Một số bài toán phương trình bậc hai có chứa tham số

1 Tên sáng kiến: Một số tốn phương trình bậc hai có chứa tham số Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Đại số Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ ngày 20 tháng 01 năm 2018 đến ngày 20 tháng năm 2018 Tác giả: Họ tên: Nguyễn Văn Thế Năm sinh: 1980 Nơi thường trú: Xã Xuân Thượng, huyện Xuân Trường, tỉnh Nam Định Trình độ chun mơn: Đại học Tốn - Tin Chức vụ công tác: Giáo viên Nơi làm việc: Trường THCS Xuân Thượng Địa liên hệ: Nguyễn Văn Thế - Trường THCS Xuân Thượng Điện Thoại: 0916752386 Đồng tác giả: Không Đơn vị áp dụng sáng kiến: Tên đơn vị: Trường THCS Xuân Thượng Địa chỉ: Xã Xuân Thượng, huyện Xuân Trường, tỉnh Nam Định Điện Thoại: 02283.886.518 MỘT SỐ BÀI TỐN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CĨ CHỨA THAM SỐ ĐẠI SỐ I Điều kiện, hoàn cảnh tạo sáng kiến: Tốn học mơn khoa học coi chủ lực, trước hết Tốn học hình thành cho em tính xác, tính hệ thống, tính khoa học tính logic,… chất lượng dạy học toán nâng cao có nghĩa tiếp cận với kinh tế tri thức khoa học đại với trí tuệ nhân tạo, giàu tính nhân văn nhân loại Cùng với đổi chương trình sách giáo khoa, tăng cường sử dụng thiết bị, đổi phương pháp dạy học nói chung đổi phương pháp dạy học t ốn nói riêng trường THCS tích cực hố hoạt động học tập, hoạt động tư duy, độc lập sáng tạo học sinh, khơi dậy phát triển khả tự học, nhằm nâng cao lực phát giải vấn đề, rèn luyện hình thành kĩ vận dụng kiến thức cách khoa học, sáng tạo vào thực tiễn II Thực trạng (trước tạo sáng kiến) Trong chương trình Đại số lớp 9, dạng tốn phương trình bậc hai nội dung quan trọng, việc áp dụng dạng toán phong phú, đa dạng cho việc học sau như,giải phương trình, tốn liên quan đến nghiệm phương trình bậc hai khơng phần học cịn học lên chương trình Tốn lớp 10 lớp 12 Qua thực tế giảng dạy nhiều năm, qua việc theo dõi kết kiểm tra, thi học sinh lớp 9( đ ang giảng dạy), việc giải toán liên quan đến phương trình bậc hai khơng khó, nhiều học sinh làm sai lúng túng chưa thực được, chưa nắm vững phương pháp giải, chưa vận dụng cách làm cách linh hoạt, sáng tạo vào toán cụ thể Tồn nhiều học sinh yếu tính tốn, kĩ quan sát nhận xét, biến đổi thực hành giải toán, phần lớn kiến thức lớp dưới, chưa chủ động học tập từ đầu chương trình lớp 9, chây lười học tập, ỷ lại, trông chờ vào kết người khác, chưa nỗ lực tự học, tự rèn, ý thức học tập yếu Đa số em sử dụng loại sách tập có đáp án để tham khảo, nên gặp tập, em thường lúng túng, chưa tìm hướng giải thích hợp, áp dụng phương pháp trước, phương pháp sau, phương pháp phù hợp nhất, hướng giải tốt Giáo viên chưa thật đổi phương pháp dạy học đổi chưa triệt để, ngại sử dụng đồ dùng dạy học, phương tiện dạy học, tồn theo lối giảng dạy cũ xưa, xác định dạy học phương pháp mơ hồ Phụ huynh học sinh chưa thật quan tâm mức đến việc học tập em theo dõi, kiểm tra, đơn đốc nhắc nhở việc học tập nhà Nhằm đáp ứng yêu cầu đổi phương pháp giảng dạy, giúp học sinh tháo gỡ giải tốt khó khăn, vướng mắc học tập đồng thời nâng cao chất lượng môn nên thân chọn đề tài: “ Một số tốn phương trình bậc hai có chứa tham số - Đại số 9” Trước phát triển mạnh mẽ kinh tế tri thức khoa học, công nghệ thông tin nh nay, xã hội thơng tin hình thành phát triển thời kỳ đổi nước ta đặt giáo dục đào tạo trước thời thách thức Để hòa nhập tiến độ phát triển giáo dục đào tạo ln đảm nhận vai trò quan trọng Nhằm đáp ứng mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh, đường nâng cao chất lượng học tập học sinh từ nhà trường phổ thông Là giáo viên mong muốn học sinh tiến bộ, lĩnh hội kiến thức dễ dàng, phát huy tư sáng tạo, rèn tính tự học, mơn tốn mơn học đáp ứng đầy đủ u cầu Việc học tốn khơng phải học SGK, không làm tập thầy, cô mà phải nghiên cứu đào sâu suy nghĩ, tìm tịi vấn đề, tổng qt hố vấn đề rút điều bổ ích Dạng tốn phương trình bậc hai dạng tốn quan trọng môn đại số đáp ứng yêu cầu này, tảng, làm sở để học sinh học tiếp lên lớp trên, đề thi vào lớp 10 năm gần hay có dạng tốn này, … Tuy nhiên, lý sư phạm khả nhận thức học sinh đại trà mà chương trình đề cập đến số tốn phương trình bậc hai thơng qua ví dụ cụ thể Vấn đề đặt làm để học sinh giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử cách xác, nhanh chóng đạt hiệu cao Để thực tốt điều này, đòi hỏi giáo viên cần xây dựng cho học sinh kĩ quan sát, nhận xét, đánh giá toán, đặ c biệt kĩ giải toán, kĩ vận dụng toán, tuỳ theo đối tượng học sinh, mà ta xây dựng cách giải cho phù hợp sở phương pháp học cách giải khác, để giúp học sinh học tập tốt môn Tồn nhiều học sinh yếu tính tốn, kĩ quan sát nhận xét, biến đổi t hực hành giải toán, phần lớn em tư yếu, không nhớ kiến thức lớp dưới, chưa chủ động học tập từ đầu chương trình lớp 9, lười họ c, ỷ lại, trông nhờ vào kết người khác, chưa nỗ lực tự học, tự rèn, ý thức học tập yếu Đa số em sử dụng loại sách tập có đáp án để tham khảo, nên gặp tập, em thường lúng túng, chưa tìm hướng giải thích hợp, khơng biết áp dụng phương pháp trước, phươ ng pháp sau, phương pháp phù hợp nhất, hướng giải tốt Giáo viên đôi lúc chưa thật đổi phương pháp dạy học đổi chưa triệt để, giáo viên chưa tích cực tìm hiểu, sáng tạo để áp dụng phương tiện dạy học vào giảng dạy Phụ huynh học sinh chưa thật quan tâm đến việc học tập em việc học tập em khoán trắng cho giáo viên III Các giải pháp (trọng tâm) 1.Trước hết, để làm tốt dạng tốn liên quan đến phương trình bậc hai chứa tham số học sinh phải nhuần nhuyễn việc giải phương trình bậc hai cách sử dụng công thức nghiệm, hệ thức Vi – ét ứng dụng a, Cơng thức nghiệm phương trình: ax2 + bx + c = (a 0) = b2 – 4ac +Nếu > 0, Phương trình có hai nghiệm phân biệt : x1 = + Nếu ; x2 = = ,Phương trình có nghiệm kép : x1 = x = + Nếu < 0, phương trình vô nghiệm b, Công thức nghiệm thu gọn phương trình: ax2 + bx + c = (a Có : b = 2b’ = b’2 – ac + Nếu > phương trình có hai nghiệm phân biệt : x1 = + Nếu ; x2= = phương trình có nghiệm kép : x1 = x2 = 0) + Nếu < phương trình vơ nghiệm c, Hệ thức Vi – ét ứng dụng Phương trình ax2 + bx + c = (a 0) có nghiệm x1, x2thì * Nếu a + b + c = phương trình có nghiệm x1 = 1; x2 = * Nếu a - b + c = phương trình có nghiệm x1 = -1; x2 = Học sinh phải nắm kiến thức để vận dụng vào tập đơn giản Chẳng hạn: Ví dụ 1: Giải phương trình: 3x2 + 5x – = Có: a = 3; b = 5; c = -1 = b2 – 4ac = 52 – 4.3.(-1) = 37 > Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1= ; x2 = Ví dụ : Giải pt: 5x2 + 4x - = Có a = ; b' = ' c = - ∆' = + = =3 Phương trình có nghiệm phân biệt: x1 = ; x2 = Sau học sinh làm tốt tốn giải phương trình bậc hai, cho học nghiên cứu dạng tốn liên quan đến phương trình ax2 + bx + c = (a 0) (1) có chứa tham số Bài tốn 1: Tìm m để phương trình có nghiệm trái dấu: Để phương trình(1) có nghiệm trái dấu ac < Ví dụ: Tìm m để phương trình sau có nghiệm trái dấu 3x2 + 5x – 2m – = Giải: Để phương trình(1) có nghiệm trái dấu Bài tốn 2: Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt: Để phương trình có nghiệm phân biệt Ví dụ: Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt 3x2 + 5x – 2m – = Giải: Để phương trình có nghiệm phân biệt Để phương trình có nghiệm phân biệt Bài tốn 3: Tìm m để phương trình có 2nghiệm kép: Để phương trình có nghiệm kép Ví dụ: Tìm m để phương trình sau có nghiệm kép x2 + (2m-1)x + +m – = Giải: Để phương trình có nghiệm kép Bài tốn 4: Tìm m để phương trình có nghiệm Để phương trình có nghiệm Ví dụ: Tìm m để phương trình sau có nghiệm x2 + (2m+1)x + Giải: – m +1 = Để phương trình có nghiệm Bài tốn : Tìm m để phương trình vơ nghiệm Để phương trình vơ nghiệm Ví dụ: Tìm m để phương trình sau vơ nghiệm x2 + (2m - 1)x + + m +2 = Giải: Để phương trình vơ nghiệm Bài tốn : Tìm m để phương trình có nghiệm dương Để phương trình có nghiệm dương Ví dụ: Tìm m để phương trình sau có nghiệm dương x2 + 3x + m -2 = Giải: Để phương trình sau có nghiệm dương Bài tốn7 : Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt dương Để phương trình có nghiệm phân biệt dương Ví dụ: Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt dương x2 - 3x +2 m - = Giải: Để phương trình sau có nghiệm phân biệt dương Bài tốn : Tìm m để phương trình có nghiệm âm Để phương trình có nghiệm âm Ví dụ: Tìm m để phương trình sau có nghiệm âm x2 + 5x - 3m + = Giải: Để phương trình sau có nghiệm âm 10 Bài tốn 9: Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt âm Để phương trình có nghiệm phân biệt âm Ví dụ: Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt âm x2 + 3x - m + = Giải: Để phương trình sau có nghiệm phân biệt âm 11 Bài tốn 10: Tìm m để phương trình có nghiệm đối Để phương trình có nghiệm đối Ví dụ: Tìm m để phương trình sau có nghiệm đối x2 + (2m-1)x + m2 - m + = Giải: Để phương trình sau có nghiệm đối 12 Bài tốn 11: Tìm m để phương trình có nghiệm thỏa mãn hệ thức nghiệm phương trình Dạng ta phải hướng dẫn học sinh sử dụng hệ thức Vi –ét để làm Ví dụ: Tìm m để phương trình sau có nghiệm x1;x2 thỏa mãn x12 + x22 – x1x2 = 15 x2 - 2mx + m2 - m + = Giải: Để phương trình sau có nghiệm x1;x2 Theo hệ thức Vi – ét ta có: Theo ra: Kết hợp với điều kiện Ta có : m =3 ** Bài tập áp dụng : 1)Bài tập 1: Cho phương trình :x2 -5x + m + = a, Giải phương trình với m= b, Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt c,Tìm m để phương trình có nghiệm kép Tìm nghiệm kép d, Tìm m để phương trình vơ nghiệm e, Tìm n để phương trình có nghiệm trái dấu f, Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt dương g, Tìm m để phương trình có nghiệm cho nghiệm gấp lần nghiệm 2) Bài tập 2: Cho phương trình :x2 –2(2m-1)x + 3m2 - = a, Giải phương trình với m= b, Chứng minh rằng:Phương trình ln có nghiệm với m c,Gọi x1;x2 nghiệm phương trình Tìm m để x1+2x2=-2 Từ thực tế giảng dạy áp dụng giải pháp nhận thấy học sinh nắm vững kiến thức hơn, hiểu rõ cách giải toán dạng tập Kinh nghiệm giúp học sinh trung bình, học sinh yếu n ắm vững cách làm chương trình học, học rèn luyện kĩ thực hành theo hướng tích cực hố hoạt động nhận thức mức độ khác thông qua chuỗi tập Bên cạnh cịn giúp cho học sinh giỏi có điều kiện tìm hiểu số phương pháp giải khác, dạng toán khác nâng cao hơn, nhằm phát huy tài tốn học, phát huy tính tự học, tìm tịi, sáng tạo học sinh học toán Khảo sát chất lượng qua kiểm tra tiết thu kết sau: Sĩ số Giỏi % Khá % TB % Yếu % Kém % Khi chưa áp dụng chuyên đề 44 9,1% 10 22,7% 21 47,7% 13,6% 6,8% Sau chưa áp dụng chuyên đề 44 13,6% 12 27,3% 23 52,3% 6,8% 0% IV Hiệu sáng kiến đem lại: 4.1 – Hiệu kinh tế: Nếu so sánh với ngành nghề khác hiệu kinh tế sáng kiến kinh nghiệm giảng dạy hơn, khó nhận biết Tuy nhiên khơng phải khơng có giá trị kinh tế cho sáng kiến giảng dạy Sau tiến hành dạy thực nghiệm kết hợp với trình giảng dạy lớp, kết cho thấy hiệu sáng kiến cao Cụ thể học sinh có kỹ giải tốn liên quan đến nghiệm phương trình bậc hai, sáng tạo việc giải toán, đặc biệt biết giải phương trình cách đưa phương trình tích nhanh hơn, hiệu Hạn chế nhiều sai lầm mà trước hay mắc phải, hiểu rõ chất tốn dẫn đến có kết cao sau kiểm tra Từ đó, học sinh hứng thú làm tốn phương trình bậc hai có chứa tham số nói riêng q trình học tốn nói chung, tiết kiệm cho học sinh nhiều quỹ thời gian, giáo viên truyền thụ tới học sinh nhiều kiến thức dung lượng thời gian 4.2 – Hiệu mặt xã hội: a, Kết áp dụng kĩ góp phần nâng cao chất lượng học tập môn học sinh đại trà Cụ thể kết kiểm tra dạng tốn phương trình bậc hai áp dụng qua giai đoạn lớp năm học 2017 – 2018 sau: * Chưa áp dụng giải pháp: Đa số học sinh chưa nắm kỹ phân tích tốn, điều kiện theo u cầu tốn, cách trình bày giải cịn lung tung * Áp dụng giải pháp: - Học sinh hệ thống, nắm kiến thức vận dụng tốt phương pháp giải toán liên quan đến phương trình bậc hai, biết nhận xét đánh giá tốn trường hợp, trình bày hợp lý - Học sinh nắm vững kiến phương trình bậc hai có chưa tham số, vận dụng thành thạo kỹ biến đổi, phân tích, biết dựa vào toán biết cách giải truớc đó, linh hoạt trình bày giải hợp lý có hệ thống logic, cịn số học sinh yếu, chưa thực tốt - Học sinh tích cực tìm hiểu kĩ phương pháp giải, phân loại dạng toán, chủ động lĩnh hội kiến thức, có kĩ giải nhanh tốn có dạng tương tự, đặt nhiều vấn đề mới, nhiều tốn Do từ thực tế giảng dạy áp dụng phương pháp nhận thấy học sinh nắm vững kiến thức hơn, hiểu rõ cách giải toán dạng tập Kinh nghiệm giúp học sinh trung bình, học sinh yếu nắm vững cách phân tích đa thức thành nhân tử chương trình học, học rèn luyện kĩ thực hành theo hướng tích cực hoá hoạt động nhận thức mức độ khác thông qua chuỗi tập Bên cạnh cịn giúp cho học sinh giỏi có điều kiện tìm hiểu thêm số phương pháp giải khác, dạng toán khác nâng cao hơn, nhằm phát huy tài tốn học, phát huy tính tự học, tìm tịi, sáng tạo học sinh học tốn V Đề xuất, kiến nghị: Sáng kiến kinh nghiệm giảng dạy thực kinh nghiệm, học nảy sinh từ thực tế giảng dạy giáo viên Tuy nhiên, để áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào thực tế giảng dạy cần phải có điều kiện khách quan chủ quan xung quanh phát huy giá trị tính thực tiễn sáng kiến KẾT LUẬN CHUNG Thông qua việc nghiên cứu đề tài kinh nghiệm từ thực tiễn giảng dạy, cho phép rút số kết luận sau: - Đối với học sinh yếu kém: Là trình liên tục củng cố sửa chữa sai lầm, cần rèn luyện kỹ để học sinh có khả nắm phương pháp vận dụng tốt phương pháp phân tích vào giải toán, cho học sinh thực hành theo mẫu với tập tương tự, tập từ đơn giản nâng dần đến phức tạp, không nên dẫn em xa nội dung SGK - Đối với học sinh đại trà: Giáo viên cần ý cho học sinh nắm phương pháp bản, kĩ biến đổi, kĩ thực hành việc vận dụng phương pháp đa dạng vào tập cụ thể, luyện tập khả tự học, gợi say mê hứng thú học, kích thích khơi dậy óc tìm tịi, chủ động chiếm lĩnh kiến thức - Đối với học sinh giỏi: Ngoài việc nắm phương pháp bản, ta cần cho học sinh tìm hiểu thêm phương pháp giải nâng cao khác, tập dạng mở rộng giúp em biết mở rộng vấn đề, cụ thể hoá vấn đề, tương tự hoá vấn đề để việc giải toán tốt Qua tập cho học sinh thói quen tự học, tự tìm tịi sáng tạo, khác thác cách giải, khai thác toán khác nhằm phát triển tư cách tồn diện cho q trình tự nghiên cứu em - Đối với giáo viên: Giáo viên thường xuyên kiểm tra mức độ tiếp thu vận dụng học sinh trình cung cấp thơng tin có liên quan chương trình đại số đề cập Giáo viên phải định hướng vạch dạng toán mà học sinh phải liên hệ nghĩ đến để tìm hướng giải hợp lý đề cập, giúp học sinh nắm vững dạng toán rèn luyện giải tốn liên quan đến phương trình bậc hai cách tường minh dạng tập để tìm hướng giải sau biết áp dụng phát triển nhanh tập tổng hợp, kĩ vận dụng Đồng thời tạo điều kiện để học sinh phát triển tư cách toàn diện, gợi suy mê hứng thú học tập, tìm tịi sáng tạo, kích thích khơi dậy khả tự học học sinh, chủ động học tập học toán Nếu thực tốt phương pháp trình giảng dạy học tập chất lượng học tập môn học sinh nâng cao hơn, đào tạo nhiều học sinh giỏi, đồng thời tuyển chọn nhiều học sinh giỏi cấp trường, cấp huyện, Qua trình giảng dạy nhiều năm bậc THCS, chừng mực thân có sáng tạo có tác dụng thiết thực nâng cao chất lượng sáng tạo trị, tơi tiếp tục nghiên cứu, thử nghiệm Rất mong cộng tác đồng nghiệp để tạo thành lý luận hoàn chỉnh giúp học sinh khơng ngừng phát huy tính sáng tạo Xin trân trọng cảm ơn! Xuân Thượng, ngày 12 tháng năm 2016 Tác giả sáng kiến Nguyễn Văn Thế VI TÀI LIỆU THAM KHẢO Phan Đức Chính cộng (2008) Sách giáo khoa Toán 9, tái lần thứ 6, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội Phan Đức Chính cộng (2008) Sách giáo viên Tốn 9, tái lần thứ 6, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội 3 Vũ Dương Thụy cộng (2005 ) Toán Nâng cao chuyên đề Đại số 9, Tôn Thân cộng (2009) Các dạng toán phương pháp giải Toán tập 1, tái lần thứ Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, công ty cổ phần dịch vụ xuất giáo dục Đà Nẵng Vũ Hữu Bình (2010) Toán nâng cao Toán tập 2, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, công ty cổ phần đầu tư phát triển giáo dục Hà Nội Vũ Hữu Bình (2008) Nâng cao phát triển Toán tập 2, tái lần thứ 4, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội Bùi Văn Tuyên (2005) B ài tập nâng cao số chuyên đề Toán 9, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội I.Điều kiện, hoàn cảnh tạo sáng kiến: Trang II Thực trạng (trước tạo sáng kiến) Trang III, Các giải pháp (trọng tâm) Trang Giải pháp 1: Các phương pháp sai lầm cần tránh Trang 1.1) Phương pháp đặt nhân tử chung Trang 1.2) Phương pháp dùng đẳng thức Trang 1.3) Phương pháp nhóm hạng tử Trang Trang 13 1.4) Phối hợp phương pháp Trang 14 Giải pháp 2: Các phương pháp nâng cao sai lầm cần tránh Trang 15 2.1) Phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử 2.2) Phương pháp nhẩm nghiệm Trang 17 2.3) Phương pháp thêm bớt hạng tử Trang 20 Trang 21 2.4) Phương pháp đổi biến Trang 24 2.5) Phương pháp hệ số bất định Trang 24 2.6) Phương pháp xét giá trị riêng IV HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI Trang 27 V ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG Trang 27 VI TÀI LIỆU THAM KHẢO Trang 29 VII PHỤ LỤC Trang 30 CƠ QUAN, ĐƠN VỊ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN (Xác nhận, đánh giá, xếp loại) ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… … ……………… ... Để phương trình có nghiệm kép Bài tốn 4: Tìm m để phương trình có nghiệm Để phương trình có nghiệm Ví dụ: Tìm m để phương trình sau có nghiệm x2 + (2m+1)x + Giải: – m +1 = Để phương trình có. .. Để phương trình có nghiệm phân biệt Để phương trình có nghiệm phân biệt Bài tốn 3: Tìm m để phương trình có 2nghiệm kép: Để phương trình có nghiệm kép Ví dụ: Tìm m để phương trình sau có nghiệm... =3 Phương trình có nghiệm phân biệt: x1 = ; x2 = Sau học sinh làm tốt toán giải phương trình bậc hai, cho học nghiên cứu dạng toán liên quan đến phương trình ax2 + bx + c = (a 0) (1) có chứa tham