Đánh giá chất lượng học tập của sinh viên trường Đại học Kỹ thuật Y tế Hải Dương

Việc phát hiện những quy luật đó chỉ có thể thựchiện được thông qua những nghiên cứu khoa học.Sử dụng phương pháp thống kê nhiều mức dùng phần mềm Stata đểphân tích làm rõ một số yếu tố

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

- - - - O 0 O

-Phạm Thị Thùy Như

ĐÁNH GIÁ CHẤT LƯỢNG HỌC TẬP CỦA SINH VIÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT - Y TẾ HẢI DƯƠNG

Chuyên ngành: Xác suất và Thống kế toán học

Mã số: 60 46 15

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS.TS Hồ Đăng Phúc

Hà Nội - 2012

Mục lục

1 Mô hình tuyến tính nhiều mức 6

1.1 Dữ liệu nhiều mức 6

1.2 Sự cần thiết sử dụng mô hình phân tích nhiều mức 7

1.3 Mức độ chính xác của các kết luận thống kê 8

1.4 Ưu thế của mô hình nhiều mức 8

1.5 Mô hình tuyến tính nhiều mức và các ước lượng 9

1.6 Mô hình 2 mức với hệ số ngẫu nhiên 11

1.7 Hệ số tương quan nội tại 14

1.8 Mô hình 2 mức tổng quát bao gồm các hệ số ngẫu nhiên 17 1.9 Ước lượng cho mô hình nhiều mức 18

1.10 Số dư trong mô hình 2 mức 21

1.11 Ước lượng số dư trong mô hình nhiều mức 23

1.12 Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy 24

1.12.1 Tham số cố định 25

1.12.2 Tham số ngẫu nhiên 28

1.13 Cấu trúc hiệp phương sai phức hợp 291.14 Phương sai của nhóm con định nghĩa ở mức 1 311.15 Phương sai như một hàm của giá trị dự đoán 35

2 Tác động của các nhân tố đến kết quả học tập của sinh

2.1 Mô tả số liệu 362.2 Các yếu tố ảnh hưởng đến điểm tổng kết học kỳ 1 422.3 Các yếu tố ảnh hưởng đến điểm tổng kết học kỳ 2 462.4 Các yếu tố ảnh hưởng đến điểm tổng kết học kỳ 3 502.5 Các yếu tố ảnh hưởng đến điểm tổng kết học kỳ 4 532.6 Các yếu tố ảnh hưởng đến điểm tổng kết học kỳ 5 562.7 Các yếu tố ảnh hưởng đến điểm tổng kết học kỳ 6 602.8 Các yếu tố ảnh hưởng đến điểm tổng kết toàn khóa 64

Lời nói đầu

"Phát triển giáo dục và đào tạo là một trong những động lực quantrọng thúc đẩy sự nghiệp công nghiệp hóa, hiện đại hóa, là điều kiện đểphát huy nguồn lực con người – yếu tố cơ bản để phát triển xã hội, tăngtrưởng kinh tế nhanh và bền vững" Trong đó, nhiệm vụ trọng yếu, nềntảng của chương trình giáo dục Đại học là xây dựng và đào tạo cho đấtnước một đội ngũ trí thức có nhân cách, có đạo đức, có khả năng làmchủ về chuyên môn nghiệp vụ, với thể chất mạnh khỏe để đáp ứng tốtyêu cầu của sự nghiệp công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước

Trong những năm qua, giáo dục và đào tạo đã có những đóng gópnhất định trong giải quyết các vấn đề kinh tế; khai thác nội lực và pháthuy được tiềm năng, lợi thế của đất nước, tạo được vị thế trên trườngquốc tế Tuy nhiên, thực tế công tác giáo dục của nước ta còn nhiều tồntại, điều kiện giáo dục còn ở trong tình trạng lạc hậu, trì trệ, chất lượngthấp Có không ít trường đại học, cao đẳng sở hữu một đội ngũ giảngviên chất lượng không cao, không có khả năng nghiên cứu dẫn đến mộtthực trạng sinh viên được đào tạo ra không thích nghi được thực tế của

xã hội hiện tại Để tận dụng được các cơ hội phát triển trong giáo dục vàđào tạo, hạn chế những mặt tồn tại, chúng ta cần phải nhận biết nhữngđặc điểm riêng của hệ thống giáo dục đào tạo, xác định được những quy

luật tự nhiên của hệ thống Từ đó có thể vận hành hệ thống phù hợpvới những quy luật đó, tránh đưa ra những quyết sách mang nặng tínhchủ quan duy ý chí Việc phát hiện những quy luật đó chỉ có thể thựchiện được thông qua những nghiên cứu khoa học.

Sử dụng phương pháp thống kê nhiều mức dùng phần mềm Stata đểphân tích làm rõ một số yếu tố ảnh hưởng đến kết quả học tập của sinhviên Trường Đại học Kỹ thuật Y tế Hải Dương, từ đó đưa ra một sốđịnh hướng trong công tác đào tạo là mục tiêu của luận văn “Đánh giáchất lượng học tập của sinh viên trường Đại học Kỹ thuật Y

tế Hải Dương” Sau lời mở đầu, luận văn gồm có hai chương và danhmục tài liệu tham khảo

Chương I trình bày về phương pháp phân tích thống kê dùng trongnghiên cứu là phương pháp phân tích nhiều mức Trong đó trình bày

cụ thể về mô hình hồi quy hai mức cơ bản và mô hình nhiều mức tổngquát

Chương II đưa ra các kết quả phân tích ảnh hưởng của các yếu tốgiới tính sinh viên, điểm tuyển sinh đầu vào, nghề nghiệp của bố mẹ,quê quán của sinh viên đến kết quả học tập của sinh viên Tại đây cácphương pháp thống kê được áp dụng một cách phù hợp để đưa ra nhữngkết luận có tính thuyết phục, đảm bảo tính khoa học

Luận văn này được hoàn thành tại Khoa Toán – Cơ – Tin thuộcTrường ĐH Khoa học Tự nhiên – ĐHQG Hà Nội Trước tiên tôi xinbày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến PGS.TS Hồ Đăng Phúc, người đãtruyền cho tôi nguồn cảm hứng nghiên cứu khoa học, hướng dẫn, chỉbảo tôi hết sức tận tình trong suốt quá trình nghiên cứu Tôi xin trân

trọng cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán – Cơ – Tin, đặc biệt cácthầy trong tổ Bộ môn Xác suất và Thống kê đã cung cấp cho tôi cáckiên thức chuyên ngành cần thiết để thực hiện đề tài Tôi cũng xin chânthành cảm ơn các thày cô phòng Sau đại học đã nhiệt tình giúp đỡ tôitrong suốt thời gian học tập Tôi xin gửi lời cảm ơn đến các anh chị emlớp cao học Lý thuyết Xác suất và thống kê toán học khóa 2009 – 2011,cùng các bạn đồng nghiệp và gia đình đã nhiệt tình đóng góp ý kiến,giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn.

Đặc biệt, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Ban Giám hiệu, Phòng đàotạo, Phòng Công tác học sinh sinh viên của trường Đại học Kỹ thuật Y

tế Hải Dương đã nhiệt tình cung cấp những dữ liệu chính xác quý báugiúp tôi thực hiện luận văn này Tuy đã có nhiều cố gắng trong quá trìnhthực hiện, song chắc chắn luận văn của tôi không thể tránh khỏi nhữngthiếu xót Tôi rất mong nhận được sự tham gia đóng góp ý kiến của quýthầy cô, các nhà nghiên cứu Xác suất Thống kê, nghiên cứu Giáo dục

và các độc giả quan tâm đến luận văn này

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 12 tháng 1 năm 2012

Học viên: Phạm Thị Thùy Như

Ví dụ khi xem xét đặc điểm của trẻ em, số liệu về chiều cao và trí thôngminh được thu thập ở từng cá nhân trẻ em, nhưng kết luận có thể đưa

ra cho các gia đình và khu vực Người ta nhận xét rằng những đứa trẻđược sinh ra trong cùng một gia đình có xu hướng giống nhau về ngoạihình và tính cách hơn những đứa được chọn ngẫu nhiên từ quần thể nóichung

Chúng ta đề cập đến sự phân cấp, trong đó các đơn vị được nhóm lại

ở các mức khác nhau Lúc đó, trẻ em là đơn vị mức 1 được xếp trongphạm vi gia đình, gia đình là đơn vị mức 2 được xếp lồng nhóm trongphạm vi khu dân cư (đơn vị mức 3) và khu dân cư được lồng nhóm trongphạm vi các phường (đơn vị mức 4)

1.2 Sự cần thiết sử dụng mô hình phân tích nhiều

mức

Một nghiên cứu về khả năng “học đọc” của trẻ em trường tiểu họcđược thực hiện ở nước Anh năm 1970 chỉ ra rằng nhóm học sinh “chuộnghình thức” có khả năng đọc tốt hơn Dữ liệu được phân tích sử dụng các

kỹ thuật hồi quy truyền thống nhận các cá nhân là đơn vị phân tích,

bỏ qua ảnh hưởng của sự ghép nhóm theo các mức giáo viên và các lớphọc Cách phân tích đó cho thấy ảnh hưởng của đặc tính “chuộng hìnhthức” lên khả năng học đọc của học sinh là có ý nghĩa thống kê

Sau đó, Aitkin và đồng sự (1981) lại chứng minh rằng khi phân tích

mà có tính đến việc phân trẻ em theo nhóm vào các lớp học riêng biệt,thì hoàn toàn không có sự khác biệt mang tính thống kê giữa hai nhómhọc sinh “chuộng hình thức” và “không chuộng hình thức” về khả nănghọc đọc Kết quả phân tích này có ý nghĩa thống kê

Cách phân tích này là một ví dụ quan trọng đầu tiên của phân tích

dữ liệu nhiều mức trong dữ liệu khoa học xã hội Thực chất những gìđang xảy ra ở đây là những trẻ em trong cùng một lớp học có xu hướngtương tự nhau trong hoạt động của chúng Cách lý giải khác là kỹ nănghọc đọc có thể phụ thuộc nhiều vào khả năng truyền thụ của giáo viênhơn là vào tính cách của học sinh Kết quả là thông tin được cung cấp

ít hơn rõ rệt so với trường hợp cũng những học sinh đó được giảng dạybởi các giáo viên khác nhau một cách riêng biệt Nói cách khác, nhữngđơn vị cơ bản cho mục đích so sánh là giáo viên chứ không phải học sinh.Vậy cần chuyển sang nghiên cứu kỹ năng giảng dạy của giáo viên

Trong những bài toán như trên, chỉ dùng cách phân tích riêng rẽ

ở từng nhóm nhỏ mà không cần sử dụng mô hình nhiều mức có đượckhông?

1.3 Mức độ chính xác của các kết luận thống kê

Nếu tăng số lượng học sinh (được chọn vào mẫu) trong mỗi lớp sẽlàm tăng độ chính xác cho các kết luận thống kê đối với hiệu quả giảngdạy của mỗi giáo viên, nhưng lại khó tăng được số giáo viên được đưavào xét trong nghiên cứu Do vậy không tăng được tính chính xác trongkết luận thống kê về hiệu quả giảng dạy của các giáo viên khác nhau.Nếu tăng số giáo viên đưa vào mẫu nghiên cứu thì chúng ta sẽ tăng

độ chính xác của các phép so sánh về hiệu quả giảng dạy của các giáoviên, nhưng lại làm giảm số học sinh xét đến trong mỗi lớp, do đó làmgiảm tính chính xác của các ước lượng đối với từng giáo viên

Do vậy chúng ta cần phát triển các kỹ thuật phân tích nhiều mức

1.4 Ưu thế của mô hình nhiều mức

Thứ nhất, mô hình nhiều mức cho phép thu được các ước lượng hiệuquả đối với các hệ số hồi quy, khắc phục được hạn chế của giả thiết vềtính độc lập giữa các quan sát và giả thiết phương sai không đổi

Thứ hai, với các thông tin được tổ chức theo “chùm”, sẽ thu được giátrị chính xác hơn của các độ lệch tiêu chuẩn , khoảng tin cậy cũng nhưxác suất ý nghĩa của các phép kiểm định Thứ ba, với các hiệp biến, cóthể so sánh độ biến động của số liệu tại các nhóm thuộc các mức khác

Thứ tư, với số lượng quan sát tương đối nhỏ ở các nhóm “cơ sở”, vẫn

có thể thu được các kết luận thống kê tốt cho mỗi nhóm bằng cách kếthợp khai thác các thông tin ở các mức cao hơn hoặc từ toàn bộ số liệu

1.5 Mô hình tuyến tính nhiều mức và các ước lượng

Phần này giới thiệu mô hình hai mức cùng với các khái niệm cơ bản

sẽ được sử dụng trong các phần tiếp theo Chúng ta xem xét những cáchkhác nhau trong việc xây dựng và phát triển mô hình cũng như giớithiệu các thủ tục ước lượng các tham số, thiết kế và kiểm tra các hàmcủa các tham số và xây dựng dựng khoảng tin cậy

Để làm rõ vấn đề, chúng ta xét dữ liệu gồm 728 học sinh trong 50trường cấp 1 ở London Chúng ta xem xét hai thời điểm đo lường: Thờiđiểm đầu là khi học sinh học lớp 4 của trường, tương ứng với năm các

em lên 8 tuổi và thời điểm thứ hai 3 năm sau đó, khi các em học nămcuối ở trường tiểu học

Chúng ta sử dụng điểm số bài kiểm tra môn Toán được thực hiện tạihai thời điểm kể trên cùng với thông tin được sưu tập về lai lịch xã hội

và giới tính của học sinh

Hình 1.1 là biểu đồ sự phân tán điểm kiểm tra môn toán của học sinh

11 tuổi với học sinh 8 tuổi Trong biểu đồ này không cho thấy sự khácbiệt giữa học sinh thuộc các trường khác nhau

Chú ý rằng đồ thị trên đây cho thấy có một khuynh hướng chung,điểm số năm 8 tuổi có mối quan hệ hầu như đồng biến với điểm số năm

Hình 1.1: Sự phân tán điểm kiểm tra môn toán.

11 tuổi Cũng cần chú ý rằng độ biến động của điểm số năm 11 tuổi sẽgiảm đi nếu điểm số năm 8 tuổi của học sinh tăng lên

Trong Hình 1.2 điểm số của 2 trường khác nhau đã được lựa chọn,miêu tả bởi các ký hiệu khác nhau

Hình 1.2:

Có hai điều thấy rõ ngay lập tức So với trường được miêu tả bởi hìnhtam giác, trường được miêu tả bởi hình tròn có độ dốc lớn hơn và điểm

số năm 11 tuổi có xu hướng thấp hơn tại hầu hết các nhóm học sinh cócùng điểm số năm 8 tuổi Những mối liên hệ này có thể được mô hìnhhóa như sau:

Đầu tiên chúng ta xét mô hình đơn giản của một trường, liên kếtđiểm năm 11 tuổi với điểm năm 8 tuổi Ta viết

yi = α + βxi + ei (1.1)trong đó, α là hệ số chặn, β là hệ số dốc, ei là sai số ngẫu nhiên

Đây là mô hình chính thức mô tả mối liên hệ đơn lẻ Để miêu tả đồngthời những mối liên hệ trong vài trường, ví dụ cho trường j , ta viết

yij = αj + βjxij + eij (1.2)

Đây là mô hình chính thức cho hình 2 ở đó j quy ước cho đơn vị mức

2 và i quy ước cho đơn vị mức 1 Tuy nhiên (1.2) vẫn là mô hình đơngiản, mặc dù đã miêu tả mối liên hệ tách rời của mỗi trường Trongmột số trường hợp, ví dụ có vài trường và các điều quan tâm chính làcác trường trong mẫu, chúng ta có thể phân tích bằng cách sử dụng tất

cả 2n + 1 tham số, cụ thể là: (αi, βj), j = 1, , n với phần dư của cáctrường có phương sai chung là σ2

1.6 Mô hình 2 mức với hệ số ngẫu nhiên

Để chính thức sử dụng (1.2) như một mô hình 2 mức, chúng ta coi

αj, βj là các biến ngẫu nhiên, và để thuận tiện, thay thế các ký hiệu αjbởi β0j và βj bởi β1j Khi đó ta có

β0j = β0 + u0j

β1j = β1 + u1j

trong đó u0j, u1j là các sai số ngẫu nhiên (còn gọi là phần dư) , thể hiện

độ lệch giữa các trường, với các tham số

E(u0j) = E(u1j) = 0

V ar(u0j) = σu02

V ar(u1j) = σu12cov(u0j, u1j) = σu01Nói chung hiệp phương sai của các sai số ở mức trường không được giảthiết bằng 0 Khi đó (1.3) có dạng

yij = β0 + β1xij + (u0j + u1jxij + e0ij) (1.4)var(e0ij) = σe02

Các hệ số β0, β1 không thay đổi giữa các trường nên chúng không cóchỉ số j để biểu thị cho 1 trường nào mà chúng được áp dụng cho tất cảcác trường Vì vậy các hệ số này được nói đến như các hệ số cố định, sựbiến đổi còn lại của tất cả các trường được thể hiện bởi β0j, β1j Các hệ

số β0j, β1j được giả thiết thay đổi giữa các trường và được xác định quacác phần dư u0j, u1j

Trong công thức (1.4) phần β0 + β1xij bao gồm tất cả các hệ số

cố định, nên phần này được gọi là phần cố định của mô hình Phần(u0j+ u1jxij + e0ij) bao gồm tất cả các hệ số ngẫu nhiên, nên phần nàyđược gọi là phần ngẫu nhiên của mô hình Như vậy biến đáp ứng yijđược coi là tổng của 1 phần cố định và 1 phần ngẫu nhiên

Chúng ta có thể viết lại phần cố định của (1.4) dưới dạng ma trận:

E(Y ) = Xβ

Y = {yij}E(yij) = Xijβ = (Xβ)ij, X = {Xij}Trong đó {} là kí hiệu ma trận, X là ma trận thiết kế của các biến giảithích, ứng với mô hình (1.4) ta có X = {1Xij}

Các biến ngẫu nhiên được coi như số dư và trong trường hợp mô hìnhmột mức số dư e0ij thường trở thành số dư của mô hình tuyến tính thôngthường

Để mô hình có tính nhất quán, tức là mỗi hệ số phải gắn với một biếngiải thích, chúng ta có thể định nghĩa thêm một biến giải thích mới cho

hệ số chặn và số dư u0j tương ứng với nó, biến này được gọi là x0ij vàchỉ nhận một giá trị hằng số bằng 1

Đặc điểm để phân biệt (1.4) với các mô hình hồi quy tuyến tính hoặc

mô hình phân tích phương sai thông thường là sự hiện diện của nhiềuhơn một số dư, điều này đưa đến đòi hỏi phải có thủ tục đặc biệt đểước lượng các tham số Chú ý rằng cấu trúc của phần ngẫu nhiên trong

mô hình đóng một vai trò then chốt Đồng thời, trong phần cố định cácbiến có thể được đo ở bất kỳ mức nào, ví dụ trong dữ liệu nghiên cứugiáo dục trên đây, chúng ta có thể đo lường các đặc tính của nhà trườnghoặc của giáo viên Chúng ta cũng có thể đưa vào mô hình các biến tổnghợp, chẳng hạn như điểm trung bình môn toán của học sinh 8 tuổi ở mỗitrường Sự hiện diện của các biến đó không giúp cải thiện thủ tục ướclượng Hơn nữa, các kết quả thu được từ đó cũng cần được giải thíchmột cách cẩn thận

1.7 Hệ số tương quan nội tại

Trong phương trình (1.4) cần ước lượng 2 hệ số cố định β0, β1 và 4tham số khác là σu02 , σ2u1, σu012 , σe02 Đây là các tham số ngẫu nhiên tươngứng với phương sai và hiệp phương sai

Chúng ta bắt đầu xem xét mô hình 2 mức đơn giản nhất chỉ bao gồmtham số ngẫu nhiên σu02 , σe02 ,

var(yij|β0, β1, xij) = var(u0 + e0ij) = σ2u0+ σe02 Đây là tổng phương sai ở mức 1 và mức 2

Với dữ liệu nghiên cứu giáo dục xét đến trên đây, mô hình này chothấy phương sai toàn phần cho mỗi học sinh là hằng số và hiệp phươngsai giữa 2 học sinh (kí hiệu i1, i2) trong cùng một trường được cho bởi

cov(u0j + ei1j, u0j + ei2j) = cov(u0j, u0j) = σu02

vì các số dư ở mức 1 được giả sử là độc lập

Sự không độc lập của các quan sát trong cùng một nhóm có thể đượcbiểu diễn qua một hệ số tương quan, hệ số tương quan nội tại nhóm, kýhiệu là ρ Do đó, hệ số tương quan giữa 2 học sinh là:

ρ =

σu02

σ2u0+ σe02Như vậy tương quan nội tại nhóm bằng tỷ lệ của phương sai mứcnhóm so với phương sai của toàn bộ ước lượng và nó được coi như làtương quan nội tại trong đơn vị mức 2, trong trường hợp này là tươngquan nội tại lớp

Trong mô hình 3 mức là các mức trường, lớp và học sinh, chúng ta

có 2 mối tương quan nội tại, đó là mối tương quan nội tại trường đobằng tỷ lệ phương sai giữa các trường trên toàn bộ các phương sai vàmối tương quan nội tại lớp đo tương ứng bằng tỷ lệ của phương sai giữacác lớp học trên phương sai toàn phần

Bây giờ chúng ta xem xét chi tiết hơn ở cấu trúc tập dữ liệu 2 mức,xem xét cấu trúc của hiệp phương sai trong ma trận A Đây là ma trậnhiệp phương sai cấp 3x3 cho điểm số của 3 học sinh trong một trường:

Ma trận khối chéo trên đây có thể viết đơn giản lại thành

Trong mô hình hồi quy đơn bình phương bé nhất cổ điển, σ2u0 = 0 và

ma trận hiệp phương sai này được giản ước thành σ2I Với σ2 là phươngsai của các phần dư

1.8 Mô hình 2 mức tổng quát bao gồm các hệ số

βhxhij + (u0j + u1ijxij + e0ij)

Phương trình này có thể viết gọn lại thành

yij = Xijβ +

l

X

h=0

huhjzhij + e0ijz0ij

trong đó, chúng ta sử dụng thêm biến giải thích Z cho phần ngẫu nhiêncủa mô hình và viết một cách tổng quát là

Z = {Z0, Z1}với Z0 = {1} là vectơ bao gồm tất cả các thành phần bằng 1, còn

Z1 = {x1ij}

Một biến giải thích có thể được đo ở mức bất kỳ nào đó, ví dụ chúng

ta có các đặc điểm học sinh đo được ở mức 1, hoặc đặc điểm của trường

đo được ở mức 2

Trong mô hình trên, hệ số dốc của biến giải thích X1 có phần ngẫunhiên ở mức 2, làm nảy sinh cấu trúc khối Ma trận Ω2 là ma trận hiệpphương sai của các phần ngẫu nhiên ở mức 2 của hệ số chặn và của hệ

số dốc Ma trận Ω1 là ma trận hiệp phương sai các hệ số ngẫu nhiên mức

1 Trong này chỉ có duy nhất một thành phần phương sai ở mức 1 Ký

1.9 Ước lượng cho mô hình nhiều mức

Bây giờ, chúng ta trình bày khái quát về phương pháp Ước lượng bìnhphương bé nhất suy rộng (GLS) Xét mô hình đa thành phần phươngsai 2 mức đơn giản

yij = β0 + β1xij + u0j + e0ij (1.5)

trong đó, u0j ≈ N (0, σ2

u0), e0ij ≈ N (0, σ2

e0)Giả sử chúng ta đã biết giá trị của các phương sai, khi đó có thể xâydựng ngay ma trận hiệp phương sai dạng khối chéo, ký hiệu là V Chúng

ta có thể dùng thủ tục ước lượng bình phương bé nhất thông thường đểthu được ước lượng cho các hệ số cố định:

ˆ

β = (XTV−1X)−1XTV−1Y (1.6)

Với m là số đơn vị mức 2 và nj số đơn vị mức 1 trong đơn vị thứ jmức 2 Khi số dư có phân phối chuẩn, (1.6) cũng cung cấp các ước lượnghợp lý cực đại.

Thủ tục tính lặp sẽ được sử dụng trong quá trình ước lượng các tham

số của mô hình trong phần tiếp sau đây Chúng ta bắt đầu từ việc ướclượng một cách hợp lý các tham số cố định Người ta thường sử dụngphương pháp ước lượng bình phương bé nhất cổ điển và giả định σu02 = 0

để ước lượng giá trị ban đầu của hệ số cố định ˆβ0 Từ đó ta có công thứctính các số dư thô

˜

yij = yij − ˆβ0 − ˆβ1xij (1.8)Vec tơ các số dư thô được viết thành

˜

Y = {˜yij}

Xem xét ma trận tích chéo ˜Y ˜YT chúng ta thấy kỳ vọng của ma trậnnày chính là ma trận hiệp phương sai V Như vậy, chúng ta có thể sửdụng ma trận tích chéo đó thay cho vai trò của ma trận hiệp phương saitrong bước tiếp theo của quá trình lặp

Chúng ta có thể sắp xếp lại ma trận tích chéo này thành một vectơbằng cách lần lượt nối chồng cột trước lên cột tiếp theo của ma trận

Mối liên hệ giữa vectơ này và giá trị của các phương sai có thể được biểudiễn như mô hình hồi quy tuyến tính sau:

trong đó, R là vectơ số dư

Vế trái của (1.9) là vectơ đáp ứng trong mô hình hồi quy tuyến tính

và vế phải bao gồm 2 biến giải thích, với các hệ số σu02 , σe02 tương ứngcần ước lượng Việc giải phương trình hồi quy trên đây sẽ cung cấp chochúng ta giá trị ước lượng của các phương sai, qua đó xác định được giátrị mới của ma trận hiệp phương sai V Đưa ma trận mới thu được vào(1.6), chúng ta thu được ước lượng mới của các tham số cố định và sửdụng chúng vào chu trình tiếp theo của quá trình lặp

Ước lượng các tham số cố định đến khi chúng hội tụ, tức là khi giátrị của các tham số tại hai bước lặp liên tiếp không thay đổi một cáchđáng kể Cuối cùng chúng ta sẽ thu được ước lượng xấp xỉ của các tham

số cố định và các tham số ngẫu nhiên của mô hình hồi quy nhiều mức.Tổng hợp lại, quá trình ước lượng tham số bằng phương pháp bìnhphương bé nhất suy rộng gồm các bước sau:

+) Bước 4: Giải phương trình hồi quy (1.9) để ước lượng σu02 , σ2e0+) Bước 5: Kiểm tra tính hội tụ của các tham số σu02 và σ2e0.

Nếu chúng hội tụ thì quá trình kết thúc Ngược lại, chúng ta lại lập

ma trận hiệp phương sai V từ các giá trị của σu02 và σe02 , sau đó quay lạibước 3 và bắt đầu một chu trình mới

1.10 Số dư trong mô hình 2 mức

Trong mô hình 1 mức đơn như (1.1), chúng ta thường ước lượng số

dư một cách đơn giản bằng Trong mô hình nhiều mức, chúng ta thường

có nhiều số dư ở các mức khác nhau Cách ước lượng của các số dư đóđược trình bày tiếp sau đây

Cho trước giá trị ước lượng của các tham số ước lượng, ta xem xét dựđoán giá trị của từng số dư cụ thể, chẳng hạn như ứng với mức 2 trong

mô hình nhiều thành phần phương sai Đối với mỗi đơn vị ở mức 2 phảicó

ˆ

u = E(u0j|Y, ˆβ, ˆΩ) (1.10)Chúng ta sẽ coi đó là các số dư được ước lượng hoặc số dư được dựđoán Nếu bỏ qua phần biến động do chọn mẫu có thể xuất hiện khi ướclượng tham số trong (1.10), chúng ta có

cov(˜yij, u0j) = var(u0j) = σu02cov(˜yij, e0ij) = σ2e0 (1.11)var(˜yij) = σu02 + σ2e0

Chúng ta coi (1.10) như là mô hình hồi quy tuyến tính của u0j trên tập

của {˜yij} cho đơn vị mức 2 thứ j , còn (1.11) xác định các đại lượng cầnước lượng cho các hệ số hồi quy và đó chính là u0j

Đối với mô hình nhiều thành phần phương sai chúng ta thu được

ˆ

u0j =

njσu2(njσ2

u+ σ2 e0)y˜jˆ

Trong đó nj là số đơn vị mức 1 trong đơn vị mức 2 thứ j Các ướclượng số dư là chệch nhưng vững Thừa số

njσ2u(njσ2

u+ σe02 ) nhân với trungbình của sai số thô thường được coi là nhân tố co vì luôn có giá trị nhỏhơn hoặc bằng 1 Khi nj tăng nhân tố này tiến dần đến 1, và khi sốlượng những đơn vị mức 1 trong một đơn vị mức 2 giảm, thì nhân tốước lượng co của u0j tiến gần đến 0 hơn

Như vậy, các số dư đó có 2 vai trò Có thể diễn giải chúng như cácbiến ngẫu nhiên với phân phối mà giá trị tham số của nó cho ta biết độbiến động giữa những đơn vị mức 2, cung cấp ước lượng hiệu quả chocác hệ số cố định Mặt khác, có thể coi chúng được như ước lượng đơn

lẻ của mỗi đơn vị mức 2 khi ta sử dụng giả thiết cho rằng chúng thuộc

về quần thể của các đơn vị dùng để dự đoán của chúng Cụ thể, đối vớinhững đơn vị mức 2 mà ở đó chỉ có vài đơn vị mức 1, nếu khai thác cảcác thông tin từ các đơn vị mức 2 khác, chúng ta có thể thu được ướclượng chính xác hơn là khi nếu chúng ta chỉ dùng thông tin của riêngtừng đơn vị mức 2 này Điều này đặc biệt quan trọng đối với việc ướclượng số dư của các hệ số ngẫu nhiên trong trường hợp mỗi đơn vị mức

2 chỉ có 1 đơn vị mức 1.

Như trong những mô hình một mức, chúng ta có thể sử dụng những

số dư ước lượng được để kiểm tra giả thiết của mô hình Có hai giả thiếtthường được xét đến là giả thiết về tính phân phối chuẩn và tính phươngsai bất biến trong mô hình Chúng ta cần có ước lượng khoảng của cáctham số cũng như xác suất ý nghĩa của ước lượng điểm cho các số dưhoặc các hàm của chúng Các vấn đề đó được xét đến trong các mục tiếptheo đây

1.11 Ước lượng số dư trong mô hình nhiều mức

Tập hợp của mh số dư ở mức h trong mô hình nhiều mức được chobởi

Ph = {Ph1, , Phmh}, PhT

i = {Phi1, , Ph inh}

ở đó nh là số đơn vị mức h Các số dư ở bất kỳ mức nào sẽ độc lậpvới bất kỳ một số dư ở mức khác Chúng ta quy định ước lượng số dưđược cho bởi

ˆ

Phi = E(Phi| ˜Y , V )với ˜Y = Y − Xβ

Chúng ta xem xét đường hồi quy của tập tất cả các số dư Ph trên ˜Yđưa ra ước lượng

ˆ

Ph = RThV−1Y˜ (1.12)với Rh là ma trận khối chéo, mỗi khối tương ứng với một đơn vị mức h

và khối thứ j được cho bởi Z(j)h Ωh, với Z(j)h là ma trận của các biến giảithích với các hệ số ngẫu nhiên ở mức h Chúng ta thu được các ước lượng

vững bằng cách thế một cách thích hợp các tham số trong (1.12) bằngcác ước lượng mẫu Các ước lượng này là các hàm tuyến tính của cácgiá trị đáp ứng và ma trận hiệp phương sai không điều kiện của chúngđược cho bởi

RThV−1(V − X(XTV−1)−1XT)V−1Rh (1.13)

Chú ý rằng không có hiệp phương sai giữa các đơn vị cùng mức Khimuốn nghiên cứu các tính chất phân bố của số dư chuẩn hóa, ta có thểdùng ma trận hiệp phương sai không điều kiện (1.13) để tiến hành chuẩnhóa các số dư ước lượng được Tuy nhiên, nếu ta đưa ra suy luận thống

kê cho giá trị đúng của Phj, chẳng hạn như về khoảng tin cậy hoặc kiểmđịnh sự khác nhau, thì cần sử dụng ma trận hiệp phương sai có điềukiện của ˆPh hoặc E[( ˆPh− Ph)( ˆPh− Ph)T] được đưa ra bằng cách gán cáctham số ước lượng được vào

1.12 Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Trong phần này, chúng ta làm việc với các thủ tục liên quan đến cácmẫu cỡ lớn để đưa ra ước lượng khoảng cho các tham số hoặc các hàmtuyến tính của các tham số và tiến hành kiểm định các giả thuyết

1.12.1 Tham số cố định

Phần trước đã giới thiệu việc ước lượng tham số cho những tham

số cố định với độ lệch chuẩn của chúng Điều này cho phép xây dựngtiêu chuẩn kiểm định giả thuyết hoặc khoảng tin cậy riêng biệt cho mỗitham số Trong nhiều trường hợp, người ta quan tâm đến tổ hợp tuyếntính của các tham số Đối với việc kiểm định giả thuyết, thường xuấthiện các biến giải thích đóng vai trò phân nhóm hoặc sự xếp loại, ở đó

n nhóm các đối tượng hoàn toàn được xác định qua n − 1 biến giả nhịphân (nhận hai giá trị tương phản 0 và 1) Như vậy, đối với các tham sốcần ước lượng, chúng ta quan tâm đến việc cung cấp các cặp khoảng tincậy tương ứng Chúng ta tiến hành như sau:

Định nghĩa một ma trận tương phản C cấp r × p với các thành phần

có giá trị 0 hoặc 1 Ma trận này được sử dụng để thành lập các hàm độclập tuyến tính của p tham số cố định trong mô hình có dạng f = Cβ,

để mỗi dòng của C xác định một hàm tuyến tính cụ thể Các tham sốkhông xuất hiện trong tổ hợp tuyến tính tương ứng với giá trị 0 củahàng trong ma trận C Giả sử trong mô hình xây dựng từ số liệu nghiêncứu giáo dục nói đến ở phần trước, chúng ta quan tâm đến việc kiểmđịnh giả thuyết đối với hệ số chặn và các hệ số dốc ứng với các biếnđộc lập về điểm môn toán năm 8 tuổi, giới tính và thành phần xã hội(Bảng 1.1) Chẳng hạn, ta cần kiểm định giả thuyết cho rằng hai tham

số tương ứng với giới tính và thành phần xã hội là đồng thời bằng 0.Chúng ta định nghĩa

Tham số Ước lượng (Độ lệch chuẩn) Ước lượng (Độ lệch chuẩn)

Bảng 1.1: Mô hình phương sai thành phần sử dụng số liệu về giáo dục với

f = C ˆβNếu giả thuyết là đúng, thì R là đại lượng có phân phối xấp xỉ phân phối

χ2 với 2 bậc tự do Chú ý rằng số hạng (XTVˆ−1X)−1 là ma trận ước

lượng hiệp phương sai của những hệ số cố định Giá trị của R thu được

trên đây có thể dùng so sánh với giá trị tới hạn của phân phối Khi-bình

phương với 2 bậc tự do để đưa ra các kết luận thống kê thích hợp

Chúng ta cũng thu được miền tin cậy α% cho các tham số bằng cách

xét giá trị của ˆR trong biểu thức

do Biểu thức trên mang lại một hàm bậc 2 của các hệ số ước lượng, đưa

ra một vùng elip r chiều

Từ Bảng 1.1, chúng ta thu được kết quả sau: Giá trị tới hạn của phânphối Khi bình phương với 2 bậc tự do ứng với xác suất ý nghĩa 5% là5,99 Từ đó, miền tin cậy 95% là vùng giới hạn bởi elip xác định quaphương trình

8, 3(β1 + 0, 36)2+ 0, 22(β1+ 0, 36)(β2 − 0, 72) + 0, 67(β2 − 0, 72)2 = 5, 99

ở đó β1, β2 là các tham số tương ứng với giới tính và tầng lớp xã hội.Trong một số tình huống, người ta có quan tâm đến các khoảng tincậy riêng rẽ cho tất cả các hàm tuyến tính có thể có từ tập con gồm qtham số hoặc q hàm độc lập tuyến tính của các tham số, đồng thời nêu

ra giá trị cố định cho trước của xác suất để giá trị thực (tức là giá trịquần thể) của các hàm tham số đó rơi vào mỗi khoảng tin cậy tươngứng Như đã nói, nhu cầu có thể xuất hiện khi chúng ta có một biến giảithích định tính xác định một số nhóm đối tượng và chúng ta cần quantâm đến những khoảng tin cậy cho giá trị của một tập các hàm ràngbuộc Đối với khoảng tin cậy (1 − α)% ký hiệu Ci là dòng thứ i của C,

và 1 khoảng tin cậy (1 − α)% đồng thời của Ciβ cho tất cả các Ci đượccho bằng

(Ciβ − dˆ i, Ciβ + dˆ i)

Với χ2q,(α) là điểm phân vị (trên) α% của phân phối χ2.

1.12.2 Tham số ngẫu nhiên

Trong trường hợp cỡ mẫu rất lớn có thể sử dụng cùng các thủ tụcnhư nhau để kiểm định giả thuyết và xác định khoảng tin cậy cho tất cảcác tham số cố định Tuy nhiên, người ta thường dùng các thủ tục dựatrên các thống kê hàm hợp lý Để kiểm định giả thuyết H0 ngược lại vớiđối thuyết H1 nhằm kiểm tra hiệu quả của một số tham số thêm vào, tadùng thống kê dạng Loga của tỷ lệ hàm hợp (còn được gọi độ lệch) xácđịnh qua biểu thức

D01 = −2 loge(λ0|λ1) (1.14)

ở đó, λ0, λ1 là hàm hợp lý tương ứng với các giả thuyết H0 và đối thuyết

H1 Đại lượng này có phân phối xấp xỉ phân phối bình phương với bậc

tự do bằng hiệu số (q) của số lượng tham số xuất hiện trong hai môhình

Chúng ta có thể sử dụng (1.14) làm cơ sở để xây dựng miền tin cậy(1 − α)% cho các tham số thêm vào Nếu D01 là tập giá trị của điểm α%của phân bố bình phương với q bậc tự do, thì sử dụng các thủ tục tìmkiếm thích hợp, ta có thể xây dựng được miền tin cậy thỏa mãn (1.14).Tuy nhiên, việc này đòi hỏi phải lượng tính toán lớn, vì tất cả các ướclượng tham số phải được xác định lại nhiều lần cho từng điểm cần tìm

1.13 Cấu trúc hiệp phương sai phức hợp

Trong các mô hình ở phần trên, chúng ta giả sử các phương sai đơnmiêu tả biến động ngẫu nhiên ở mức 1 Sang mức 2, chúng ta giới thiệu

mô hình cấu trúc phương sai phức tạp hơn, trong đó cho phép các hệ sốhồi quy biến thiên qua các đơn vị mức 2 Tuy nhiên, trong đó việc môhình hóa và cách diễn giải các biến đổi phức hợp này chỉ thể hiện ở sựbiến thiên ngẫu nhiên các hệ số Bây giờ chúng ta xem làm thế nào để

có thể biểu diễn sự biến thiên đó như một hàm của các biến giải thích

và làm thế nào đưa ra cách giải thích phù hợp Chúng ta sẽ chủ yếu xemxét sự biến thiên ở mức 1, nhưng các nguyên lý đó có thể áp dụng chocác mức cao hơn đối với các yếu tố có đặc trưng tương tự Trong chươngnày, chúng ta xem xét sự mở rộng của mô hình tuyến tính cơ bản, đưathêm vào các điều kiện ràng buộc trên các tham số, gán trọng số cho cácđơn vị, ước lượng các sai số tiêu chuẩn của tham số và phân tích tổnghợp trên các mức

Trong phân tích dữ liệu nghiên cứu giáo dục đã xét đến ở trên, tathấy biến thiên số dư mức 1 giảm đi khi điểm toán năm 8 tuổi tănglên Chúng ta cũng thấy các đường hồi quy ước lượng riêng rẽ cho mỗitrường chụm dần lại ở khu điểm toán năm 8 tuổi nhận giá trị cao hơn.Sau đây, ta sẽ xem xét vấn đề tổng quát cho việc mô hình hóa độ biếnthiên mức 1

Khi ta xét các biến ngẫu nhiên ở từng mức, ký hiệu đã dùng cần được

mở rộng Đối với mô hình hai mức chúng ta tiếp tục sử dụng ký hiệu

uj, eij cho tổng biến thiên ở các mức 2 và 1, ta viết

Trong mô hình 3 mức chúng ta sẽ sử dụng kí hiệu vk, ukj, eijk với i làchỉ số đơn vị mức 1, j là chỉ số đơn vị mức 2, k là chỉ số đơn vị mức 3,

h là chỉ số biến giải thích và các hệ số của chúng ở mỗi mức

Một mô hình đơn giản để biểu diễn biến thiên mức 1 là coi đó nhưmột hàm tuyến tính của các biến giải thích đơn giản Xét sự mở rộngcủa phương trình (1.1) thành

yij = β0 + β1xij + (uj + e0ijzij), zij = xijvar(e0j) = σe02 (1.15)var(e1ij) = 0

cov(e0ij, e1ij) = σe01sao cho đóng góp của mức 1 vào cho phương sai toàn phần là một hàmtuyến tính của zij , cụ thể là σe02 + 2σe01zij Điều này đáp ứng ràng buộctham số phương sai bằng 0 khi sự hiện diện của hiệp phương sai khác 0được sử dụng để có được cấu trúc phương sai theo yêu cầu Đó mới chỉ

là một hàm cụ thể của các tham số ngẫu nhiên trong (1.15), có sự diễngiải biến phụ thuộc yij theo phương sai mức 1 Điều này sẽ được tiếnhành tổng quát cho trường hợp các hệ số là ngẫu ở mọi mức mà biếngiải thích được định nghĩa

Chúng ta không chỉ giới hạn ở việc xét phương sai như hàm của mộtbiến giải thích duy nhất, mà có thể xét hàm tổng quát của tổ hợp cácbiến giải thích Trong các hàm đó có thể vắng mặt một phần cố địnhcủa mô hình, hoặc tương đương là hệ số của phần cố định co lại tới 0 Ở

mô hình hồi quy đơn cổ điển, mô hình có hệ số chặn bằng 0 tương ứngvới mô hình ‘hồi quy qua gốc tọa độ’, khi đó phương sai mức 1 gắn với

hệ số chặn sẽ được xét đến

Chúng ta có thể dùng một hàm cụ thể bất kỳ của các biến giải thích

để mô hình hóa cho phương sai Chẳng hạn có thể lấy phần giá trị cốđịnh dự đoán và định nghĩa số hạng ngẫu nhiên mức 1 là e1ijp ˆyij và giả

sử giá trị dự đoán là dương, khi đó phương sai mức 1 trở thành σei2yˆij ,

tỷ lệ với giá trị dự đoán

1.14 Phương sai của nhóm con định nghĩa ở mức 1

Một ví dụ phổ biến về phương phức hợp ở mức 1 là mô hình có phươngsai riêng biệt cho các nhóm con Chẳng hạn, trong nhiều phép đo lường

sẽ có các khác biệt về độ biến động giữa các nhóm giới tính hoặc nhómthành phần xã hội Một cách làm trực tiếp cho mô hình trong trườnghợp các nhóm đơn như vậy là sử dụng phiên bản của (1.15) cho mô hìnhvới phương sai khác nhau cho học sinh có bố mẹ làm lao động chân tay

và lao động trí óc như sau:

yij = β0 + β1xij + (u0j + e2ijz2ij + e3ijz3ij)

var(e3ij) = σ2e3cov(e2ij, e3ij) = 0Bây giờ chúng ta xét 1 phương pháp khác có thể chỉ rõ loại phươngsai phức hợp ở mức 1 Chúng ta đề cấp đến mô hình

var(e2ij) = 0cov(e0ij, e2ij) = σe02Trong mô hình đó, phương sai mức 1 được cho bằng σe02 + 2σe02z2ij vìphương sai của hệ số thành phần lao động chân tay (z2ij=1) rút lại bằng

0 Như vậy, phương sai ở mức 1 của nhóm trẻ em xuất thân lao độngchân tay là σ2e0 + 2σe02, còn của nhóm trẻ em xuất thân lao động trí óc

là σe02

Giả sử chúng ta muốn mô hình phương sai mức 1 như là một hàm

của cả các nhóm tầng lớp xuất thân và giới tính Một cách giải quyết làxây dựng mô hình phương sai riêng biệt cho từng nhóm trong 4 nhómđối tượng, sử dụng các thủ tục ở trên Một cách khác có thể xem xét môhình có cộng thêm các phương sai như sau:

eij = (e0ij + e2ijz2ij + e4ijz4ij)

cov(e0ij, e4ij) = σe04với hai phương sai và hiệp phương sai còn lại bằng 0 Do vậy (1.16)gợi ý phương sai mức 1 cho con trai xuất thân lao động chân tay là

σe02 + 2σe02 + 2σe04 , v.v

Giả sử rằng chúng ta có biến định tính nhận 3 giá trị phân loại, chúng

ta định nghĩa 2 biến giả, z5ij, z6ij tương ứng với các nhóm phân loại thứ

2 và thứ 3 Với zij miêu tả một biến liên tục, một mô hình cộng tính đối

với biến động ngẫu nhiên mức 1 có thể viết thành

eij = (e0ij + e5ijz5ij + e6ijz6ij)var(e0ij) = σe02

var(e1ij) = σe12cov(e0ij, e1ij) = σe01cov(e0ij, e4ij) = σe04cov(e0ij, e5ij) = σe05cov(e0ij, e6ij) = σe06

Có thể thêm vào mô hình này một hoặc cả hai hiệp phương sai giữa

hệ số các biến giả và hệ số các biến liên tục, cụ thể là σe15, σe16 Cáchiệp phương sai này có ý nghĩa tương tự như tương tác giữa các số hạngtrong phần cố định của mô hình Từ đó, chúng ta thấy có thể xây dựngcác mô hình có độ phức tạp tăng dần, bắt đầu bằng một mô hình cộngtính Hạn chế duy nhất là chúng ta không thể xét đến hiệp phương saigiữa các loại biến giả được lập từ cùng một biến giải thích định tính

Do vậy, nếu thành phần xuất thân của học sinh có 3 mức, thì chúng takhông thể xét đến hiệp phương sai tương ứng giữa các mức 2 và 3

Số dư có thể được ước lượng trực từ các mô hình phức hợp Ví dụ, từ(1.16) ước lượng số dư cho học sinh nam có thành phần xuất thân laođộng chân tay là ˆe0ij + ˆe2ij + ˆe4ij

1.15 Phương sai như một hàm của giá trị dự đoán

Phương sai mức 1 có thể mô hình hóa như một hàm của những tổhợp các biến giải thích và chúng ta có thể sử dụng kết hợp với các giátrị ước lượng được của các hệ số hồi quy Cụ thể, giá trị dự đoán có thểđược xét đến như một hàm của tổ hợp nữa Khi đó (1.15) trở thành