ThS. Đoàn Vương Nguyên Chuyên đề Đại số Trang 1 CHUN ĐỀ SỬ DỤNG HÀM SỐ TÌM ĐIỀU KIỆN NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN Bài tốn: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình f(x) = g(m) (1) có nghiệm thực x X Ỵ . Trong đó m là tham số, X là tập hợp con của ¡ . Các bước giải tổng qt: i) Bước 1: Tìm GTNN (min f(x)) và GTLN (max f(x)) của f(x) trên X. ii) Bước 2: min f(x) g(m) max f(x) £ £ . Chú ý: i) Nếu bài tốn khơng hạn chế khoảng nghiệm thì ta xem f(x) X D = (miền xác định của f(x)). ii) Nếu hàm f(x) khơng đạt min hoặc max thì ta phải dùng giớ i hạn, ta có thể thay bước 2) bằng bảng biến thiên (BBT) của f(x). iii) Đố i với câu hỏi tìm điều kiện m để phương trình có từ 2 nghiệm phân biệt trở lên thì ta phải dùng BBT. 4i) Đơi khi ta phải đặt ẩn phụ t = t(x) và nhớ tìm điều kiện của t (miền giá trị của t). II. CÁC DẠNG BÀI TỐN THƯỜNG GẶP Bài 1. Tìm điều kiện của m để phương trình 2 x 2x m 2x 1 + - = - (1) 1) có nghiệm thực, 2) có 1 nghiệm thực, 3) có 2 nghiệm thực phân biệt. HƯỚNG DẪN GIẢI (1) 2 2 2 1 1 x x 2 2 x 2x m (2x 1) m 3x 6x 1. ì ì ï ï ï ï ³ ³ ï ï Û Û í í ï ï ï ï + - = - = - + - ï ï ỵ ỵ Đặt 2 y 3x 6x 1 = - + - , với 1 x 2 ³ ta có: Bảng biến thiên x -¥ 1 2 1 +¥ y 2 5 4 -¥ Dựa vào bả ng biến thiên, ta có: ThS. ẹoaứn Vửụng Nguyeõn Chuyeõn ủe ẹaùi soỏ Trang 2 1) m 2 Ê , 2) 5 m m 2 4 < = , 3) 5 m 2 4 Ê < . Bi 2. Tỡm iu kin ca m phng trỡnh 1 1 x x x m 2 4 + + + + = (2) cú nghim thc. HNG DN GII t 2 1 1 t x 0 x t 4 4 = + = - , (2) tr thnh: 2 2 2 2 1 1 1 1 t t t m t t m t m 4 4 4 2 ổ ử ữ ỗ - + + + = + + = + = ữ ỗ ữ ữỗ ố ứ . Do 2 1 1 t 0 t 2 4 ổ ử ữ ỗ ị + ữ ỗ ữ ữ ỗ ố ứ nờn (2) cú nghim 1 m 4 . Bi 3. Tỡm iu kin ca m phng trỡnh 2 2 m 16 x 4 0 16 x - - - = - (3) cú nghim thc. HNG DN GII t 2 t 16 x t (0; 4] = - ị ẻ , (3) tr thnh 2 m t 4 0 t 4t m t - - = - = . Lp BBT ca hm s y = t 2 4t, ta cú 4 m 0 - Ê Ê . Chỳ ý: Nu gii nh bi 2, ta s loi mt m = 0. Do ú nờn lp BBT trỏnh sai sút. Bi 4. Tỡm iu kin ca m phng trỡnh x 1 x 2 m 2 0 x 2 x 1 - + - + = + - (4) cú nghim thc. HNG DN GII t x 1 t t (0; ) \ {1} x 2 - = ị ẻ +Ơ + , (4) tr thnh 2 m t 2 0 t 2t m t - + = + = . Lp BBT ca hm s y = t 2 + 2t, ta cú 0 m 3 < ạ . Bi 5. Tỡm iu kin ca m phng trỡnh 4 2 x 1 m x 1 2 x 1 0 + - - + - = (5) cú nghim thc. HNG DN GII iu kin: x 1 . + x = 1: (5) vụ nghim. + x > 1: 4 4 x 1 x 1 (5) m 2 0 x 1 x 1 + - - + = - + . t 4 4 x 1 2 t 1 t (1; ) x 1 x 1 + = = + ị ẻ +Ơ - - , (5) tr thnh 2 m t 2 0 t 2t m t - + = + = . Lp BBT ca hm s y = t 2 + 2t, ta cú m > 3. Bi 6. Tỡm iu kin ca m phng trỡnh 2 x 2x 3 x m - - = + (6) 1) cú nghim thc, 2) cú 2 nghim phõn bit. HNG DN GII Ta cú (6) 2 x 2x 3 x m. - - - = t 2 y x 2x 3 x, x 1 x 3 = - - - Ê - ThS. ẹoaứn Vửụng Nguyeõn Chuyeõn ủe ẹaùi soỏ Trang 3 2 2 2 x 1 x 1 x 2x 3 y' 1 x 2x 3 x 2x 3 - - - - - ị = - = - - - - . Bng bin thiờn x -Ơ 1 3 +Ơ y + y +Ơ 1 - 1 3 Da vo b ng bin thiờn: 1) 3 m 1 m 1 - Ê < - , 2) khụng cú m. Bi 7. Bin lun theo m s nghim thc ca phng trỡnh x 1 1 x m + + - = (7). HNG DN GII Xột hm s / 2 1 x 1 x f(x) 1 x 1 x, x [ 1; 1] f (x) 2 1 x - - + = + + - ẻ - ị = - . Bng bin thiờn x -Ơ 1 0 1 +Ơ f(x) + 0 f(x) 2 2 - 2 Da vo b ng bin thiờn, ta cú: + m 2 m 2 < > : (7) vụ nghim. + m = 2: (7) cú 1 nghim. + 2 m 2 Ê < : (7) cú 2 nghim phõn bit. Bi 8. Tỡm iu kin m phng trỡnh 2 x 9 x x 9x m + - = - + + (8) cú nghim thc. HNG DN GII 2 2 2 2 0 x 9 x 9 x 0 (8) (9x x ) 2 9x x 9 m. 9 2 9x x 9x x m ỡ ỡ ù Ê Êù + - ù ù ù ớ ớ ù ù - - + - + = + - = - + ù ù ợ ù ợ t 2 x (9 x) 9 t 9x x 0 t , x [0; 9] 2 2 + - = - ị Ê Ê = " ẻ , ta cú (8) tr thnh: 2 t 2t 9 m - + + = . Lp BBT ca hm s 2 y t 2t 9 = - + + trờn [0 ; 9/2] ta cú 9 m 10 4 - Ê Ê . Bi 9. Tỡm iu kin m phng trỡnh x 4 x 4 x x 4 m + - + + - = (9) cú nghim thc. HNG DN GII t 2 t x 4 0 x t 4. = - ị = + Ta cú (9) tr thnh: 2 2 2 t 4t 4 t 4 t m t 2t 6 m. + + + + + = + + = Lp BBT ca hm s 2 y t 2t 6, t 0 = + + ta cú m 6 . Bi 10. Tỡm iu kin m phng trỡnh x m x 6 x 9 x 6 x 9 6 + + - + - - = (10) cú nghim thc. HNG DN GII ThS. ẹoaứn Vửụng Nguyeõn Chuyeõn ủe ẹaùi soỏ Trang 4 t 2 t x 9 0 x t 9 = - = + . Ta cú (10) tr thnh: 2 2 2 t 9 m t 6t 9 t 6t 9 6 + + + + + - + = ( ) 2 6 t 3 t 3 t 9 m + + - = + + 2 2 t 12t 9 m, t 3 (*) t 27 m, 0 t 3 (**) ộ - + - = ờ ờ - + = Ê < ờ ở + Lp BBT ca hm s 2 y t 12t 9,t 3 = - + - ta suy ra (*) cú nghim thc m 27 Ê . + Do 2 18 t 27 27, t [0; 3) < - + Ê " ẻ nờn (**) cú nghim thc 18 m 27 < Ê . Vy vi m 27 Ê thỡ (10) cú nghim thc. Bi 11. Tỡm m phng trỡnh x 1 3 x (x 1)(3 x) m - + - - - - = (11) cú nghim thc. HNG DN GII t t x 1 3 x 0 = - + - ị 2 t 2 2 x 1. 3 x 2 t 2. = + - - ị Mt khỏc 2 t 2 2 x 1. 3 x 2 [(x 1) (3 x)] 4 2 t 2. = + - - Ê + - + - = ị Ê Ê Ta cú (11) tr thnh: 2 2 t 2 1 t m t t 1 m. 2 2 - - = - + + = Lp BBT ca hm s 2 1 y t t 1, t 2; 2 2 ộ ự = - + + ẻ ờ ỳ ở ỷ ta cú 1 m 2 Ê Ê . Chỳ ý: Nờn lp BBT ca t x 1 3 x = - + - tỡm min giỏ tr t. Bi 12. Tỡm m phng trỡnh 1 x 8 x (1 x)(8 x) m + + - + + - = cú nghim thc. ỏp s: 9 6 2 3 m 2 + Ê Ê . Bi 13. Tỡm m phng trỡnh 4 4 4 x 4x m x 4x m 6 + + + + + = (13) cú nghim thc. HNG DN GII t 4 4 t x 4x m 0. = + + Ta cú: (13) 4 2 4 4 t t 6 0 t 2 x 4x m 2 x 4x 16 m + - = = + + = - - + = . Lp BBT ca hm s 4 y x 4x 16 = - - + trờn Ă ta cú m 19 Ê . Bi 14. Tỡm iu kin ca m phng trỡnh 3 2 2 1 x 2 1 x m - + - = (14) 1) cú nghim thc duy nht, 2) cú nghim thc. HNG DN GII 1) Nhn thy nu x 0 l nghim ca (14) thỡ x 0 cng l nghim ca (14). Suy ra 0 0 0 x x x 0 = - = l nghim duy nht ca (14). Th x 0 = 0 vo (14) ta c m = 3. Th li ta thy (14) cú nghim duy nht. Vy m = 3. 2) t 6 2 t 1 x 0 t 1 = - ị Ê Ê . Ta cú (14) tr thnh 3 2 t 2t m + = . Lp BBT ca hm s 3 2 y t 2t = + trờn [0 ; 1] ta suy ra 0 m 3 Ê Ê . Bi 15. Chng t rng phng trỡnh 2 3x 1 2x 1 mx 2x 1 - = - + - (15) luụn cú nghim thc vi mi giỏ tr ca m. ThS. ẹoaứn Vửụng Nguyeõn Chuyeõn ủe ẹaùi soỏ Trang 5 HNG DN GII 2 2 1 1 2x 1 0 x x 2 2 (15) 3x 1 3x 23x 2x 2x 1 mx m mx 2x 1 2x 1 2x 1 ỡ ỡ ù ù ỡ ù ù - >ù > > ù ù ù ù ù ù ù ù ù ớ ớ ớ - ù ù ù - - = ù ù ù = = ù ù ù ù ợ - ù ù ù ù ợ - ợ - . Xột hm s / 3x 2 1 3x 1 f(x) , x f (x) 2 2x 1 (2x 1) 2x 1 - - = > ị = - - - . Mt khỏc x 3x 2 lim 2x 1 đ+Ơ - = +Ơ - , 1 x 2 3x 2 lim 2x 1 + đ - = -Ơ - . Suy ra hm s f(x) cú tp giỏ tr l Ă . Vy (15) luụn cú nghim thc vi mi m. Bi 16. Tỡm m phng trỡnh x 1 (x 3)(x 1) 4(x 3) m x 3 + - + + - = - (16) cú nghim thc. HNG DN GII iu kin x 1 0 x 1 x 3 x 3 + Ê - > - . + Vi x 1 Ê - : (16) (x 3)(x 1) 4 (x 3)(x 1) m - + - - + = . t t (x 3)(x 1) 0, x 1 = - + " Ê - , (16) tr thnh 2 t 4t m - = m 4 ị - . + Vi x 3 > : (16) (x 3)(x 1) 4 (x 3)(x 1) m m 0 - + + - + = ị . Vy m 4 - . Bi 17. Tỡm m phng trỡnh 3 3 1 x 1 x m - + + = (17) cú nghim thc. HNG DN GII Xột hm s 3 3 / 2 2 3 3 1 1 1 f(x) 1 x 1 x f (x) 3 (1 x) (1 x) ộ ự ờ ỳ = - + + ị = - ờ ỳ + - ờ ỳ ở ỷ / 2 2 3 3 f (x) 0 (1 x) (1 x) x 0 f(0) 2 ị = + = + = ị = . ( ) 33 3 2 2 2 3 3 3 2 2 2 x x 3 3 1 x 1 x (1 x) 1 x (1 x) lim f(x) lim (1 x) 1 x (1 x) đƠ đƠ ộ ự - + + - - - + - ờ ỳ ở ỷ = ộ ự - - - + - ờ ỳ ở ỷ 2 2 x 3 3 3 2 2 lim 0 1 1 1 x 1 1 1 x x x đƠ = = ộ ự ổ ử ổ ử ờ ỳ ữ ữ ỗ ỗ - - - + + ữ ữ ỗ ỗ ờ ỳ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ố ứ ố ứ ờ ỳ ở ỷ . Suy ra tp giỏ tr ca f(x) l (0; 2]. Vy 0 m 2 < Ê . Bi 18 (trớch thi H khi B 2004). Tỡm iu kin ca m phng trỡnh: ( ) 2 2 4 2 2 m 1 x 1 x 2 2 1 x 1 x 1 x + - - + = - + + - - (18) cú nghim thc. HNG DN GII t 2 2 t 1 x 1 x , 1 x 1 = + - - - Ê Ê ( ) 2 2 2 2 x 1 x 1 x t' 0 x 0 1 x . 1 x + + - ị = = = + - ThS. ẹoaứn Vửụng Nguyeõn Chuyeõn ủe ẹaùi soỏ Trang 6 t( 1) 2, t(0) 0 t 0; 2 , x 1; 1 . ộ ự ộ ự = = ị ẻ " ẻ - ờ ỳ ở ỷ ở ỷ (18) tr thnh 2 2 t t 2 m(t 2) 2 t t m t 2 - + + + = - + = + . Xột hm s 2 2 2 t t 2 t 4t y y ' 0, t 0; 2 t 2 (t 2) - + + - - ộ ự = ị = Ê " ẻ ờ ỳ ở ỷ + + . Bng bin thiờn x -Ơ 0 2 +Ơ y 0 y 1 2 1 - Da vo b ng bin thiờn, (18) cú nghim thc 2 1 m 1. - Ê Ê Bi 19. Bin lun theo m s nghim thc ca phng trỡnh 2 m x 2 x m + = + (19). HNG DN GII (19) ( ) ( ) 2 2 2 x m x 2 1 x m do x 2 1 0, x x 2 1 + - = = + - > " ẻ + - Ă . Xột hm s 2 x y x 2 1 = + - ( ) 2 2 2 2 2 x x 2 1 x 2 y' x 2 1 + - - + ị = + - ( ) 2 2 2 2 2 x 2 0 x 2 x 2 x 2 1 - + = = = + + - . Gii hn x x x 2 x lim y lim lim y 1. 2 1 x 1 x x đƠ đƠ đƠ = ị = ổ ử ữ ỗ ữ + -ỗ ữ ỗ ữ ữ ỗ ố ứ Bng bin thiờn x -Ơ 2 - 2 +Ơ y 0 + 0 y 1 2 2 - 1 Da vo b ng bin thiờn, ta cú + m 2 m 2 < - > : (19) vụ nghim. + 1 m 1 m 2 - Ê Ê = : (19) cú 1 nghim. + 2 m 1 1 m 2 - < < - < < : (19) cú 2 nghim phõn bit. Bi toỏn 20. Tỡm m phng trỡnh 2 2x x 3 mx m - - = + (20) cú nghim thc x 1 ạ - . HNG DN GII iu kin 2 3 2x x 3 0 x 1 x (x 1) 2 - - < - ạ - . Ta cú (20) 2 2x x 3 m x 1 - - = + . ThS. ẹoaứn Vửụng Nguyeõn Chuyeõn ủe ẹaùi soỏ Trang 7 Lp BBT ca hm s 2 2x x 3 y x 1 - - = + ta suy ra m 2 0 m 2 < - Ê < . Bi 21. Tỡm m phng trỡnh sau cú nghim thc duy nht: 3 4 x 1 x 2m x(1 x) 2 x(1 x) m + - + - - - = (21). HNG DN GII Nhn thy x 0 l nghim ca (21) thỡ 1 x 0 cng l nghim ca (21). T ú, (21) cú nghim duy nht thỡ 3 0 0 0 1 x 1 x x m m m 0 m 1 2 = - = ị = = = . t 2 4 t 1 t x 1 x 0, 0 x 1 x(1 x) 2 - = + - Ê Ê ị - = . (21) tr thnh 2 2 3 2(t 1) mt t m m - = + - - . + m = 0: 2 2 1 1 (21) 2(t 1) t t 2 x(1 x) x 2 2 - = = - = = (nhn). + m = 1: 2 2 2 (21) 2(t 1) t t 2 2(t 1) (t 1)(t 2) - = + - - = - + 2 2 3 2 t 1 t 1 t 1 2(t 1)(t 1) (t 1) (t 2) t 3t 2t 6 0 ộ = ờ ỡ ù ù ờ ỡ > ù ớ ù ờ ù - + = - + ớ ù ờ ợ ù + - - = ờ ù ởợ 2 x 0 t 1 x(1 x) 0 t 1 1 t 1 x 1 t 2 2 x(1 x) (t 3)(t 2) 0 2 x 1 ộ = ộ ờ = ộ - = ộ ờ ờ = ờ ờ ờ ỡ ờ ờ > ù = ù ờ ờ ờ ờ = ớ - = ờ ờ ờ ở ờ ù + - = ở = ờ ù ờởợ ở (loi). + m 1 = - : 2 (21) 2(t 1) (t 1)(2 t) - = + - 3 2 0 t 2 1 t 2 x t 3t 2t 6 0 2 ỡ Ê Ê ù ù = = ớ ù - - + = ù ợ (nhn). Vy m 0 m 1 = = - . Bi 22. Tỡm m phng trỡnh 2 x x x 1 m + - + = (22) cú nghim thc. HNG DN GII iu kin 2 2 x x x 1 0 x x 1 x x + - + - + - " ẻ Ă . Xột hm s 2 2 / 2 2 x x 1 2x 1 f(x) x x x 1 f (x) 0, x 2 x x 1 - + + - = + - + ị = > " ẻ - + Ă . Gii hn ( ) 2 x x lim f(x) lim x x x 1 đ+Ơ đ+Ơ = + - + = +Ơ 2 x x x 2 x 1 x 1 lim f(x) lim lim 1 1 x x x 1 x x 1 x x đ-Ơ đ-Ơ đ-Ơ - - = = - - + - - + x x 2 2 1 x(1 ) x 1 1 x lim lim 2 1 1 1 1 x x 1 x 1 1 x xx x đ-Ơ đ-Ơ - - = = = ổ ử ữ ỗ ữ + - + + - + ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ ThS. ẹoaứn Vửụng Nguyeõn Chuyeõn ủe ẹaùi soỏ Trang 8 2 1 2 f(x) , x x x x 1 , x 2 2 ị > " ẻ ị + - + > " ẻ Ă Ă . Vy (22) cú nghim thc 2 m . 2 > . Chuyên đề Đại số Trang 1 CHUN ĐỀ SỬ DỤNG HÀM SỐ TÌM ĐIỀU KIỆN NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN Bài tốn: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình f(x). DẠNG BÀI TỐN THƯỜNG GẶP Bài 1. Tìm điều kiện của m để phương trình 2 x 2x m 2x 1 + - = - (1) 1) có nghiệm thực, 2) có 1 nghiệm thực, 3) có 2 nghiệm thực phân biệt. HƯỚNG DẪN GIẢI (1) 2. hoặc max thì ta phải dùng giớ i hạn, ta có thể thay bước 2) bằng bảng biến thiên (BBT) của f(x). iii) Đố i với câu hỏi tìm điều kiện m để phương trình có từ 2 nghiệm phân biệt trở lên thì ta