Phương pháp giải phương trình vô tỉ độc đáo

Phan Hoàng Ninh – GV THPT Lục Ngạn số 1 – Bắc Giang Chuẩn bị thi vào đại học Tôi Giải Phương Trình chứa căn như thế nào? Khi các bạn giải phương trình (PT) dạng dcxbax  , chúng ta đều biết bình phương 2 vế để khử căn bậc hai, vậy với PT edxcxbax  2 có giải được bằng phương pháp đó được nữa không? Xin trả lời trừ một số trường hợp đặc biệt. Vậy thì có phương pháp giải chung không ? Đây là câu hỏi mà nhiều bạn đọc chưa trả lời được, Ví dụ khi giải PT sau: 32359 2  xxx ,ta đặt 3 1 ,1359  yyx , rồi khi giải PT: 20041603212004 2  xxx , ta đặt 2 1 ,12160321  ttx . Vậy bạn đã tự hỏi xem tại sao lại có được phép đặt như vậy( Đã có một chuyên đề được đăng trên Toán học và tuổi trẻ nói về phương pháp giải). Đặc biệt với các bạn đã học về đạo hàm thì phương pháp sau sẽ giải quyết bước chọn đặt nhanh hơn rất nhiều. Sau đây là nội dung phương pháp cụ thể: Dạng 1: )0(, 1 2  adcxx a bax và thỏa mãn        2 1 2 2 cca adb (*). Xét hàm số dcxx a y  2 1 => 2 0 2 )(' ac xcx a xf  , khi đó bằng phép đặt 2 ac ybax  , ta sẽ đưa PT dạng 1 về hệ đối xứng quen thuộc. Chú ý: Khi bài toán đã cho thì điều kiện sẽ thỏa mãn. Do vậy ta cũng không phải kiểm tra điều kiện đó. Ví dụ: Giải PT sau: 36 6112 6 29 3 2   x xx Làm nháp: 6 29 3)( 2  xxxf => 6 1 016)('  xxxf . Giải: Đặt 6 1 36 6112   y x , 6 1 y <=> 36 1 3 1 36 6112 2   yy x <=> 12x+61 = 36y 2 +12y +1 <=> 3y 2 + y = x +5 (1) Mà theo cách đặt ta có: 6 1 6 29 3 2  yxx <=> 3x 2 + x = y +5 (2) Từ (1) và (2) ta có hệ:        53 53 2 2 yxx xyy => 3(y 2 – x 2 ) + ( y – x) = x – y <=> (x-y)(3y + 3x +2) = 0 <=> y = x hoặc 3 23   x y . * Với y = x => 3y 2 = 5 =>y = x = 3 5 ,( 6 1 y ). Phan Hoàng Ninh – GV THPT Lục Ngạn số 1 – Bắc Giang * Với 3 23   x y => 3x 2 + x = 3 23  x +5 <=> 9x 2 +6x - 13 = 0 => 9 1263 2,1  x . Từ đây ta tìm được y và kết luận được nghiệm của PT đã cho. Dạng 2: ) 1 ,0,0(, 2 c acaedxcxbax  Xét f(x) = cx 2 + dx + e => f’(x) = 2cx + d = 0 => c d x 2  , khi đó bằng phép đặt dcybax  2 . Ví dụ1: Giải PT sau: 32359 2  xxx Làm nháp: f(x) = 3x 2 + 2x + 3 =>f’(x) = 6x + 2 = 0 =>x = - 1/3. Giải: Đặt 3 1 ,1359  yyx => 9x – 5 = 9y 2 +6y + 1 <=> 9y 2 + 6y = 9x – 6 <=> 3y 2 + 2y = 3x – 2 (1) Mặt khác ta có: 3x 2 + 2x + 3 = 3y +1 <=> 3x 2 + 2x = 3y – 2 (2) Từ (1) và (2) ta có hệ        2323 2323 2 2 yxx xyy đến đây xin dành cho bạn đọc tự giải như ví dụ trên. Ví dụ 2: Giải PT sau: 20041603212004 2  xxx (Thi chọn HSG Bắc Giang năm học 2003 – 2004). Làm nháp: Xét hàm số f(x) = x 2 – x – 2004 => f’(x) = 2x – 1 = 0 <=> x = 2 1 Do c a 1  , nên ta sử dụng phương pháp đặt: Giải: Đặt 2 1 ,12160321  ttx => t 2 – t = 4008x, (1) Mặt khác do từ PT ta có: x 2 – x – 2004 = 2004( 2t – 1) => x 2 – x = 4008t,(2) Từ (1) và (2) ta có hệ PT sau:        txx xtt 4008 4008 2 2 => (t 2 – x 2 ) – (t – x) = 4008(x – t) <=> (t – x)[ t + x – 1 + 4008] = 0 <=> t = x hoặc t = - x – 4007. * Với t = x ta có: x 2 – 4009x = 0 <=> x = 0 và x = 4009. Ta có x = 0 không thỏa mãn. * Với t = - x – 4007=> x 2 – x = 4008(- x- 4007) <=> x 2 +4007x – 4007.4008 = 0 => PT vô nghiệm. KL: PT đã cho có nghiệm duy nhất x = 4009. Dạng 3: ) 1 ,0,0(, 23 3 c acamexdxcxbax  Xét hàm số f(x) = mexdxcx  23 => f’(x) = 3cx 2 + 2dx + e Phan Hoàng Ninh – GV THPT Lục Ngạn số 1 – Bắc Giang => f’’(x) = 6cx + 2d = 0 => c d x 3  , Khi đó bằng phép đặt: c d ybax 3 3  Ví dụ: Giải PT sau: xx x x 4 9 2 3 38 63 3 2 3 3  Làm nháp: Xét hàm số f(x) = xx x 4 9 2 3 3 2 3  => f’(x) = x 2 - 3x +9/4 => f’’(x) = 2x – 3 = 0 <=> 2 3 x . Giải: Đặt 2 3 8 63 3 3  yx => 8 27 4 27 2 9 8 63 3 23  yyyx <=> yyyx 4 27 2 9 2 9 3 23  <=> 12x – 18 = 4y 3 – 18y 2 + 27y, (1). Từ PT đã cho và theo cách đặt ta có: xx x y 4 9 2 3 3 2 3 2 3  <=>12y – 18 = 4x 3 – 18x 2 + 27x, (2). Từ (1) và (2) ta có hệ:        xxxy yyyx 271841812 271841812 23 23 ( việc giải hệ này xin dành cho độc giả) Dạng 4: ) 1 ,0,0(, 23 3 c acamexdxcxbax  Xét hàm số f(x) = mexdxcx  23 => f’(x) = 3cx 2 + 2dx + e => f’’(x) = 6cx + 2d = 0 => c d x 3  , Khi đó bằng phép đặt: dcybax  3 3 Ví dụ: ( Toán học và Tuổi trẻ Tháng 6 năm 2001) Giải PT sau: 2 3 4 2881 23 3  xxxx Làm nháp: Xét hàm số f(x) = 2 3 4 2 23  xxx => f’(x) = 3x 2 – 4x + 4/3 => f’’(x) = 6x – 4 = 0 <=> 3 2 x do c a 1  . Giải: Đặt 23881 3  yx => 3x = y 3 – 2y 2 + y 3 4 ,( Biến đổi tương tự ta có hệ)          yyyx xxxy 3 4 23 3 4 23 23 23 => (x – y)( x 2 + xy +y 2 - 2x – 2y + 3 13 ) = 0(*), Phan Hoàng Ninh – GV THPT Lục Ngạn số 1 – Bắc Giang Do x 2 + xy +y 2 - 2x – 2y + 3 13 = 0 3 1 )2( 2 1 )2( 2 1 )( 2 1 222  yxyx , nên từ (*) ta có x = y => 3x = x 3 – 2x 2 + x 3 4 => x 1 = 0 ; x 2,3 = 3 623  Trên đây chỉ là một số ví dụ điển hình.Để thành thạo hơn các bạn luyện tập qua một số ví dụ dưới đây. Hy vọng rằng phương pháp trên đem lại cho bạn thành công khi giải phương trình chứa căn. Chúc các bạn đạt kết quả cao trong học tập ! Bài tập tự luyện: Giải các phương trình sau: 1) 22 2  xx 2) 534 2  xxx 3) 3 3 2332  xx 4) 513413 2  xxx 5) 541 2  xxx 6) xx x 77 28 94 2   Phan Hoàng Ninh GV Trường THPT Lục Ngạn số 1 – Bắc Giang . Tôi Giải Phương Trình chứa căn như thế nào? Khi các bạn giải phương trình (PT) dạng dcxbax  , chúng ta đều biết bình phương 2 vế để khử căn bậc hai, vậy với PT edxcxbax  2 có giải. và tuổi trẻ nói về phương pháp giải) . Đặc biệt với các bạn đã học về đạo hàm thì phương pháp sau sẽ giải quyết bước chọn đặt nhanh hơn rất nhiều. Sau đây là nội dung phương pháp cụ thể: Dạng. đây. Hy vọng rằng phương pháp trên đem lại cho bạn thành công khi giải phương trình chứa căn. Chúc các bạn đạt kết quả cao trong học tập ! Bài tập tự luyện: Giải các phương trình sau: 1) 22 2 