Tìm vị trí của M để MH đạt giá trị lớn nhất.. Vậy MA + MB đạt giá trị lớn nhất khi M là trung điểm cung AB.. Tìm vị trí của M để tổng MA + MB đạt giá trị lớn nhất.. Trên đây là hai bài t
Trang 1Chuyên đề BDHSG hình học 9
-CHUYÊN ĐỀ 4 : BÀI TOÁN CỰC TRỊ CƠ BẢN VÀ ỨNG DỤNG
Bài 1: Cho đường tròn (O) và dây cung AB cố định M là điểm di chuyển trên cung
lớn AB, H là hình chiếu của M trên AB Tìm vị trí của M để MH đạt giá trị lớn nhất Giải bài toán trong trường hợp M thuộc cung nhỏ AB
Hướng dẫn giải:
Vẽ OI vuông góc với AB (I thuộc AB) Ta có Dấu ” =” xảy
ra khi và chỉ khi M, O, I thẳng hàng hay M là trung điểm cung AB
Vậy MA + MB đạt giá trị lớn nhất khi M là trung điểm cung AB
Tương tự đối với trường hợp M là trung điểm cung nhỏ AB
Bài 2: Cho đường tròn (O) và dây cung AB cố định M là một điểm thay đổi trên
cung nhỏ AB Tìm vị trí của M để tổng MA + MB đạt giá trị lớn nhất
Hướng dẫn giải:
Trên tia đối của tia MA lấy điểm C sao cho MB = MC Khi đó ta có MA + MB = AC
Ta có
Suy ra C thuộc cung chứa góc dựng trên đoạn AB Từ đó AC lớn nhất khi AC
là đường kính Khi đó M là trung điểm cung AB
Vậy MA + MB lớn nhất khi M là trung điểm cung AB
Trên đây là hai bài toán cực trị cơ bản của lớp 9, từ hai bài toán trên ta có thể giải các bài toán sau:
Bài 1: Cho đường tròn (O) và dây cung AB cố định C là điểm thay đổi trên cung lớn
AB Gọi H là trực tâm của tam giác ABC Tìm vị trí của C để chu vi, diện tích tam giác HAB có giá trị lớn nhất
Bài 2: Cho đường tròn (O) và AB là dây cố định Tìm điểm C thuộc cung lớn AB sao
cho đạt giá trị nhỏ nhất
Trang 2
-Chuyên đề BDHSG hình học 9
-Bài 3: Chứng minh rằng trong các tứ giác nội tiếp đường tròn (O) thì hình vuông có
chu vi lớn nhất
Bài 4: ( CT NK 2007 - 200
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C) P là một điểm trên cung BC không chứa điểm A Hạ AM, AN lần lượt vuông góc với PB, PC
a) Chứng minh rằng MN luôn đi qua một điểm cố định khi P thay đổi
b) Xác định vị trí của P sao cho biểu thức AM.PB + AN.PC đạt giá trị lớn nhất
Bài 5: Cho tam giác ABC cân nội tiếp đường tròn tâm O Trên cạnh BC lấy một điểm
M.Đường tròn tâm D qua M và tiếp xúc với AB tại B và đường tròn tâm E qua M tiếp xúc AC tại C cắt nhau tại I
a) Tìm vị trí của M để DE có giá trị nhỏ nhất
b) Tìm vị trí M để chu vi tam giác IBC có giá trị lớn nhất
Bài 6: Trên các cạnh AB, AB, AC của tam giác ABC cố định, người ta lần lượt lấy
các điểm M, N, P sao cho:
a) Tính theo và
b) Tính k sao cho đạt giá trị nhỏ nhất
Hướng dẫn giải
Ta có:
Vì
Do đó:
Chứng minh tương tự ta cũng có:
Từ đó ta có:
b) Vì diện tích tam giác ABC không đổi nên để diện tích tam giác MNP nhỏ nhất thì
đạt giá trị nhỏ nhất
Dấu bằng xảy ra khi k = 1
Vậy diện tích tam giác MNP lớn nhất bằng diện tích tam giác ABC khi k = 1