Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C). P là một điểm trên cung BC không chứa điểm A. Hạ AM, AN lần lượt vuông góc với PB, PC.. a) Chứng minh rằng MN luôn đi qua một điểm cố định khi P[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ : BÀI TOÁN CỰC TRỊ CƠ BẢN VÀ ỨNG DỤNG Bài 1: Cho đường tròn (O) dây cung AB cố định M điểm di chuyển cung lớn AB, H hình chiếu M AB Tìm vị trí M để MH đạt giá trị lớn Giải toán trường hợp M thuộc cung nhỏ AB
Hướng dẫn giải:
Vẽ OI vng góc với AB (I thuộc AB) Ta có Dấu ” =” xảy M, O, I thẳng hàng hay M trung điểm cung AB
Vậy MA + MB đạt giá trị lớn M trung điểm cung AB Tương tự trường hợp M trung điểm cung nhỏ AB
Bài 2: Cho đường tròn (O) dây cung AB cố định M điểm thay đổi cung nhỏ AB Tìm vị trí M để tổng MA + MB đạt giá trị lớn
Hướng dẫn giải:
Trên tia đối tia MA lấy điểm C cho MB = MC Khi ta có MA + MB = AC Ta có
Suy C thuộc cung chứa góc dựng đoạn AB Từ AC lớn AC đường kính Khi M trung điểm cung AB
Vậy MA + MB lớn M trung điểm cung AB
Trên hai toán cực trị lớp 9, từ hai toán ta giải tốn sau:
Bài 1: Cho đường tròn (O) dây cung AB cố định C điểm thay đổi cung lớn AB Gọi H trực tâm tam giác ABC Tìm vị trí C để chu vi, diện tích tam giác HAB có giá trị lớn
Bài 2: Cho đường tròn (O) AB dây cố định Tìm điểm C thuộc cung lớn AB cho đạt giá trị nhỏ
Bài 3: Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn (O) hình vng có chu vi lớn
(2)Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C) P điểm cung BC không chứa điểm A Hạ AM, AN vuông góc với PB, PC
a) Chứng minh MN qua điểm cố định P thay đổi
b) Xác định vị trí P cho biểu thức AM.PB + AN.PC đạt giá trị lớn Bài 5: Cho tam giác ABC cân nội tiếp đường tròn tâm O Trên cạnh BC lấy điểm M.Đường tròn tâm D qua M tiếp xúc với AB B đường tròn tâm E qua M tiếp xúc AC C cắt I
a) Tìm vị trí M để DE có giá trị nhỏ
b) Tìm vị trí M để chu vi tam giác IBC có giá trị lớn
Bài 6: Trên cạnh AB, AB, AC tam giác ABC cố định, người ta lấy điểm M, N, P cho:
a) Tính theo
b) Tính k cho đạt giá trị nhỏ Hướng dẫn giải
Ta có: Vì Do đó:
Chứng minh tương tự ta có: Từ ta có:
b) Vì diện tích tam giác ABC khơng đổi nên để diện tích tam giác MNP nhỏ đạt giá trị nhỏ
Ta có
Dấu xảy k =