tổng hợp các bài tập phương trình bậc 2 có chứa tham số ( có hướng dẫn chi tiết )

Bài 1: Phương trỡnh: 2x2 + (2m1)x + m 1= 0 (1)1. Thay m = 2 vào phương trỡnh (1) ta cú. 2x2 + 3x + 1 = 0 Cú ( a b + c = 2 3 + 1 = 0)=> Phương trỡnh (1) cú nghiệm x1 = 1 ; x2 = 122. Phương trỡnh (1) cú = (2m 1)2 8(m 1) = 4m2 12m + 9 = (2m 3)2 0 với mọi m.=> Phương trỡnh (1) luụn cú hai nghiệm x1; x2 với mọi giỏ trị của m.+ Theo hệ thức Vi ột ta cú: + Theo điều kiện đề bài: 4x12 + 4x22 + 2x1x2 = 1 4(x1 + x2)2 6 x1x2 = 1 ( 1 2m)2 3m + 3 = 1 4m2 7m + 3 = 0 + Cú a + b + c = 0 => m1 = 1; m2 = 34 Vậy với m = 1 hoặc m = 34 thỡ phương trỡnh (1) cú hai nghiệm x1; x2 thoả món: 4x12 + 4x22 + 2x1x2 = 1 Bài 2: . Cho phương trỡnh x2 – 2mx + m 2 – m + 3 =0Tỡm biểu thức x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất. ( a = 1 ; b = 2m => b’ = m ; c = m2 m + 3 ) Ä’ = ...= m2 1. ( m2 m + 3 ) = m2 m2 + m 3 = m – 3 ,do pt cú hai nghiệm x1 ; x 2 (với m là tham số ) Ä’ ≥ 0 m ≥ 3 .Áp dụng hệ thức Viột ta cú:x1 + x2 = 2mx1 . x2 = m2 m + 3 x12 + x22 = ( x1 + x2) 2 – 2x1x2 = (2m)2 2(m2 m + 3 )=2(m2 + m 3 ) =2(m2 + 2m + ) =2(m + )2 =2(m + )2 Do điều kiện m ≥ 3 m + ≥ 3+ = (m + )2 ≥ 2(m + )2 ≥ 2(m + )2 ≥ = 18Vậy GTNN của x12 + x22 là 18 khi m = 3Bài 3. a)Giảiphương trỡnh (1) khi m = 1: Thay m = vào phương trỡnh (1) ta được phương trỡnh: b) Xác định m để phương trỡnh (1) cú hai nghiệm phõn biệt, trong đó một nghiệm bằng bỡnh phương của nghiệm cũn lại. Phương trỡnh (1) cú hai nghiệm phõn biệt ∆’ = m2 (m 1)3 > 0 ()Giả sử phương trỡnh cú hai nghiệm là u; u2 thỡ theo định lí Viét ta có: () PT (thỏa món đk () )Vậy m = 0 hoặc m = 3 là hai giỏ trị cần tỡm.Lưu ý: Cú thể giả sử phương trỡnh cú hai nghiệm, tỡm m rồi thế vào PT(1) tỡm hai nghiệm của phương trỡnh , nếu hai nghiệm thỏa món yờu cầu thỡ trả lời. Ở trường hợp trên khi m = 0 PT (1) có hai nghiệm thỏa món , m = 3 PT (1) cú hai nghiệm thỏa món .Bài 4 . Cho phương trỡnh bậc hai: x22(m1)x+2m3=0. (1)a)Chứng minh rằng phương trỡnh (1) cú nghiệm với mọi giỏ trị của m. x2 2(m1)x + 2m 3=0.Cú: ’ = = m22m+12m+3 = m24m+4 = (m2)2 0 với mọi m.Phương trỡnh (1) luụn luụn cú nghiệm với mọi giỏ trị của m.b)Phương trỡnh (1) cú hai nghiệm trỏi dấu khi và chỉ khi a.c < 0 2m3 < 0 m < .Vậy : với m < thỡ phương trỡnh (1) cú hai nghiệm trỏi dấu.Bài 5.: Cho phương trình (2m1)x22mx+1=0Xác định m để phương trình trên có nghiệm thuộc khoảng (1,0)Giải: Phương trình: ( 2m1)x22mx+1=0•Xét 2m1=0=> m=12 pt trở thành –x+1=0=> x=1 •Xét 2m10=> m 12 khi đó ta có = m22m+1= (m1)20 mọi m=> pt có nghiệm v

2 1

2 1

2 1

m x x

m x

bằng bỡnh phương của nghiệm cũn lại.

Phương trỡnh (1) cú hai nghiệm phõn biệt  ∆’ = m2 - (m - 1)3 > 0 (*)Giả sử phương trỡnh cú hai nghiệm là u; u2 thỡ theo định lí Vi-ét ta có:

Vậy m = 0 hoặc m = 3 là hai giỏ trị cần tỡm

Lưu ý: Cú thể giả sử phương trỡnh cú hai nghiệm, tỡm m rồi thế vào PT(1) tỡm

hai nghiệm của phương trỡnh , nếu hai nghiệm thỏa món yờu cầu thỡ trả lời.

Cho phương trỡnh bậc hai: x2-2(m-1)x+2m-3=0 (1)

a) Chứng minh rằng phương trỡnh (1) cú nghiệm với mọi giỏ trị của m

x2 - 2(m-1)x + 2m - 3=0

Cú: ’ =  m 1 2  ( 2m 3 )

= m2-2m+1-2m+3

= m2-4m+4 = (m-2)2  0 với mọi m

 Phương trỡnh (1) luụn luụn cú nghiệm với mọi giỏ trị của m

b) Phương trỡnh (1) cú hai nghiệm trỏi dấu khi và chỉ khi a.c < 0

2

3

thỡ phương trỡnh (1) cú hai nghiệm trỏi dấu

Bài 5.: Cho phương trình (2m-1)x2-2mx+1=0

Xác định m để phương trình trên có nghiệm thuộc khoảng (-1,0)

Giải: Phương trình: ( 2m-1)x2-2mx+1=0

 Xét 2m-1=0=> m=1/2 pt trở thành –x+1=0=> x=1

 Xét 2m-10=> m 1/2 khi đó ta có

,

 = m2-2m+1= (m-1)20 mọi m=> pt có nghiệm với mọi m

ta thấy nghiệm x=1 không thuộc (-1,0)

với m 1/2 pt còn có nghiệm x=

1 2

=

1 2

0 1 1 2

0 1 2 2

m m

m

=>m<0

Vậy Pt có nghiệm trong khoảng (-1,0) khi và chỉ khi m<0

Bài 6: Cho phương trình: x2-( 2m + 1)x + m2 + m - 6= 0 (*)

a.Tìm m để phương trình (*) có 2 nghiệm âm

b.Tìm m để phương trình (*) có 2 nghiệm x1; x2 thoả mãn 23

0 6

0 6 4

m

x

x

m m

x

x

m m m

2 1

0 ) 3 )(

2 (

0 25

5 1

0 1 50

) 7 3 3 ( 5

2 1

2 2

m m

m m m

0 6

0 6 4

m

x

x

m m

x

x

m m m

2 1

0 ) 3 )(

2 (

0 25

5 1

0 1 50

) 7 3 3 ( 5

2 1

2 2

m m

m m m

thì phương trình : ct2 + bt + a =0 cũng có hai nghiệm dương phân biệt t1 ; t2

Bài 9: Cho phương trình : x2 -2(m - 1)x + m2 - 3 = 0 ( 1 ) ; m là tham số

a/ Tìm m để phương trình (1) có nghiệm

b/ Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm sao cho nghiệm này bằng ba lần nghiệm kia

Giải :a/ Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi ’  0

 m = –32 6 ( thõa mãn điều kiện)

Bài10: Cho phương trình 2x2 + (2m - 1)x + m - 1 = 0

Không giải phương trình, tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1;

x2 thỏa mãn: 3x1 - 4x2 = 11

Giải:

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 thì  > 0

2

1 m x x

2

1 2m x

x

2 1

2 1

2 1

7 7m 4 7

4m - 13 3

8m - 26

7 7m x

7

4m - 13 x

1 1

8m - 26

7 7m 4 7

4m - 13

a Chứng minh rằng pt luôn luôn có nghiệm với m

b Gọi x1, x2 là hai nghiệm của pt Tìm GTLN, GTNN của bt

 1

2

3 2

2 1

2 2

2 1

2 1

x

x x P

x

2

1 2

2 2

1

1 2

m GTLN

P

Bài 12: Cho phương trình

3 2

2

 x2- mx +

3 2

2

 m2 + 4m - 1 = 0 (1)a) Giải phương trình (1) với m = -1

b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm thoã mãn 1 2

2 1

1 1

x x x

x   

2

9 2

10 1

2 8

2 3 4

0 1 4 2

1

2 1 2

m m

m m

0 0

) 1 )(

( 1

1

2 1

2 1 2

1 2 1 2

1 2

x x x

x x x x

19 4

0 0

3 8

0

2

2

m m

m m

m

m

Kết hợp với điều kiện (*)và (**) ta được m = 0 và m  4  19

Bài 13 : Tìm tất cả các số tự nhiên m để phương trình ẩn x sau:

Có 2 nghiệm x1 và x2 thoã mãn một trong 2 điều kiện sau:

a/ Nghiệm này lớn hơn nghiệm kia một đơn vị

b/ 2x1+3x2=13

GiảI HPT ta được m=0 và m=1 thỏa mãn ĐK

Bài 15: Cho phương trình x2 - 2(m-1)x + m - 3 = 0 (1)

a Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt

b Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình (1) màkhông phụ thuộc vào m

2 1

2 1

m x x

m x

2 2

2 1

2 1

m x x

m x x

15

VậyPmin =

Vậy GTNN của M là

-2

1

khi m=1

Bai17: Cho phương trình (2m-1)x2 -2mx+1=0

Xác định m để phương trình trên có nghiệm thuộc khoảng (-1,0)

Phương trình: ( 2m-1)x2-2mx+1=0

 Xét 2m-1=0=> m=1/2 pt trở thành –x+1=0=> x=1

 Xét 2m-10=> m 1/2 khi đó ta có

,

 = m2-2m+1= (m-1)20 mọi m=> pt có nghiệm với mọi m

ta thấy nghiệm x=1 không thuộc (-1,0)

với m 1/2 pt còn có nghiệm x=

1 2

=

1 2

0 1 1 2

0 1 2 2

m m

m

=>m<0 Vậy Pt có nghiệm trong khoảng (-1,0) khi và chỉ khi m<0

Bài 18:

Cho phương trỡnh bậc hai ẩn x, tham số m : x2 – 2(m + 1)x + m2 – 1 = 0Tính giá trị của m, biết rằng phương trỡnh cú hai nghiệm x1, x2 thỏa mónđiều kiện :

Bài 19:

Cho phương trỡnh bậc hai ẩn x, tham số m : x2 – 2(m + 1)x + m2 – 1 = 0Tính giá trị của m, biết rằng phương trỡnh cú hai nghiệm x1, x2 thỏa mónđiều kiện :

a) Chứng minh rằng phương trỡnh luụn luụn cú 2 nghiệm phõn biệt

với mọi giỏ trị của m

b) Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trỡnh Tỡm m để biểu thứcsau đạt giá trị lớn nhất: A = 2 2

1 Giải phương trình (1) khi m = 2.

2 Tìm giá trị của tham số m để x = -2 là một nghiệm của phương trình (1)

Giải :

a) Khi m = 2 thỡ phương trỡnh (1) trở thành: x2 – 3x + 2 = 0 (*)

Vỡ phương trỡnh (*) là một phương trỡnh bậc hai cú: a + b + c = 1 + (-3) +

2 = 0

Nên phương trỡnh (*) cú hai nghiệm là x1 = 1 v à x2 = 2

b) Giả sử x = - 2 là một nghiệm của phương trỡnh (1) Thay x = - 2 vào phương trỡnh (1) ta được: ( 2 ) 2 ( 1 ).( 2 ) 2 2 0

Giải : phương tŕnh với m=-3

T́m m để PT có hai nghiệm thỏa măn (x1-x2)2=4

Với m=-3 phương tŕnh trở thành x2-2(-3+1) +2(-3)+3=0

Giải ra ta có x1=-2+ 7 x2= -2- 7

B, ( x1- x2)2= 4

=(m+1)2- (2m+3) = m2-2 để PT có hai nghiệm thì

Đen ta lơn hơn hoặc bằng không

Theo định lư vi ét x1+x2= 2( m+1)

x1.x2= 2m +3v́ PT có hai nghiệm thỏa măn (x1-x2)=4

2 2

2 2

2 2 1

2

2 2 1

m m x x

m m

m m x x

thay vào , tìm được m

2) S =

2 2

2 2

2 2

m m

.Sau đó xét hiệu S – (3  2 2) và hiệu S – (3  2 2) ta tìm được max, min

Hoặc dùng phương pháp đenta

Bài 24 : Cho phương trình: x2-( 2m + 1)x + m2 + m - 6= 0 (*)

a.Tìm m để phương trình (*) có 2 nghiệm âm

b.Tìm m để phương trình (*) có 2 nghiệm x1; x2 thoả mãn 23

0 6

0 6 4

m

x

x

m m

x

x

m m m

2 1

0 ) 3 )(

2 (

0 25

5 1

0 1 50

) 7 3 3 ( 5

2 1

2 2

m m

m m m

thì phương trình : ct2 + bt + a =0 cũng có hai nghiệm dương phân biệt t1 ; t2

Bài 26: x2 – 2mx – 1 = 0 (m là tham số)

a) Chứng minh phương trỡnh trờn luụn cú 2 nghiệm phõn biệt.

nghiệm phõn biệt

Cỏch 2: Ta thấy với mọi m, a và c trỏi dấu nhau nên phương trỡnh luụn cú

hai phõn biệt

b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trỡnh trờn Tỡm m để

Vậy m thoả yờu cầu bài toỏn  m =  1

2 2

2 1

.x x

x

x 

=  

2 1

2 1

2 2 1

.

2

x x

x x x

x  

= – 6

Bài 28:

Cho phương trỡnh ẩn x: x4 – 2mx2 + m2 – 3 = 0

a) Giải phương trỡnh với m = 3

b) Tỡm m để phương trỡnh cú 3 nghiệm phõn biệt

0

3 , 2

1

x x

Vậy phương trỡnh đó cho cú 3 nghiệm là :

Vậy m = - 3 khụng thoả món loaị

Tóm lại phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt  m = 3

nhận x = 2 là nghiệm Tỡm nghiệm cũn lại của phương trỡnh?

Giải: Phương trỡnh đó cho nhận x1 = 2 là nghiệm

2

3

2 2







a a

a

+) Nếu a = -2 , nghiệm cũn lại của phương trỡnh là

b) Tỡm m để phương trỡnh (1) cú nghiệm và cỏc nghiệm ấy là số đo của hai cạnh gúc vuụng của một tam giỏc vuụng cú cạnh huyền bằng 3

Giả sử phương trỡnh cú 2 nghiệm x1 vaứ x2 là số đo của 2 cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 3

=> x1 > 0 ; x2 > 0 và x12 + x22 = 9

Bài 31:

a) Giải phương trỡnh khi a=1

b) Tỡm a để phương trỡnh cú 4 nghiệm Khi đó tồn tại

hay không giá trị lớn nhất của:

Giải :

Phương trỡnh đó cho cú thể biến đổi thành:

a) Với a=1 phương trỡnh đó cho trở thành:

nhất là 2 nghiệm Để phương trỡnh đó cho cú 4 nghiệm thỡ mỗi phương trỡnh như trên phải có đúng 2 nghiệm và các nghiệm đó khác 0 Như vậy, đểphương trỡnh ban đầu có 4 nghiệm, điều kiện cần và đủ là:

*Với phương trỡnh đó cho cú 4 nghiệm là:

Như thế:

=

Tuy nhiờn và không đạt được giá trị nờn S khụng cú giỏ trị lớnnhất!

Bài 32: Cho phương trình x2- 2 (k -1 )x + 2k – 5 = 0 ( ẩn x )

a Chứng minh rằng PT có nghiệm với mọi k

a) Cho phơng trình x23x m 0 (1) Với những giá trị nào của m thì

phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt ? Khi đó gọi x1 và x2 là hainghiệm của phơng trình Tìm giá trị của m để 2 2

Cho phơng trình x2  6mx  4 0 Tìm giá trị của m, biết rằng phơng trình

đã cho có hai nghiệm x1 và x2 thỏa mãn điều kiện 2 2

2 3

2 9

4 0

16 2

7 16

ddeuf thỏa mãn điều kiện

a) Giải phương trình với m = 1

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ,x2

c) Với điều kiện của câu b hãy tìm m để biểu thức A = x1 x2 - x1 - x2 đạt giá trị nhỏ nhất

S = x1 + x2 = 2m và P = x1x2 = m2 – m + 1

Do đó : A = P - S = m2 -m + 1 - 2m = m2 -3m + 1 = − ≥ –

Bài 36: Cho phương trình: x2 - 2(m - 1)x + m2 - 7 = 0

a, Giải phơng trình trên khi m = 2

b, Tìm m để phơng trình trên có 2 nghiệm phân biệt

a Với m = 2 thay vào đợc x2 - 2x - 3 = 0

Suy ra m < 4 và kết luận m < 4 phơng trình có nghiệm

Bài 37.): Cho phương trỡnh ẩn x: x2  (m 1)x 6 0  (1) (m là tham số)

a Tỡm cỏc giỏ trị của m để phương trỡnh (1) cú nghiệm x 1   2

b Tỡm cỏc giỏ trị của m để phương trỡnh (1) cú 2 nghiệm x x1 , 2 sao

2 3 1

6

0 3 2

2

1 2

1

2 1

2 1

2 1

m x

x va m

x x m

2- Gọi x1,x2 là hai nghiệm của phương trình Chứng tỏ M = x1 + x2 - x1x2

không phụ thuộc vào giá trị của m

x x

a x x

1 1

4

2

1 2

1

x

x hoac x

x

Suy ra a=6 hoặc a=-2 thỏa mãn ddieuf kiện

Bài 40 : Cho phương trình bậc hai ẩn x: x2 - 4x + m + 1 = 0

1 Giaỉ phương trình khi m = 3

2 Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiêm

3 Tìm giá trị của m sao cho phương trình có hai 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãnđiều kiện x12 + x22 = 10

GiảI :

1 Khi m = 3, phương trình đã cho trở thành : x2- 4x + 4 = 0  (x - 2)2 =

0  x = 2 là nghiệm kép của phương trình

2 Phương trình có nghiệm  ’ ≥ 0  (-2)2 -1(m + 1) ≥ 0  4 - m -1 ≥

0  m ≤ 3

Vậy với m ≤ 3 thì phương trình đã cho có nghiệm

3 Với m ≤ 3 thì phương trình đã cho có hai nghiệm Gọi hai nghiệmcủa phương trình là x1, x2 Theo định lý Viét ta có : x1 + x2 = 4 (1),

x1.x2 = m + 1 (2) Mặt khác theo gt : x12 + x22 = 10  (x1 + x2)2 - 2

x1.x2 = 10 (3) Từ (1), (2), (3) ta được :16 - 2(m + 1) = 10  m = 2 <3(thoả mãn) Vậy với m = 2 thì phương trình đã cho có 2 nghiệmthoả mãn điều kiện x12 + x22 = 10

Bài 41 : Cho PT x4-2mx2+m2-4 = 0

A, Giải PT với m= -1

B , Tìm m để PT có 4 nghiệm ?

1

2 ,

m

t

t

m m

A, Chứng minh rằng PT có nghiệm với mọi m

B, gọi x1x2 là hai nghiệm của PT tìm m để 2x1+x2 = 5

Giả a, vậy PT có nhiệm với mọi m

B, x1x2 là hai nghiệm của PT

1 0

3 2 )

2 ( 4 ) 1 3 ( 4 4

)

2 1

B, Tìm m để PT có 2 nghiệm phân biệt x1,,x2 mà x12+x2 –x1x2 =121

Giai a, khi m = -3 ta có x2-2x+1=0 suy ra x = 1

3 0

, 24 8 8 )

A, Chứng minh rằng với mọigiá trj của m thì PT có hai nghiệm phân biệt

B , Gọi x1 , x2 là các nghiệm của PT tìm tất cả giá trị của m sao cho

x

x

2 1

55

x x

GiảI a,  (m2+1)2-4(m-2)=m4+2m2+1 -4m +8= m4-2m2+1+4m2-4m +1+7=(m2-1)2+(2m-1)2+7 >0với mọi m vậy PT luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

Bài 46 : Cho PT (m+1)x2 -2(m-1)x+m-3 = 0 ẩn x m là tham số (m  1 )

A, Chứng minh PT có nghiệm với mọi x ?:

B, Tìm m để PT có có hai nghiệm cùng dấu :

C,Tìm m để PT có nghiệm này gấp đôI nghiệm kia ?

GiảI : a, ,

 =(m-1)2-(m+1)(m-3) = m2-2m +1-m2+3m-m+3=4>0

Vởy PT có nghiệm với mọi m

B, Để PT có hai nghiệm cùng dấu thì ;

0 4 0

1

2 1

m

Giả sử : Trường hợp 1 : 1=m m132 suy ra m+1=2m-6

7 2

m m

m m

m m

9 (m 2

=2(m+

2

95 2

95 )

0 9

4 ) 3

5 ( 0 9

4 ) 5

3 (

3  2      2     





để PT có hai nghiệm phân biệt x1,x2 cùng dấu thì P >0

m m

B, Chứng minh rằng PT có nghiệm với mọi m

C, gọi x1,x2 là 2 nghiệm của PT (1) CMR K=x1(!-x2)+x2(1-x1) không phụ thuộc vào m

GiảI a, m=1 ta có x1=2+ 7 x2=2- 7

B,

m m

m m m

m m

m

4

19 ) 2

1 ( 5 4

1 2 )

4 ( )

1 0

5 ) 2

3 ( 0 4

5 4

9 3

B, Tìm giá trị NN của M = x12+x22 với x1, x2 là nghiệm

GiảI : a, với m=2 PT trở thành x2 -2x =0 vậy x= 0 x=2

A, Chứng minh rằng PT có nghiệm với mọi m

B, Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1, x2 của PT độc lập với m

1

2 2

x

x x x

) (

4 4

)

2 1

2 2 1 2

GiảI : Với m=-1 PT có hai nghiệm x1=-1 , x2=-4

B với m 0PT có hai nghiệm phân biệt lúc đó

X1+x2=5m suy ra x2=5m-x1