SKKN Gia phuong trinh vo ti.doc

sáng kiến kinh nghiệm phơng trình vô tỉ cách giải phơng trình vô tỉ trong trờng thcs phần thứ nhất đặt vấn đề. I - Cơ sở lí luận. Mục tiêu của giáo dục và đào tạo đã đợc nghị quyết TƯ2 khoá VIII xác định là: '' Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực và bồi dỡng nhân tài''. Nh vậy song song với việc nâng cao mặt bằng dân trí cho toàn dân , đào tạo nhân lực có tay nghề cao cho các ngành nghề thì việc '' phát hiện và bồi dỡng nhân tài '' đợc Đảng và Nhà n- ớc ta rất quan tâm. Nh các bạn đã biết Toán học là một môn khoa học nói chung, nhng lại giữ một vai trò rất chủ đạo trong các nhà trờng cũng nh đối với các ngành khoa học khác. Hiện nay đầu t sâu cho bộ môn Toán là mục tiêu của nhiều ngành giáo dục của các n- ớc trên thế giới cũng nh ngành giáo dục của Việt Nam ta. Toán học nh một kho tàng tài nguyên vô cùng phong phú và quí giá mà nếu ai đã đi sâu tìm hiểu, khai thác thì sẽ thấy rất mê say, ham muốn khám phá và hiểu biết ngày càng nhiều hơn ở bộ môn này. Các bậc phụ huynh cũng nh các thầy cô giáo, các thế hệ học sinh luôn mơ ớc học giỏi bộ môn này, tuy nhiên để đạt đợc điều đó thật chẳng dễ dàng gì. Hiện nay, trong các nhà trờng đặc biệt là nhà trờng THCS, ngoài việc dạy kiến thức cơ bản cho HS thì việc dạy cách học, cách nghiên cứu và phát triển kiến thức cho các em rất đợc chú trọng. Với mong muốn giúp các em học sinh hiểu bài cơ bản và ngày một say mê bộ môn Toán, bản thân mỗi ngời giáo viên phải tự mình tìm ra những phơng pháp giải sao cho phù hợp với từng đối tợng học sinh và kích thích lòng ham muốn học Toán của các em, từ đó tìm ra đợc những học sinh có năng khiếu về bộ môn này, để có thể bồi dỡng các em trở thành những học sinh giỏi, có ích cho xã hội. Một trong những vấn đề rất cơ bản của đại số khối THCS là việc nắm đợc các phơng trình sơ cấp đơn giản và cách giải những phơng trình đó đối với những đối tợng là học sinh đại trà. Ngoài ra mở rộng các phơng trình đó ở dạng khó hơn, phức tạp hơn đối với đối tợng học sinh khá - giỏi. Với rất nhiều những chuyên đề đợc đề cập đến khi dạy đại số cấp THCS nói chung và phơng trình đại số nói riêng, tôi mạnh dạn tập trung suy nghĩ sâu hơn về ph- ơng trình vô tỉ với các dạng của nó và các phơng pháp giải, cho đối tợng là những HS 1 có nhu cầu ham muốn đợc khám phá loại phơng trình này một cách sâu hơn đối với đại trà các em học sinh chỉ giải các phơng trình vô tỉ ở dạng đơn giản trong sách giáo khoa Toán 9. Sau đây tôi xin mạnh dạn trình bày những suy nghĩ cũng nh những gì mà tôi tìm hiểu, tham khảo đợc về phơng trình vô tỉ mong các bạn cùng thầy cô đóng góp ý kiến cho tôi. II - Cơ sở thực tiễn. Trong chơng trình Toán THCS, các bài toán về phơng trình vô tỉ đợc đề cập đến nhng không nhiều, nhng nó lại có rất nhiều dạng và có vai trò rất quan trọng. Các bài toán dạng này đòi hỏi học sinh phải nắm chắc và vận dụng thật nhuần nhuyễn, có hệ thống một số kiến thức khác nh : phơng trình bậc nhất một ẩn, phơng trình tích, ĐKXĐ của một số loại biểu thức Nó nâng cao khả năng vận dụng, phát triển khả năng t duy cho HS, ngoài ra nó còn là một trong những kiến thức đợc sử dụng thi đầu vào khối PTTH dới dạng bài tập khó. Trên thực tế ,với kinh nghiệm bản thân trong quá trình giảng dạy tôi thấy HS th- ờng mắc một số khuyết điểm sau khi giải phơng trình vô tỉ: - Thiếu hoặc sai ĐKXĐ của phơng trình (chủ yếu là ĐKXĐ của căn thức). - Chỉ giải đợc dạng phơng trình đơn giản trong SGK. -Khi bình phơng hai vế của phơng trình để làm mất CBH thờng các em không tìm ĐK để cả hai vế đều dơng. - ở dạng phức tạp hơn thì các em cha có điều kiện nghiên cứu nên kĩ năng giải rất hạn chế, các em thờng không có cơ sở kiến thức để phát triển phơng pháp giải. - Có rất ít tài liệu đề cập sâu về dạng phơng trình này. - Không đồng đều về nhận thức trong một lớp nên việc phát triển kiến thức về phơng trình vô tỉ trong các tiết dạy là rất khó. Có nhiều tài liệu, chuyên đề viết về phơng trình của khối THCS nhng với phơng trình vô tỉ cũng cha nhiều. Để giúp các em HS nắm đúng, nắm chắc từng dạng và ph- ơng pháp giải từng dạng, tôi mạnh dạn viết sáng kiến kinh nghiệm ''phơng trình vô tỉ và các cách giải'' áp dụng cho khối THCS với hy vọng phần nào tháo gỡ những khó khăn cho các em HS khi gặp dạng phơng trình này và là cuốn tài liệu có thể dùng để tham khảo đối với các bạn đồng nghiệp. Với kinh nghiệm còn rất hạn chế và thời gian nghiên cứu cha nhiều, sáng kiến kinh nghiệm này sẽ không tránh khỏi những thiếu sót. Do vậy tôi rất mong nhận đợc sự đóng góp ý kiến thật chân tình của các bạn 2 đồng nghiệp và bạn đọc để sáng kiến này có thể đợc áp dụng rộng rãi hơn, góp phần thúc đẩy chất lợng học tập của các em HS. iii - nhiệm vụ nghiên cứu: - Nghiên cứu về khái niệm của phơng trình một ẩn, khái quát và cách giải phơng trình đó. - Kỹ năng giải các phơng trình: Phơng trình chứa ẩn ở mẫu, phơng trình bậc nhất một ẩn, phơng trình chứa hệ số ba chữ, phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, phơng trình tích, phơng trình thơng, phơng trình bậc cao - Kỹ năng giải các phơng trình bậc cao đa về phơng trình bậc 1, bậc 2, phơng trình vô tỉ - Làm các bài tập minh hoạ. - Một số phơng pháp giải và các dạng bài tập thờng gặp. iv - Đối tợng nghiên cứu: - Học sinh lớp 9 trờng THCS. - Học sinh thi học sinh giỏi của trờng và của huyện. v- phơng pháp nghiên cứu: - Tìm đọc các tài liệu tham khảo và nghiên cứu kĩ SGK -Dạy và trắc nghiệm trên ba đối tợng học sinh: Khá, giỏi - trung bình - yếu, kém. - Đa ra bàn luận theo tổ, nhóm chuyên môn, cùng nhau thực hiện. - Tham khảo các trờng bạn, ý kiến đóng góp của các thầy cô dạy lâu năm có nhiều kinh nghiệm. - Dự giờ, kiểm tra chất lợng học sinh. -Dạy thực nghiệm một tiết trên 2 lớp 9 của trờng. vi - Phạm vi nghiên cứu và thời gian nghiên cứu: - Giới thiệu nghiên cứu phơng trình vô tỉ trong chơng trình đại số lớp 9 (Trờng THCS). - Làm trắc nghiệm trong 3 tháng học kỳ I. - Kinh nghiệm của bản thân trong quá trình dạy học. vi - điều tra cơ bản: * Tổng số học sinh khối 9: - 78 học sinh/2 lớp 9 - đại trà. 3 - 5 học sinh đội tuyển Toán giỏi trờng chuẩn bị tham dự thi HSG huyện. * Phân loại: - Khá, giỏi: 20 học sinh. - Trung bình: 45 học sinh. - Yếu , Kém: 13 học sinh. * Chuẩn bị sách giáo khoa và các bài tập 78/78 học sinh có đủ. phần thứ hai giải quyết vấn đề i - Kiến thức cần sử dụng Để giải quyết tốt các vấn đề về phơng trình vô tỉ thì HS cần nắm chắc một số kiến thức cơ bản sau: 1. + Khái niệm về phơng trình, nghiệm của phơng trình, ĐKXĐ của phơng trình + Các định nghĩa, định lý về biến đổi hai phơng trình tơng đơng. + Cách giải các loại phơng trình cơ bản nh: Phơng trình bậc nhất một ẩn, phơng trình tích, phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, phơng trình chứa ẩn ở mẫu, phơng trình bậc hai một ẩn số + Tính chất bắc cầu của bất đẳng thức số. 2 . Học sinh nắm chắc: + Định nghĩa phơng trình vô tỉ. + Các bài giải phơng trình vô tỉ nói chung. + Các kiến thức cơ bản về căn thức. + Các phơng pháp giải phơng trình vô tỉ. + Các dạng phơng trình vô tỉ, cách giải từng dạng. + Những sai lầm thờng gặp khi giải phơng trình vô tỉ. II - Một số khái niệm 1 - Khái niệm về phơng trình một ẩn: 4 a - Khái niệm: cho A(x), B(x) là hai biểu thức chứa biến x, khi đó A(x) = B(x) gọi là phơng trình một ẩn. Trong đó: + x đợc gọi là ẩn. + A(x), B(x) gọi là hai vế của phơng trình. + Quá trình tìm x gọi là giải phơng trình. + Giá trị tìm đợc của x gọi là nghiệm của phơng trình. + : Tập hợp nghiệm của phơng trình. + Tập xác định: Tập xác định của phơng trình (thờng viết tắt là TXĐ) b - Tập xác định của phơng trình: Là tập những giá trị của biến làm cho mọi biểu thức trong phơng trình có nghĩa. c - Các khái niệm về hai phơng trình tơng đơng: + Là hai phơng trình có cùng một tập hợp nghiệm. Hoặc : Nghiệm của phơng trình này cũng là nghiệm của phơng trình kia và ngợc lại. 2. Phơng trình vô tỉ: a) Định nghĩa: Phơng trình vô tỉ là phơng trình chứa ẩn ở dới dấu căn. Ví dụ: 1. - 3. 2. -3 1 2 +x -2x + 5 = 0 b) Các bớc giải phơng trình vô tỉ (dạng chung): + Tìm tập xác định của phơng trình. + Biến đổi đa phơng trình về dạng phơng trình đã học. + Giải phơng trình vừa tìm đợc. + So sánh kết quả với tập xác định và kết luận. 3. Các kiến thức cơ bản về căn thức + Một số âm không có căn thức bậc chẵn vì điều kiện của ẩn là biểu thức chứa trong dấu căn bậc chẵn là một số không âm. + Đặt điều kiện để phép nâng lên luỹ thừa bậc chẵn cả hai vế phơng trình đảm bảo nhận đợc phơng trình tơng đơng. + 2 A = A (với mọi biểu thức A) iii - các dạng phơng trình vô tỉ cơ bản và cách giải: 1 - Dạng 1 = g (x) (1). 5 Đây là dạng đơn giản nhất của phơng trình vô tỉ. Sơ đồ cách giải: = g (x) g(x) 0 (2). f(x) = [g(x)] 2 (3). Giải phơng trình (3) đối chiếu với điều kiện (2) chọn nghiệm thích hợp suy ra nghiệm của phơng trình (1). Ví dụ 1: Giải phơng trình: 5x = x - 7 (1) Giải Phơng trình (1) = )3()7()5( )2(07 2 xx x Giải phơng trình (3) : x - 5 = x 2 -14x + 49 x 2 -15x + 54 = 0 (x - 6)(x - 9) = 0 => x = 6 hoặc x = 9 Đối chiếu với ĐK (2) ta thấy x = 9 thoả mãn Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là : x = 9 Ví dụ 2: Giải phơng trình: 5+x = 1 - x (1) Giải Phơng trình (1) 1 - x 0 x 1 (2) x + 5 = (1 - x) 2 x 2 - 3x - 4 = 0 (3) Giải phơng trình (3) : (x + 1)(x - 4) = 0 => x = -1 hoặc x = 4 Đối chiếu với ĐK (2) ta thấy x = -1 thoả mãn Vậy x = -1 là nghiệm của phơng trình (1). 2 - Dạng 2 + = g(x)(1). Sơ đồ cách giải. -Tìm điều kiện có nghĩa của phơng trình: f(x) 0 g(x) 0 (2). h(x) 0 Với điều kiện (2) hai vế của phơng trình không âm nên ta bình phơng hai vế, ta có: )()( xgxf = 2 1 [ [ g(x) ] 2 - (x) - h(x) ] (3) Phơng trình (3) có dạng (1) nên có điều kiện mới: [ [ g(x) ] 2 - f(x) - h(x) ] 0 (4) Bình phơng hai vế của phơng trình (3) đợc phơng trình mới đã biết cách giải. Đối chiếu nghiệm với điều kiện (2) và điều kiện (4) rồi kết luận. Ví dụ 1: Giải phơng trình: 3+x + x1 = 2 (1) Giải 6 Điều kiện có nghĩa: x + 3 0 x - 3 -3 x 1 (*) 1 - x 0 x 1 Với điều kiện (*) phơng trình có hai vế không âm nên bình phơng hai vế ta có: x + 3 + 1 - x + 2 3+x . x1 = 4 <=> 3+x . x1 = 0 => x = 1 hoặc x = -3 Cả 2 nghiệm đều thoả mãn ĐK (*) Vậy phơng trình đã cho có hai nghiệm là : x = -3 hoặc x = 1 Ví dụ 2: Giải phơng trình: 3+x = 5 - 2x <=> 3+x + 2x = 5 (1) Giải Điều kiện : x + 3 0 < => x -3 <=> x 2 (*) x- 2 0 x 2 Với điều kiện (*) bình phơng cả hai vế của phơng trình (1) ta có : 2x + 1 + 2 3+x . 2x = 25 2 3+x . 2x = 24 - 2x <=> 3+x . 2x = 12 - x (2) Điều kiện để (2) có nghĩa: 12 - x 0 x 12 (**) Bình phơng hai vế của (2) ta có: (x + 3)(x - 2) = (12 - x) 2 x 2 + x - 6 = 144 - 24x + x 2 25 x = 150 x = 6 thoả mãn điều kiện (*) và (**) Vậy nghiệm của phơng trình là x = 6. 3 - Dạng 3 + = (1) Dạng 3 chỉ khác dạng 2 ở vế phải là nên cách giải tơng tự nh dạng 2. Ví dụ 1: Giải phơng trình 1+x = x12 + 7x (1) Giải Điều kiện x + 1 0 12 - x 0 x - 7 0 Với điều kiện (*) phơng trình (1) có hai vế không âm nên ta bình phơng hai vế, ta đợc : ( 1+x ) 2 = ( x12 + 7x ) 2 < x + 1 = 12 - x + x - 7 + 2. x12 . 7x 2 x12 . 7x = x - 4 (2) 7 7 x 12 (*) Với (*) thì hai vế của phơng trình (2) không âm ta bình phơng hai vế của (2) ta đợc: Phơng trình (2) < 4 (- x 2 + 19x - 84) = x 2 - 8x + 16 5x 2 - 84x + 352 = 0 (3) Ta có : ' = 1764 - 1760 = 4 > 0 = 2 Phơng trình (3) có hai nghiệm: x 1 = 8,8 ; x 2 = 8 đều thoả mãn ĐK (*) Vậy phơng trình đã cho có 2 nghiệm : x 1 = 8,8 ; x 2 = 8 Ví dụ 2 : Giải phơng trình 15 x - 23 x = 1x (1) Giải Điều kiện: 5x - 1 0 x 5 1 3x - 2 0 <=> x 3 2 <=> x 1 (*) x - 1 0 x 1 Phơng trình (1) có dạng : 15 x = 23 x + 1x Với ĐK (*) bình phơng 2 vế của phơng trình (1) ta có : 5x - 1 = x - 1 + 3x - 2 + 2 23 x . 1x <=> x + 2 = 2. 23 x . 1x Với x 1 cả hai vế của phơng trình này không âm , bình phơng 2 vế của phơng trình ta đợc: (x + 2) 2 = 4.(x - 1)(3x - 2) x 2 + 4x + 4 = 12x 2 - 20x + 8 = 0 <=> 11x 2 - 24x + 4 = 0 <=> (x - 2)(11x - 2) = 0 <=> x = 2 hoặc x = 11 2 Theo ĐK (*) thì phơng trình chỉ có nghiệm x = 2 Vậy x = 2 là nghiệm của phơng trình 4 - Dạng 4: + = + (1) Sơ đồ lời giải: Điều kiện: f(x) 0; h(x) 0, g(x) 0; k(x) 0 Bình phơng hai vế ta có: f(x) + h(x) + 2 = g(x) + k(x) + 2 - = phơng trình trở về dạng 3 đến đây ta giải tơng tự dạng 3. Ví dụ : Giải phơng trình 1+x + 10+x = 2+x + 5+x (1) 8 Giải Điều kiện: x + 1 0 x -1 x + 10 0 <=> x -10 <=> x -1 (*) x + 2 0 x -2 x + 5 0 x -5 Bình phơng 2 vế của phơng trình (1) ta có : x + 1 + x +10 + 2. 1+x 10+x = x + 2 + x + 5 + 2 2+x . 5+x <=> 2 + 1+x 10+x = 2+x . 5+x Với ĐK : x -1 cả hai vế của phơng trình là không âm tiếp tục bình phơng ta có : 4 + (x + 1)(x + 10) + 4 1+x . 10+x = (x + 2)(x + 5) <=> 4 + x 2 + 11x + 10 + 4 1+x . 10+x = x 2 + 7x + 10 <=> -x - 1 = 1+x . 10+x (2) Phơng trình (2) có ĐK: x -1 (**) Từ (*) và (**) ta có x = -1 là nghiệm của phơng trình 5 - Dạng 5 + + n = g(x) (1) Sơ đồ cách giải. Điều kiện: f(x); h(x) 0. Đặt t= + (t 0) => t 2 = f(x) +h(x) +2 từ đó ta giải tiếp => =( t 2 - f(x) - h(x)):2 Ví dụ : Giải phơng trình 1+x + x3 - 1+x . x3 = 2 (1) Giải Điều kiện : x + 1 0 3 - x 0 <=> -1 x 3 (*) Đặt t = 1+x + x3 ( t > 0) , ta có : t 2 = x + 1 + 3- x+ 2 1+x . x3 => 2 1+x . x3 = t 2 - 4 (**). Khi đó phơng trình (1) có dạng: 2t - ( t 2 - 4 ) = 4 t 2 -2t = 0 t .( t - 2) = 0 (2) Phơng trình (2) có hai nghiệm là t 1 = 0; t 2 = 2. Nghiệm t = 2 thoả mãn ĐK : t > 0 Khi t = 2 theo (**), ta có : 2 1+x . x3 = 2 2 - 4 9 <=> 1+x . x3 = 0 = > x = -1 hoặc x = 3 Cả 2 nghiệm này đều thoả mãn ĐK (*) Vậy phơng trình có 2 nghiệm là x = -1 và x = 3 6.Dạng 6. bxabax ++ 2 2 + bxabax + 2 2 = cx + m (1) Cách giải Điều kiện: x - b 0 <=> x b (*) Đặt: t = bx ( t 0) => t 2 = x - b <=> t 2 + b = x Thay x vào phơng trình dới dấu căn ta có : t 2 + a 2 2at = (t a) 2 Phơng trình (1) có dạng : at + + at = c.(t 2 + b) + m (2) Giải phơng trình (2) bằng cách xét 2 trờng hợp : t a và 0 t a ta có 2 phơng trình là : ct 2 - 2t + bc + m = 0 (3) Và : ct 2 - 2a + bc + m = 0 (4) ta đợc nghiệm t và đối chiếu với ĐK: t 0 để nhận nghiệm từ đó suy ra : x = t 2 + b là nghiệm của phơng trình (1) Ví dụ: Giải phơng trình 9.6 + xx + 9.6 xx = 6 23+x (1) Giải ĐK: x - 9 0 <=> x 9 (*) Đặt: t = 9x => x = t 2 + 9 .Khi đó phơng trình (1) có dạng: 6.( 2 )3( +t + 2 )3( t ) = t 2 + 9 +23 <=> 6.( 3+t + 3t ) = t 2 + 32 <=> t 2 - 12t + 32 = 0 (t 3 ) (2) t 2 - 4 = 0 (0 t 3) (3) Giải phơng trình (2) ta đợc nghiệm của phơng trình là t = 8 hoặc t = 4 +Nếu t = 8 => x = 8 2 + 9 = 73 +Nếu t = 4 => x = 4 2 + 9 = 25 Giải phơng trình (3) ta đợc nghiệm của phơng trình là : t = 2 =>x = 2 2 + 9 = 13 Vậy phơng trình đã cho có 3 nghiệm : x = 73 ; x = 25 ; x = 13 iv - các phơng pháp giải phơng trình vô tỉ. Không phải bất cứ một phơng trình vô tỉ nào cũng có thể đa về đợc một trong 5 dạng trên do đó ngời giáo viên cần cung cấp cho học sinh thêm các phơng pháp giải phơng trình vô tỉ. 1 - Ph ơng pháp luỹ thừa . 10 [...]... sở làm một số bài tập mẫu thật cẩn thận giáo viên cần giao thêm lợng bài tập về nhà có nội dung tơng tự hoặc mở rộng hơn để các em đợc tự mình giải các loại phơng trình vô tỉ Nếu có đợc những việc làm trên tôi xin chắc rằng tất cả các em học sinh sẽ không còn lúng túng, ngại ngùng khi giải toán phơng trình đặc biệt là phơng trình vô tỉ Do thời gian có hạn và kinh nghiệm còn hạn chế nên trong quá trình... kiến thức Tuy nhiên không phải đối với tất cả các đối tợng học sinh chúng ta đều truyền tải các nội dung trên mà cần xác định đúng đối tợng để cung cấp kiến thức cơ bản phù hợp với trình độ và quỹ thời gian của học sinh Qua việc dạy chuyên đề về phơng trình vô tỉ đối với học sinh nói chung và đội tuyển học sinh giỏi nói riêng, sau khi trắc nghiệm ở học sinh tôi đã thu đợc một số kết quả dới đây - Học... mà điều cần lu ý đối với ngời giáo viên dạy Toán là: - Cần phân dạng phơng trình vô tỉ thành những dạng quen thuộc mà các em đã đợc gặp trên cơ sở phơng pháp giải và giáo viên đa ra -Những loại bài tập giao cho học sinh phải thực tế, dễ hiểu, gợi mở giúp kích thích óc sáng tạo của học sinh không quá cao siêu, trừu tợng - Hớng dẫn các em trớc khi giải toán phơng trình cần xác định rõ dạng của phơng trình... việc su tầm, tuyển chọn mới gây đợc sự hứng thú học tập, lòng say mê học toán của học sinh Với mong muốn có đợc một tài liệu giúp học sinh dễ dàng hơn trong học toán giải phơng trình vô tỉ Sau một thời gian tự nghiên cứu cùng với các phơng pháp tìm đọc tài liệu tham khảo, su tầm các bài tập và kết hợp với thực tế giảng dạy tôi viết sáng kiến kinh nghiệm " Phơng trình vô tỉ và các cách giải" Sau khi áp... giảng dạy trong toàn thể GV - Với hội đồng khoa học cấp huyện cần xem xét phơng pháp mà tôi trình bày trong đề tài này để có những nhận xét, đánh giá những u điểm, nhợc điểm và có hớng chỉ đạo trong thời gian tới Tôi rất hi vọng sáng kiến kinh nghiệm này giúp học sinh giải phơng trình vô tỉ tốt hơn, sẽ đóng góp một phần nào đó trong quá trình giảng dạy môn Toán 9 ở THCS Cuối cùng tôi xin chân thành cảm . nghiệm. - Dự giờ, kiểm tra chất lợng học sinh. -Dạy thực nghiệm một ti t trên 2 lớp 9 của trờng. vi - Phạm vi nghiên cứu và thời gian nghiên cứu: - Giới thiệu nghiên cứu phơng trình vô tỉ trong. các nhà trờng cũng nh đối với các ngành khoa học khác. Hiện nay đầu t sâu cho bộ môn Toán là mục ti u của nhiều ngành giáo dục của các n- ớc trên thế giới cũng nh ngành giáo dục của Việt Nam ta khảo đợc về phơng trình vô tỉ mong các bạn cùng thầy cô đóng góp ý kiến cho tôi. II - Cơ sở thực ti n. Trong chơng trình Toán THCS, các bài toán về phơng trình vô tỉ đợc đề cập đến nhng không