bài tập chuỗi fourier

bài tập chuỗi fourier

Bài tập Giải tích 2 – Bộ môn Toán – Lý – Khoa Vật Lý – ðHSP TpHCM CHUỖI FOURIER Bài 1: Khai triển thành chuỗi Fourier các hàm số sau, biết chúng là những hàm tuần hoàn với chu kỳ T = 2π. 1. 1, 0 ( ) 2,0 x f x x π π − ≤ <  =  ≤ ≤  2. sin(2 ),0 ( ) 0, 2 t t s t x π π π ≤ <  =  ≤ ≤  3. 2 , 0 ( ) 0,0 x x f x x π π π + − ≤ <  =  ≤ ≤  4. , 0 ( ) ,0 x f x x x π π π π − ≤ <  =  − ≤ ≤  5. 1, 0 ( ) 0,0 2 1, 2 x f x x x π π π π  − − ≤ <   = ≤ ≤    < ≤   6. 0, 0, 2 ( ) 1,0 2 x x f x x π π π π  − ≤ < ≤ ≤   =   ≤ <   7. 1, 0 ( ) 1,0 x f x x π π − − ≤ <  =  ≤ ≤  , sử dụng khai triển này tính tổng của chuỗi: 0 ( 1) 2 1 n n n ∞ = − + ∑ 8. ( ) sinf x x= , trên ñoạn [- π ; π ]. Sau ñó tính tổng: 1 1 1 . 1.3 3.5 5.7 + + + Bài 2: Khai triển thành chuỗi Fourier các hàm số sau: 1. 1,0 2 ( ) 0, 2 x f x x π π π  ≤ <   =   ≤ ≤   2. ( ) ,0 2 f x x x π π = + ≤ ≤ a .theo các hàm cosin a .theo các hàm cosin b. theo các hàm sin b. theo các hàm sin 3. ( ) ( ) ,0f x x x x π π = − ≤ ≤ theo các hàm số sin 4. ( ) sin ,0f x x x π = ≤ ≤ theo các hàm số cos 5. ( ) cos ,0f x x x π = ≤ ≤ theo các hàm số sin 6. ( ) ,0 x f x e x π = ≤ ≤ . 7. 1,0 1 ( ) 2 ,1 2 x f x x x ≤ <  =  − ≤ ≤  a. theo các hàm số sin b. theo các hàm cosin. Bài 4: Xét hàm số 2 ( ) 2 x f x x= − trên [0; 2]. a) Biểu diễn f(x) dưới dạng chuỗi hàm: 0 ( ) .cos n n f x a nx +∞ = = ∑ với a n là các hệ số thực. b) Tìm khai triển Fourier nếu f(x) là hàm tuần hòan với chu kỳ T = 4. c) Biểu diễn f(x) dưới dạng chuỗi hàm: 1 ( ) .sin 3 n n n x f x B π +∞ =   =     ∑ với B n là các hệ số thực. Bài 5: Cho f(x) = x – x 2 ; ]1,0[∈∀x . a) Biểu diễn f(x) dưới dạng chuỗi hàm: ∑ +∞ = = 0 sin.)( n n xncxf π với c n là các hệ số thực. b) Biểu diễn f(x) dưới dạng chuỗi hàm: 0 ( ) .cos 2 n n n x f x a π +∞ =   =     ∑ với a n là các hệ số thực. Bài 6. Cho hàm số ( ) ; [0,3].f x x x= ∀ ∈ a) Biểu diễn f(x) dưới dạng chuỗi hàm: ∑ +∞ = = 0 cos.)( n n nxcxf với c n là các hệ số thực. b) Sử dụng kết quả trên, tính tổng của chuỗi số : . 5 1 3 1 1 22 +++ c) Biểu diễn f(x) dưới dạng chuỗi hàm: 0 ( ) .cos 3 n n x f x d n π +∞ =   =     ∑ với d n là các hệ số thực. d) Biểu diễn f(x) dưới dạng chuỗi hàm: 1 ( ) .sin 4 n n n x f x B π +∞ =   =     ∑ với B n là các hệ số thực.