Muốn giải quyết bài toán khó khăn đó, trước hết chúng ta phải tạo tiền đề vững chắc lâu bền từ ngay trong phương pháp dạy học, đặc biệt là phương pháp dạy học phát huy tính tích cực của
Trang 1UBND TỈNH HẢI DƯƠNG
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KINH NGHIỆM
VẬN DỤNG TÍNH CHẤT CHỮ SỐ TẬN CÙNG VÀO GIẢI TOÁN
MÔN: TOÁN KHỐI LỚP 6
NHẬN XÉT CHUNG:
………
………
………
ĐIỂM THỐNG NHẤT Bằng số: ………
Bằng chữ:………
Giám khảo số 1: ……….
Giám khảo số 2: ……….
NĂM HỌC 2012-2013
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG
TRƯỜNG THCS NGỌC KỲ
KINH NGHIỆM VẬN DỤNG TÍNH CHẤT CHỮ SỐ TẬN CÙNG VÀO GIẢI TOÁN MÔN: TOÁN TÊN TÁC GIẢ:VŨ THÀNH KHỞI XÁC NHẬN CỦA NHÀ TRƯỜNG (Ký, đóng dấu) ………
………
………
……….
Phần ghi phách
Trang 3SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỨ KỲ
KINH NGHIỆM
VẬN DỤNG TÍNH CHẤT CHỮ SỐ TẬN CÙNG VÀO GIẢI TOÁN
MÔN: TOÁN KHỐI LỚP 6
ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG CẤP HUYỆN
(Nhận xét, xếp loại, ký, đóng dấu)
………
………
………
………
…………
Tên tác giả :
Trường :
PHẦN GHI SỐ PHÁCH
(
Trang 4A ĐẶT VẤN ĐỀ I: Cơ sở lý luận.
Một trong những mục tiêu cơ bản của trường THCS là đào tạo và xây dựng một thế hệ học sinh phát triển toàn diện về tri thức, đạo đức, thẩm mỹ nhằm đáp ứng nhu cầu phát triển của thời đại
Muốn giải quyết bài toán khó khăn đó, trước hết chúng ta phải tạo tiền đề vững chắc lâu bền từ ngay trong phương pháp dạy học, đặc biệt là phương pháp dạy học phát huy tính tích cực của học sinh
Toán học là một môn khoa học thể hiện rõ nhất và là môn khoa học thể hiện rõ nét tính sáng tạo, tích cực của học sinh Để giúp học sinh học tập môn Toán có hiệu quả, người giáo viên không chỉ nắm chắc kiến thức Toán đề cập
mà điều cần thiết nhất là phải có phương pháp truyền đạt thích hợp, giúp học sinh một mặt tự tìm ra hướng giải cho bài toán, một mặt vận dụng tốt kiến thức
để giải quyết các vấn đề được đặt ra
II Cơ sở thực tế.
Là một giáo viên trực tiếp giảng dạy môn Toán nhiều năm ở cấp THCS
và tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi thường xuyên Bản thân tôi thấy nhiệm vụ của người giáo viên không chỉ truyền thụ tất cả kiến thức cơ bản của Toán học, các kiến thức phổ thông mà còn khai thác và giảng dạy cho các em nhiều kiến thức mở rộng, nâng cao khác của toán, nhằm phát triển một thế hệ toàn diện và tri thức, thẩm mỹ và trí tuệ
Qua nhiều năm trực tiếp xây dựng và bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi các khối lớp Tôi cảm thấy lý thuyết về lũy thừa, về số chính phương, về tính chia hết của một số…là rất rõ ràng, tuy nhiên quá trình vận dụng và kết hợp các kiến thức đó vào giải toán nâng cao là rất khó khăn đối với học sinh đầu cấp
và còn rất mơ hồ đối với học sinh giỏi ở các khối lớp Để học sinh có thể nắm vững và vận dụng một cách có hiệu quả tất cả các dạng toán đó, không chỉ cần
Trang 5đến sự lỗ lực của các em mà mỗi giáo viên phải có một kiến thức về số học vững vàng, sâu, rộng Bản thân mỗi người giáo viên chúng ta ngoài việc dạy học trên lớp còn phải cùng các em tham gia giải quyết các vấn đề khó phát sinh trong quá trình bồi dưỡng Chính vì lý do đó, việc tự trau dồi kiến thức thường xuyên,
tự học để nâng cao trình độ là nhiệm vụ của từng thầy, từng cô Từ những đề tài, sáng kiến kinh nghiệm hàng năm sẽ giúp củng cố và bổ sung những kiến thức sâu, rộng đó
Với đề tài “ Vận dụng tính chất chữ số tận cùng vào giải Toán” đã
được bản thân tôi đi sâu nghiên cứu trong nhiều năm giảng dạy đội tuyển học sinh giỏi khối 6 sẽ phần nào giải quyết một số khó khăn trong quá trình tìm hướng giải các bài toán về số học cho các em học sinh khối THCS Đồng thời giúp tôi có thêm kinh nghiệm trong việc đào tạo ra một thế hệ vừa hồng, vừa chuyên cho thời kỳ CNH-HĐH đất nước
Trên cơ sở thực tế từ giáo viên và học sinh, tôi cùng với các đồng chí giáo viên dạy toán trong tổ lên kế hoạch, dự kiến đối tượng ngay từ đầu năm học để
áp dụng đề tài Một mặt xây dựng nội dung chuyên đề ngắn gọn, cơ bản, xúc tích, lựa chọn các dạng toán phổ thông thường gặp nhất…để dạy thực nghiệm đội tuyển học sinh giỏi và học sinh lớp chất lượng cao
B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
Bài toán tìm chữ số tận cùng “CSTC” của một số tác giả viết trong hệ thập phân thường gặp ở cuối bậc tiểu học và đầu cấp THCS, có tác dụng lớn trong việc rèn tư duy cho học sinh Việc lựa chọn cách giải nào là tùy thuộc vào yêu cầu của bài toán và kiến thức từng khối lớp
Trước khi nghiên cứu các dạng bài minh họa chúng ta cần nắm được một
số tính chất liên quan đến “CSTC”:
I: Các tính chất cơ bản :
1 Tính chất 1:
Trang 6a Các số có CSTC là 0; 1; 5; 6 khi nâng lên lũy thừa bất kỳ thì CSTC không
thay đổi
b Các số có CSTC là 4; 9 khi nâng lên lũy thừa bậc lẻ thì CSTC không thay đổi.
c Các số có CSTC là 3; 7; 9 khi nâng lên lũy thừa bậc 4k ( k N∈ ) thì CSTC là 1
d Các số có CSTC là 2; 4; 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4k ( *
k N∈ ) thì CSTC là 6
2 Tính chất 2:
+) Một số tự nhiên bất kỳ khi nâng lên lũy thừa 4k+1 (k N∈ ) bất kỳ thì CSTC vẫn không thay đổi
3 Tính chất 3:
a Số có CSTC là 3 khi nâng lên lũy thừa 4k+3 ( k N∈ ) sẽ có CSTC là 7
b Số có CSTC là 2 khi nâng lên lũy thừa 4k+3 ( k N∈ ) sẽ có CSTC là 8
c Số có CSTC là 8 khi nâng lên lũy thừa 4k+3 ( k N∈ ) sẽ có CSTC là 2
d Các số có CSTC là 0; 4; 5; 6; 9 khi nâng lên lũy thừa 4k+3 ( k N∈ ) sẽ không thay đổi CSTC
4 Tính chất 4:
Chữ số tận cùng của một tổng bằng chữ số tận cùng của tổng các chữ số hàng đơn vị của các số hạng trong tổng ấy
5 Tính chất 5:
Chữ số tận cùng của một tích bằng chữ số tận cùng của tích các chữ số hàng đơn vị của các thừa số trong tích ấy
6 Tính chất 6:
a Tích của 1 chữ số chắn với số có CSTC bằng 5 được một số có CSTC là 0
b Tích của 1 chữ số lẻ với số có CSTC bằng 5 được một số có CSTC là 5
c Tích của các chữ số có CSTC bằng 1 là số có CSTC bằng 1
d Tích của các chữ số có CSTC bằng 6 là số có CSTC bằng 6
7 Tính chất 7:
Một số chính phương không thể có CSTC là 2; 3; 7 hoặc 8
Trang 7II: Các dạng bài tập liên quan đến chữ số tận cùng
Dạng 1 :Tìm chữ số tận cùng của A n ( n∈N * )
*Nhận xét: “Nếu chữ số tận cùng của A là a, thì chữ số tận cùng của A n cũng
là chữ số tận cùng của a n ”.
-Nếu A có chữ số tận cùng là 0, 1, 5, 6 thì An có chữ số tận cùng tương ứng là 0, 1, 5, 6
- Nếu A có chữ số tận cùng là 4, 9 thì A2k có chữ số tận cùng tương ứng
là 6, 1
- Nếu A có chữ số tận cùng là 2, 3, 7, 8 thì A4k có chữ số tận cùng tương ứng là 6, 1, 1, 6
*Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tìm chữ số tận cùng của luỹ thừa sau: 192008; 12100;12103
Lời giải:
a) 192008 =192.1004 =(192)1004 =3611004
3611004 có chữ số tận cùng là 1(áp dụng tính chất 6 -c)
Vậy 192008 có chữ số tận cùng là 1
b) 12100=124.25=(124)25
124 có tận cùng là 6 (áp dụng tính chất 1-d)
⇒(124)25 có chữ số tận cùng là 6 (áp dụng tính chất 6-d)
Vậy 12100 có chữ số tận cùng là 6
c)12103=123 12100
Theo chứng minh trên ta có
12100 có chữ số tận cùng là 6
Trang 8123 có chứ số tận cùng là 8
Suy ra 123 12100 có chữ số tận cùng là 8(áp dụng tính chất 5)
Vậy chữ số tận cùng của 12103 là 8
Ví dụ 2: Tìm chữ số tận cùng của luỹ thừa sau: 172007, 1921; 131003
Lời giải:
Ta sẽ tìm cách liên hệ các luỹ thừa trên với luỹ thừa dạng A 2k , A 4k để vận dụng các tính chất trên.
a 172007=17 172006=17 174.501 =17.(174)501
174 có chữ số tận cùng là 1
(174)501 có chữ số tận cùng là 1
17.(174)501 có chứ số tận cùng là 7
Vậy 172007có chữ số tận cùng là 7
b 1921=19 192.10 suy ra 1921 có chữ số tận cùng là 9
c 131003=133 134.250 suy ra 131001 có chữ số tận cùng là 7
Ví dụ 3: Chứng minh rằng: 3366 +7755 – 2 chia hết cho 5
Lời giải:
Ta chứng minh 3366 +7755 -2 có tận cùng là 0 sau đó vận dụng dấu hiệu chia hết cho 5
Thật vậy, 3366 có cùng chữ số tận cùng với 366, mà 366=933=9.92.16
suy ra 366 có chữ số tận cùng là 9,
7755có cùng chữ số tận cùng với 755,
vì 755=73.74.13 nên 755 có tận cùng là 3
Do đó 3366, 7755 có chữ số tận cùng lần lượt là 9, 3
suy ra 3366 +7755 – 2 tận cùng là 0
Vậy 3366 +7755 – 2 chia hết cho 5
Trang 9
*Bài tập áp dụng: Tìm chữ số tận cùng của các số sau:
Dạng 2:Tìm hai chữ số tận cùng của A n ( n∈N * )
*Nhận xét:
- Giả sử A có hai chữ số tận cùng là ab, B có hai chữ số tận cùng là cd
Khi đó A.B và ab.cdcó cùng hai chữ số tận cùng
- Nếu hai chữ số tận cùng của A là ab, thì hai chữ số tận cùng của An cũng
là hai chữ số tận cùng của abn
Chú ý: Các số có tận cùng bằng 01, 25, 76 nâng lên luỹ thừa nào khác 0 cũng có tận cùng lần lượt bằng 01, 25, 76
* Ví dụ minh họa:
Ví dụ1: Tìm hai chữ số tận cùng của 724001
Lời giải:
Ta có 72 4001=( )4 2 3999
7 =24012 3999 có hai chữ số tận cùng là 01
Ví dụ 2: Chứng minh rằng :
a) 12100 + 1921chia hết cho 5
b) 724n+1+434n+1 - 65 chia hết cho 100
Lời giải
a Ta có 12100 =124.25 = (124)25
124 có tận cùng là 6
⇒(124)25 có tận cùng là 6
⇒12100 có tận cùng là 6
Trang 10* 1921 = 19.(192)10
192 có tận cùng là 1
⇒ (192)10 có tận cùng là 1
⇒19.(192)10 có tận cùng là 9
⇒1921 có tận cùng là 9
* Vậy 12100 + 1921 có tận cùng là 5 ⇒12100 + 1921 chia hết cho 5
b Ta sẽ chứng minh hai chữ số cuối cùng của 724n+1 +434n+1 - 65 sẽ là 00.
Thật vậy724n+1 =72.24n =( )2 2 4
7 n =74.k = 2401k có hai chữ số tận cùng là 01
Mặt khác 434 1n+ =43.81n =410 3l+ =43 410l = 64 410l,
410l =10242l,242l= 576l, mà 76l có hai chữ số tận cùng là 76, do đó
4 1
3
4 n+ = 64 410lvà 64.76 có cùng hai chữ số tận cùng suy ra 434n+1 có hai
chữ số tận cùng là 64
Suy ra724n+1 +434 1n+ - 65có hai chữ số tận cùng là 00
Vậy 724n+1 +434n+1 - 65 chia hết cho 100
*Bài tập áp dụng:
Bài 1: Tìm hai chữ số tận cùng của: 52012 ; 74096
Bài 2: Chứng minh rằng: a 71999 - 43M 100
b 3366 +7755 - 2 chia hết cho 10
Trang 11Dạng 3: Tìm ba chữ số tận cùng của A n ( n∈N * )
*Nhận xét:
-Nếu 3 chữ số tận cùng của A là abc, thì ba chữ số tận cùng của An cũng
là ba chữ số tận cùng của abcn
” -Chú ý: Các số có 3 chữ số tận cùng bằng 001; 376; 625 nâng lên luỹ thừa nào khác 0 cũng có tận cùng lần lượt bằng 001; 376; 625
*Ví dụ áp dụng :
Ví dụ 1: Tìm 3 chữ số tận cùng của 52008
Lời giải:
Ta có 52008 =54.502=(54)502
Mà 54=625 có 3 chữ số tận cùng là 625
Suy ra (54)502 có 3 chữ số tận cùng là 625
Vậy 52008 có 3 chữ số tận cùng là 625
Ví dụ 2: Chứng minh rằng: 52012 -51000 chia hết cho 1000
Lời giải
Ta có: 52012=(54)503 =625503 có 3 chữ số tận cùng là 625 ( theo trên)
Tương tự 51000=(54)250 =625250 có 3 chữ số tận cùng là 625
Suy ra 52012-51000 có 3 chữ số tận cùng là 000
Vậy 52012-51000 chia hết cho 1000
Dang 4: Tìm chữ số tận cùng của một tổng, một tích
* Nhận xét:
Để giải các bài toán liên quan đến chữ số tận cùng của một tích giáo viên cần hướng dẫn học sinh vận dụng linh hoạt tính chất 4- tính chất 5
Dưới đây là một số ví dụ minh họa
Trang 12*Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tìm chữ số tận cùng của tổng sau ?
b S2=1+32+33+34+… +330
Lời giải
a Theo tính chất 4, (số tận cùng của một tổng)
Ta có chữ số tận cùng của S1 là chữ số tận cùng của tổng:
3+9+5+1+9 =27 là 7 Vậy chữ số tận cùng của S1 là 7
b Ta có tổng của 31, nhóm các số hạng từ trái sang phải, mỗi nhóm có 4 số
hạng và còn thừa 3 số hạng cuối
S 2 =(1+32+33+34 )+(35+36+37+38) +… +(328+329 +330)
Ta thấy mỗi nhóm có chữ số tận cùng bằng 0
Suy ra chữ số tận cùng của S2 là chữ số tận cùng của : 328+329 +330
Mà : 328=(34)7 =(** 1)7 =** 1
329= 328.3 =(** 1) 3 =** 3
330=329.3 =(** 3).3 =** 9
Suy ra chữ số tận cùng của 328+329 +330 là chữ số tận cùng của tổng 1+3+9 Vậy chữ số tận cùng của S2 là 3
Ví dụ 2: Tìm chữ số tận cùng của tích sau ?
a 1.3.5.7……57.59
b 2.12.22……82.92
c 39.49.59.69….1979.1989
Lời giải:
a Ta thấy trong phép nhân 1.3.5.7……57.59 có chứa thừa số 5 nên tích của
phép toán là một số chia hết cho 5
Suy ra số tận cùng của phép tính là 0 hoặc 5
Trang 13Vì phép toán là tích các số lẻ nên kết quả phải là số lẻ
Vậy số tận cùng của kết quả: 1.3.5.7……57.59 là 5
b Đặt S = 2.12.22……82.92 =(2.12.22.32).(42.52.62.72).(82.92)
= ** 6 x ** 4
= ** 4
Vậy S có chữ số tận cùng là : 4
c Đặt S=39.49.59.69….1979.1989
Ta thấy các thừa số trong tích cách nhau 10 đơn vị
Và số lượng các thừa số của tích là: (1989-39):10+1 =196
Do tích của hai số có số tận cùng là 9 thì bằng 1 và có 196 :2 =98 nhóm Khi đó S=(39.49).(59.69)….(1979.1989)
=** 1 ** 1…… ** 1 có 98 số
=** 1
Vậy S có chữ số tận cùng là :1
Ví dụ 3: Chứng minh rằng:
a 94260-35137 chia hết cho 5
b 995-984+973+962 chia hết cho cả 2 và 5
Lời giải
a Ta có 94260-35137= (9424)15 –35137 =(** 6)15 -** 1
= ** 6 ** 1 ** 5 − = chia hết cho 5 Vậy 94260-35137 chia hết cho 5
b Áp dụng các tính chất về chữ số tận cùng ta có:
995-984+973+962 =** 9-** 6 +** 3 -** 6 =** 0 chia hết cho 2 và 5 Vậy 995-984+973+962 chia hết cho cả 2 và 5
Trang 14*Bài tập áp dụng:
Bài 1: Cho biết chữ số tận cùng của phép toán sau:
A= 81.82.83.84+85.86+87.88.89.90+91.92.93
B= 81.63.45.27-37.29.51.12
C= 24.34.44.54….114.124
D= 17.37.57.77…157.177
Bài 2: Chứng tỏ rằng:
M=8102-2102 chia hết cho 10
N= 175+244-1321 chia hết cho 10
E= 98.96.94 – 91.93.95.97 chia hết cho 10
F= 9999931999-5555571997 chia hết cho 5
S=19831983-19171917 chia hết cho 10
Dạng 5: Chứng minh một số không là số chính phương
Để giải bài toán có liên quan đến số chính phương chúng ta cần lưu ý đến tính chất 7 Ta xét ví dụ sau:
*Ví dụ minh họa:
Ví dụ: Chứng minh rằng S= 1+32+33+34+… +330 không phải số chính phương
Lời giải
Ta đa biết số chính phương không có số tận cùng là 2; 3; 7 hoặc 8
Để chứng minh S không phải số chính phương ta xét chữ số tận cùng của S
Theo Ví dụ 1- b trong dạng toán 4 ta có chữ số tận cùng của S là 3
Vậy S không phải số chính phương
* Bài tập áp dụng:
Bài tập: Tổng sau S= 12+22+32+…+302 không phải số chính phương
Trang 15III Kết quả dạy thực nghiệm
Qua nhiều năm nghiên cứu và tìm tòi, dạy thực nghiệm đề tài “ Vận dụng
tính chất chữ số tận cùng vào giải Toán” phần nào đã có kết quả khả quan.
Các em học sinh từ chỗ nhìn vào những bài toán có lũy thừa với số mũ cao, ban đầu thấy khó định hướng, lúng túng trong vận dụng lý thuyết, không có hướng giải quyết vấn đề Nay đã biết phân tích và vận dụng tương đối thành thạo, linh hoạt và đặc biết với các em học sinh trong đội tuyển học sinh giỏi toán 6 đã tự mình giải quyết các bài toán linh hoạt, chính xác Không những thế các em rất
hứng thú tìm tòi, biết vận dụng sáng tạo các tính chất “về chữ số tận cùng” trong
việc khai thác và đưa ra nhiều lời giải hay, ngắn gọn, xúc tích Từ đó mức độ hứng thú cho phần học cũng tăng lên, góp phần tích cực trong việc nâng cao chất lượng mũi nhọn của nhà trường vốn là mảng yếu trong nhiều năm
Thông qua việc khảo sát và lấy ý kiến của học sinh lớp 6A(lớp chất lượng cao) năm học 2011-2012 tôi có kết quả sau:
*) Bảng thống kê chất lượng học tập của học sinh:
Học
kỳ
Tổng
số
*) Bảng điều tra mức độ hứng thú học tập của học sinh:
Học
kỳ
Tổng số
Thích Không thích Bình thường
IV: Bài học kinh nghiệm.
Trang 161.Đối với thầy:
Khi thực hiện đề tài này, một vấn đề tưởng trừng không quan trọng trong chương trình toán phổ thông THCS, nhưng lại rất quan trọng với các em khi tiếp cận toán số học và công tác bồi dưỡng học sinh giỏi Tôi nhận thấy điều thành công trong sáng kiến chính là: Đã tạo cho các em thói quen sử dụng cái đã biết
để khai thác những vấn đề chưa biết, những vấn đề khó trong thực tế Đặc biệt
đã tạo điều kiện cho các em rèn luyện tính sáng tạo, chủ động trong công việc
Qua thực hiện chuyên đề, tôi rút ra một số bài học:
Một là: Muốn dạy học sinh giải toán sáng tạo thì thầy phải định hướng và chủ
động khai thác và phân dạng bài trong các loại toán cụ thể
Hai là: Giáo viên phải có lòng tin vào chính mình, tin vào trò Phải tự mình học
tập, tự mình tìm và nghiên cứa các vấn đề dù là nhỏ nhất trong thực tế Phải thường xuyên thực nghiệm những vấn đề đúc kết đó vào giảng dạy và luôn tự hoàn thiện mình trong mọi lĩnh vực
2 Đối với trò:
Chuyên đề “Vận dụng tính chất chữ số tận cùng vào giải Toán” là
chuyên đề hẹp, nhưng rất phong phú về bài tập, một số bài rất khó Nhưng để giải được thì học sinh phải tổng hợp nhiều kiến thức, phát huy hết khả năng suy luận, tổng hợp của mình trong giải toán Do đó học sinh phải thường xuyên ôn tập cái cũ, tìm tòi, sáng tạo cái mới Học trên lớp một cách tích cực, chủ động nắm bắt các vấn đề mới, tìm hiểu sách tham khảo Nên mạnh dạn đưa ý kiến của mình trong mọi vấn đề để thầy và bạn cùng giải quyết
V Những vấn đề còn bỏ ngỏ
1 Các vấn đề còn bỏ ngỏ