Phuong phap giai phuong trinh vo ti.doc

đề tài nghiệp vụ s phạm Ngời thục hiện: Phần I: Những vấn đề chung Th viện SKKN của Quang Hiệu : http://quanghieu030778.violet.vn I. Lí do chọn đề tài 1. Cơ sở lí luận: Thế hệ trẻ Việt Nam nói chung, giới học sinh nói riêng có may mắn là đợc sinh ra và lớn lên trong thời đại mà các cuộc cách mạng khoa học kĩ thuật công nghệ đang trào dâng nh vũ bão, thông tin bùng nổ từng phút từng giờ, cái mới này cha kịp đăng quang đã phải nhờng chỗ cho cái mới khác đến thay thế. Vậy thì mỗi thầy cô giáo, mỗi học sinh phải hành động nh thế nào? Việc học tập hiện nay đang có xu hớng đi vào chiều sâu học phải đi đôi với hành, do vậy phải có những phơng pháp dạy và học có hiệu quả tối u nhất nhằm tìm ra những con đờng ngắn nhất, hay nhất trong việc học tập để giúp chúng ta nắm vững đợc kiến thức và đi đào sâu lợng kiến thức đã học. Để đạt đợc điều đó thì mỗi ngời giáo viên, mỗi học sinh phải trau dồi kiến thức, su tầm và hệ thống cho chính mình những phơng pháp học tập và nghiên cứu riêng. Trong quá trình học tập và nghiên cứu, việc đi phân loại các phơng pháp giải một dạng toán hay bất kì một lĩnh vực nào, nó giúp chúng ta có nhiều cách nhìn, cách lý giải cho cùng một vấn đề, nó giúp chúng ta nhìn nhận, xem xét một cách kĩ lỡng hơn, dới nhiều góc độ, để chúng ta tìm đợc cách giải quyết cho nhanh nhất, hiệu quả nhất. 2. Cơ sở thực tiễn: Hiện nay, trong các trờng THCS và ngay cả bậc phổ thông việc giải một ph- ơng trình vô tỉ vẫn là một vấn đề cần bàn, đa số các giáo viên đã truyền đạt hết cho học sinh những kiến thức, những phơng pháp giải nhng cha có tính hệ thống cao, cha đi sâu vào phân tích những u điểm, những tồn tại và khả năng ứng dụng của từng phơng pháp chính, bởi lẽ đó mà những phơng pháp giảng giải của giáo viên thờng hay chồng chéo lên nhau khiến cho việc tiếp thu của học sinh thờng bị động và cha có tính quyết toán trong việc tìm cho mình một phơng pháp tối u nhất khi đứng trớc một bài toán giải phơng trình vô tỉ. Mặt khác, đa số các em học sinh không có khả năng hệ thống cho mình những phơng pháp giải loại phơng trình này, hay còn phần lớn các em không biết Đại học s phạm toán K7 1 đề tài nghiệp vụ s phạm Ngời thục hiện: cách giải thế nào cho đúng, cho hay, nhất là với học sinh bậc THCS. Các em thờng giải theo phơng pháp lũy thừa và chọn ẩn nhng đa số các em không phán đoán đợc phơng trình sau có tơng đơng với phơng trình đã cho hay không? Chính bởi những lí do trên mà tôi chọn đề tài này để phần nào tháo gỡ những vớng mắc trên, giúp cho quá trình dạy và học đợc tốt hơn và đạt hiệu quả mong muốn. II. Mục đích nghiên cứu đề tài: Một là, giúp học sinh nắm đợc các phơng pháp giải một bài giải phơng trình vô tỉ. Trên cơ sở đó, tìm đợc những vớng mắc, khó khăn mà các em thờng gặp phải trong quá trình giải loại bài tập này. Hai là, hệ thống đợc các phơng pháp giải phơng trình vô tỉ, trên cơ sở đó phân tích những u việt hay hạn chế của từng phơng pháp. Ba là, thông qua hệ thống ví dụ, giúp các em thấy đợc cách lựa chọn một hoặc nhiều phơng pháp khác nhau để giải một bài toán sao cho nhanh và đạt hiệu quả tối u nhất. III. Đối tợng và khách thể nghiên cứu: 1. Đối t ợng nghiên cứu: Nghiên cứu những phơng pháp giải phơng trình vô tỉ. Đánh giá tính u việt, hạn chế và khả năng ứng dụng của từng phơng pháp giải. 2. Khách thể nghiên cứu : Tập trung nghiên cứu trong chơng trình đại số lớp 8, lớp 9 và trong chơng trình toán phổ thông. 3. Phạm vi nghiên cứu: Do yêu cầu của đề tài nên chỉ tập trung nghiên cứu phần đại số ở lớp 8 và lớp 9 còn lại là trong chơng trình toán cấp III. IV. Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài: Phải hệ thống đợc cách giải một phơng trình vô tỉ. Phải phân tích đợc những u việt và hạn chế của từng phơng pháp, từ đó đa ra khả năng ứng dụng của từng phơng pháp đối với một bài giải phơng trình vô tỉ. Phải phân tích và tìm ra từng chỗ thiếu sót, chỗ sai mà học sinh thờng hay mắc phải và đa ra cho học sinh những cách khắc phục. Đại học s phạm toán K7 2 đề tài nghiệp vụ s phạm Ngời thục hiện: V. Phơng pháp nghiên cứu đề tài: 1 - Phơng pháp đọc và phân tích tài liệu. 2 - Phơng pháp tổng hợp những kinh nghiệm sáng kiến của những giáo viên dạy giỏi. 3 - Phơng pháp khảo sát thực tế. Phần II: Nội dung chính của đề tài Chơng I: Những kiến thức cơ bản I. Những vấn đề chung của phơng trình: 1. Tập xác định của ph ơng trình: a. Định nghĩa: Tập xác định của một phơng trình là tập hợp các giá trị của một ẩn làm cho mọi biểu thức trong phơng trình có nghĩa. Tập xác định đợc viết tắt là TXĐ. Ví dụ : a. Phơng trình x 2 7x + 1 = 6x 2 + 2 Có tập xác định là D = R b. Phơng trình có tập xác định là: D = { x R/x + 4 0} = R - {- 4} c. có tập xác định là: D = { x R/x - 2 0} = R [- 4] 2. Hai ph ơng trình t ơng đ ơng: 2.1. Định nghĩa : Hai phơng trình đợc gọi là tơng đơng nếu chúng có cùng chung một tập nghiệm trong cùng một tập số. 2.2. Ví dụ : a. Cho hai phơng trình : x 2 - 7x + 6 = 0 và 2x 2 14x + 12 = 0 là hai phơng trình tơng đơng vì chúng có cùng tập nghiệm S = {1; 6}. b. Hai phơng trình: x + 1 = 0 và (x + 7).(x - 5) = 0 là hai phơng trình không tơng đơng vì tập nghiệm của phơng trình thứ nhất là S = {- 1} còn của phơng trình thứ hai là S = {- 1; 5}. c. Hai phơng trình: Đại học s phạm toán K7 3 1 6 2 = + 4x x x 22 2 += xx đề tài nghiệp vụ s phạm Ngời thục hiện: x 2 + 1 = 0 và x 2 + x + 6 = 0 là hai phơng trình tơng đơng vì chúng có cùng chung một tập nghiệm là S = . 3. Nghiệm của ph ơng trình: Cho phơng trình f(x) = g(x). Nghiệm của phơng trình xét trên tập A là số A sao cho f() = g(). II. Cách giải các bất phơng trình, phơng trình cơ bản: 1. Ph ơng trình và bất ph ơng trình bậc nhất: - ax + b = 0 (với a 0) - ax + b > 0 (với a > 0) (với a < 0) 2. Bất ph ơng trình bậc hai: a. Phơng trình bậc hai có: = b 2 4ac = b 2 ac. < 0 phơng trình vô nghiệm. = 0 phơng trình có nghiệm kép. > 0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt. b. Quy tắc xét dấu tam thức bậc hai: Cho f(x) = ax 2 + bx + c (a 0) * 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a. * 0 thì f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x 1 ; x 2 . Nếu f(x) cùng dấu với hệ số a khi với x (x 1 ; x 2 ); f(x) khác dấu với hệ số a với x (x 1 ; x 2 ); 3. Ph ơng trình và bất ph ơng trình tích: f(x).g(x) = 0 f(x) = 0 hoặc g(x) = 0 f(x). g(x) > 0 f(x) > 0 hoặc f(x) < 0 g(x) > 0 g(x) < 0 4. Các phép biến đổi t ơng đ ơng: a. f(x) = g(x) + h(x) f(x) g(x) = h(x) b. f(x) = g(x) f(x) c = g(x) c (với c R) c. f(x) = g(x) k.f(x) = k.g(x) (với k R * ) d. f(x) = g(x) (f(x)) 2k + 1 = (g(x)) 2k + 1 (với k N). Đại học s phạm toán K7 4 a b x = a b x > a b < x )( 2 b ' b = 2a b x = 2a b - x = k g(x) k f(x) = đề tài nghiệp vụ s phạm Ngời thục hiện: e. f(x) = g(x) (với f(x) 0; g(x) 0) [f(x)] 2k = [g(x)] 2k (với k N) III. Phơng trình vô tỉ: 1. Định nghĩa: Phơng trình vô tỷ là phơng trình có chứa dấu căn thức 2. Cách giải chung: Bớc 1: tìm tập xác định của phơng trình. Bớc 2: tìm cách khử căn thức và tìm nghiệm. Bớc 3 : so sánh với tập xác định và kết luận nghiệm của phơng trình. 3.Ví dụ : Giải phơng trình : (1) Điều kiện để căn thức có nghĩa 2x + 3 0 (2) với điều kiện x 0 (3) phơng trình (1) (2x + 3) = x 2 (4) x 2 2x 3 = 0. Vì a b + c = 0 nên (4) có nghiệm là: x 1 = - 1; x 2 = 3 x 1 = - 1 không thoả mãn điều kiện (3) x 2 = 3 thoả mãn các điều kiện (2) và (3) Vậy nghiệm duy nhất của phơng trình là x = 3. 4. Một số kiến thức cần nhớ: 4.1. Điều kiện tồn tại một căn thức: tồn tại khi A 0 (k N) tồn tại khi A R (k N) = A = A khi A 0 - A khi A 0 4.2. Một số bất đẳng thức quan trọng: a. Bất đẳng thức Côsi: Nếu a 1 , a 2 a n là các số không âm ta có: đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a 1 = a 2 = = a n . b. Bất đẳng thức Bunhiacopxki: Nếu a 1 , a 2 a n và b 1 , b 2 b n là các số tuỳ ý ta có: Đại học s phạm toán K7 5 x32x =+ 2 3 x k A 2 12 + k A 2 A n n21 n21 a.aa n aaa ++ đề tài nghiệp vụ s phạm Ngời thục hiện: (a 1 2 + a 2 2 + + a n 2 ).(b 1 2 + b 2 2 + + b n 2 ) (a 1 b 1 + a 2 b 2 + + a n b n ) 2 . đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: c. Bất đẳng thức Trêbsep. Nếu a 1 a 2 a n và b 1 b 2 b n , ta có: (a 1 + a 2 + + a n ).(b 1 + b 2 + + b n ) n.(a 1 b 1 + a 2 b 2 + + a n b n ). đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a 1 = a 2 = = a n hoặc b 1 = b 2 = = b n . d. Lợc đồ Hoocle. Cho đa thức f(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + + a 1 x + a 0 (với x = ), ta có: a n a n-1 a 1 a 0 + + x a n a n + a n-1 . + a 1 f() Chơng II: Phơng pháp biến đổi tơng đơng I. Phơng pháp nâng lũy thừa: 1. Các dạng phơng trình vô tỉ cơ bản: a. = A 0 hay B 0 A = B b. = B B 0 A = B 2 c. = B A = B 3 d + = A 0 A + B + = C B 0 Lu ý: Với phơng pháp lũy thừa hai vế. Muốn nâng hai vế phơng trình lên lũy thừa bậc chẵn, ta phải biết chắc chắn hai vế cùng dấu, tốt nhất là cùng dơng. Để nắm đợc phơng pháp này, chúng ta cùng tìm hiểu một số ví dụ cụ thể: 2. Ví dụ: Ví dụ 1: Giải phơng trình (1) Giải: Điều kiện để căn thức có nghĩa x 5 0 x 5 (2) Đại học s phạm toán K7 6 n n 2 2 2 b a b a b a == 1 A B A 3 A A CB AB2 75 = xx đề tài nghiệp vụ s phạm Ngời thục hiện: Với điều kiện x 7 0 x 7 (3) phơng trình (1) tơng đơng với: x 5 = (x 7) 2 x 2 15x + 54 = 0 (4) Giải phơng trình (4) ta đợc: x 1 = 6 không thỏa mãn điều kiện (3) x 2 = 9 thỏa mãn các điều kiện (2) và (3) Vậy phơng trình (1) có nghiệm duy nhất là x = 9. Nhận xét: Trong cách giải trên, ta đặt điều kiện (2) vì lý do s phạm. Thực ra không cần điều kiện này. Thật vậy, khi bình phơng hai vế của (1), biểu thức x 5 bằng một bình phơng, đơng nhiên không âm, do đó các giá trị của x thỏa mãn (3) cũng sẽ thỏa mãn điều kiện (2). Ví dụ 2: Giải phơng trình Giải: Chuyển vế phơng trình đã cho, ta có: (1) phơng trình (1) có nghĩa khi và chỉ khi: 2x + 3 0 (2) x + 2 0 x - 2 với điều kiện (2) thì phơng trình (1) tơng đơng với: 2x + 3 = (x + 2) 2 x 2 + 2x + 1 = 0 (3) Giải phơng trình (3) ta đợc nghiệm duy nhất là: x = - 1. Vậy phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = - 1. Lu ý: Nhiều em khi gặp bài này thờng giải theo cách quen thuộc: x + 2 0 x - 2. 2x + 3 = (x + 2) 2 (x + 1) 2 = 0 và cũng tìm đợc nghiệm x = - 1 thoả mãn (x - 2). Nhng với điều kiện (- 2 ) thì lại không tồn tại vì 2x + 3 < 0. Ví dụ 3: Giải phơng trình (1) Giải: Điều kiện để căn thức có nghĩa: 1 x 0 x 1 1 2x 0 (2) x + 4 0 x - 4 Với điều kiện (2) phơng trình (1) tơng đơng với: Đại học s phạm toán K7 7 0322 =++ xx 232 +=+ xx 2 3 x 232 +=+ xx 2 3 x 32 + x 4211 +=+ xxx 2 1 x 2 1 4 x 22 )4()211( +=+ xxx đề tài nghiệp vụ s phạm Ngời thục hiện: 1 x + 1 2x + (3) với điều kiện 2x + 1 0 (4) thì phơng trình (3) tơng đơng với: 2x 2 3x + 1 = 4x 2 + 4x + 1 2x 2 + 7x = 0 (5) Giải phơng trình (5) ta đợc x = 0 (thỏa mãn điều kiện (2) và (4)) không thỏa mãn điều kiện (4) Vậy phơng trình (1) có nghiệm duy nhất là x = 2. Lu ý: Với điều kiện (2) ta chỉ cần 2 1 x thì phơng trình (1) đã tơng đơng với ph- ơng trình (3) vì khi bình phơng thì (x + 4) bằng một bình phơng, đơng nhiên là d- ơng. Với , điều này chỉ đúng khi a 0 ; b 0 và trong trờng hợp a 0; b 0 thì . Ví dụ 4: Giải phơng trình 3 33 5x1x1x =++ (1) Giải: Lập phơng hai vế phơng trình ta đợc: 33 )()( 3 33 5x1x1x =++ 5x)1x1)x.(1) - 1).(x(x3.1x1x 333 =++++++ x5x.1x 3 3 2 = (2) 5x.(x 2 1) = x 3 x.[5.(x 2 1) x 2 ] x = 0 x = 0 4x 2 5 = 0 Vậy phơng trình (1) có 3 nghiệm phân biệt x 1 = 0; 2 5 3,2 =x . Đại học s phạm toán K7 8 4)21).(1(2 += xxx 24)21).(1(2 += xxx 12)21).(1( += xxx 2 1 x ( ) 2 2 )12()21).(1( += xxx 2 7 = x 2 5 = x 2 5 = x baab = . baab . = 2 5 = x đề tài nghiệp vụ s phạm Ngời thục hiện: Thay lại vào phơng trình (1) ta thấy với x = 0 hoặc đúng là nghiệm của phơng trình (1). Lu ý: - Do từ (1) suy ra (2), ta thực hiện phép biến đổi không tơng đơng nên phơng trình (2) tìm đợc nói chung có nhiều nghiệm hơn phơng trình ban đầu, vì thế việc thay lại nghiệm của (2) vào (1) là cần thiết nếu không ta sẽ gặp nghiệm ngoại lai. - Với dạng bài này, chúng ta không thay thế thì chắc chắn lời giải sẽ phức tạp hơn rất nhiều. II. Phơng pháp đa về hằng đẳng thức quen thuộc. Với phơng pháp này chúng ta thờng phân tích, thêm bớt để đa về dạng: A = B A = B A = - B (với B 0) Ví dụ 1: Giải phơng trình sau: Điều kiện để căn thức có nghĩa x 2 0 x 2 x 2 0 x 3 x 2 1 Vậy khi x 3 khi 2 x < 3 Tóm lại phơng trình sau tơng đơng với: khi x 3 khi 2 x < 3 - 1 = 0 (vô lí) Đại học s phạm toán K7 9 12x22x12x2 2 - x =+++ 1 12x21x1x2x2 =+ NnvớiBAB)(A 2n 2n = NnvớiBAB)(A 12n 12n += + + ( ) ( ) 11 22 =+ 2x12x 11 =+ 2x12x )(11 +=+ 2x12x 12x12x12x +=++ 1 01 2x 1 2x = 12x 2 1 = 2x 1 + 2x 111 +=+ 2x2x 111 +=+ 2x2x 3 33 5x1x1x =++ 1 + 2x đề tài nghiệp vụ s phạm Ngời thục hiện: khi 2 x < 3 thỏa mãn 2 x < 3. Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất là: Lu ý: Đối với phơng pháp này ta phải thật khéo léo khi xử lý quá trình: Nhiều bạn rất hay làm thiếu trờng hợp (- A). Ví dụ 2: Giải phơng trình sau: (1) (2) Điều kiện để căn thức tồn tại x 3 0 x 3 (3) với điều kiện (3) phơng trình (2) tơng đơng với: thỏa mãn điều kiện (3) Vậy phơng trình (1) có hai nghiệm là x 1 = 3; x 2 = 7. Lu ý: Ta có thể dùng A = B A = - B (với B 0) thì việc giải sẽ nhanh hơn. Ví dụ 4: Giải phơng trình sau: (1) Lời giải: Điều kiện để căn thức có nghĩa: x 1 0 x 1 x 0 x 0 x 1 (*) x 2 x 0 x 0 hoặc x 1 Đại học s phạm toán K7 10 4 1 2 = x 4 9 = x 4 9 = x 13x22x = 13x23x =+ 1 ( ) 13x =+ 2 1 13x =+ 1 13x = 1 13x = 1 23x = 03x = 4 = 3x 0 = 3x 7 = x 3 = x == AA 2 BA = 0xxx1).(x1x2x 2 =+ ( ) 0xxx1).(x1x2x1 =++ 1.11 ( ) ( ) 0x1)x.(x.1x = 11.1 2 ( ) [ ] 0.1)x.(xx1x = 111 < == 0 0 AkhiA AkhiA AA 2 . trong thời đại mà các cuộc cách mạng khoa học kĩ thuật công nghệ đang trào dâng nh vũ bão, thông tin bùng nổ từng phút từng giờ, cái mới này cha kịp đăng quang đã phải nhờng chỗ cho cái mới khác. nhiều góc độ, để chúng ta tìm đợc cách giải quyết cho nhanh nhất, hiệu quả nhất. 2. Cơ sở thực ti n: Hiện nay, trong các trờng THCS và ngay cả bậc phổ thông việc giải một ph- ơng trình vô tỉ. lẽ đó mà những phơng pháp giảng giải của giáo viên thờng hay chồng chéo lên nhau khiến cho việc ti p thu của học sinh thờng bị động và cha có tính quyết toán trong việc tìm cho mình một phơng