhau.

Ví dụ: Tìm m để các phương trình sau có 2 nghiệm đối nhau

1/ x2+ (2m–3)x –3m+1= 0

2/ x2– 2(m–1)x +2m–3= 0

3/ (m+ 4) x2– (m+ 2)x – 18 = 0

* Hướng dẫn:

Phương trình có hai nghiệm đối nhau nghĩa là phương trình có hai nghiệm trái dấu nhau và đặc biệt hơn là giá trị tuyệt đối của hai nghiệm bằng nhau

Theo hệ thức Vi-Ét ta có x1 + x2 = -b/a mà x1 và x2 đối nhau nên x1 + x2 = 0 hay –b/a

= 0 => b=0 vì vậy:

1/ Để phương trình có hai nghiệm đối nhau khì ac<0 và b=0

-) ac<0 hay -3m+1<0 => 3m>1 => m>1/3 (1)

-) b=0 hay 2m-3=0 => m=3/2 (2)

Kết hợp (1) và (2), vậy m=3/2 thì phương trình có 2 nghiệm đối nhau

Dạng 9: Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu:

Ví dụ: Tìm m để các phương trình sau có hai nghiệm cùng dấu:

1/ x2 – 2(m – 5)x – 2m + 9=0

2/ 2x2 + 3x + m – 1 = 0

3/ (2 – 3m)x2 + 1/2x – 1/4=0

* Hướng dẫn:

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt khì Δ> 0 theo hệ thức Vi-Ét ta có

x1x2=c/a,mà x1 và x2 cùng dấu nên x1x2>0 do đó c/a > 0 hay ac>0

Δ’>0 và ac>0

Δ’>0 hay (m+5)2 + 2m – 9>0

m2 – 10m + 25 + 2m – 9>0

m2 – 8m + 16>0

(m – 4)2>0

=> m ≠ 4 (1)

-) ac>0 hay -2m + 9>0 => m<9/2 (2)

Kết hợp (1) và (2), vậy m<4,5 và m ≠ 4 thì phương trình có 2 nghiệm cùng dấu

Dạng 10: Tìm m để phương trình có 2 nghiệm cùng âm.

Ví dụ: Tìm m để các phương trình có 2 nghiệm đều âm

1/ x2 + (m + 2)x + 2m = 0

2/ 2x2 + 8x + 3m = 0

* Hướng dẫn:

Để phương trình có 2 nghiệm cùng âm, nghĩa là phương trình phải thỏa mãn có 2 nghiệm cùng dấu <=> Δ>0, ac>0

Theo hệ thức Vi-Ét ta có x1 + x2 = -b/a mà x1 và x2 cùng âm do đó x1 + x2 <0 nên –b/a<0 => b/a>0 hay ab>0

ac>0 và ab>0

-) Δ >0 hay (m+2)2 – 8m > 0

m2 + 4m + 4 – 8m>0

m2 – 4m + 4 > 0

(m – 2)2 > 0 => m ≠ 2 (1)

-) ac> 0 hay 2m>0 => m> 0 (2)

-) ab>0 hay m+2>0 => m>-2 (3)

Kết hợp (1),(2) và (3), vậy m>0và m ≠ 2 thì phương trình có hai nghiệm cùng âm

Dạng 11: Tìm m để phương trình có 2 nghiệm cùng dương:

Ví dụ: Tìm m để các phương trình sau có 2 nghiệm cùng dương

1/ x2 – 2(m+2)x + 2m +1 = 0

2/ 2x2 – 2(m–2)x + 3 = 0

* Hướng dẫn:

Để phương trình có 2 nghiệm cùng dương, nghĩa là phương trình phải thỏa mãn có

2 nghiệm cùng dấu <=> Δ>0, ac>0

Theo hệ thức Vi-Ét ta có x1 + x2 = -b/a, mà x1 vàx2 cùng dương do đó x1 + x2 > 0 nên –b/a>0 => b/a<0 hay ab<0

Bài 1: Để phương trình có 2 nghiệm cùng dương khì Δ’ >0, ac>0 và ab<0

-) Δ’ >0 hay (m+2)2 – (2m+1)>0

m2 + 4m + 4 – 2m – 1>0

m2 + 2m + 3>0

(m+1)2 + 2>0 Với mọi m (1)

-) ac>0 hay 2m+1>0 => m>-1/2 (2)

-) ab<0 hay -2(m+2)<0 => m+2>0 =>m>-2 (3)

Kết hợp (1)(2) và (3), vậy m>-1/2 thì phương trình có 2 nghiệm cùng dương

Dạng 12: Ch/ minh ph/ trình luôn luôn có nghiệm không phụ thuộc vào tham số m:

Ví dụ: Chứng minh các phương trình sau luôn luôn có nghiệm không phụ thuộc

vào tham số m

1/ x2 – 2mx + 2m – 1 =0

2/ x2 + mx –m – 1=0

3/ x2 + 2(m +1)x + 4m = 0

* Hướng dẫn :

Phương trình luôn luôn có nghiệm nghĩa là Δ của phương trình luôn luôn lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi m

Bài 1: Lập Δ’ = b’2 – ac = m2 – 2m +1

= (m-1)2

Vậy phương trình luôn luôn có nghiệm không phụ vào tham số m

Dạng 13: chứng minh phương trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt không phụ thuộc vào tham số:

Ví dụ: Chứng minh các phương trình sau luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt không

phụ thuộc vào tham số m

1/ x2 + 2m + 4m – 5=0

2/ x2 – mx – 1 =0

* Hướng dẫn:

Phương trình luôn luôn có hai nghiệm phân biệt nghĩa là Δ của phương trình luôn luôn lớn hơn 0 với mọi m

Bài 1: Lập Δ’= b’2 – ac = m2 – 4m +5

= (m – 2)2 + 1

Ta có (m – 2)2 ≥ 0 với mọi m, nên (m – 2)2 + 1>0 với mọi m do đó Δ’>0 với mọi m Vậy phương trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt không phụ thuôc vào tham số m

Dạng 14: Chứng minh phương trình vô nghiệm với mọi tham số m.

Ví dụ: Chứng minh các phương trình sau vô nghiệm với mọi m

1/ x2 – 2x + m2 + 2= 0

2/ x2 + 2mx + 2m2 + 1= 0

* Hướng dẫn:

Phương trình vô nghiệm với mọi m, nghĩa là Δ của phương trình luôn luôn nhỏ hơn

0 với mọi m

Bài 1: Lập Δ’ = b’2 – ac = 1 – m2 – 2

= -m2 – 1

Ta có m2 ≥ 0 với mọi m, nên -m2 ≤ 0 với mọi m, do đó -m2 – 1 < 0 với mọi m hay Δ’ < 0 với mọi m Vậy phương trình vô nghiệm với mọi m

Dạng 15: Tìm m để phương trình có:

1/ Tổng 2 nghiệm số bằng -3

2/ Hiệu 2 nghiệm số bằng 7

3/ Tích 2 nghiệm số bằng 1

4/ Nghiệm số này gấp đôi nghiệm số kia

5/ Nghiệm số này là nghịch đảo của nghiệm số kia

6/ Tổng nghịch đảo hai nghiệm bằng hằng số

7/ Tổng bình phương hai nghiệm bằng hằng số

8/ Nghiệm này trên nghiệm kia cộng nghiệm kia trên nghiệm này bằng hằng số

9/ Tổng lập phương hai nghiệm bằng hằng số…

1/ Tổng 2 nghiệm bằng -3

2/ Hiệu 2 nghiệm bằng 7

3/ Tích 2 nghiệm bằng 1

4/ Nghiệm này gấp đôi nghiệm kia

5/ Nghiệm số này là nghịch đảo của nghiệm số kia

6/ Tổng nghịch đảo của hai nghiệm bằng 1

7/ Tổng bình phương hai nghiệm bằng 13

8/ x1/x2 + x2/x1 = 3 (Với x1,x2 là hai nghiệm của phương trình)

9/ Tổng lập phương hai nghiệm bằng 9…

* Hướng dẫn:

1/ Theo hệ thức Vi-Ét ta có: x1 + x2= -b/a